Modellazione delle dinamiche SODS

Per modellare un Self-organized Dynamical System (SODS) occorre tenere conto dell’azione delle varie forze contrastanti. Occorre fare qualche integra- zione rispetto all’algoritmo per l’evoluzione del sistema sulla scala tempora- le lunga come riportato precedentemente. L’aumento della richiesta e della potenza fornita avviene secondo un tasso esponenziale, sebbene il limite di potenza erogata dai generatori non sia mai raggiunta nei modelli OPA (non si hanno, cio`e, situazioni in cui c’`e un eccesso di potenza da smaltire). Anche le linee di trasmissione vengono potenziate in seguito all’effetto su di esse di blackout, come esposto. L’effetto di queste forze porta il sistema ad auto- organizzarsi in punti vicini a quelli critici. Sono stati provati vari algoritmi per la crescita della potenza disponibile, azione che avviene in risposta ad un aumento di domanda. La potenza erogabile viene aumentata solo nei nodi che gi`a possiedono dei generatori. Le regole adottate sono state le seguenti:

1. L’aumento di potenza `e quantizzato, per riflettere l’aggiornamento de- gli impianti produttivi e l’aggiunta di generatori. L’approccio risultato migliore in termini di convergenza `e quello di incrementare la potenza ad un ritmo costante. Si ha quindi la quantita

∆Pa ≡ k

P_T

NG



dove PT `e la domanda totale, NG il numero di generatori e k il

parametro scelto, dell’ordine di pochi punti percentuali

2. Per essere in grado di incrementare la potenza massima per ol nodo j, la somma del flusso di potenza massimo sulle linee connesse a j deve essere il 20% maggiore della potenza generata esistente pi`u l’aggiunta al nodo j. Il margine del 20% `e stato scelto arbitrariamente in modo da offrire una garanzia ragionevole.

3. Esiste una condizione aggiuntiva che deve essere verificata prima di ogni aumento di potenza massima dei generatori, ovvero che il margine abbia raggiunto una soglia data. Si definisce questa soglia al tempo t come ∆P P = P j∈GPj− P0eλt P0eλt

Dove P0 `e la domanda iniziale di potenza.

4. Se la condizione precedente `e verificata, si sceglie un nodo a caso per verificare la seconda condizione; se questo avviene, si incrementa la potenza della quantit`a summenzionata, altrimenti si sceglie un altro nodo, e si itera. Una volta che il margine di potenza per un nodo `e stato aumentato si ricalcola il margine medio di potenza per i gene- ratori (si veda punto precedente), e si continua sinch`e ∆P_P non supera

la quantit`a richiesta. Questo simula il fatto che generalmente si po- tenziano le centrali elettriche quando le linee di trasmissione sono gi`a state adeguate.

Questo algoritmo ha portato un’evoluzione del sistema nei termini ricer- cati: la massima potenza erogabile rimane prossima ma inferiore al punto critico, e cio porta la funzione di densit`a di probabilit`a ad avere andamento polinomiale. La nuova misura di criticalit`a `e il margine medio di potenza del generatore, quantit`a che converge in un intervallo di tempo ragionevole. Il valore medio `e approssimativamente:

D∆P P E = ∆P P    threshold− k 2NG

Introducendo un ritardo tra il riconoscimento del raggiunto limite nel mar- gine dei generatori e l’effettivo aumento di potenza, a rappresentare il tempo di costruzione, si ottiene lo stesso risultato che incrementando il valore di k nella precedente equazione.

Una volta identificati i punti critici, si pu`o esplorare la dinamica dell’auto- organizzazione. Dalla combinazione dei due algoritmi, si nota che il punto critico reale vicino al quale il sistema auto-organizzato opera `e quello dove i due punti critici sono vicini tra loro.

L’effetto combinato delle due forze summenzionate (aumento potenza ero- gata e aggiornamento linee) produce una funzione di distribuzione di pro- babilit`a con andamento polinomiale ben marcato. Successive simulazioni, anche con diversi modelli, ottengono simili andamenti, il che porta a pensa- re che questo sia caratteristico di questo tipo di fenomeni. Tale andamento si rivela anche molto simile a quello ricostruito in base ai dati ottenuti dai blackout effettivamente avvenuti (sul territorio nord-americano), e questo fa supporre che il modello OPA, anche grazie ai suddetti meccanismi di auto-organizzazione, sia in grado di riprodurre bene gli aspetti principali del sistema e la relativa evoluzione.

3.2.5 Distribuzione del numero di fallimenti

Considerando T come il trasferimento di carico dovuto a fallimenti, si pu`o calcolare medio di fallimenti hNout(j)i al passo j, avendo quindi

Tef f ≡ hNout(j)i 1 j

Si vede che Tef f non mostra una dipendenza forte da j eccezion fatta per la

prima iterazione, ma questo `e dovuto al cambio di probabilit`a di fallimento delle linee, da p0 a p1. Considerando il piano Γ − µ, ricordando che Γ `e

radice quadrata media della fluttuazione del carico, mentre µ `e la costante che influenza il potenziamento delle linee, e tracciando la curva corrispon- dente a Tef f(1) = 1, si possono distinguere due regioni. Nella regione dove

Tef f(1) > 1 sono possibili fallimenti a cascata, mentre nella regione comple-

mentare Tef f(1) < 1 questi sono impossibili (suppressed).

Effettuando varie analisi di reti ideali o di test, quali la rete IEEE a 118 bus, si nota che la curva dovuta a Tef f(1) = 1 varia nel piano Γ − µ, ma la forma

rimane grossomodo simile.

3.2.6 Risultati del modello

Il modello OPA permette di effettuare una stima dell’evoluzione di un siste- ma di trasmissione elettrica e delle dinamiche di un blackout a cascata. Il modello OPA incorpora un livello basilare di auto-organizzazione, sufficien- te per`o a catturare gli elementi fondamentali dei fenomeni come emergono dai dati dei blackout effettivamente avvenuti in Nord America. L’auto- organizzazione viene effettuata tenendo conto della crescita di richiesta e del corrispondente potenziamento del sistema. Il modello mostra una certa variet`a di possibili punti di transizione, collegati ai fallimenti delle linee o al superamento della capacit`a produttiva dei generatori. La determinazione di questi punti critici permette di distinguere le situazioni nelle quali i blac- kout a cascata distruttivi sono probabili da quelle in cui non sono possibili. Vicino ai punti critici il sistema mostra una distribuzione di probabilit`a di tipo polinomiale, in accordo con i dati sperimentali.