I modelli di assegnazione

Le probabilità di scelta del percorso giocano un ruolo molto importante nel modello complessivo di simulazione del sistema di trasporto, in quanto consentono di collegare le matrici origine – destinazione (O/D) dei singoli modi ai flussi sui percorsi e sugli archi delle reti modali, in funzione dei costi di percorso. I modelli che consentono di esplicitare questo legame sono i modelli di assegnazione. Per esplicitare in modo formale un modello di assegnazione, nella sua espressione generale, si suppone per semplicità che gli spostamenti considerati utilizzino un unico modo di trasporto, e

pertanto il grafo del sistema di trasporto per gli spostamenti considerati sia monomodale.

Il flusso medio sul percorso k relativo al modo m che collega la coppia di nodi centroidi O/D (con k ∈ Iodm) può essere ottenuto come prodotto del flusso di domanda

sul modo m, dod(m), per le probabilità di scelta del percorso, comunque calcolate:

  



d

F_k  _od  /

La quantità dod(m) è un elemento della matrice O/D relativo al modo m e si assume pari

alla somma dei flussi O/D per i diversi motivi:

 

_





S od

od m d m s

d /

Le probabilità di scelta del percorso dipendono sia dal costo sul percorso stesso, sia dal costo dei percorsi alternativi; in generale indicato con Cm il vettore dei costi di

percorso con il modo m e Pm matrice della percentuale di scelta, si può scrivere che:





m m P C

P 

Pertanto, se con dm viene indicato il vettore domanda ottenuto dalla matrice O/D, in

forma matriciale risulta:





m

m P C d

F  

Esprimendola in termini di flussi d’arco si ha:





m m

m A P C d

f  

essendo Am la matrice di incidenza archi-percorsi riferita al modo m, fm il vettore dei

Le relazioni precedenti consentono quindi di associare ad una data domanda di trasporto i corrispondenti vettori dei flussi di percorso e di arco, in funzione dei costi sulla rete. Tali relazioni costituiscono la rappresentazione formale del modello di assegnazione ad una rete monomodale. Naturalmente è possibile anche ottenere relazioni analoghe per reti multimodali. In generale, si parla di modello di assegnazione quando gli elementi della matrice P dipendono esclusivamente dai costi sugli archi della rete.

Affinché un vettore dei flussi possa essere considerato ammissibile, o fattibile, deve soddisfare due fondamentali condizioni: la condizione di non negatività e la condizione di conservazione della domanda. Secondo la prima per ogni percorso k ciascuna componente del vettore F deve essere maggiore o al limite uguale a zero:

0  k

F

la condizione di conservazione della domanda impone che data una coppia OD della rete la somma dei flussi di percorso di tutti i percorsi che collegano la coppia deve essere pari alla relativa domanda:



dove con bik di indica l’elemento della matrice di incidenza coppie OD/percorsi relativo

all’i-esima coppia OD.

L’insieme dei vettori F fattibili è detto insieme di fattibilità dei flussi di percorso SF:





S_F  : 0, 

Gli approcci con i quali vengono formulati e risolti i problemi di assegnazione sono diversi; di seguito viene presentata la classificazione che abitualmente viene utilizzata nel campo modellistico dei problemi di assegnazione alle reti.

Nella letteratura scientifica si distingue tra modelli deterministici e modelli stocastici a secondo che si simuli la scelta del percorso con un modello di scelta deterministico o stocastico. Per quanto riguarda il tipo di approccio, invece, si può distinguere fondamentalmente tra approccio statico o di equilibrio, quello tradizionalmente utilizzato e maggiormente studiato negli ultimi decenni, ed approccio dinamico, tuttora oggetto di ricerca. L’approccio statico o di equilibrio consiste nel ricercare quella configurazione del sistema, e quindi dei flussi (F* e f*), congruente con i costi che da essa derivano. In termini matematici il problema può essere formulato come segue:









P

F* * 

o anche in termini di flussi d’arco come:









AP

f* * 

I vettori F*, f*, d* e C* sono rispettivamente i vettori dei flussi, di domanda e dei costi di equilibrio. Pertanto, lo stato di equilibrio è quello ottimale in cui le relazioni tra domanda, flussi e costi sono soddisfatte, e non sussistono condizioni per cui lo stesso debba modificarsi. Matematicamente il problema dell’equilibrio può essere formulato come il problema di trovare un vettore di flussi che riproduca se stesso, sulla base della corrispondenza definita dal modello di domanda e di assegnazione. Inoltre si parla ancora di equilibrio deterministico o stocastico a secondo delle ipotesi fatte sul modello di scelta del percorso e quindi dal modo in cui vengono calcolati gli elementi della matrice P.

Un’ulteriore possibilità riguarda l’ipotesi di rete congestionata o non congestionata: nel primo caso, i costi sono funzione dei flussi sulla rete, mentre nel secondo caso sono costanti. La classificazione di tipo classica dei modelli di assegnazione dipende dalla congestione o meno della rete (fig. 2.2).

Figura 2.2. Classificazione principale dei modelli di assegnazione

Nel caso di rete non congestionata e modello di scelta del percorso di tipo deterministico l’algoritmo risolutivo utilizzato in letteratura è noto come Tutto o Niente (AoN dall’acronimo inglese All or Nothing): la domanda tra una coppia O/D viene assegnata tutta al minimo percorso che collega la coppia in esame, mentre ogni altro percorso risulta scarico. Procedendo in tal modo per tutta la rete e sommando per ogni arco l’aliquota di domanda O/D che utilizza l’arco stesso appartenente al percorso minimo tra O/D, si ottengono i flussi sull’intera rete di trasporto. Per le reti congestionate, invece, e modello di scelta del percorso sempre deterministico, l’algoritmo risolutivo utilizzato è il Deterministic User Equilibrium (DUE). In questo caso, essendo la rete congestionata e quindi i costi dipendenti dai flussi, si parla di equilibrio in quanto occorre trovare quel vettore di flussi tali che i costi corrispondenti riproducano i flussi stessi. Nel caso di modello di scelta del percorso stocastico, e rete non congestionata, il carico sulla rete si ottiene tramite i cosiddetti modelli di Stochastic

Network Loading (SNL).

Per ottenere i flussi sulla rete occorre calcolare la probabilità di scelta per ogni percorso che collega ogni coppia O/D; questo può essere fatto sia con un modello Logit che Probit, quelli più utilizzati nella pratica.

Infine, per le reti congestionate ed i modelli di scelta del percorso sempre di tipo stocastico, si utilizzano le procedure di assegnazione di equilibrio del tipo Stochastic

User Equilibrium (SUE). Di seguito sono elencati i modelli di assegnazione definiti in

letteratura: Deterministico Stocastico AoT SNL DUE SUE Modello di scelta del percorso Rete non congestionata Rete congestionata

 modello Deterministic Network Loading (DNL): modello di assegnazione a costi costanti per reti non congestionate e utilità percepita di tipo deterministico; la distribuzione del traffico avviene secondo il principio di Wardrop1;

 modello Stocastic Network Loading (SNL): modello di assegnazione a costi costanti per reti non congestionate e utilità percepita di tipo stocastico;

 modello Deterministic User Equilibrium (DUE): modello di assegnazione con flussi di domanda, di percorso e di arco congruenti con i relativi costi per reti congestionate e utilità percepita di tipo deterministico;

 modello Stocastic User Equilibrium (SUE): modello di assegnazione con flussi di domanda, di percorso e di arco congruenti con i relativi costi per reti congestionate e utilità percepita di tipo stocastico;

 modello Deterministic Dynamic Process (DDP): modello di assegnazione con flussi di domanda, di percorso e di arco incongruenti con i relativi costi per reti congestionate e utilità percepita di tipo deterministico;

 modello Stocastic Dynamic Process (SDP): modello di assegnazione con flussi di domanda, di percorso e di arco incongruenti con i relativi costi per reti congestionate e utilità percepita di tipo stocastico.