materiale è conservativo o iperelastico, invece nel caso più generale il materiale ha un comportamento dissipativo, e un tipico esempio di fenomeno dissipativo è la viscosità. La funzione densità di energia libera di Helmholtz esprime lo stato meccanico del materiale che è determinato dalla storia deformativa. Pertanto la funzione 𝜓 dipende sia dallo stato deformativo attuale, sia dagli eventuali fenomeni dissipativi che si sviluppano durante la storia di carico. Consegue che il primo passo nella formulazione del modello costitutivo è quello di definire l’espressione per la funzione 𝜓:
𝜓 = 𝜓(𝐂, 𝐪𝐢) 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}
con C termine che esprime la dipendenza dallo stato deformativo attuale caratterizzante il punto materiale, mentre i termini 𝐪𝐢 sono variabili interne che esprimono l’evoluzione microstrutturale subita dal punto materiale in conseguenza della storia di tensione/deformativa.
Si può dimostrare che, nota l’espressione di 𝜓, si formula il modello costitutivo sfruttando le seguenti relazioni: 𝑆(𝐂, 𝐪𝐢) = 2 𝜕𝜓(𝐂, 𝐪𝐢) 𝜕𝐂 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} 𝐷𝑖𝑛𝑡 = − ∑𝜕𝜓 𝜕𝐪𝑖 𝑛 𝑖=1 ∶ 𝐪̇𝑖 ≥ 0
D. Modelli costitutivi iperelastici
Sottoponendo i materiali a prove sperimentali, alcuni possono esibire un comportamento meccanico non lineare (es. tessuti biologici molli, ecc.). In particolare si hanno due condizioni: non linearità per geometria perché lo stato meccanico è caratterizzato da grandi deformazioni e questo rende necessario l’utilizzo di una teoria non lineare per la deformazione, non linearità per materiale perché c’è una non linearità nelle relazioni tra il campo delle tensioni e delle deformazioni e sviluppa fenomeni visco-elastici, ecc.
I modelli costitutivi iperelastici sono quelli che meglio descrivono il comportamento meccanico di materiali soggetti a grandi deformazioni.
In generale, un materiale si dice elastico quando la tensione dipende dal valore corrente della deformazione, in termini del primo tensore di Piola-Kirchhoff si scrive:
P=P(F(X))
con X vettore posizione (ipotesi di materiale omogeneo). Un materiale presenta un comportamento elastico sotto l’azione di una sollecitazione meccanica qualora non esibisca
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fenomeni dissipativi. L’assenza di fenomeni dissipativi, implica che il lavoro eseguito da una sollecitazione esterna lungo un processo di carico quasi statico viene completamente accumulato nella forma di energia elastica e completamente restituito nella fase di scarico. Quindi un modello costitutivo elastico definisce la biunivocità della relazione tensione deformazione (non necessariamente lineare) e in tale modello c’è: assenza di fenomeni deformativi permanenti e assenza di dissipazione energetica.
Un modello costitutivo elastico lineare è però formulato partendo dall’ipotesi di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento, quindi non è in grado di descrivere il comportamento di materiali soggetti a grandi deformazioni. Si deve perciò fare ricorso a modelli costitutivi più raffinati.
I modelli costitutivi in grado di descrivere le grandi deformazioni, che caratterizzano lo stato meccanico dei materiali, sono i modelli iperelastici.
I materiali iperelastici sono quei materiali per cui non c’è dissipazione, ovvero tutto il lavoro delle tensioni interne viene accumulato in forma reversibile entro il punto materiale, quindi Dint=0. Pertanto la densità di energia libera di Helmholtz dipende unicamente ed in modo biunivoco dallo stato deformativo attuale e coincide con un potenziale dello stato deformativo, detto densità di energia di deformazione:
𝜓(𝐂) = W(𝐂)
In generale, un materiale si dice iperelastico quando è possibile ammettere l’esistenza di una funzione densità di energia elastica tale che
W=W(C) S=2∂W(𝐂)
∂𝐂
L’esistenza di W corrisponde a dire che la tensione non dipende dal percorso deformativo, ma solo dallo stato deformativo. Questo corrisponde alla reversibilità delle deformazioni e dissipazione di energia nulla.
Nello stato indeformato: W(I)=0 e ∂W(𝐈)
∂𝐅 = 0 ovvero densità di energia elastica e tensioni sono nulle.
Alla luce di questi fatti, la formulazione di un modello costitutivo iperelastico si esaurisce definendo la dipendenza tra funzione densità di energia di deformazione W e lo stato deformativo C, infatti, la derivata parziale di W rispetto alla misura di deformazione fornisce il legame tra tensione, ad esempio S, e deformazione, ad esempio C. Inoltre, la formulazione della densità di energia di deformazione si basa sul comportamento meccanico evidenziato mediante le prove sperimentali e sulle caratteristiche di simmetria materiale.
Appendice
127 Sfruttando poi la relazione 𝛔 = 𝟏
𝐉𝐅𝐒𝐅𝐓 si ricava il legame in termini di tensione di Cauchy, essendo quest’ultima la misura di tensione utilizzata nel corso delle prove sperimentali.
Nel caso di materiale isotropo, W non dipende dal sistema di coordinate scelto e può essere espressa in funzione degli invarianti principali del tensore destro di Cauchy-Green o in funzione delle dilatazioni principali:
W=W(I1,I2,I3) W=W(λ1, λ 2, λ 3) I1=trC= 𝜆12+ 𝜆22+ 𝜆32
I2=1
2[I12− tr(𝐂2)] = (𝜆1𝜆2)2(𝜆2𝜆3)2(𝜆3𝜆1)2 I3=detC=(𝜆1𝜆2𝜆3)2=J2
Quindi la relazione tensione-deformazione è data da: S=2∂W ∂𝐂 = 2 ∑ ∂W ∂𝐈𝐢 ∂𝐈𝐢 ∂𝐂 3 𝑖=1
Nel caso di materiali incomprimibili, così definiti perché non variano il proprio volume quando sottoposti ad uno stato tensionale, vale:
det F=J= λ1λ2λ3≡1
Per un materiale iperelastico isotropo incomprimibile, W = W̃ (Ĩ1, Ĩ2) e lo stato di tensione è definito a meno della pressione idrostatica p che agisce sul materiale:
S=2∂W̃(Ĩ̃ ,Ĩ1 ̃ )2
∂𝐂 + pJ𝐂−1 ⇒ 𝛔 = 2𝐅∂W̃(𝐈̃ ,I𝟏 ̃ )2
∂𝐂 𝐅T+ p𝐈
dove Ĩ1, Ĩ2 sono gli invarianti principali della parte iso-volumetrica del tensore destro di Cauchy-Green (𝐂̃ = J−2 3⁄ 𝐂).
Entrambe le tensioni sono date da una parte deviatorica e una parte volumetrica rispettivamente.
La pressione idrostatica si ottiene imponendo le condizioni al contorno riferite al caso.
Considerando come esempio i materiali biologici, questi sono costituiti da una matrice isotropa rinforzata da gruppi di fibre con una specifica orientazione spaziale. In questo caso la funzione densità di energia elastica dipende sia dagli invarianti principali del tensore destro di Cauchy-Green, ma anche da invarianti di struttura che permettono la valutazione della deformazione dei singoli gruppi di fibre:
128 I4=a0⋅C⋅ a0
I5=a0⋅C2⋅ a0
con a0 il versore che fornisce la direzione locale delle fibre nella configurazione indeformata. L’invariante I4 ha il vantaggio di possedere una immediata interpretazione geometrica, ovvero rappresenta la dilatazione al quadrato delle fibre:
I4=a0⋅C⋅ a0=λ2
Questa tipologia di modelli, denominati come modelli iperelastici fibro-rinforzati, sono adottati per descrivere il comportamento di materiali anisotropi.