Per descrivere gli eetti dei venti stellari, della radiazione ionizzante e delle esplo- sioni di SNe nel mezzo interstellare considereremo solo casi ideali in cui il mezzo è
inizialmente indisturbato e presenta una struttura semplice, priva di campi magne- tici, fasi ionizzate o moti turbolenti e altre complicazioni che invece caratterizzano il vero mezzo interstellare; nei problemi che aronteremo assumeremo anche, dove non diversamente indicato, la simmetria sferica.
Con queste sempli cazioni possiamo sperare di sviluppare una comprensione basilare dell'interazione tra le stelle e il mezzo interstellare che le circonda.
3.3.1 Soluzioni autosimili
Esiste una classe di soluzioni analitiche di problemi idrodinamici molto utile agli scopi di ottenere una prima stima dei processi astro sici che avvengono nel mezzo interstellare: queste sono le soluzioni autosimili (Self Similar solutions [32]).
Questo tipo di soluzioni viene ottenuto tramite la semplice analisi dimensiona- le del problema che, in casi molto semplici, fornisce direttamente la soluzione. Il motivo principale risiede nell'assenza di costanti dimensionali nelle equazioni del- l'idrodinamica, caratteristica unica che le distingue dalle equazioni di altre teorie siche come la gravità, le cui equazioni contengono G, l'elettromagnetismo, in cui sono presenti c ed e, la meccanica quantistica, che richiede l'uso di ¯h.
3.3.2 Esplosione forte: soluzione di Sedov-Taylor
Un primo esempio di applicazione del metodo delle soluzione autosimili ci permette di ottenere la soluzione del problema di un'esplosione forte che rilasci un'energia E in un mezzo omogeneo con densità ρ. A nchè l'esplosione sia forte l'energia rilasciata deve essere molto maggiore dell'energia cinetica delle particelle del mezzo in cui l'esplosione avviene, ma questo è vero nel caso in cui consideriamo la temperatura del gas T ≈ 0.
Vogliamo trovare la legge di espansione per l'esplosione, cioè vogliamo ottenere R(t)utilizzando solo E e ρ [E] = m l2t−2 [ρ] = m l−3 E ρ = l5t−2 =⇒ R(t) = βE E ρ 1/5 t2/5 (3.13)
e questa è l'unica combinazione possibile (βE è una costante adimensionale). La
velocità dello shock si ottiene derivando rispetto al tempo R(t) VΣ=
dR dt =
2R 5t
Abbiamo così ottenuto l'evoluzione temporale della posizione dello shock e della sua velocità, a meno di un fattore numerico, senza aver risolto alcuna equazione.
Questa soluzione, che viene chiamata di Sedov-Taylor, rappresenta la prima sti- ma dell'evoluzione dell'esplosione di una Supernova nel mezzo interstellare dopo la fase di libera espansione, in cui l'egetto di massa m0 della supernova si muove
Soluzione Snowplow per l'esplosione forte
La soluzione di Sedov-Taylor presuppone che l'energia sia costante, cioè che non vi siano perdite di energia per irraggiamento, tuttavia questa assunzione spesso è valida solo per gli istanti iniziali dell'esplosione, poi l'irraggiamento non è più trascurabile e l'energia totale non si conserva. A questo punto è l'impulso che si conserva e possiamo raccordare la soluzione precedente con la nuova relazione
RΣ = βEs
Qt ρ
14
(3.14) dove Q rappresenta l'impulso dell'esplosione e βs
E un'altra costante adimensiona-
le. Questa soluzione è detta Snowplow (Spazzaneve) in quanto le relazioni di Rankine-Hugoniot isoterme prevedono subito dietro a questo tipo di shock la forma- zione di uno strato di materiale denso e relativamente freddo, proprio come avviene davanti a uno spazzaneve. Questo materiale si accumula in questa regione in seguito alle perdite di energia per irraggiamento e va a costituire uno shell, ovvero un guscio sottile2 costituito da materiale denso e freddo.
L'evoluzione di un'esplosione di supernova può allora essere schematizzata in quattro fasi:
1. In una prima fase si ha una espansione libera. Se E è l'energia dell'esplosione e m0 la massa dell'egetto v0=p2E/m0 e vale R(t) ∼ v0t
2. Lo shock si espande adiabaticamente e R(t) ∼ t2/5
3. L'irraggiamento diventa importante e la materia dopo lo shock raredda accu- mulandosi in uno shell denso e relativamente freddo. In questa fase l'espansione avviene a un tasso minore essendo R(t) ∼ t1/4
4. In ne la shell rallenta nchè non viene stabilito l'equilibrio con la pressione esterna del mezzo interstellare. A questo punto essa si muove alla velocità del suono nel mezzo e, non costituendo più uno shock per il mezzo che attraversa è destinata a dissiparsi. In quest'ultima fase R(t) ∼ cst .
La principale di coltà sta nel determinare i tempi scala di ciascuna fase, che dipen- dono principalmente dalle proprietà del gas nel mezzo interstellare e in particolare dall'e cienza dei processi di rareddamento [34].
3.3.3 Soluzione a luminosità costante: venti stellari
Consideriamo il caso in cui sia presente una sorgente di luminosità L in un mezzo interstellare di densità ρ. Come sempre ipotizziamo la simmetria sferica per il pro- blema, l'omogeneità del mezzo interstellare e l'assenza di campi esterni.
Utilizzando ancora una volta il metodo delle soluzioni autosimili otteniamo
2Sottile signi ca che dR/R 1, cioè che il guscio ha spessore dR molto piccolo rispetto alle
[L] = m l2t−3 [ρ] = m l−3 L ρ = l5t−3 =⇒ R(t) = βL L ρ 1/5 t3/5 (3.15)
cioè l'equazione che determina il raggio R dello shock a meno di una costante adimensionale (βL). La velocità dello shock si ottiene derivando rispetto al tempo
R(t) VΣ= dR dt = 3R 5t I venti stellari trasferiscono un'energia E = 1/2mv2
∞nel mezzo interstellare, energia
che dipende dalla velocità del vento v∞ e dalla massa espulsa con il vento stesso.
La luminosità è la derivata nel tempo di questa energia quindi per un vento stellare vale L = ˙mv2
∞. In questo modo è possibile calcolare, a partire da queste quantità,
l'evoluzione dello shock che si crea quando i venti con velocità molto maggiori della velocità del suono nel mezzo si propagano nell'ISM.
Soluzione Snowplow per un vento stellare
Anche un vento stellare può essere considerato adiabatico solo nella prima fase del- l'evoluzione dello shock, poi il rareddamento del gas fa sì che si debba nuovamente considerare l'impulso come quantità sica conservata. Si ottiene così una nuova soluzione RΣ= βLs ˙mv∞ ρ 14 t1/2 (3.16)
Anche in in questo caso quindi si tratta di raccordare le due semplici soluzioni trovate per ottenere un primo modello semplicistico per l'evoluzione dello shock generato dal vento stellare.