5.1.1 La legge dell’azione di massa (mass action law)
Consideriamo un sistema consistente di m sostanze chimiche C1, C2, . . . , Cmin gra-
do di reagire tra loro. La legge di reazione (dalla meccanica statistica) stabilisce che se queste sostanze reagiscono secondo la formula
λ1C1+ λ2C2+ . . . + λmCm→ μ1C1+ μ2C2+ . . . + μmCm,
la velocit`a alla quale la reazione procede `e ˙ r = kcλ1 1 c λ2 2 · · · c λm m , (5.1)
dove cj= [Cj] indica la concentrazione di Cj.
Salsa S, Vegni FMG, Zaretti A, Zunino P: Invito alle equazioni alle derivate parziali. c
La velocit`a (reaction rate) ˙r ha le dimensioni [moli]×[lunghezza]−3×[tempo]−1; k `e una costante dimensionale e λj, μj sono i coefficienti stechiometrici . Tipica-
mente ˙r sta tra 10−7 e 10−10 mol× m−3× s−1. La conservazione delle massa implica
m j=1 λjmj = m j=1 μjmj
dove mj `e la massa molare della sostanza j. Ricordiamo che, per la legge di
Avogadro, una mole di qualsiasi sostanza contiene lo stesso numero di molecole N = 6.022× 1023 (numero di Avogadro).
La conservazione della massa riferita ad ogni singola sostanza si pu`o scrivere nella forma dcj dt = μj− λj ˙ r. (5.2)
Esempio 5.1.La combustione dell’idrogeno `e descritta dalla reazione 2H2+ O2→ 2H2O,
con velocit`a di reazione proporzionale a h2o (h = [H
2] , o = [O2]).
Esempio 5.2.Una sostanza P decade in una sostanza A secondo la reazione P→ A.
Indicando con p ed a la concentrazione delle due sostanze, la reazione ha velocit`a proporzionale a p (con costante di proporzionalit`a k > 0) e le equazioni di reazione sono
dp dt =−kp
da dt = kp. Con dati iniziali p0 e a0 si trovano le soluzioni:
p (t) = p0e−kt a (t) = a0+ p01− e−kt. Essendo k > 0, p si estingue a velocit`a esponenziale.
Quando a =−k > 0 (cio`e k < 0) l’equazione dp
dt = ap
ha soluzione p (t) = p0eatche mostra una crescita esponenziale. Questo modello `e
detto di Malthus e si presenta in dimanica delle popolazioni, come vedremo. Esempio 5.3.Reazioni autocatalitiche. L’autocatalisi `e un processo in cui una sostanza `e coinvolta nella produzione di stessa. Per esempio:
5.1 Modelli di reazione 159
con velocit`a di reazione kab, per cui, maggiore `e la concentrazione b di B e pi`u rapidamente B `e prodotta. Le equazioni di reazione sono date da:
da
dt =−kab db dt = kab. Notiamo che, sommando le due equazioni si ricava:
d (a + b) dt = 0,
per cui a (t) +b (t) = a0+ b0. Ricavando a = a0+ b0−b e sostituendo nella seconda, si trova
db
dt = kb (a0+ b0− b) , che `e a variabili separabili. Risolvendo, abbiamo
b (t) = b0(a0+ b0) e
k(a0+b0)t
a0+ b0ek(a0+b0)t a (t) =
a0(a0+ b0) a0+ b0ek(a0+b0)t.
Si noti che a (t)→ 0 per t → ∞, mentre b (t) → a0+ b0. Esempio 5.4.Se consideriamo la doppia reazione
A + B 2B
e la concentrazione a di A `e tenuta costante, allora l’equazione per b diventa: db dt = kab− k −b2= akb ! 1−k− akb " ,
dove k−b2 `e la velocit`a della reazione opposta. Questo `e il modello logistico (de-
scritto nell’Esempio B.1) e la concentrazione limite `e b = ka/k−, asintoticamente stabile, con bacino di attrazione dato da (0, +∞) .
Anche questo tipo di modello `e importante in dinamica delle popolazioni. Il tipico andamento di una soluzione dell’equazione logistica `e indicato in Figura 5.1 (per p0= 1/3).
5.1.2 Inibizione, attivazione
Reazioni biochimiche avvengono continuamente in ogni organismo vivente e la maggior parte di esse coinvolge proteine, chiamate enzimi, che agiscono come ca- talizzatori. Gli enzimi reagiscono selettivamente su determinati composti, detti substrati. Per esempio, l’emoglobina nel sangue `e un enzima e l’ossigeno col quale si combina `e un substrato. Gli enzimi sono importanti nella regolazione di processi biologici, per esempio come attivatori o inibitori in una reazione.
Presentiamo alcuni modelli che descrivono alcuni aspetti, prevalentemente ci- netici, di reazioni biochimiche molto complesse. Questo riflette il fatto che in quasi
t u 1 1 / 3 t u 1 1 / 3
Figura 5.1. Andamento della soluzione dell’equazione logistica per ka/k−= 1 e p 0= 1/3
tutti i processi biologici, spesso non si sa con precisione quali reazioni biochimiche avvengano. Tuttavia si conosce l’effetto qualitativo di una variazione di un dato reagente o di una variazione delle condizioni operative.
Sono questi effetti che un modello di meccanismo deve cercare di riprodurre, per essere utile nell’eseguire predizioni. Questi modelli, quando tengono conto delle sole reazioni chimiche, sono costituiti da equazioni differenziali ordinarie.
Se i reagenti sono due, si trovano equazioni del tipo du
dt = f (u, v)
dv
dt = g (u, v) .
Si dice che u `e attivatore (inibitore) di v se gu > 0 (< 0) mentre v `e inibitore
(attivatore) di u se fv< 0 (> 0).
Le soluzioni costanti u (t)≡ u0, v (t) ≡ v0 del sistema si chiamano equilibri (steady states) e si trovano risolvendo il sistema algebrico
f (u, v) = g (u, v) = 0.
La stabilit`a lineare di una soluzione di un equilibrio (u0, v0) si trova considerando gli autovalori della matrice Jacobiana :
J (u0, v0) =∂f (u0, v0) ∂g (u0, v0) = ! fu(u0, v0) fv(u0, v0) gu(u0, v0) gv(u0, v0) " . Se λ1, λ2sono gli autovalori, si ha
TrJ = fu+ gu= λ1+ λ2 detJ =|J| = fugv− fvgu= λ1λ2.
Tra i risultati, richiamati nell’Appendice B, ricordiamo il seguente teorema. Microteorema 5.1.Se TrJ (u0, v0) < 0 e detJ (u0, v0) > 0 allora l’equili- brio (u0, v0) `e (localmente) asintoticamente stabile. Se detJ (u0, v0) < 0 oppure TrJ (u0, v0) > 0 allora (u0, v0) `e instabile.
5.1 Modelli di reazione 161
Esempio 5.5.Esaminiamo il meccanismo descritto dal seguente modello. du dt = a b + v− cu = f (u, v) dv dt = du− ev = g (u, v) dove a, b, c, d, e sono costanti positive.
L’interpretazione biologica del modello `e la seguente: u attiva v attraverso il termine du (gu= d > 0) ed entrambe u e v degradano linearmente (termini−cu e
−ev). Questo decadimento lineare si chiama decadimento cinetico del prim’ordine. Il termine a/ (b + v) indica un feedback negativo di v sulla produzione di u, poich´e quando v cresce rallenta la crescita di u e quindi di s´e stessa, indirettamente (fv=−a/ (b + v)2< 0 e d > 0). Questo `e un esempio di inibizione retroattiva.
Gli equilibri sono le soluzioni (positive, per il loro significato) del sistema
algebrico a
b + v − cu = 0 du− ev = 0. Si trova l’unica soluzione
u0=−eb 2d + 1 2 7 e2b2 d2 + 4ae cd , v0= du0 e . La matrice Jacobiana in (u0, v0) `e J (u0, v0) = , −c − a (v0+ b)2 d −e - . Quindi: TrJ (u0, v0) =−c − e < 0 detJ (u0, v0) = ec + ad (v0+ b)2 > 0,
per cui (u0, v0) `e asintoticamente stabile (in realt`a `e anche globalmente stabile). Esempio 5.6.Esaminiamo il meccanismo descritto dal seguente modello (Thomas 1975):
du
dt = a− u − ρR (u, v) = f (u, v) dv
dt = α(b− v) − ρR (u, v) = g (u, v) , dove a, b, α, ρ sono costanti positive e
R (u, v) = uv 1 + u + Ku2.
0 f < 0 f > 0 g < 10 15 20 25 30 35 40 45 y 0 20 40 x 60 80 100 0 g > 0 f < 0 f > 0 g < 10 15 20 25 30 35 40 45 y 0 20 40 x 60 80 100 0 g >
Figura 5.2. Modello di Thomas. Isocline f (u, v) = 0 (linea solida) e g (u, v) = 0 per a = 150, b = 100, α = 1.5, ρ = 13, K = 0.05
Nel modello u rappresenta la concentrazione di acido urico (attivatore) che reagisce con il substrato v (concentrazione di ossigeno, inibitore). Qui u e v sono prodotte a un tasso costante a e αb, decadono linearmente (−u e −αv) ed entrambe sono usate nella reazione R (u, v).
La forma di R mostra inibizione del substrato. Fissata v, se u `e piccola, R (u, v)∼ uv e quindi `e lineare in u mentre se u `e grande R (u, v) ∼ v/Ku.
Pertanto, se u `e piccola R cresce con u ma per u grande decresce con u. Le due isocline f (u, v) = 0 e g (u, v) = 0 si intersecano in un unico punto di equilibrio che risulta essere un fuoco asintoticamente stabile (Figura 5.2). Si vede che fu> 0 e gv< 0 nel punto di equilibrio; infatti, f (u, v0) passa da valori negativi
per u < u0a valori positivi per u > u0mentre g (u0, v) passa da valori positivi per v < v0 a valori positivi per v > v0).