3.4.1 Il caso omogeneo
In questa sezione ci occupiamo del problema di Cauchy (o ai valori iniziali ) globale, limitandoci alla dimensione 1; idee, tecniche e formule si estendono senza difficolt`a e con pochi cambiamenti al caso multidimensionale.
Cominciamo col problema omogeneo
ut− Duxx= 0 inR× (0, ∞)
u (x, 0) = g (x) inR,
dove g, il dato iniziale, `e assegnato. Il problema si presenta, per esempio, quando si voglia determinare l’evoluzione della temperatura o di una concentrazione di massa lungo un filo molto lungo (infinito), conoscendone la distribuzione al tempo iniziale t = 0.
Un ragionamento intuitivo porta a congetturare quale possa essere la soluzione, ammesso per il momento che esista e sia unica. Ritorniamo alla massa unitaria composta da un numero M 1 di particelle e interpretiamo u come concentrazione (o se si preferisce come percentuale) di particelle, nel senso che u (x, t) dx assegna la massa che si trova nell’intervallo (x, x + dx) al tempo t; allora g `e la concentrazione iniziale e vogliamo determinare la concentrazione in x al tempo t, dovuta alla diffusione della massa iniziale (Figura 3.4).
La quantit`a g (y) dy rappresenta la massa concentrata nell’intervallo (y, y + dy) al tempo t = 0 (Figura 3.4). Come abbiamo visto, la funzione Γ (x− y, t) `e una unit source solution, che descrive la diffusione di una massa unitaria inizialmente concentrata nel punto y. Di conseguenza,
ΓD(x− y, t) g (y) dy
fornisce la percentuale di massa che si trova in x al tempo t, dovuta alla diffusione della massa g (y) dy. Grazie alla linearit`a dell’equazione di diffusione, possiamo usare ora il principio di sovrapposizione, che permette di calcolare la soluzione come somma dei singoli contributi. Si trova cos`ı la formula:
u (x, t) = R g (y) ΓD(x− y, t) dy = 1 √ 4πDt R
g (y) e−(x−y)24Dt dy. (3.55)
90 3 Diffusione
Naturalmente, tutto ci`o `e euristico ed occorre usare un po’ di matematica per assicurarsi che le cose funzionino anche rigorosamente. In particolare bisogna ac- certarsi che, sotto ipotesi ragionevoli sul dato iniziale g, la (3.55) sia effettivamente l’unica soluzione del problema di Cauchy. Che questo non sia un controllo pere- grino `e dimostrato dal seguente contro-esempio di Tychonov, riguardante l’unicit`a della soluzione. Sia
h (t) =
exp$−t−2%per t > 0 0 per t≤ 0. La funzione (anche se un po’ anomala)
u (x, t) = ∞ k=0 h(k)(t) (2k)! x 2k, `
e soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale nullo. Poich´e anche u1(x, t)≡ 0 `e soluzione dello stesso problema, si deduce che, in generale, il problema di Cauchy non ha soluzione unica e che pertanto non `e ben posto.
Si vede poi che, se g cresce troppo per x → ±∞, cio`e pi`u di un esponenziale del tipo eax2, a > 0, la pur rapida convergenza a 0 della gaussiana non `e sufficiente
a far convergere l’integrale nella (3.55). 3.4.2 Esistenza della soluzione
Il seguente teorema assicura che la (3.55) sia effettivamente soluzione del problema di Cauchy sotto ipotesi abbastanza naturali sul dato iniziale, verificate in casi importanti per le applicazioni.
Teorema 3.5.Sia g una funzione limitata con un numero finito di punti di discontinuit`a inR. Allora:
i) la (3.55) `e ben definita e differenziabile fino a qualunque ordine inR× (0, +∞) e
ut−Duxx= 0.
ii) Se x0`e un punto in cui g `e continua, allora
u (y, t)→ g (x0) se (y, t)→ (x0, 0) , t > 0. iii)
|u (x, t)| ≤ max
R |g| ∀x, t ∈ R× (0, T ) .
Nota 3.4.La propriet`a i ) enuncia un fatto piuttosto interessante: anche se il dato iniziale `e discontinuo in qualche punto, immediatamente dopo la soluzione `e diventata continua e anzi dotata di derivate di ogni ordine (si dice di classe C∞). La diffusione `e quindi un processo regolarizzante, che tende cio`e a smussare le irregolarit`a. In Figura 3.5, il fenomeno `e illustrato per il dato iniziale g (x) = χ(−2,0)(x) + χ(1,4)(x).
La propriet`a ii ) indica che, se il dato iniziale `e continuo, allora la soluzione `e continua fino a t = 0.
−2 −1 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 x t
Figura 3.5. Effetto regolarizzante dell’equazione del calore
3.4.3 Il caso non omogeneo. Metodo di Duhamel Consideriamo ora l’equazione non omogenea
vt− Dvxx= f (x, t) inR× (0, T ) ,
v (x, 0) = 0 inR. (3.56) dove f rappresenta l’azione di sorgente distribuita che produca/tolga densit`a di massa al tasso f (x, t). Precisamente17: f (x, t) dxdt `e la massa prodotta/tolta (di-
pende dal segno di f) tra x e x+dx, nell’intervallo di tempo (t, t + dt). Inizialmente non `e presente alcuna massa.
Per costruire la soluzione nel punto (x, t), ragioniamo euristicamente come prima. Calcoliamo il contributo di una massa f (y, s) dyds, concentrata tra y e y+dy e prodotta nell’intervallo (s, s + ds). `E come se avessimo un secondo membro della forma f∗(x, t) = f (x, t) δ (x− y, t − s).
Fino all’istante t = s non succede niente e dopo questo istante δ (x− y, t − s) = 0, quindi `e come se cominciassimo da t = s e risolvessimo il problema
pt− Dpxx= 0, x∈ R, t > s,
con condizione iniziale
p (x, s) = f (y, s) δ (x− y, t − s) .
Quale pu`o essere la soluzione? Abbiamo gi`a risolto questo problema quando s = 0: la soluzione `e f (y, s) ΓD(x− y, t). Una traslazione nel tempo fornisce la soluzione
per s generico, e cio`e
p (x, t) = f (y, s) ΓD(x− y, t − s) ,
che rappresenta la percentuale di massa presente all’istante t, tra x e x+dx, dovuta alla diffusione della massa f (y, s) dyds. Il contributo totale (la soluzione) si ottiene per sovrapposizione e cio`e:
92 3 Diffusione
• sommando i contributi delle masse concentrate tra y e y + dy:
R
f (y, s) ΓD(x− y, t − s) dy;
• sommando ulteriormente i contributi in ciascun intervallo di tempo: t
0
R
f (y, s) ΓD(x− y, t − s) dyds.
La costruzione euristica che abbiamo presentato `e un esempio di applicazione del metodo di Duhamel, che enunciamo e dimostriamo nel nostro caso. Nello stesso tempo, indichiamo alcune ipotesi sotto le quali tutto funziona. Per semplicit`a, assumiamo che f sia una funzione limitata: esiste cio`e un numero positivo M tale che
|f (x, t)| ≤ M, per ogni x∈ R, t > 0.
Inoltre richiediamo che f e le sue derivate ft, fx, fxxsiano continue inR× (0, ∞).
Tecnicamente queste ipotesi si esprimono dicendo che f `e di classe C2(R) rispetto
ad x e C1(0,∞) rispetto a t.
Metodo di Duhamel. Per costruire la soluzione del problema (3.56), si eseguono i seguenti passi:
1. Si costruisce una famiglia di soluzioni del problema di Cauchy omogeneo, in cui il tempo iniziale, anzich´e essere t = 0, fissato, `e un tempo s > 0, variabile, ed il dato iniziale `e f (x, s).
2. Si integra la famiglia cos`ı trovata rispetto ad s, tra 0 e t. Eseguiamo i due passi.
1. La funzione Γy,s(x, t) = Γ
D(x− y, t − s) `e la soluzione fondamentale che
soddisfa, per t = s, la condizione iniziale
Γy,s(x, s) = δ (x− y)
e quindi, da quanto visto in precedenza, la funzione w (x, t, s) =
R
ΓD(x− y, t − s) f (y, s) dy
`
e soluzione del problema
wt− Dwxx= 0 x∈ R, t > s
w (x, s, s) = f (x, s) x∈ R (3.57) e pertanto coincide con la famiglia di soluzioni richiesta, nella quale il tempo iniziale ha il ruolo di parametro.
2. Integriamo w rispetto ad s; si trova v (x, t) = t 0 w (x, t, s) ds = t 0 R ΓD(x− y, t − s) f (y, s) dyds. (3.58)
Controlliamo: si ha, usando le (3.57), vt− Dvxx= w (x, t, t) +
t 0
[wt(x, t, s)− Dwxx(x, t, s)] = f (x, t) .
Inoltre v (x, 0) = 0 e pertanto v `e la soluzione cercata di (3.56).
Per la linearit`a dei problemi omogeneo e non omogeneo, la formula per il caso generale si trova per sovrapposizione delle (3.55) e (3.56). Sintetizziamo tutto nel Teorema 3.6.Sotto le ipotesi indicate su f e se g `e una funzione limitata con un numero finito di punti di discontinuit`a inR, la funzione
z (x, t) = R ΓD(x− y, t) g (y) dy + t 0 R Γ (x− y, t − s) f (y, s) dyds (3.59) `
e continua in R × (0, T ) con le sue derivate zt, zx, zxx ed `e l’unica soluzione del
problema di Cauchy non omogeneo
zt− Dzxx= f inR× (0, T )
z (x, 0) = g inR. (3.60) La condizione iniziale va intesa nel senso che, se x0 `e un punto di continuit`a di g, allora z (x, t) → g (x0) quando (x, t) → (x0, 0), t > 0. In particolare, se g `e continua inR, allora z `e continua in R×[0,T ).
Stabilit`a
Dalla formula (3.59) si ricava facilmente il seguente risultato di stabilit`a (per tempi finiti). Siano z1e z2 soluzioni di (3.60), con dati g1, f1e g2, f2 rispettivamente. Se le ipotesi del Corollario 3.2 sono soddisfatte, si ha
sup
R×[0,T ]|z1− z2| ≤ supR |g1− g2| + T supR×[0,T ]|f1− f2| .
Quindi, se il massimo scarto tra f1e f2e tra g1e g2tende a zero, anche il massimo scarto tra le soluzioni tende a zero. Il problema di Cauchy risulta cos`ı ben posto.
94 3 Diffusione Infatti, |z1(x, t)− z2(x, t)| ≤ R ΓD(x− y, t) |g1(y)− g2(y)| dy + + t 0 R
Γ (x− y, t − s) |f1(y, s)− f2(y, s)| dyds ≤ sup R |g1− g2| R ΓD(x− y, t) dy + + sup R×[0,T ]|f1− f2| T 0 R Γ (x− y, t − s) dyds = sup R |g1− g2| + T supR×[0,T ]|f1− f2| , essendo RΓD(x− y, t) dy = 1 e T 0 RΓ (x− y, t − s) dyds = T . Confronto
Dal principio di massimo e dalla formula di rappresentazione (3.59) si possono ricavare informazioni spesso interessanti per le applicazioni. Per esempio, da f ≥ 0 e g≥ 0 segue che anche z ≥ 0. Analogamente, se f1 ≥ f2 e g1≥ g2, e u1, u2sono le corrispondenti soluzioni, si ha
u1≥ u2.