Risulta conveniente provare a creare un modello analitico che stimi la pressione in ingresso al motore per futuri calcoli. L’idea è quella di risalire alla pressione in ingresso in camera tramite il momento generato in uscita al riduttore. Per fare questo è stato innanzitutto studiata la geometria statore-rotore.
Definiamo innanzitutto i parametri geometrici :
r = raggio rotore [mm];
e = eccentricità [mm];;
R = raggio statore [mm];
h = altezza sporgente della paletta [mm];
θ = riferimento angolar di posizione;
Figura 3-15 : parametri per la geometria del rotore.
( ) ( − ) √ − ( ) ( ) (3.1)
Assumendo che la risultante delle pressioni sulla paletta sia al centro dell’altezza, il braccio di questa risultante è pari a:
( ) ( ) √ ( ) ( ) ( 3.2)
Quindi indicando con L la lunghezza della paletta, il momento M creato dalla pressione p (assoluta) agente su una faccia della paletta di può calcolare come:
( )
(( − ) √ − ( ) ( ) ) ( ( ) √ ( ) ( ) ) ( 3.3)
Siccome anche la pressione p dipende dalla posizione della paletta (e quindi dall’angolo) e da quale paletta si sta considerando si è cercato di analizzare varie posizioni del rotore per trovare quelle più significative.
Le posizioni adottate per il calcolo sono quattro e si possono riassumere nel seguente elenco: 1) Posizione di chiusura; 2) Posizione di prescarico; 3) Posizione precritica; 4) Posizione critica; 5) Posizione intermedia; 1) POSIZIONE DI CHIUSURA
La prima posizione esaminata è quella definita di chiusura. La paletta 1 e 2 hanno appena isolato il volume contenuto tra di esse.
A monte della paletta 2 è presente la pressione di mandata (Pm), tra le 2 palette, essendo appena stato isolato, la pressione (P1-2) nel volume è pari alla pressione Pm. A valle della prima paletta c’è la pressione di scarico (Ps). Le altre palette non stanno comprimendo o isolando zone a pressione diversa quindi è stata supposta anche li la pressione di scarico.
La pressione di mandata Pm può allora essere calcolata come:
( 3.4)
Con:
C = coppia da erogare al rotore;
h1 = altezza paletta 1;
b1 = braccio paletta 1;
L = larghezza paletta;
Ps = pressione allo scarico; 2) POSIZIONE DI PRESCARICO
La seconda posizione esaminata è detta di scarico. Il volume isolato dalle palette 1 e 2 si è espanso e sta per essere scaricato allo scarico.
Figura 3-17 : posizione di prescarico.
A monte della paletta 2 agisce la pressione di mandata Pm mentre a valle della paletta 2 agisce la pressione di scarico. Il volume contenuto tra la paletta 1 e 2 ha subito una espansione. Se assumiamo l’espansione adiabatica, assumendo il gas ideale, la pressione finale Pf di espansione vale:
( ) (3.5)
Con:
Vi = volume iniziale;
Vf = volume finale;
K = cp/cv =1.4;
Pi = pressione iniziale (uguale a Pm);
Chiamando x = ((Vi)/Vf)^k = rapporto di espansione, si può scrivere:
3) POSIZIONE PRECRITICA
La terza posizione esaminata è detta precritica. Il volume isolato dalle palette 1 e 2 si è stato scaricato allo scarico e le palette 2 e 3 hanno appena intrappolato un volume.
Figura 3-18: posizione precritica.
A monte della paletta 1 agisce la pressione di mandata Pm, a valle della stessa invece quella di scarico. Siccome il volume isolato deve ancora essere compresso la pressione a monte e valle delle palette 2 e 3 è anche lei quella di scarico.
La pressione di mandata Pm può allora essere calcolata come:
( 3.7)
4) POSIZIONE CRITICA
La quarta posizione esaminata è detta critica. Il volume isolato dalle palette 2 e 3 è stato compresso e oppone resistenza alla rotazione in virtù della maggior fuoriuscita della paletta 2 rispetto alla 3.
A monte della paletta 1 è presente la pressione di alimentazione, a valle la pressione di scarico. La paletta 2 invece è sottoposta da un lato alla pressione di scarico, mentre dall’altro alla pressione P2-3. La paletta 3 è nella stessa situazione solo che i lati sono invertiti. La maggior altezza della paletta 2 fa si che la spinta dovuta alla pressione P2-3 abbia un effetto frenante sul rotore. Siccome la variazione di volume in compressione è la stessa di quella calcolata per l’espansione, si può riutilizzare il termine del rapporto di espansione per il calcolo della Pm:
( )( )
( 3.8)
5) POSIZIONE INTERMEDIA
La quarta posizione esaminata è detta intermedia. Il volume isolato dalle palette 2 e 3 si è scaricato allo scarico e il volume tra la paletta 1 e 5 deve ancora essere isolato.
Figura 3-20 : posizione intermedia.
La pressione a monte e a valle (P1-2) della paletta 5 è quella di mandata, come quella a monte della paletta 1 mentre a valle invece è presente la pressione di scarico. Lo stesso vale per le palette 2 e 3 entrambe sottoposte a monte e a valle alla pressione di scarico (P2-3 = Ps).
La pressione di mandata Pm può allora essere calcolata come:
( 3.9)
Arrivati a questo punto la pressione Pm intesa per dare la coppia media M è calcolata come la media delle pressioni di queste 5 posizioni:
Nelle precedenti espressioni si è visto come nel calcolo comparisse la coppia M che deve erogare il rotore. Nel calcolare M bisogna tenere conto di 2 fattori:
La presenza del riduttore;
L’attrito sempre maggiore generato dalle elevate velocità di rotazione;
Se si indica con η il rendimento del riduttore e k il rapporto di riduzione, il valore del momento in ingresso al riduttore vale (in movimento):
( 3.11)
Il secondo aspetto da considerare è il fatto che all’aumentare del regime di rotazione l’attrito della palettatura aumenta creando una coppia di attrito sempre più forte. Siccome la forza premente è proporzionale al quadrato della velocità di rotazione, si deduce che all’aumentare della velocità aumenta la parte di coppia prodotta dalla pressione utilizzata per vincere questa coppia di attrito. Si è quindi pensato di introdurre un secondo rendimento che possa variare con la velocità di rotazione secondo la seguente espressione:
− ( )
( 3.12)Con:
n = numero di giri in uscita dal riduttore;
n* = numero di giri vuoto del riduttore;
c = costante compresa tra 0 e 1;
Il momento C quindi che deve essere creato dalle pressioni agenti sulle palette può essere scritto (per n≠0) come:
( ( ) )
( 3.13)
Mentre per n=0 non essendoci nessuna dissipazione di coppia, nemmeno al riduttore :