Parte dello studio del presente lavoro di tesi ha previsto un approfondimento sulla modellazione e simulazione della dinamica di un dito della mano Prensilia IH2 Azzurra.
Questo non pecca in generalità, poiché tutte le dita della mano robotica sono uguali. Di non semplice modellazione sono stati i vincoli meccànici e l’àttrito (statico e dinamico), presente in maniera evidente nella struttura reale. Si sono in seguito effettuate delle scelte sui modelli implementati, per migliorare i tempi di risposta e validare il comportamento dinamico in simulazione, assicurandone la coerenza con gli esperimenti reali fatti sulla mano robotica.
La dinamica del dito è stata modellata secondo la teoria classica della robotica, utilizzando la convenzione di Denavit-Hartenberg per la definizione dei sistemi di riferimento relativi sul dito e per il calcolo dei jacobiani.
Figura 4.2.1: Convenzione Denavit-Hartenberg utilizzata per modellizzare un dito Link
1 0 0
In (5) si riporta la dinamica del sistema a due gradi di libertà in esame. ( ) * ( ( )) ( ( )) ( ( )) + ( ̇) [ ̇ ̇ ( ) ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) ] ( ) [ (( ( ) ( ) ( ( )) ( )) ]
Dove la variabile rappresenta la posizione angolare del link i-esimo, ̇ la velocità angolare, è l’inerzià, la massa, la lunghezza del link , il centro di massa e g è l’àcceleràzione di gràvit{.
Essendo la struttura di ogni dito uguale, la descrizione che segue verrà fatta per il generico dito.
4.2.1 – Coppia motrice
Entrambi i giunti presenti sono di accoppiamento rotoidale, su di essi sono applicate coppie resistenti dovute àll’àttrito e alle molle torsionali e coppie motrici generate dalla tensione del tendine attuato sulle pulegge. Per lo studio delle tensioni sul tendine viene utilizzata l’àpprossimazione di cavo inestensibile, che risulta plausibile poiché i carichi a cui esso è soggetto sono inferiori alla tensione massima da catalogo. Le coppie motrici ai giunti si calcolano quindi moltiplicando la tensione del cavo per il raggio della relativa puleggia (6).
dove il pedice i sta ad indicare la i-esima puleggia.
4.2.2 – Coppia resistente delle molle
Per il calcolo delle coppie resistenti dovute alle molle, va tenuto in considerazione un valore di precarico per ogni molla.
∑ ∑ ( )
Il valore di ogni precarico e di ogni costante di rigidezza , mostrati nelle equazioni (3) e (4), è stato scelto per garantire un movimento conforme a quello che segue la mano umana.
4.2.3 – Coppia di attrito
L’àttrito presente nella struttura è dovuto allo sfregamento del tendine contro le superfici delle pulegge, al passaggio del tendine àll’interno della guaina che funge da guida (bowden
cable) e àll’àccoppiàmento vite – madrevite relativo alla slitta. Esso genera una coppia di
attrito , per cui sono stati pensati diversi modelli per rappresentarla, partendo dal caso più semplice dell’attrito viscoso, fino ad arrivare alla forma più dettagliata:
(6)
1. Attrito coulombiano:
( ̇)
dove è la coppia di attrito statico, ̇ è la velocità angolare del link i-esimo e la funzione sign( ) è definita come:
( ) ,
Figura 4.2.3.1: Attrito coulombiano
2. Attrito coulombiano e viscoso:
( ̇) ( ̇)
dove è il coefficiente di attrito viscoso, è la coppia di attrito statico e ̇ è la velocità angolare del link i-esimo.
Figura 4.2.3.2: Attrito coulombiano e viscoso
(8)
(9)
3. Attrito coulombiano, statico e viscoso:
{ ( ̇ ̇) ( ̇ )
Figura 4.2.3.3: Attrito coulombiano, statico e viscoso
4. Attrito coulombiano, statico e viscoso, che tiene conto dell’effetto Stribeck:
( ( ) | ̇|) ( ̇ ) ̇
dove è la coppia di attrito statico, è la coppia di primo distacco, è un coefficiente che serve à decidere là pendenzà dell’àttrito di Stribeck (Figura 4.2.3.4), è il coefficiente di attrito viscoso e ̇ è la velocità angolare del link i-esimo.
(11)
Figura 4.2.3.4: Attrito coulombiano, statico e viscoso, che tiene conto dell’effetto Stribeck
Una volta calcolata la coppia di primo distacco in maniera sperimentale, il valore dei coefficienti è stato trovato empiricamente, in modo da adattarli al caso in esame. Per una trattazione più completa riguardante i calcoli della coppia si rimanda alla
sezione relativa allo studio sul motore.
Una versione semplificata dell’espressione (12) è stata ricavata da [2], essa risulta migliore in fase di simulazione, nonostante entrambe appesantiscano eccessivamente la velocit{ di càlcolo dell’àmbiente Màtlàb-Simulink.
( ( ̇) ( ̇ ) ( ̇) ( ̇
Figura 4.2.3.5: Formula semplificata dell’attrito coulombiano, statico e viscoso, che tiene conto
dell’effetto Stribeck
A causa dell’eccessivà complessità computazionale, in fase di simulazione si è reso necessàrio scegliere l’espressione dell’àttrito viscoso
̇
come àpprossimàzione dell’àttrito sul dito. Sviluppi futuri potranno essere effettuati utilizzando una delle espressioni più complesse sopra elencate, avvalendosi di mezzi di calcolo più potenti.
4.2.4 – Vincoli meccanici
Il sistema in esame presentà dei vincoli meccànici che ne gàràntiscono l’integrit{ e la correttezza dei movimenti. Essi sono presenti sulla struttura del dito, alla base di ogni falange.
Figura 4.2.4.1: Schematizzazione del dito che mostra gli angoli di rotazione delle due falangi
Con riferimento alla Figura 4.2.4.1, entrambe le falangi presentano due vincoli, uno che permette là posturà verticàle e l’àltro che permette là rotazione fino a una determinata soglia di chiusura.
Posto il verso di rotazione positivo in senso orario e lo zero sull’àsse y del sistema di riferimento mostrato in Figura 4.2.4.1, la prima falange può ruotare di un angolo
gradi, mentre la seconda falange può ruotare di un angolo gradi. I vincoli meccanici sono stati modellizzati inizialmente utilizzando delle saturazioni sulla posizione e la velocità angolare di ogni falange.
Tale scelta, nonstante fosse concettualmente la più semplice, si è rivelata inapplicabile in fase di simulazione, a causa dei forti problemi di integrazione che gli algoritmi di solver hanno incontrato nell’integràzione delle equazioni dinamiche.
Il Figura 4.2.4.2 è mostràtà l’evoluzione libera della dinamica del dito, che ha un comportamento assolutamente non conforme alla realtà.
Figura 4.2.4.2: Evoluzione dei segnali di posizione, velocità e accelerazione ai giunti nel caso di
sistema in evoluzione libera con condizioni iniziali di posizione angolare dei giunti * +
Si nota come le velocità non rispettino il vincolo del contatto, che viene imposto dalla presenza delle saturazioni sulla posizione angolare di ogni giunto. Le velocità infatti non vanno a zero quando il dito raggiunge i vincoli meccanici del sistema.
Questo problema si ripercuote su un eventuale controllo implementato, in quanto i controlli classici sui manipolatori (Coppia Calcolata, Controllo alla Arimoto, etc..) richiedono in ingresso almeno i segnali di posizione e velocità del sistema. Questo genera un’erràtà interpretàzione dellà dinàmicà dà pàrte del controllore e di un comportamento non conforme àll’evoluzione fisica da parte del sistema dinamico. In Figura 4.2.4.3 viene
mostrata l’evoluzione del dito sotto l’àzione di comàndo dellà Coppià Càlcolàtà applicata al modello dinamico descritto in precedenza.
Figura 4.2.4.3: Evoluzione dei segnali di posizione, velocità e accelerazione ai giunti nel caso di
controllo a Coppia Calcolata con condizioni iniziali di posizione angolare dei giunti * +
Si nota come le velocità non rispettino il vincolo del contatto imposto dalla presenza delle saturazioni sulla posizione angolare di ogni giunto.
Per risoltere questo problema si è deciso di modellizzare i vincoli meccanici con un sistema molla-smorzatore, dove la molla è torsionale e la sua forza di reazione è applicata ai giunti del manipolatore. I vincoli si attivano quando il link, durante la sua rotazione, si trova vicino a uno dei fine corsa meccanici.
Figura 4.2.4.4: Modellizzazione del vincolo meccanico con un sistema molla torsionale-smorzatore
Sistemi simili a quello proposto vengono utilizzati in letteratura per simulare urti non elastici e modelli di contatto [11].
I vincoli meccanici così modellizzati, generano una coppia resistente che blocca la rotazione del giunto e che si àttivà solàmente nell’intorno del vincolo stesso:
{ ( ) ̇
e sono rispettivamente la costante di rigidezza della molla e il coefficiente di smorzamento.
Questa implementazione ha risolto le problematiche precedentemente esposte ottenendo comportamenti coerenti con la dinamica prevista, come mostrato in Figura 4.2.4.5.
Figura 4.2.4.5: Evoluzione dei segnali di posizione, velocità e accelerazione ai giunti nel caso di
evoluzione libera del sistema con condizioni iniziali di posizione angolare dei giunti * +
Stavolta i risultati del controllo a Coppia Calcolata sul secondo modello dinamico sono corretti da un punto di vista fisico: la velocità del dito quando tocca i vincoli meccanici diventa nulla e il controllo gestisce una dinamica di evoluzione corretta del sistema:
Figura 4.2.4.6: Evoluzione dei segnali di posizione, velocità e accelerazione ai giunti nel caso di
controllo a Coppia Calcolata con condizioni iniziali di posizione angolare dei giunti * +
4.2.5 – Validazione del modello dinamico
Per la validazione del modello dinamico del dito, scritto secondo la teoria classica della robotica, sono state calcolate le coppie e le forze presenti lungo tutta la struttura del dito, a partire dalla coppia generata dal motore fino al momento di rotazione della falange distale. La coppia generata dal motore è stata calcolata misurando la corrente che lo attraversa , moltiplicata per la costante di coppia del motore ottenuta da datasheet:
Un sistema di riduzione è presente per aumentare la coppia applicata sulle pulegge del dito, esso è composto da un riduttore sul motore, un sistema di ruote dentate e l’àccoppiàmento vite-madrevite della slitta a cui è fissato il tendine. La schematizzazione dei rapporti di riduzione e le relative coppie generate è mostrata in Figura 4.2.5.1.
Figura 4.2.5.1: Schematizzazione dei rapporti di riduzione tra motore e dito, con le relative coppie e
forze generate e i valori dei rispettivi rapporti di riduzione
L’espressione che legà là tensione sul tendine alla coppia generata dal motore è:
dove è il passo della vite su cui si muove la slitta, d è il termine che tiene conto dei precedenti rapporti di riduzione e dei loro rispettivi rendimenti e vale:
(16)
( )( )
e è la costante di scostamento della forza generata dal tiro della slitta rispetto al suo massimo valore ideale. Tale costante è dovuta al fatto che il tendine non è fissato alla slitta in linea con il suo asse di scorrimento, ma è decentrato di una quantità , pertanto la forza generata dalla slitta è inferiore al valore che si otterrebbe se il punto di fissaggio non fosse fuori asse. Questa scelta è giustificata dalla necessità di adattare le dimensioni della slitta alla grandezza del palmo della mano, infatti decentrando il punto di fissaggio si può avere una trasmissione su cui scorre la slitta di lunghezza minore, rispettando le specifiche di compattezza della mano robotica.
Utilizzàndo l’espressione (17) è stato possibile calcolare la tensione di spunto del dito generata dal tendine, insieme ad altri valori di tensione relativi a diverse posizioni angolari. Tali valori sono necessari per la validazione del modello dinamico attraverso i dati sperimentali, infatti per ogni posizione angolare del dito vi è un corrispondente valore di tensione sul tendine, in questo modo è stato possibile validare il modello dinamico per un numero di n punti grande a piacere.
Poiché ad ogni valore di tensione sul tendine corrisponde una particolare configurazione del dito e, nello specifico, della falange distale , i valori utili per la validazione del modello dinàmico sono il risultàto dell’equilibrio cineto-statico del dito.
La trattazione dell’equilibrio cineto-statico sarà esposta nel seguito, nel paragrafo 5.6.1. (18)
Controllo del sistemà
La mano robotica Prensilia IH2 Azzurra aveva inizialmente implementato un controllore PID, che le permetteva di compiere determinate prese e posizioni, riuscendo ad arrivare nella posizione desiderata e a mantenerla a motore spento, sfruttando la coppia di stallo del motore in corrente continua.
Il controllo realizzato nel presente lavoro di tesi ha puntato a migliorare le prestazioni di quello precedente, garantendo un controllo più robusto, una velocità più omogenea di movimento (per simulare i movimenti di una mano umana), operare le prese senza superare una specifica soglia di corrente e reiettàre infine i disturbi. All’àzione di controllo del PID è stato associato inizialmente un feedforward, per rendere il sistema più reattivo nell’inseguimento del riferimento, in seguito è stàto implementàto un Disturbance Observer, allo scopo di reiettare i disturbi esogeni e il rumore di misura. In ultima analisi è stato implementato un controllo a Coppia Calcolata, secondo la teoria classica della robotica dei manipolatori.
L’ànàlisi delle prestàzioni del controllo con PID gi{ presente sullà màno è stata eseguita e sono stati ricavati dei risultati che verranno nel seguito confrontati con le altre tipologie di controllo proposte. Si dimostrerà quindi come i nuovi controllori garantiscano una màggiore robustezzà, l’esecuzione di pàrticolàri specifiche (ad es. controllo in corrente senza superare una soglia fissata) e la reiezione dei disturbi esogeni (attrito e nonlinearità) e del rumore di misura.