Modello fotometrico multigaussiano (MGE)

Il secondo metodo tentato per ottenere la distribuzione di brillanza superficiale della galas-sia utilizza l’algoritmo di espansione multi gausgalas-siana (MGE, dall’inglese Multi-Gausgalas-sian

Expansion), che consiste nell’espansione in serie di funzioni gaussiane bidimensionali (Cap-pellari 2002). Il formalismo MGE4 ha il vantaggio, rispetto ad altri metodi, di una maggiore flessibilità nel riprodurre in modo realistico la brillanza superficiale dell’ogget-to consideradell’ogget-to, ma non riesce a distinguere il contribudell’ogget-to delle singole componenti. Sia (x0, y⁰, z⁰) un sistema di coordinate centrato nel nucleo della galassia, con l’asse z0 puntato in direzione dell’osservatore. La brillanza superficiale proiettata si può scrivere come:

Σ(R0, θ⁰) = N X j=1 L_j 2πσ2 jq_j⁰ exp " − 1 2σ2 j x⁰²_j +^y 02 j q⁰²_j !# (4.15) con x⁰_j= R0sin(θ0− ψ_j) (4.16) y_j⁰ = R0cos(θ0− ψ_j) (4.17)

dove (R0, θ⁰) sono le coordinate polari sul piano del cielo (x0, y⁰). N è il numero di com-ponenti Gaussiane, con luminosità Lj, rapporto assiale osservato 0 ≤ q0

j ≤1, dispersione

σj lungo l’asse maggiore e angolo di posizione ψj, misurato in senso antiorario dall’asse

y⁰ all’asse maggiore della gaussiana. Il modello MGE si ottiene sommando i contributi di tutte le N gaussiane utilizzate. Per poter confrontare il risultato ottenuto con la brillanza superficiale osservata bisogna fare la convoluzione con la PSF strumentale, cioè la PSF dovuta all’apertura dello strumento utilizzato. Assumendo che la PSF normalizzata si possa scrivere come somma di M gaussiane circolari:

P SF(R0) = M X k=1 G_k 2πσ?2 k exp − ^R 02 2σ?2 k ! (4.18) dove PM

k=1G_k= 1, possiamo scrivere il risultato della convoluzione come: ¯Σ(R0, θ⁰) = L M X k=1 G_k 2π¯σ2 k¯q0 k exp " − 1 2¯σ2 k x⁰²+^y_¯q⁰²₀₂ k !# (4.19)

4Il pacchetto MGE per IDL è disponibile in https://www-astro.physics.ox.ac.uk/∼mxc/software/. IDL è distribuito da ITT Visual Information Solution. É disponibile all’indirizzo http://www.ittvis.com

Capitolo 4 dove ¯σ2 k= σ2+ σ?2 k (4.20) ¯σ2 k¯q02 k = σ2q⁰²+ σ?2 k . (4.21)

Per risolvere il problema della convergenza dell’interpolazione MGE si possono utiliz-zare due metodi: l’interpolazione monodimensionale (1D) e quella bidimensionale (2D). Nel metodo 1D si campiona logaritmicamente in raggio il profilo di brillanza superficiale. Questo viene fatto per migliorare il rapporto segnale-rumore (S/N) a grandi raggi, senza deteriorare le informazioni a piccoli raggi. Successivamente si chiede che l’interpolazione ottimizzi l’errore relativo, minimizzando

χ²=X^M j=1 " Cj−Σ(Rj) Cj #2 (4.22) dove M è il numero di punti fotometrici Cj nel profilo, Rj sono i corrispondenti assi maggiori delle isofote e Σ(R) è la versione 1D dell’Eq. 4.15. Il metodo si può estendere per interpolare immagini 2D, chiedendo che il risultato sia uguale a quello del caso 1D quando l’algoritmo viene utilizzato su immagini 2D che hanno lo stesso profilo del caso 1D lungo l’asse maggiore, isofote perfettamente ellittiche, con rapporto assiale e angolo di posizione costanti. Per fare ciò si interpolano in parallelo il modello MGE dato dall’Eq. 4.15 in coordinate polari ad un certo numero (Nsec) di profili fotometrici misurati in settori spaziati uniformemente in angolo, dall’asse maggiore a quello minore. I settori corrispondenti ai quattro quadranti vengono mediati prima dell’interpolazione e tutti i profili includono il pixel centrale. A questo punto la fotometria lungo i settori è spaziata logaritmicamente lungo il raggio ellittico m02= x02+y⁰²

q02, dove q0 è il rapporto assiale delle isofote della galassia. Il metodo MGE può essere applicato anche a galassie aventi angolo di posizione variabile con il raggio (Cappellari 2002). Assumiamo che q0 sia costante. Anche in questo caso σj deve essere spaziato logaritmicamente e q0

j può essere assunto uguale al rapporto assiale rappresentativo della galassia, che rappresenta una buona approssimazione del modello con ellitticità variabile. Assumiamo inizialmente che l’angolo di posizione

ψj della gaussiana Gj sia uguale al PA dell’isofota con semiasse maggiore a = σj. Il PA delle altre isofote può essere misurato prima dell’interpolazione con il pacchetto per la fotometria. Una volta ottenuti i parametri fotometrici con MGE bisogna convertirli dalle unità strumentali in unità fisiche. In particolare, possiamo convertire la luminosità totale (in e−) di ogni gaussiana nella corrispondente brillanza superficiale centrale C0 in e− pixel−1 utilizzando la seguente formula:

C₀= ^Lj

2πσ02

j q_j^{0 .} (4.23)

La brillanza superficiale può essere a sua volta convertita in mag arcsec−2 tramite la seguente formula: µ₀= −2.5log^C0 A  + ZP − Aλ (4.24) 60

Analisi fotometrica della controparte ottica di HLX-1

Figura 4.15: Interpolazione di MGE sull’immagine IBIX02030 svolta utilizzando N = 2 gaussiane. I grafici a sinistra mostrano le gaussiane interpolate (curve nere) e i profili radiali di brillanza superficiale (curva blu) calcolati lungo settori di 5◦ spaziati uniforme-mente in angolo tra l’asse maggiore (0◦) e quello minore (90◦). I grafici a destra mostrano la variazione radiale dell’errore percentuale lungo i profili.

dove A è l’area della superficie di un pixel in arcsec2, ZP è il punto zero fotometrico nel filtro considerato e Aλ è il coefficiente di estinzione (Tab. 4.2). Per ricavare il modello MGE della brillanza superficiale bisogna fornire al programma l’immagine della galassia e quella della maschera prodotta con ELLIPSE, le medie pesate dell’angolo di posizione, dell’ellitticità e della brillanza superficiale del cielo, lo scarto quadratico medio del cielo, le coordinate del centro della galassia, la scala dell’immagine e la FWHM. I valori utilizzati sono riportati in Tab. 4.11.

Questo algoritmo è stato usato con successo per descrivere la distribuzione di luce di diversi campioni di galassie (Cappellari 2002, Lablanche et al. 2012). Il programma tuttavia non è riuscito ad interpolare il profilo di brillanza superficiale di ESO 243-49. In particolare l’interpolazione delle gaussiane non converge e questo si traduce in errori grandi (Fig. 4.15).

Capitolo 4 Parametro Valore x [pixel] 1302 y [pixel] 2583 hPAi [◦] 90 hei 0.710 I_cielo [e− pixel−1] 0.0013 rms_cielo [e− pixel−1] 0.0055 FWHM [pixel] 2.03

scala [arcsec pixel−1] 0.03962

Tabella 4.11: Parametri iniziali utilizzati per l’interpolazione MGE dell’immagine IBIX02030. Le righe riportano le coordinate del centro della galassia (x e y), l’angolo di posizione (hPAi), l’ellitticità (e), la brillanza superficiale (Icielo) e la deviazione standard del cielo (rmscielo), la FWHM della PSF e la scala dell’immagine (scala).

Figura 4.16: Mappa delle isofote (curve nere) della regione centrale della galassia ESO 243-49 e delle corrispondenti isofote ottenute dall’interpolazione di MGE (curve rosse) sull’immagine IBIX02030. Il campo inquadrato dall’immagine è di 13 × 13 arcsec2.

Gli errori si traducono in una mappatura errata della distribuzione di brillanza super-ficiale della galassia. Infatti come si può vedere in Fig. 4.16 le isofote interpolate da MGE (curve rosse) non riescono a riprodurre la reale distribuzione di brillanza superficiale della galassia (curve nere). Questo è dovuto al fatto che la galassia, oltre ad essere vista di taglio, presenta uno sferoide centrale con una forma "a scatola", mentre le regioni esterne presentano una forma "a disco". MGE fallisce nel momento in cui deve passare tra i due tipi di profilo pertanto è stato necessario cercare un altro metodo che fosse in grado di 62

Analisi fotometrica della controparte ottica di HLX-1 descrivere questo passaggio.