Modello di Petersson

Petersson [12] ha realizzato un modello bidimensionale agli elementi finiti (FE) del freno a ceppi ferroviario costituito da un singolo elemento frenante in composito (250 mm di lunghezza, 80 mm di larghezza e 40 mm di spessore). La modellazione della ruota è eseguita con una corona circolare nelle vicinanze della superficie del freno per ridurre il costo computazionale, come illustrato in figura 3.1. Dopo aver realizzato il modello, si sono studiati i risultati ottenuti per una frenata continua per mantenere la velocità del veicolo costante a 80 km/h, mentre la forza normale esercitata sul ceppo del freno era 4 kN.

Figura 3.1: Ruota modellata con una geometria a corona circolare.

STATO DELL’ARTE

La distribuzione di pressione di contatto tra ceppo e ruota è stata assunta a priori, con tre diversi andamenti lungo la direzione circonferenziale del contatto:

costante, lineare e sinusoidale. In figura 3.2 si mostra un grafico dell’articolo di Petersson, in cui si hanno i tre diversi andamenti della pressione di contatto lungo la direzione circonferenziale. Lo studio è stato eseguito considerando l’andamento di pressione sinusoidale, tuttavia i casi di andamento di pressione costante e lineare sono stati studiati in modo meno rilevante per confronto.

Figura 3.2: Grafico della pressione di contatto tra ruota e ceppo rispetto alla coordinata circonferenziale.

L’applicazione del freno durava 300 s. Il calore generato all’interfaccia tra freno e ruota era definito come:

q_in = µpV (3.1)

Dove:

q_in : flusso di calore generato;

p: pressione di contatto con andamento sinusoidale dal grafico in figura 3.2;

V: velocità di scorrimento.

µ: il coefficiente di attrito costante a 0.20.

STATO DELL’ARTE

Il calore di attrito generato in frenata, è stato ripartito tra la ruota e elemento frenante usando le equazioni seguenti:

q_w = T_b− T_w r_w+ rb

p+ r_b r_w+ rb

q_in (3.2)

q_b = Tw− Tb

r_w+ rb

p+ rw

r_w+ rb

q_in (3.3)

Dove:

r: resistenza termica di contatto costante [^N_W^◦C];

T: temperatura;

I pedici “b” e “w” denotano rispettivamente le grandezze relative all’elemento freno e alla ruota.

Le resistenze termiche modellate nella zona del contatto tra ruota e ceppo indicano che la temperatura raggiunta da tali corpi a contatto durante la frenata non è la medesima, bensì si hanno temperature diverse. Dal punto di vista fisico è come se ci fosse un terzo corpo nell’interfaccia tra ruota e ceppo che consentisse di portare tali elementi di frenatura a due temperature differenti 3.3.

Figura 3.3: Schema delle resistenze termiche di freno e ruota in corrispondenza del contatto.

Il modello è stato calibrato con ulteriori analisi, misurando valori di temperatura in una fase di testing con un banco di prova dinamometrico. L’autore ha studiato l’influenza sulla distribuzione di temperatura della partizione del calore, della distribuzione della pressione di contatto e della conducibilità termica del freno.

Il risultato ottenuto dalla calibrazione è rb = 42.28^N_W^◦C e rw = 251.7^N_W^◦C, che implica _r^r_w^b = 0.168.

STATO DELL’ARTE

Figura 3.4: Temperature della ruota nel tempo in corrispondenza di diverse posizioni radiali, ottenute considerando la distribuzione di pressione sinusoidale.

In figura 3.4 si ha la temperatura transiente della ruota appena il ceppo lascia il contatto sulla superficie, la temperatura della superficie del cilindro della ruota è considerata in corrispondenza di altre quattro posizioni a diversi raggi lungo il cilindro della ruota stessa.

In figura 3.5 si ha la divisione del calore di attrito tra il ceppo di frenatura e la ruota in funzione del tempo:

In figura 3.6 si hanno temperature calcolate sulla superficie del ceppo freno a differenti posizioni della coordinata curvilinea sono:

Si nota che il freno raggiunge una temperatura massima di 900^◦C nel tempo di simulazione di 300s.

La partizione del calore è stata modificata in due modi:

1. Variando il rapporto delle costanti di resistenza termica di contatto, mentre si mantiene costante la loro somma;

2. Variando la somma delle resistenze termiche di contatto, mentre si mantiene costante il loro rapporto.

In figura 3.7 si hanno le temperature della superficie della ruota dalla simulazione con rb + rw = 294.0^N_W^◦C , variando il quoziente rb/r_w, che aumenta spostandosi dal basso verso l’alto. I valori di rb/rw sono 1/36, 1/24, 1/18, 1/6, 1/3, 1/2 e 1. Nel caso di riferimento è r /r = 0.168;

STATO DELL’ARTE

Figura 3.5: Partizione del calore di frenatura tra ruota e freno in funzione del tempo.

Figura 3.6: Andamento della temperature del ceppo frenante nel tempo per diverse posizioni della coordinata curvilinea.

Come atteso, in figura 3.7 si nota che incrementando il rapporto rb/rw si ha un aumento della temperatura della ruota. Mentre in figura 3.8 si nota che incre-mentando la somma rb+ rw, mantenendo costante il rapporto tra le resistenze, la temperatura della ruota si riduce.

In aggiunta è stato studiato il comportamento del fenomeno nel caso di an-damento di pressione lineare e costante mostrate in figura 3.2. Nel caso di una

STATO DELL’ARTE

Figura 3.7: Andamento della Temperatura della superficie della ruota in funzione del tempo con rb+ rw costante e rb/r_w variabile.

Figura 3.8: Andamento della Temperatura della superficie della ruota in funzione del tempo con rb/rw costante e rb+ rw variabile.

distribuzione di pressione lineare, le temperature della ruota calcolate risultano inferiori rispetto al caso di riferimento. Le temperature sono più alte al bordo d’attacco del ceppo e decrescono con l’incremento della coordinata circonferenziale s, come conseguenza della decrescita della distribuzione di pressione lineare in figura 3.2. La temperatura maggiore nel ceppo è circa 50°C inferiore al caso di

STATO DELL’ARTE

riferimento con andamento sinusoidale di pressione, come è possibile notare in figura 3.9. Tuttavia, il punto di massima temperatura è al bordo d’attacco del ceppo, mentre nel caso di riferimento è al bordo d’uscita.

Figura 3.9: Le temperature del ceppo con distribuzione di pressione lineare.

Se si ha una distribuzione di pressione costante, si ottiene un risultato simile a quello in figura 3.9. Le temperature del ceppo sono di nuovo molto diverse.

Si nota in figura 3.10 che la temperatura è maggiore in corrispondenza del bordo d’attacco e del bordo d’uscita del ceppo.

Inoltre, è leggermente inferiore e approssimativamente costante nella sezione centrale del ceppo. La temperatura più alta nel ceppo è di circa 120 °C inferiore rispetto al caso di riferimento. La minima variazione di temperatura lungo la superficie del ceppo è dovuta alla distribuzione costante di pressione.

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Figura 3.10: Le temperature del ceppo con distribuzione di pressione costante.