Il modello di Rasch

Il modello introdotto da Rasch (1960), tra i più noti nella classe dei modelli IRT, rispetta i criteri appena citati in relazione al concetto di misura. Diventa possibile tradurre i punteggi osservati in manifestazioni di un con- tinuum latente: è possibile associare, ad ogni item e ad ogni soggetto, un numero reale riferito ad una stessa dimensione e secondo una scala comune. Propriamente, il modello di Rasch si basa sulla trasformazione logistica del- le probabilità associate alle possibili risposte fornite dai soggetti ai diversi items.

Presuppone che la probabilità di risposta corretta ad un item, da parte di un soggetto, sia funzione della differenza tra due parametri: θj (j = 1, . . . , J),

l’abilità del soggetto, e βi (i= 1, . . . , I), la difficoltà dell’item.

Facendo riferimento ai soli items dicotomici, il concetto di ordinamento in questa analisi va inteso nel senso di riportare lungo un continuum gli items, ordinati dal più facile al più difficile, e i soggetti, dal meno abile al più abile. Supponendo di avere a disposizione la matriceY contenente le risposte dei J soggetti agli I items, con elementi yij uguali a 0 o 1, il modello matematico

che governa la probabilità di risposta soddisfa le seguenti assunzioni: • Unidimensionalità.

Tutti gli I items misurano il medesimo tratto latente θθθ; • Monotonicità.

Per ogni item i, la probabilità di risposta è una funzione del tratto latente e prende il nome di ICC (Item Characteristic Curve); essa si caratterizza per essere una funzione continua e monotòna, crescente per la modalità di risposta uguale ad 1.

Ne segue che, ad ogni livello di abilità, corrisponde una certa probabilità che l’individuo dia una risposta corretta all’item; nel caso di un item tipico, tale probabilità sarà piccola per i soggetti con bassi livelli di abilità, crescerà man mano che si considerino individui con livelli di abilità elevati.

• Indipendenza locale degli items.

Dato il livello di abilità θj per l’individuo j −esimo, le risposte Yij = yij

agli items sono tra loro indipendenti. Considerato il vettore di valori osservati yj = (y1j, y2j, . . . yIj), l’indipendenza locale implica che:

P(yj|θj) = P (y1j|θj)P (y2j|θj) . . . P (yIj|θj) = I

Y

i=1

Risulta abbastanza chiaro che essa è equivalente alla definizione di indipendenza condizionata.

• Assenza di Guessing.

Essa presuppone che quanto più il livello di abilità del soggetto tende a valori piccoli, tanto più la probabilità di risposta corretta all’item i − esimo tende a zero; al contrario, quanto più il livello di abilità assume valori elevati, tanto più la probabilità di risposta corretta si avvicina a 1.

• Sufficienza dei punteggi grezzi. Le statistiche dei punteggi grezzi Rj =

PI

i=1Yij e Si =

PJ

j=1Yij sono

statistiche sufficienti, rispettivamente, per θj e βi.

Sulla base delle assunzioni appena enunciate, il modello di Rasch esprime la probabilità di risposta come:

P(Yij = yij|θj, βi) =

exp[yij(θj − βi)]

1 + exp(θj− βi)

(2.2) È agevole verificare che la probabilità di risposta corretta yij = 1 è pari a

1/2 solo se θj = βi, cioè quando l’abilità del soggetto è uguale alla difficoltà

della domanda.

Come già anticipato negli assunti del modello, al variare di θ, fissato βi, si

ottiene la curva logistica detta Item Characteristic Curve (ICC); essa è una funzione monotòna crescente rispetto a θ: all’aumentare del livello di abilità θ, aumenta la probabilità di rispondere correttamente all’item. Tale funzione tende a zero se θ → −∞, tende a 1 se θ → +∞. Maggiore è il valore di βi,

maggiore deve essere l’abilità del soggetto per riuscire a rispondere corretta- mente all’item.

Ogni item ha la sua ICC e, nel caso del modello di Rasch, esse sono tutte parallele tra loro poiché hanno tutte la stessa pendenza (si ipotizza che gli items abbiano la stessa capacità discriminatoria rispetto alla variabile laten- te), come mostrato in Figura 2.1.

L’equazione 2.2 implica che il logaritmo degli odd-ratios sia pari, proprio, alla differenza tra i parametri di abilità e di difficoltà:

log P r(Yij = 1) P r(Yij = 0)



= θj− βi (2.3)

La trasformazione in logit fa sì che i parametri del modello θ e β assumano valori reali.

2.2 Modelli IRT 27 −4 −2 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Item Characteristic Curves

Abilità Probabilità Item 1 Item 2 Item 3 Item 4

Figura 2.1: Item Characteristic Curves per il modello di Rasch con riferimento a quattro items

parametri rispettino i princìpi di unidimensionalità e specifica oggettività. Ciò che contraddistingue il modello di Rasch dagli altri modelli IRT è che esso è l’unico ad ammettere statistiche sufficienti: il punteggio totale delle risposte corrette da parte di un individuo è una statistica sufficiente per la stima della sua abilità latente, analogamente la somma delle risposte corrette di tutti gli individui su ciascun item è una statistica sufficiente per la stima del suo livello di difficoltà.

Ciò implica che, noto il punteggio complessivo del soggetto, che per defi- nizione non dipende dalla difficoltà degli items, nessun’altra informazione sull’abilità dei soggetti è contenuta nei vettori delle risposte: dato il pun- teggio complessivo di ciascun individuo, la probabilità di ciascun pattern di risposta dipende solo dai parametri di difficoltà (Baker e Kim 2004; Wright e Masters 1982).

Di conseguenza, è vero pure che la probabilità, condizionata al punteggio complessivo di ciascun item, dipende dai soli parametri di abilità.

Tale proprietà è nota come separabilità dei parametri ed è grazie ad essa che può essere garantita la specifica oggettività (Gori, Sanarico e Plazzi 2005): la misura dei soggetti non dipende dal particolare insieme di items sommini- strati, quindi dallo strumento di misura impiegato, né la misura di ciascun

item dipende, a sua volta, dal campione di individui in esame. Come già detto, con il modello di Rasch, diventa possibile ordinare gli items sulla base del loro livello di difficoltà e gli individui sulla base delle loro abilità; tali graduatorie possono esse ovviamente confrontate tra loro.

Si può non solo stabilire se un item sia più o meno facile di un altro, oppure se un soggetto sia più o meno abile di un altro, ma è anche possibile prevedere la probabilità di risposta corretta ponendo a confronto abilità dell’individuo e difficoltà dell’item.

Se, per esempio, il logit della difficoltà dell’item è uguale al logit dell’abilità del soggetto, si può affermare che tale individuo ha il 50% di probabilità di rispondere correttamente al quesito.

Il modello di Rasch è anche detto modello logistico ad 1 parametro poi- ché prevede un solo parametro degli item.