3.2.1
Descrizione del modello
La geometria di questo modello `e la stessa di quello multibody. Le ipotesi assunte sono le stesse del modello a bicicletta (par.3.1.1).
3.2.2
Geometria del modello
Anche per il sistema a tre ruote il primo passo `e quello di introdurre dei versori notevoli in modo che la descrizione della geometria sia chiara e univoca. Il sistema di versori cos`ı definito `e visibile in fig.3.4.
Il sistema di riferimento globale `e posizionato nella mezzeria della carreggiata delle ruote posteriori. Allo stesso modo si definiscono i versori i, j e k. In questo caso `e utile prendere come riferimento il piano medio del veicolo, che ruota lo stesso dell’angolo di rollio φ, cosicch´e la direzione perpendicolare a questo piano definisce il versore b, da cui `e possibile ricavare il versore a.
Per la geometria del cinematismo posteriore sia le ruote che i bracci di collega- mento verticali rimangono sempre paralleli tra di loro durante il moto del veicolo,
Figura 3.4: Sistema di versori del modello a tre ruote.
per questo `e sufficiente definire sono i due versori a e b, altrimenti andrebbe definita una coppia per ogni ruota.
Per la direzione dei forcelloni vengono definiti:
i21 = cos(θ21)i + sin(θ21)a
i22 = cos(θ22)i + sin(θ22)a
Per la direzione dei bracci di collegamento:
a21 = GS1E1 kGS1E1k a22 = GS2E2 kGS2E2k
Per quanto riguarda l’anteriore, il sistema di sterzo `e identico al modello a due ruote, quindi anche i versori definiti sono rimasti invariati.
Figura 3.5: Gradi di libert`a del modello a tre ruote. in ogni configurazione.
3.2.3
Gradi di libert`a
Il sistema di riferimento `e stato assunto avere origine in N che, anche in questo caso, `e la proiezione sulla strada del centro di massa G lungo il piano di mezzeria del veicolo. Questo ha asse x lungo la direzione della velocit`a longitudinale del veicolo, l’asse z sempre ortogonale alla strada e l’asse y di conseguenza (fig.3.5).
Sulla base delle ipotesi assunte e il sistema di riferimento preso, le seguenti variabili di stato descrivono completamente il sistema:
• velocit`a longitudinale e laterale (u e v rispettivamente) del punto N ; • velocit`a di imbardata del telaio r;
• rotazione relativa tra il sistema di sterzo e il telaio attorno all’asse di sterzo, cio´e l’angolo di sterzo δ;
θ21 θ22 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5ϕ (rad) -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 θ2 i(rad)
Figura 3.6: Relazione tra θ21 e θ22 e φ.
• rotazione del telaio attorno l’asse longitudinale x, cio´e l’angolo di rollio φ del veicolo.
• la rotazione attorno all’asse b dei due forcelloni posteriori, cio`e i due angoli θ21 e θ22.
Da simulazioni preliminari del modello in Adams, si osserva che i due angoli θ21 e
θ22 sono legati all’angolo di rollio φ da una relazione lineare, almeno per il primo
tratto (fig.3.6). Per cui sono stati posti i seguenti legami:
θ21= −0.5φ
θ22= 0.5φ
In questo modo le variabili di stato vengono ridotte a 5.
3.2.4
Modello di pneumatico
Il modello di pneumatico `e lo stesso del sistema a due ruote; quindi un modello lineare con la forza laterale proporzionale all’angolo di deriva e all’angolo di camber. Le caratteristiche delle due ruote posteriori sono uguali.
Per come `e costruito il cinematismo posteriore le ruote possiedono lo stesso angolo di camber:
γR1 = γR2 = φ
L’angolo di deriva `e calcolato tramite le classiche relazioni della dinamica del veicolo:
αR1' − v − r l u − rt2/2 ' −v − r l u αR2' − v − r l u + rt2/2 ' −v − r l u
Possiamo scrivere la seconda relazione in quanto la carreggiata posteriore `e piccola e quindi il termine rt2/2 `e trascurabile rispetto ad u.
3.2.5
Equazioni dinamiche
Si possono scrivere quindi le equazioni della dinamica del sistema. Note la velocit`a e l’accelerazione del telaio, calcolate con le stesse relazioni del modello a due ruote, si possono ricavare i valori di tutti gli altri corpi, riportati di seguito:
• sistema di sterzo ωH = ωB+ ˙δe aQ = aG+ ˙ωB∧ GQ + ωB∧ (ωB∧ GQ) aGH = aQ+ ˙ωH ∧ QGH + ωH ∧ (ωH ∧ QGH) • ruota anteriore: ΩF = u rF ωF = ωH + ΩFbδ aGF = aQ+ ˙ωH ∧ QGF + ωH ∧ (ωH ∧ QGF)
• forcellone sinistro ωS1 = ωB+ ˙θ21b aT1 = aG+ ˙ωB∧ GT1+ ωB∧ (ωB∧ QT1) aGS1 = aT1 + ˙ωS1∧ T1GS1+ ωS1∧ (ωS1∧ T1GS1) • forcellone destro ωS2 = ωB+ ˙θ22b aT2 = aG+ ˙ωB∧ GT2+ ωB∧ (ωB∧ QT2) aGS2 = aT2 + ˙ωS2∧ T2GS2+ ωS2∧ (ωS2∧ T2GS2)
• ruota posteriore sinistra:
ΩR1=
u rR
ωR1 = ˙φi + rk + ΩR1b
aR1= aG+ ˙ωR1∧ GGR1+ ωR1∧ (ωR1∧ GGR1)
• ruota posteriore destra:
ΩR2=
u rR
ωR2 = ˙φi + rk + ΩR2b
aR2= aG+ ˙ωR2∧ GGR2+ ωR2∧ (ωR2∧ GGR2)
L’equilibrio traslazionale globale si pu`o scrivere come:
FF + FR1+ FR1+ mg = maG
dove con:
si `e indicata la forza risultante dall’iterazione tra pneumatici e strada. Poich´e la ruota anteriore `e trascinata la forza longitudinale FxF `e nulla. Le forze longitudinali
posteriori sono definite come:
FxR1= Fx+ ∆F = Fx+ Cimb t2 FxR2 = Fx− ∆F = Fx− Cimb t2
In queste il secondo termine ∆F `e ricavato dall’equilibrio rotazionale lungo l’asse z delle ruote posteriori (Fig.2.9).
Le equazioni di equilibrio rotazionale rispetto al centro di massa G lungo gli assi x, y e z sono espresse da:
GA ∧ FF + GP21∧ FR1+ GP22∧ FR2= N
X
k
(GGk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk)
dove i termini sulla sinistra rappresentano il momento delle forze esterne e la parte sulla destra `e relativa al momento delle forze d’inerzia.
Allo stesso modo, considerando il momento delle forze esterne e delle forze d’i- nerzia rispetto al punto Q, `e stata ricavata un’equazione di equilibrio rotazionale per l’avantreno lungo l’asse di sterzo.
Per l’equilibrio del cinematismo posteriore viene prima effettuato l’equilibrio ro- tazionale lungo l’asse y della singola ruota e del forcellone, andando a calcolare la forza trasmessa dal braccio di collegamento tra forcellone e il braccio a bilanciere considerando il momento delle forze di inerzia di questi rispetto alle cerniere T1 e
T2: FR1∧ P21T1− Ft1∧ GS1T1 = N X k (T1Gk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk) FR2∧ P22T2− Ft2∧ GS2T2 = N X k (T2Gk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk)
Figura 3.7: Schema di equilibrio del sistema forcellone pi`u ruota.
dove il secondo termine sono i momenti delle forze di inerzia dei forcelloni e delle ruote. Da queste vengono ricavate Ft1 e Ft2. Note queste forze, si pu`o imporre
l’equilibrio rotazionale del braccio a bilanciere attorno all’asse x:
(Ft1∧ E1E) · i = (Ft2∧ E2E) · i
Il ritardo di risposta delle forze laterali viene introdotto con la stessa equazione del modello a due ruote.
In definitiva, il modello `e governato da 11 equazioni (otto di equilibrio e tre relative al transitorio delle forze laterali dei pneumatici) nelle seguenti incognite: la velocit`a longitudinale u(t), la velocit`a laterate v(t), la velocit`a d’imbardata r(t), l’angolo di rollio φ(t), l’angolo di sterzo δ(t), i tre carichi verticali Fzi e le tre forze
3.2.6
Linearizzazione
Allo stesso modo del modello a bicicletta, note le equazioni della dinamica del sistema `e possibile procedere con la loro linearizzazione.
Si riporta quindi il sistema da equazioni differenziali del primo e secondo ordine a equazioni differenziali del primo ordine, effettuando il cambio di variabili come nel modello a due ruote. In questo modo si ottengono undici equazioni negli stati:
x = [u, v, r, ∆, Φ, FxF, FzR1, FzR2, FyF 1, F yR1, FyR2, δ, φ]
con ingresso:
u = [Cimb]
A questo punto, annullando il vettore ˙x e imponendo una traiettoria definita da u e φ, si possono calcolate i valori di equilibrio ¯q delle incognite:
q = [δ, v, r, Fx, FyF, FyR1, FyR2, FzF, FzR1, FzR2, c]
Riordinando il sistema si osserva che i carichi verticali sono equazioni lineari negli stati del sistema e non compaiono nelle equazioni differenziali perci`o `e possibile ridurre il vettore degli stati a:
x = [u, v, r, ∆, Φ, FyF 1, F yR1, FyR2, δ, φ]
Per ogni coppia di u e φ. a questo punto `e possibile procedere con la linearizzazione del sistema, calcolando la matrice dinamica:
A(u, φ) = ∂f (x) ∂x e la matrice:
B(u, φ) = ∂f (x) ∂u
calcolate per q = q, u = u e φ = φ.
Imponendo inoltre che lo sterzo sia bloccato, cio`e che sia ∆ = 0 e δ = δ, si riduce il numero di stati a 8. Concludendo il sistema linearizzato `e nella forma:
˙x = A(u, φ)x + B(u, φ)u
con vettore degli stati:
Simulazioni e analisi dei risultati
4.1
Modelli multibody
Come detto, lo scopo della tesi `e comprendere in che modo le forze longitudinali influenzano la dinamica del veicolo in curva. Per questo `e stata studiata la risposta del sistema analizzando l’effetto della coppia verticale posteriore Cimb sull’angolo di
rollio φ in varie condizioni. Per prima cosa `e stato imposto un rollio target φt al
controllore della velocit`a del sistema di sterzo (visibile in Fig. 4.1 per tre diversi valori dell’angolo di rollio finale desiderato), in modo tale che, una volta raggiunta la funzione obiettivo, il modello si posizioni su una traiettoria curvilinea di raggio costante. Allo stesso tempo il controllore della velocit`a porta il sistema alla velocit`a
Figura 4.1: Funzione obiettivo del rollio per tre diverse configurazioni.
Figura 4.2: Andamento velocit`a VG per tre diverse configurazioni.
desiderata Vt. In Fig. 4.2 si ha l’andamento della velocit`a del baricentro VG nel
tempo.
Una volta portato a regime il sistema, si hanno due azioni contemporanee: la velocit`a di sterzo ˙δv si annulla e viene azionata la coppia verticale posteriore Cimb.
Si studia quindi la risposta del rollio del telaio al variare del rollio iniziale φ, della velocit`a VG e della coppia verticale posteriore Cimb = ±50 Nm. In Fig. 4.3a e
4.3b si ha la risposta del sistema per il modello a bicicletta, mentre in Fig. 4.3c e 4.3d si ha la risposta per il modello a tre ruote, entrambi per Cimb > 0. In Fig. 4.4a
e 4.4b si ha la risposta del sistema per il modello a bicicletta, mentre in Fig. 4.4c e 4.4d si ha la risposta per il modello a tre ruote per Cimb < 0.
Si osserva che, nel caso del modello a due ruote, una coppia verticale Cimb > 0
comporti un effetto stabilizzante sul sistema, infatti tende a ”raddrizzare” il telaio ed ha un effetto tanto pi`u rapido quanto pi`u alta `e la velocit`a del veicolo.
Nel caso del modello a tre ruote, la stessa coppia Cimb > 0 ha un effetto diverso a
seconda della velocit`a del mezzo: per basse velocit`a si ha un effetto destabilizzante, mentre per velocit`a pi`u elevate la coppia ha un effetto simile al due ruote, quindi un effetto stabilizzante.
Nel caso in cui Cimb < 0, per il modello a bicicletta questa risulta sempre desta-
bilizzante, mentre nel caso del modello a tre ruote, si ha un’effetto diverso a seconda della velocit`a: velocit`a basse stabilizzano mentre velocit`a alte destabilizzano.
u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.1 0.1 0.2 ϕ (rad)
(a) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.2 0.2 0.4 ϕ (rad)
(b) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −20 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 ϕ (rad)
(c) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.5 ϕ (rad)
(d) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −20 deg.
Figura 4.3: Risposta dello stato φ per Cimb = 50 Nm dei modelli multibody.
u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 ϕ (rad)
(a) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 ϕ (rad)
(b) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −20 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ϕ (rad)
(c) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ϕ (rad)
(d) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −20 deg.
u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.2 0.2 0.4 0.6 ϕ (rad)
(a) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.2 0.2 0.4 ϕ (rad)
(b) Rollio del telaio del modello 2 ruote con
φt= −20 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.3 -0.2 -0.1 0.1 ϕ (rad)
(c) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 ϕ (rad)
(d) Rollio del telaio del modello 3 ruote con
φt= −20 deg.
Figura 4.5: Risposta dello stato φ per Cimb= 50 Nm dei modelli matematici.