Analisi dell'effetto delle forze longitudinali sulla stabilità di veicoli basculanti a 3 ruote

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Tesi di Laurea Magistrale

Analisi dell’effetto delle forze

longitudinali sulla stabilit`

a di veicoli

basculanti a tre ruote

Relatori:

Prof. Francesco Frendo

Ing. Francesco Bucchi

Candidato:

Oleg Yuri Giovannini

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Nowadays, the need of developing new form of urban mobility is of great con-cern. For this reason the European Commission (EC) is promoting research in this field. Thanks to the RESOLVE research project (Range of Electrical Solution for L-category Vehicles) two prototypes of novel four-wheeled tilting vehicles belonging to the L-category vehicles were developed.

The rear suspension system of this vehicles allow the scooter to freely roll as a standard motorcycle. From vehicle dynamics it is known that the roll motion in standard suspension system it is influenced only by lateral forces. In this new kind of scooter the new rear suspension mechanism allows the rear longitudinal forces to influence the roll motion. So, it is important to study the effect of these forces on vehicle stability.

In order to distinguish the contribution of the titling mechanism from the contri-bution related to the inertia, firstly a classic bicycle model was developed, where a fictitious yaw torque was applied to rear wheel. The second one was a three-wheeled system, with two rear wheels. The rear mechanism studied allows the system to freely roll. The effect of the rear longitudinal forces is implemented with a diffe-rent traction torque for each wheel. Both systems were developed in multibody and analytical models.

A simple torque controller is proposed to expose the potential of this new system.

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Negli ultimi anni la ricerca di sistemi di trasporto in ambito cittadino economici e rispettosi dell’ambiente è sempre più sentita. A tal fine il progetto RESOLVE ha portato allo sviluppo di due prototipi di veicoli basculanti a 4 ruote. Essendo un sistema innovativo, un’analisi approfondita è necessaria, sopratutto dal punto di vista della stabilità.

Questa tesi di laurea si propone di studiare l’effetto delle forze longitudinali sulla stabilità del veicolo. Per questo sono stati creati due modelli. Il primo è il classico modello a bicicletta con applicazione di una coppia fittizia al posteriore, che simula le forze longitudinali dei pneumatici. Il secondo è un modello a tre ruote, con due al posteriore. Le forze longitudinali sono applicate tramite una differenza di coppia motrice alle ruote. Entrambi i modelli sono stati creati con software multibody che con equazioni del moto matematiche linearizzate. Il confronto è stato effettuato tra i modelli non lineari e i modelli linearizzati. Lo studio della stabilità è stato eseguito sui modelli linearizzati con un approccio basato sulle derivate di stabilità.

Infine `e stato sviluppato un semplice controllo della coppia di trazione ai fini di mantenere il veicolo in posizione verticale da fermo.

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1 Introduzione 5

2 Modelli multibody 7

2.1 Software MSC Adams . . . 7

2.2 Modello a bicicletta . . . 8

2.2.1 Modelli di pneumatici e strada . . . 12

2.2.2 Controllore velocit`a . . . 13

2.2.3 Controllore rollio . . . 14

2.2.4 Forze longitudinali . . . 15

2.3 Modello a 3 ruote . . . 16

2.3.1 Cinematismo posteriore . . . 18

2.3.2 Controllore della velocit`a . . . 19

2.3.3 Forze longitudinali . . . 19

3 Modelli analitici 21 3.1 Modello a bicicletta . . . 21

3.1.1 Descrizione del modello . . . 21

3.1.2 Geometria del modello . . . 22

3.1.3 Gradi di libert`a . . . 25

3.1.4 Modello di pneumatico . . . 26

3.1.5 Equazioni dinamiche . . . 27

3.1.6 Linearizzazione . . . 30 3

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3.2 Modello a tre ruote . . . 32

3.2.1 Descrizione del modello . . . 32

3.2.2 Geometria del modello . . . 32

3.2.3 Gradi di libert`a . . . 34

3.2.4 Modello di pneumatico . . . 35

3.2.5 Equazioni dinamiche . . . 36

3.2.6 Linearizzazione . . . 40

4 Simulazioni e analisi dei risultati 42 4.1 Modelli multibody . . . 42

4.2 Modelli analitici . . . 45

4.3 Analisi di stabilit`a . . . 46

5 Controllore della coppia di trazione posteriore 49 6 Conclusioni e sviluppi futuri 51 6.1 Conclusioni . . . 51

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Introduzione

Il crescente numero di veicoli a combustione interna nelle città dell’Unione Europea comportano emissioni inquinanti, rumore e traffico sempre più intensi, incidendo negativamente sulla salute e sulla qualità della vita della popolazione cittadina. Per affrontare questi problemi i limiti sulle emissioni stanno diventando sempre più stringenti e sono stati messi in atto piani regolatori per la mobilità urbana. Gli scenari futuri vedono un cambiamento di mobilità personale dei cittadini, dalle auto a mezzi più leggeri, piccoli e con meno impatto ambientale.

I veicoli elettrici di categoria L (ELVs - Electric L-category Vehicles, ovvero ciclomotori, motocicli, tricicli e quadricicli leggeri) sono una valida alternativa. Il progetto RESOLVE (Range of Electric Solutions for L-category Vehicles), finanziato dalla Commissione Europea nell’ambito del programma di ricerca e innovazione Ho-rizon 2020, `e stato creato con lo scopo di rendere questo tipo di veicoli pi`u attraenti per gli utilizzatori di auto in ambito urbano, proponendo soluzioni di veicoli ba-sculanti economiche, energeticamente efficienti e confortevoli, in modo da costituire una valida alternativa per gli spostamenti personali.

Questo progetto ha portato allo sviluppo di due prototipi di veicoli basculanti a 4 ruote, appartenenti alle categorie L2e (veicoli a tre o quattro ruote che hanno una velocit`a massima di progetto non superiore a 45km/h e con potenza del motore

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inferiore a 4kW) e L26 (quadricicli la cui massa non supera i 350kg, escluse le batterie nel caso di motore elettrico).

Dalla dinamica del veicolo [3] è noto che per veicoli con sospensioni tradizionali il rollio è influenzato solo dalle forze laterali. In questa tipologia di scooter, per come è costruito il cinematismo posteriore, oltre alle forze laterali anche quelle longitudinali hanno influenza sul rollio. Per questo è necessario effettuare uno studio approfondito dell’effetto di queste forze sulla stabilità del sistema.

Lo scopo di questa tesi `e sviluppare dei modelli matematici semplificati per studiare l’effetto delle forze longitudinali posteriori sulla dinamica laterale del veicolo e in particolare sulla stabilit`a in curva.

A tal fine sono stati sviluppati per prima cosa due modelli multibody (Capitolo 2), uno a due ruote, dove le forze longitudinali vengono considerate tramite un momento verticale fittizio applicato alla ruota posteriore, ed uno a tre ruote, con due ruote al posteriore, in cui si applica una diversa coppia motrice per ruota. Sono stati poi sviluppati gli stessi modelli con equazioni matematiche e linearizzati attorno alle posizioni di equilibrio (Capitolo 3). Le simulazioni (Capitolo 4) sono state eseguite studiando l’effetto delle forze longitudinali sulla stabilit`a in curva.

Infine, per mostrare le potenzialit`a del sistema, `e stato sviluppato un semplice sistema di controllo della coppia motrice che aiuti a mantenere il veicolo stabile a disturbi esterni (Capitolo 5).

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Modelli multibody

2.1 Software MSC Adams

Figura 2.1: Ambiente di lavoro del software MSC Adams.

In commercio esistono molti software che consentono di effettuare analisi mul-tibody. Un’analisi multibody `e uno studio di sistemi composti da corpi e vincoli, che nel caso in esame sono considerati rigidi e privi di attrito, su cui vengono ap-plicate forze e momenti concentrati, che evolvono nel tempo seguendo le leggi della cinematica e della dinamica del corpo rigido.

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Figura 2.2: Vista laterale schematica del modello.

Nel caso specifico il software utilizzato `e chiamato MSC Adams. Questo pro-gramma permette di definire le caratteristiche geometriche e inerziali dei corpi che compongono il sistema. Questo programma `e orientato anche all’analisi di veicoli, infatti permette di introdurre gli pneumatici e la strada su cui far muovere il mezzo. In Fig.2.1 si ha l’ambiente di lavoro del software.

2.2 Modello a bicicletta

Per studiare i fenomeni di interesse è stato creato un semplice modello a bicicletta, una cui vista schematica è rappresentata in Fig.2.2. Questo è composto da quattro corpi:

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• ruota posteriore (R); • sistema di sterzo (H); • telaio (B).

Il sistema di riferimento utilizzato presenta l’asse x diretto lungo la direzione della retta creata dall’intersezione del piano di mezzeria della ruota posteriore e la strada, l’asse z diretto verso l’alto, e l’asse y in modo da completare una terna destrorsa, con origine nel punto di contatto a terra della ruota posteriore.

Nel modello cos`ı costruito si hanno, inizialmente, 24 gradi di libertà, relativi ai quattro corpi che compongono il sistema. Ognuno dei corpi possiede, infatti, tre gradi di libertà traslazionali e tre rotazionali. Da questi vanno sottratti i gradi di libertà che vengono vincolati. Le ruote anteriore e posteriore sono vincolata tramite una cerniera, rispettivamente, al sistema di sterzo ed al telaio, permettendo a queste solo la rotazione attorno al loro asse, e tramite un vincolo di contatto alla strada. Il sistema di sterzo è collegato al telaio tramite una cerniera, permettendo a questo la rotazione attorno all’asse di sterzo. Ogni cerniera piana vincola cinque gradi di libertà, permettendo solo la rotazione nella direzione del suo asse. Il vincolo di contatto rimuove solo un grado di libertà, imponendo che le ruote stiano in contatto con la strada. Si arriva ad avere, quindi, 7 gradi di libertà, relativi alle variabili di stato: • angolo di rollio φ; • angolo di sterzo δ; • velocità di avanzamento u; • velocità laterale v; • velocità di imbardata r;

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• angolo di rotazione della ruota posteriore θR.

Poiché nel nostro caso viene imposto che a regime le velocità angolari delle ruote siano costanti si possono eliminare i gradi di libertà legati θF e θR, riducendo i gradi

di libert`a del sistema a 5.

Il rapporto di sterzo tra manubrio e ruota è circa unitario. Le sospensioni non sono state modellate in quanto, per creare un modello semplice, il forcellone po-steriore (che alloggia il motore ed è elemento di collegamento tra ruota e telaio) non è stato preso in considerazione; in questo modo si possono trascurare tutte le componenti dinamiche e cinematiche relative al beccheggio della moto. Il pilota, che grazie alla posizione assunta rispetto al telaio influenza in maniera sostanziale il comportamento dinamico, è visto come un corpo rigido solidale al telaio.

Figura 2.3: Vista del modello a due ruote.

Le principali caratteristiche geometriche e inerziali relative ai vari corpi descritti in precedenza sono rappresentate in Tab.2.1.

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Parametro Simbolo Valore

Passo l 1.02 m

Avancorsa a 0.08 m

Angolo di caster ε 18 deg Ruota Posteriore

Raggio rR 0.3 m

Massa mR 2 kg

Momenti d’inerzia (IRxx,IRyy) (0.0603,0.12) kgm2

Ruota Anteriore Raggio rF 0.35 m Massa mF 3 kg Momenti d’inerzia (IF xx,IF yy) (0.1405,0.28) kgm2 Telaio posteriore Centro di massa (xB,yB) (0.3,0.9) m Massa mB 85 kg Momenti d’inerzia   IBxx 0 IBxz 0 IByy 0 IBxz 0 IBzz     9.2 0 2.4 0 11 0 2.4 0 2.8   kgm2 Sistema di sterzo Centro di massa (xH,yH) (0.9,0.7) m Massa mH 4 kg Momenti d’inerzia   IHxx 0 IHxz 0 IHyy 0 IHxz 0 IHzz     0.059 0 −0.008 0 0.06 0 −0.008 0 0.007  kgm2 Tabella 2.1: Parametri geometrici e inerziali del modello a bicicletta

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2.2.1 Modelli di pneumatici e strada

Le ruote del modello sono create direttamente all’interno del software, che permette un’ampia scelta di modelli di pneumatici da poter utilizzare.

Un modello di pneumatico utilizzato in un’analisi dinamica deve riprodurre in modo appropriato le forze di contatto che si generano attraverso l’interazione con la strada. Tali interazioni sono:

• Fx: forza di trazione/frenata;

• Fy: forza laterale;

• Fz: carico verticale;

• Mx: momento di ribaltamento;

• My: momento di resistenza al rotolamento;

• Mz: momento di autoallineamento.

In Adams i parametri relativi ai pneumatici vengono introdotti tramite due file di testo: il Tire Property File, che contiene le informazioni relative al pneumatico, e il Road Property File, che contiene le informazioni relative alla strada su cui si muove il pneumatico.

In questo modello si `e fatto uso del pneumatico UA Tyre. In questo modello, svilup-pato all’interno di una tesi di dottorato svolta presso l’Universit`a dell’Arizona [1], vengono considerati gli effetti indotti dal camber nel calcolo delle forze a terra e si considerano gli effetti di rilassamento sia longitudinali che laterali.

In Fig.2.4 si hanno i parametri di cui questo pneumatico ha bisogno per poter funzionare e gli output che fornisce. ´E stato indicato con κ lo scorrimento longitu-dinale, con α l’angolo di deriva, con γ l’angolo di camber, con ρ la deformazione del pneumatico e con ˙ρ la velocit`a di deformazione di quest’ultimo. Per una descrizione di come questo modello calcola forze e momenti si faccia riferimento a [1].

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Figura 2.4: Input e output del pneumatico UA Tyre.

Parametro Simbolo

Rigidezza di deriva Cα

Rigidezza di camber Cγ

Coefficiente di attrito minimo Umin

Coefficiente di attrito massimo Umax

Lunghezza di rilassamento longitudinale dx

Lunghezza di rilassamento laterale dy

Tabella 2.2: Principali parametri del pneumatico UA Tyre.

I parametri principali da fornire nel Tire Property File sono riassunti in Tab.??. La strada `e stata supposta orizzontale e piana.

2.2.2 Controllore velocit`

a

Al fine di far avanzare il veicolo e quindi modellare il sistema propulsivo è stata applicata una coppia motrice alla ruota posteriore. Per fare in modo di controllare la velocità del veicolo la coppia motrice è stata posta come variabile di uscita di un controllore. La coppia motrice ha la seguente espressione:

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(a) Torque Applied Force applicata alla ruota posteriore

(b) Motion applicato al sistema di sterzo.

Figura 2.5: Controllori applicati al modello. dove:

• Vt: profilo di velocit`a desiderato;

• VG: velocit`a, in modulo, del veicolo misurata nel baricentro:

• kp

u: coefficiente relativo alla parte proporzionale del controllore.

Il controllore è del tipo P (Proporzionale); si ha infatti solo il contributo diretto della differenza tra il profilo di velocità richiesto e la velocità misurata. Per quanto il controllo sia semplice al fine delle nostre analisi è adeguato.

Questo controllo viene applicato inserendo una coppia alla ruota posteriore, visibile in Fig.2.5a, con il comando Torque Applied Force.

2.2.3 Controllore rollio

Nel modello multibody `e previsto un secondo controllore. Quest’ultimo `e utilizzato al fine di fare assumere al veicolo un certo angolo di rollio. In questo modo scegliendo opportunamente i coefficienti che saranno illutrati di seguito, si riesce a far percorrere al veicolo particolari traiettorie.

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La variabile di uscita di questo controllore `e la derivata rispetto al tempo del-l’angolo di sterzo, ossia la velocit`a con cui ruota il sistema di sterzo attorno alla cerniera di collegamento col telaio. Il controllore assume la seguente forma:

˙δv = kpφ(φt− φ) + kdφ d (φt− φ) dt + k dd φ d2_(φ t− φ) dt2 dove:

• φt: il profilo di rollio desiderato;

• φ: angolo di rollio misurato;

• kp_φ: coefficiente relativo alla parte proporzionale del controllore; • kd

φ: coefficiente relativo alla parte derivativa del controllore;

• kdd

φ : coefficiente relativo alla derivata seconda dell’errore;

Il controllore `e del tipo PD (Proporzionale-Derivativo) con l’aggiunta di un contributo legato alla derivata seconda dell’errore che in alcuni casi pu`o essere utile. Questo controllore viene inserito nel modello applicando un Motion alla cerniera che collega il sistema di sterzo e il telaio, come si vede in Fig.2.5b. Per entrambi i controllori i valori dei coefficienti sono stati determinati per via iterativa e risultano essere differenti per ogni tipo di manovra che il veicolo deve compiere.

2.2.4 Forze longitudinali

Essendo un modello a bicicletta, la forza longitudinale della ruota posteriore non è in grado di creare un momento imbardante sul veicolo marciante in marcia rettilinea. Ad ogni modo, poiché è d’interesse studiare l’effetto del momento imbardante deri-vante da differenti forze longitudinali in un veicolo a tre ruote, un momento fittizio è stato applicato al pneumatico posteriore, applicata nel punto di contatto a terra, come visibile in Fig.2.6.

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Figura 2.6: Schema dello scooter a quattro ruote.

Questa coppia viene inserita tramite il comando Torque Vector Applied Force, che genera un vettore momento nelle tre direzioni; di questo `e stata inserita non nulla solo la coppia in direzione dell’asse z. Questo vettore `e applicato ad un Marker solidale al telaio posizionato nel punto di contatto tra ruota e strada.

2.3 Modello a 3 ruote

Il secondo modello multibody realizzato `e, fondamentalmente, un’estensione del pri-mo. Dalla Fig.2.7, dove si ha una rappresentazione schematica del modello creato, si vede che la differenza sostanziale `e al posteriore, in cui si hanno due ruote e un cinematismo di cui parleremo in seguito.

Il sistema di sterzo `e invariato rispetto al modello precedente. Al posteriore si hanno due forcelloni, uno per ruota, collegati al telaio tramite due cerniere (posizio-nate in T 1 e T 2). Per il cinematismo si hanno due bracci paralleli che collegano i forcelloni ad un braccio a bilanciere centrale tramite delle cerniere sferiche. Il braccio a bilanciere `e collegato al telaio con una cerniera posizionata in E.

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Figura 2.7: Schema del modello a tre ruote.

Vincolato in questo modo il sistema possiede 10 gradi di libertà, relativi alle variabili di stato: • angolo di rollio φ; • angolo di sterzo δ; • velocità di avanzamento u; • velocità laterale v; • velocità di imbardata r;

• angolo di beccheggio del forcellone sinistro θS21;

• angolo di beccheggio del forcellone destro θS22;

• angolo di rotazione della ruota anteriore θF;

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Figura 2.8: Vista del modello a tre ruote. • angolo di rotazione della ruota posteriore destra θR22.

Anche in questo caso, imponendo le velocità angolari delle ruote costanti, si elimina-no i gradi di libertà legati a θF, θR21 e θR22. Inoltre, per come è costruito e vincolato

il cinematismo, gli angoli di beccheggio θS21 e θS22 non sono indipendenti, ma legati

in maniera non lineare all’angolo di rollio φ. Per cui anche in questo caso i gradi di libert`a vengono ridotti a 5. In Fig.2.8 si ha il modello creato in ambiente Adams.

Le caratteristiche inerziali dei corpi comprendenti il cinematismo sono state considerate trascurabili. Le sospensioni sono state ipotizzate infinitamente rigide.

Il modello di pneumatico e il controllore del rollio sono gli stessi del modello precedente.

2.3.1 Cinematismo posteriore

La sostanziale differenza tra i sistemi sospensivi utilizzati nel veicolo basculante e quelli utilizzati nelle auto `e dovuta alla presenza dei bilancieri. Grazie a questi due elementi un veicolo basculante `e in grado di piegare come se fosse uno scooter o una moto, nonostante siano presenti tre ruote. I bilanceri conferiscono al sistema

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sospensivo un grado di libert`a aggiuntivo. In questo senso, risulta essere fonda-mentale l’equilibrio del bilanciere intorno all’asse della cerniera attraverso la quale `e collegato al telaio.

2.3.2 Controllore della velocit`

a

Anche in questo caso, per modellare il sistema propulsivo, sono state applicate delle coppie motrici alle ruote posteriori. In questo modello, per`o, le coppie applicate alle due ruote sono diverse e vengono poste nella forma:

C21 = C 2 − ∆C C22 = C 2 + ∆C

in cui il termine C `e lo stesso del modello precedente, ossia:

C = k_up(Vt− VG)

mentre il termine ∆C viene aggiunto per introdurre una differenza nelle forze a terra, creando cos`ı una coppia verticale Cimb.

2.3.3 Forze longitudinali

Riferendoci allo schema in Fig.2.9, mettendo a sistema le equazioni a momento lungo gli assi y e z si riesce a trovare una relazione tra il ∆C fornito alle ruote e la coppia verticale Cimb dovuta al momento delle forze a terra:

       Cimb = ∆F t2 ∆C = ∆F rr

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Figura 2.9: Schema di equilibrio delle ruote posteriori. da cui si ricava che:

∆C = Cimb

rr

t2

In questo caso, la coppia verticale Cimb `e fisica, al contrario di quella introdotta

nel modello a bicicletta.

Quindi, in definitiva, la coppia fornita alle ruote `e:

C21= 1 2k p u(Vt− VG) − Cimb rr t2 C22= 1 2k p u(Vt− VG) + Cimb rr t2

Anche in questo caso i parametri dei controllori sono stati ricercati per via iterativa, e variano per ogni manovra.

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Modelli analitici

Gli stessi modelli sono stati sviluppati in maniera analitica, andando a esplicitare le equazioni del moto in modo da avere un’idea chiara degli elementi che entrano in gioco nella dinamica dei due sistemi.

3.1 Modello a bicicletta

3.1.1 Descrizione del modello

La geometria di questo modello `e la stessa di quello multibody, le cui caratteristiche geometriche e inerziali sono riassunte in Tab.2.1. Sono state assunte le seguenti ipotesi per limitare la complessit`a del modello:

• il modello `e composto di corpi rigidi;

• il pilota `e fisso al telaio e non si pu`o muovere rispetto a questo;

• la strada `e piatta e orizzontale e le sospensioni sono assunte infinitamente rigide;

• il beccheggio cinematico, dovuto alla rotazione della ruota anteriore lungo l’asse di sterzo, `e stata trascurata;

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Figura 3.1: Schematizzazione del modello a bicicletta. • gli pneumatici sono considerati lenticolari e rigidi;

• lo scorrimento longitudinale degli pneumatici `e trascurato.

3.1.2 Geometria del modello

Per descrivere in maniera chiara e sistematica la geometria e la cinematica del si-stema, verranno individuate con dei versori le direzioni notevoli, in modo che noti questi `e possibile definire in maniera univoca la configurazione del sistema.

Per iniziare `e conveniente introdurre un versore k perpendicolare al piano stra-dale e un versore b parallelo all’asse della ruota posteriore (Fig. 3.1).

`

E utile individuare il piano medio della ruota posteriore. Tale piano `e perpen-dicolare all’asse della ruota e posizionato in modo da risultare piano di simmetria per la ruota stessa. La sua intersezione con il piano stradale produce una retta che definisce la direzione di avanzamento del veicolo, la quale viene individuata dal versore i.

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A questo punto si pu`o definire il versore j in modo tale che sia ortogonale sia a i che a k:

j = k ∧ i

Indicando con φ l’angolo di rollio, ossia l’angolo di cui `e il piano medio della ruota posteriore rispetto la verticale, `e possibile introdurre il versore b normale al suddetto piano:

b = sin φ k + cos φ j

In modo compatto si può dire che b è la rotazione di j attorno a i dell’angolo φ. Noto b si può completare definire il versore a in modo da completare una terna che definisca in modo univoco il piano medio della ruota posteriore:

a = i ∧ b

Anche in questo caso è possibile dire che a è la rotazione di k attorno a i dell’angolo φ. Noti questi tre versori è possibile definire in modo univoco la geometria della ruota posteriore e del telaio.

Per quanto riguarda l’anteriore bisogna, per prima cosa, definire l’asse di sterzo (Fig.3.2); questo ha direzione definita dall’angolo di Caster :

e = cos a + sin i

La rotazione del manubrio rispetto al telaio viene indicata con δ. Si introduce il versore bδ parallelo all’asse della ruota anteriore. Quando l’angolo di sterzo `e nullo

l’asse della ruota anteriore `e normale al piano medio della ruota posteriore e quindi bδ coincide con b. Una rotazione del manubrio induce una rotazione di bδ attorno

ad e dell’angolo di sterzo δ. Pertanto, si pu`o scrivere:

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Figura 3.2: Geometria sistema di sterzo.

Noto questo, possiamo completare la terna solidale al sistema di sterzo definendo:

fδ = bδ∧ e

Risulta utile individuare la direzione della retta di intersezione tra il piano medio della ruota anteriore e il piano stradale. Si definisce pertanto il versore iδ lungo tale

direzione nel seguente modo:

iδ =

bδ∧ k

p1 − (bδ· k)2

Da questo `e possibile individuare il corrispettivo del versore a per la ruota anteriore:

aδ = iδ∧ bδ

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Figura 3.3: Variabili di stato del modello a bicicletta.

il sistema di versori introdotto `e possibile conoscere la configurazione del sistema in ogni condizione. Per la definizione della geometria le coordinate dei vari corpi sono prese rispetto ad un sistema di riferimento posizionato in P , centro dell’impronta a terra della ruota posteriore (Fig.3.1).

3.1.3 Gradi di libert`

a

Il sistema di riferimento solidale al veicolo è stato assunto avere origine in N , che è la proiezione sulla strada del centro di massa G lungo il piano di mezzeria del veicolo, avente asse z sempre ortogonale alla strada, asse x lungo la direzione della velocità longitudinale del veicolo e l’asse y in modo da formare una terna destrorsa (Fig.3.3).

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Il punto N appartiene all’asse di rollio, che, essendo questo un modello a due ruote con sospensioni rigide, `e assunto coincidere con l’intersezione del piano medio del veicolo e il piano stradale.

Sulla base delle ipotesi assunte, le seguenti variabili di stato (Fig.3.3) descrivono completamente il sistema:

• velocit`a longitudinale e laterale (u e v rispettivamente) del punto N ; • velocit`a di imbardata del telaio r;

• rotazione relativa tra il sistema di sterzo e il telaio attorno all’asse di sterzo, cio´e l’angolo di sterzo δ;

• rotazione del telaio attorno l’asse longitudinale x, cio´e l’angolo di rollio φ del veicolo.

3.1.4 Modello di pneumatico

In generale, la forza trasmessa dalla strada alla ruota pu`o essere espressa nel modo seguente:

F = Fxi + Fyj + Fzk

Le forze laterali sono state considerate una combinazione lineare dell’angolo di deriva α e dell’angolo di rollio γ:

Fyi = Cα iαi+ Cγ iγi

dove si `e indicato con Cα i e Cγ i le rigidezze di deriva e camber della ruota i-esima e

con αi e γi gli angolo di deriva e camber. Il calcolo delle rigidezze `e stato effettuato

tramite le seguenti relazioni (con forze in N e angoli in radianti):

Cα F = 10.75FzF

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Cγ F = −1.15FzF

Cγ R = −1.75FzR

dove FzF e FzR sono i carichi statici, rispettivamente, sulla ruota anteriore e

poste-riore.

Gli angolo di deriva vengono calcolati, come descritto in [3], come:

αF ' δ − v + r l u αR' − v − r l u

Gli angoli di camber vengono calcolati tramite le relazioni:

γF = arcsin (bδ· k)

γR= arcsin (b · k) = φ

Per semplicit`a, viene trascurato il momento trasmesso dalla strada ai pneumatici.

3.1.5 Equazioni dinamiche

A questo punto `e possibile scrivere le equazioni della dinamica del sistema.

La posizione iniziale del punto N è assunta nell’origine del sistema di riferimento globale. la velocità angolare del telaio ωB è:

ωB = rk + ˙φi

e la velocit`a del punto N `e

VN = ui + vj

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velocit`a del centro di massa G `e data da:

VG= VN + ωB∧ N G

e la sua accelerazione:

aG = aN + ˙ωB∧ N G + ωB∧ (ωB∧ N G)

dove aN è l’accelerazione del punto N e ˙ωB è la derivata temporale della velocità

angolare ωB. Noti questi valori, si possono ricavare velocit`a e accelerazioni angolari

e traslazionali per ogni corpo sulla base dei vincoli imposti. Si riportano le equazioni per gli altri tre corpi:

• sistema di sterzo ωH = ωB+ ˙δe aQ = aG+ ˙ωB∧ GQ + ωB∧ (ωB∧ GQ) aGH = aQ+ ˙ωH ∧ QGH + ωH ∧ (ωH ∧ QGH) • ruota anteriore: ΩF = u rF ωF = ωH + ΩFbδ aGF = aQ+ ˙ωH ∧ QGF + ωH ∧ (ωH ∧ QGF) • ruota posteriore ΩR= u rR ωR= ωB+ ΩRb aR= aG+ ˙ωB∧ GGR+ ωB∧ (ωB∧ GGR)

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L’equilibrio traslazionale globale pu`o essere scritto nella forma:

FF + FR+ mg = maG

dove con:

Fi = Fxii + Fyij + Fzik

si è posto le forze risultanti dall’interazione tra pneumatici e strada e con m la massa totale del veicolo, compreso il pilota. Poiché la ruota anteriore e trascinata la forza longitudinale FxF è nulla.

Le equazioni di equilibrio rotazionale rispetto al centro di massa G lungo gli assi x, y e z sono espresse da:

GA ∧ FF + GP ∧ FR+ Cimbk = N

X

k

(GGk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk)

dove i termini sulla sinistra rappresentano il momento delle forze esterne, in cui si ha anche la coppia verticale fittizia, mentre la parte sulla destra è relativa al momento delle forze d’inerzia, cioé la derivata temporale del momento angolare. In particolare GA e GP sono i vettori tra centro di massa G al centro delle impronte a terra delle ruote, rispettivamente, anteriore e posteriore, GGkè il vettore tra il centro di massa

del veicolo e il centro di massa di ogni corpo Gk, IGk `e il tensore d’inerzia di ogni

corpo relativo al proprio centro di massa, ωk e ˙ωk sono le velocit`a e accelerazioni

angolari di ogni corpo, entrambe espresse nel sistema di riferimento del corpo, e N `e il numero di corpi (N = 4 in questo caso).

Allo stesso modo, è stata ricavata un’equazione di equilibrio rotazionale per l’a-vantreno in direzione dell’asse di sterzo è stata ricavata considerando il momento delle forze esterne (in questo caso si ha anche la coppia c applicata dal pilota al ma-nubrio) e delle forze d’inerzia rispetto al punto Q. Questo, infatti, è un cinematismo ad un grado di libertà (δ) rispetto al telaio.

(31)

Il ritardo di risposta delle forze laterali viene introdotto con un’equazione diffe-renziale del primo ordine:

d u

˙

Fy+ Fy = Y (α, γ) = Cαα + Cγγ

dove d `e la lunghezza di rilassamento, e le altre grandezze sono state discusse in precedenza.

Concludendo, il modello è governato da nove equazioni (sette di equilibrio e due relative al ritardo di risposta delle due forze laterali) nelle seguenti incognite: la velocità longitudinale u(t), la velocità laterate v(t), la velocità d’imbardata r(t), l’angolo di rollio φ(t), l’angolo di sterzo δ(t), i due carichi verticali Fzi e le due forze

laterali Fyi.

3.1.6 Linearizzazione

Una volta note le equazioni dinamiche del sistema `e possibile procedere con la loro linearizzazione.

Il primo passo però è riportare il sistema di nove equazioni differenziali del primo e secondo ordine (si hanno termini in ¨δ e ¨φ) a un sistema di equazioni del primo ordine. Per fare ciò si effettua un cambio di variabile, ponendo:

˙ φ = Φ ˙δ = ∆ ¨ φ = ˙Φ ¨ δ = ˙∆

(32)

In questo modo si hanno nove equazioni negli stati:

x = [u, v, r, ∆, Φ, FzF, FzR, FyF, FyR, δ, φ]

con ingresso:

u = (Cimb)

A questo punto, annullando il vettore ˙x e imponendo una traiettoria definita da u e φ, si possono calcolate i valori di equilibrio ¯q delle incognite:

q = [δ, v, r, FxR, FyF, FyR, FzF, FzR, c]

Riordinando il sistema nella forma:

˙x = f (x, u)

si osserva che le equazioni dei carichi verticali non sono differenziali, ma combina-zione lineare degli stati e quindi `e possibile rimuoverle dal sistema, in quanto non servono per la risoluzione delle equazioni differenziali. In questo modo il vettore degli stati si riduce a:

x = [u, v, r, ∆, Φ, FyF, FyR, δ, φ]

Per ogni coppia di u e φ. a questo punto `e possibile procedere con la linearizzazione del sistema, calcolando la matrice dinamica:

A(u, φ) = ∂f (x) ∂x e la matrice:

B(u, φ) = ∂f (x) ∂u

(33)

calcolate per q = q, u = u e φ = φ.

Inoltre imponendo che lo sterzo sia bloccato, cio`e che ∆ = 0 e δ = δ, si riduce il numero di stati a 7.

Concludendo il sistema linearizzato `e nella forma:

˙x = A(u, φ)x + B(u, φ)u

con vettore degli stati:

x = [u, v, r, Φ, FyF, FyR, φ]

3.2 Modello a tre ruote

3.2.1 Descrizione del modello

La geometria di questo modello `e la stessa di quello multibody. Le ipotesi assunte sono le stesse del modello a bicicletta (par.3.1.1).

3.2.2 Geometria del modello

Anche per il sistema a tre ruote il primo passo `e quello di introdurre dei versori notevoli in modo che la descrizione della geometria sia chiara e univoca. Il sistema di versori cos`ı definito `e visibile in fig.3.4.

Il sistema di riferimento globale è posizionato nella mezzeria della carreggiata delle ruote posteriori. Allo stesso modo si definiscono i versori i, j e k. In questo caso è utile prendere come riferimento il piano medio del veicolo, che ruota lo stesso dell’angolo di rollio φ, cosicché la direzione perpendicolare a questo piano definisce il versore b, da cui è possibile ricavare il versore a.

Per la geometria del cinematismo posteriore sia le ruote che i bracci di collega-mento verticali rimangono sempre paralleli tra di loro durante il moto del veicolo,

(34)

Figura 3.4: Sistema di versori del modello a tre ruote.

per questo `e sufficiente definire sono i due versori a e b, altrimenti andrebbe definita una coppia per ogni ruota.

Per la direzione dei forcelloni vengono definiti:

i21 = cos(θ21)i + sin(θ21)a

i22 = cos(θ22)i + sin(θ22)a

Per la direzione dei bracci di collegamento:

a21 = GS1E1 kGS1E1k a22 = GS2E2 kGS2E2k

Per quanto riguarda l’anteriore, il sistema di sterzo `e identico al modello a due ruote, quindi anche i versori definiti sono rimasti invariati.

(35)

Figura 3.5: Gradi di libert`a del modello a tre ruote. in ogni configurazione.

3.2.3 Gradi di libert`

a

Il sistema di riferimento è stato assunto avere origine in N che, anche in questo caso, è la proiezione sulla strada del centro di massa G lungo il piano di mezzeria del veicolo. Questo ha asse x lungo la direzione della velocità longitudinale del veicolo, l’asse z sempre ortogonale alla strada e l’asse y di conseguenza (fig.3.5).

Sulla base delle ipotesi assunte e il sistema di riferimento preso, le seguenti variabili di stato descrivono completamente il sistema:

• velocit`a longitudinale e laterale (u e v rispettivamente) del punto N ; • velocit`a di imbardata del telaio r;

• rotazione relativa tra il sistema di sterzo e il telaio attorno all’asse di sterzo, cio´e l’angolo di sterzo δ;

(36)

θ21 θ22 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5ϕ (rad) -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 θ_{2 i}(rad)

Figura 3.6: Relazione tra θ21 e θ22 e φ.

• rotazione del telaio attorno l’asse longitudinale x, cio´e l’angolo di rollio φ del veicolo.

• la rotazione attorno all’asse b dei due forcelloni posteriori, cio`e i due angoli θ21 e θ22.

Da simulazioni preliminari del modello in Adams, si osserva che i due angoli θ21 e

θ22 sono legati all’angolo di rollio φ da una relazione lineare, almeno per il primo

tratto (fig.3.6). Per cui sono stati posti i seguenti legami:

θ21= −0.5φ

θ22= 0.5φ

In questo modo le variabili di stato vengono ridotte a 5.

3.2.4 Modello di pneumatico

Il modello di pneumatico `e lo stesso del sistema a due ruote; quindi un modello lineare con la forza laterale proporzionale all’angolo di deriva e all’angolo di camber. Le caratteristiche delle due ruote posteriori sono uguali.

(37)

Per come `e costruito il cinematismo posteriore le ruote possiedono lo stesso angolo di camber:

γR1 = γR2 = φ

L’angolo di deriva `e calcolato tramite le classiche relazioni della dinamica del veicolo:

αR1' − v − r l u − rt2/2 ' −v − r l u αR2' − v − r l u + rt2/2 ' −v − r l u

Possiamo scrivere la seconda relazione in quanto la carreggiata posteriore `e piccola e quindi il termine rt2/2 `e trascurabile rispetto ad u.

3.2.5 Equazioni dinamiche

Si possono scrivere quindi le equazioni della dinamica del sistema. Note la velocit`a e l’accelerazione del telaio, calcolate con le stesse relazioni del modello a due ruote, si possono ricavare i valori di tutti gli altri corpi, riportati di seguito:

• sistema di sterzo ωH = ωB+ ˙δe aQ = aG+ ˙ωB∧ GQ + ωB∧ (ωB∧ GQ) aGH = aQ+ ˙ωH ∧ QGH + ωH ∧ (ωH ∧ QGH) • ruota anteriore: ΩF = u rF ωF = ωH + ΩFbδ aGF = aQ+ ˙ωH ∧ QGF + ωH ∧ (ωH ∧ QGF)

(38)

• forcellone sinistro ωS1 = ωB+ ˙θ21b aT1 = aG+ ˙ωB∧ GT1+ ωB∧ (ωB∧ QT1) aGS1 = aT1 + ˙ωS1∧ T1GS1+ ωS1∧ (ωS1∧ T1GS1) • forcellone destro ωS2 = ωB+ ˙θ22b aT2 = aG+ ˙ωB∧ GT2+ ωB∧ (ωB∧ QT2) aGS2 = aT2 + ˙ωS2∧ T2GS2+ ωS2∧ (ωS2∧ T2GS2)

• ruota posteriore sinistra:

ΩR1=

u rR

ωR1 = ˙φi + rk + ΩR1b

aR1= aG+ ˙ωR1∧ GGR1+ ωR1∧ (ωR1∧ GGR1)

• ruota posteriore destra:

ΩR2=

u rR

ωR2 = ˙φi + rk + ΩR2b

aR2= aG+ ˙ωR2∧ GGR2+ ωR2∧ (ωR2∧ GGR2)

L’equilibrio traslazionale globale si pu`o scrivere come:

FF + FR1+ FR1+ mg = maG

dove con:

(39)

si è indicata la forza risultante dall’iterazione tra pneumatici e strada. Poiché la ruota anteriore è trascinata la forza longitudinale FxF è nulla. Le forze longitudinali

posteriori sono definite come:

FxR1= Fx+ ∆F = Fx+ Cimb t2 FxR2 = Fx− ∆F = Fx− Cimb t2

In queste il secondo termine ∆F `e ricavato dall’equilibrio rotazionale lungo l’asse z delle ruote posteriori (Fig.2.9).

Le equazioni di equilibrio rotazionale rispetto al centro di massa G lungo gli assi x, y e z sono espresse da:

GA ∧ FF + GP21∧ FR1+ GP22∧ FR2= N

X

k

(GGk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk)

dove i termini sulla sinistra rappresentano il momento delle forze esterne e la parte sulla destra `e relativa al momento delle forze d’inerzia.

Allo stesso modo, considerando il momento delle forze esterne e delle forze d’i-nerzia rispetto al punto Q, `e stata ricavata un’equazione di equilibrio rotazionale per l’avantreno lungo l’asse di sterzo.

Per l’equilibrio del cinematismo posteriore viene prima effettuato l’equilibrio ro-tazionale lungo l’asse y della singola ruota e del forcellone, andando a calcolare la forza trasmessa dal braccio di collegamento tra forcellone e il braccio a bilanciere considerando il momento delle forze di inerzia di questi rispetto alle cerniere T1 e

T2: FR1∧ P21T1− Ft1∧ GS1T1 = N X k (T1Gk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk) FR2∧ P22T2− Ft2∧ GS2T2 = N X k (T2Gk∧ mkaGk+ IGkω˙k+ ωk∧ IGkωk)

(40)

Figura 3.7: Schema di equilibrio del sistema forcellone pi`u ruota.

dove il secondo termine sono i momenti delle forze di inerzia dei forcelloni e delle ruote. Da queste vengono ricavate Ft1 e Ft2. Note queste forze, si pu`o imporre

l’equilibrio rotazionale del braccio a bilanciere attorno all’asse x:

(Ft1∧ E1E) · i = (Ft2∧ E2E) · i

Il ritardo di risposta delle forze laterali viene introdotto con la stessa equazione del modello a due ruote.

In definitiva, il modello è governato da 11 equazioni (otto di equilibrio e tre relative al transitorio delle forze laterali dei pneumatici) nelle seguenti incognite: la velocità longitudinale u(t), la velocità laterate v(t), la velocità d’imbardata r(t), l’angolo di rollio φ(t), l’angolo di sterzo δ(t), i tre carichi verticali Fzi e le tre forze

(41)

3.2.6 Linearizzazione

Allo stesso modo del modello a bicicletta, note le equazioni della dinamica del sistema `e possibile procedere con la loro linearizzazione.

Si riporta quindi il sistema da equazioni differenziali del primo e secondo ordine a equazioni differenziali del primo ordine, effettuando il cambio di variabili come nel modello a due ruote. In questo modo si ottengono undici equazioni negli stati:

x = [u, v, r, ∆, Φ, FxF, FzR1, FzR2, FyF 1, F yR1, FyR2, δ, φ]

con ingresso:

u = [Cimb]

A questo punto, annullando il vettore ˙x e imponendo una traiettoria definita da u e φ, si possono calcolate i valori di equilibrio ¯q delle incognite:

q = [δ, v, r, Fx, FyF, FyR1, FyR2, FzF, FzR1, FzR2, c]

Riordinando il sistema si osserva che i carichi verticali sono equazioni lineari negli stati del sistema e non compaiono nelle equazioni differenziali perci`o `e possibile ridurre il vettore degli stati a:

x = [u, v, r, ∆, Φ, FyF 1, F yR1, FyR2, δ, φ]

Per ogni coppia di u e φ. a questo punto `e possibile procedere con la linearizzazione del sistema, calcolando la matrice dinamica:

A(u, φ) = ∂f (x) ∂x e la matrice:

B(u, φ) = ∂f (x) ∂u

(42)

calcolate per q = q, u = u e φ = φ.

Imponendo inoltre che lo sterzo sia bloccato, cio`e che sia ∆ = 0 e δ = δ, si riduce il numero di stati a 8. Concludendo il sistema linearizzato `e nella forma:

˙x = A(u, φ)x + B(u, φ)u

con vettore degli stati:

(43)

Simulazioni e analisi dei risultati

4.1 Modelli multibody

Come detto, lo scopo della tesi `e comprendere in che modo le forze longitudinali influenzano la dinamica del veicolo in curva. Per questo `e stata studiata la risposta del sistema analizzando l’effetto della coppia verticale posteriore Cimb sull’angolo di

rollio φ in varie condizioni. Per prima cosa `e stato imposto un rollio target φt al

controllore della velocità del sistema di sterzo (visibile in Fig. 4.1 per tre diversi valori dell’angolo di rollio finale desiderato), in modo tale che, una volta raggiunta la funzione obiettivo, il modello si posizioni su una traiettoria curvilinea di raggio costante. Allo stesso tempo il controllore della velocità porta il sistema alla velocità

Figura 4.1: Funzione obiettivo del rollio per tre diverse configurazioni.

(44)

Figura 4.2: Andamento velocit`a VG per tre diverse configurazioni.

desiderata Vt. In Fig. 4.2 si ha l’andamento della velocit`a del baricentro VG nel

tempo.

Una volta portato a regime il sistema, si hanno due azioni contemporanee: la velocit`a di sterzo ˙δv si annulla e viene azionata la coppia verticale posteriore Cimb.

Si studia quindi la risposta del rollio del telaio al variare del rollio iniziale φ, della velocit`a VG e della coppia verticale posteriore Cimb = ±50 Nm. In Fig. 4.3a e

4.3b si ha la risposta del sistema per il modello a bicicletta, mentre in Fig. 4.3c e 4.3d si ha la risposta per il modello a tre ruote, entrambi per Cimb > 0. In Fig. 4.4a

e 4.4b si ha la risposta del sistema per il modello a bicicletta, mentre in Fig. 4.4c e 4.4d si ha la risposta per il modello a tre ruote per Cimb < 0.

Si osserva che, nel caso del modello a due ruote, una coppia verticale Cimb > 0

comporti un effetto stabilizzante sul sistema, infatti tende a ”raddrizzare” il telaio ed ha un effetto tanto più rapido quanto più alta è la velocità del veicolo.

Nel caso del modello a tre ruote, la stessa coppia Cimb > 0 ha un effetto diverso a

seconda della velocità del mezzo: per basse velocità si ha un effetto destabilizzante, mentre per velocità più elevate la coppia ha un effetto simile al due ruote, quindi un effetto stabilizzante.

Nel caso in cui Cimb < 0, per il modello a bicicletta questa risulta sempre

desta-bilizzante, mentre nel caso del modello a tre ruote, si ha un’effetto diverso a seconda della velocità: velocità basse stabilizzano mentre velocità alte destabilizzano.

(45)

u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.1 0.1 0.2 ϕ (rad)

(a) Rollio del telaio del modello 2 ruote con

φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.2 0.2 0.4 ϕ (rad)

(b) Rollio del telaio del modello 2 ruote con

φt= −20 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 ϕ (rad)

(c) Rollio del telaio del modello 3 ruote con

φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.5 ϕ (rad)

(d) Rollio del telaio del modello 3 ruote con

φt= −20 deg.

Figura 4.3: Risposta dello stato φ per Cimb = 50 Nm dei modelli multibody.

u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 ϕ (rad)

φt= −20 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5t (s) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 ϕ (rad)

φt= −20 deg.

(46)

u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.2 0.2 0.4 0.6 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.2 0.2 0.4 ϕ (rad)

φt= −20 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.3 -0.2 -0.1 0.1 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 ϕ (rad)

φt= −20 deg.

Figura 4.5: Risposta dello stato φ per Cimb= 50 Nm dei modelli matematici.

4.2 Modelli analitici

Anche per i modelli matematici le traiettorie sono determinate dalle coppie (u, φ), solo che in questo caso il sistema non viene portato nella configurazione di regime, ma viene linearizzato attorno a questa. Vengono infatti determinati gli equilibri delle equazioni dinamiche per ogni coppia (u, φ), per i quali valori vengono determinate le matrici A(u, φ) e B(u, φ).

Note queste matrici, si valuta la risposta dello stato φ ad un ingresso u = Cimb =

±50 Nm In Fig. 4.5a e 4.5b si ha la risposta del sistema a due ruote, mentre in Fig. 4.5c e 4.5d quella del modello a tre ruote per Cimb > 0. In Fig. 4.6a e 4.6b si

ha la risposta del sistema a due ruote, mentre in Fig. 4.6c e 4.6d quella del modello a tre ruote per Cimb < 0. Per Cimb > 0, come per i modelli multibody, si osserva

che la risposta del modello a bicicletta ha un effetto sempre stabilizzante , mentre quella del modello a tre ruote varia con la velocit`a (basse velocit`a destabilizzano,

(47)

u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 ϕ (rad)

φt= −20 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 ϕ (rad)

φt= −10 deg. u 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t (s) -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 ϕ (rad)

φt= −20 deg.

Figura 4.6: Risposta dello stato φ per Cimb = −50 Nm dei modelli matematici.

mentre alte velocit`a hanno effetto stabilizzante). Per Cimb < 0, si osserva che la

risposta del modello a bicicletta ha un effetto sempre destabilizzante , mentre quella del modello a tre ruote varia con la velocità (basse velocità stabilizzano, mentre alte velocità hanno effetto destabilizzante).

Poiché le risposte del modello matematico linearizzato coincide con quella del modello multibody è possibile usare il primo per l’analisi di stabilità, ricordando che è valida nell’intorno del valore di equilibrio trovato precedentemente.

4.3 Analisi di stabilit`

a

Un possibile metodo per comprendere il perché delle differenze tra i due modelli (due e tre ruote) è lo studio delle derivate di stabilità e delle derivate di controllo delle equazioni del moto. Queste sono i coefficienti che moltiplicano gli stati nelle equazioni linearizzate del moto, che sono i coefficienti delle matrici A(u, φ) e B(u, φ).

(48)

(a) Superficie delle derivate di controllo a1. (b) Superficie delle derivate di stabilit`a a2.

(c) Superficie delle derivate di controllo b1. (d) Superficie delle derivate di stabilit`a b2.

Figura 4.7: Superfici delle derivate di stabilit`a per il modello a bicicletta (blu) e il modello a tre ruote (rosso).

Lo studio `e stato limitato alle equazioni di ¨φ e ˙r, che poste in questa forma diventano:.

¨

φ = a1Cimb+ a2r + a3u + a4v + a5φ + a6Φ + a7FyF + a8FyR

˙r = b1Cimb+ b2r + b3u + b4v + b5φ + b6Φ + b7FyF + b8FyR

I coefficienti presi in considerazione sono stati limitati ad a1, a2, b1 e b2, le cui

superfici, create in funzione di u e φ, sono visibili in Fig. 4.7a, 4.7b, 4.7c e 4.7d. Osservando la superficie dei coefficienti a1 e a2 `e possibile spiegare il comportamento

del modello a bicicletta: per prima cosa il prodotto a2r `e due ordini di grandezza

inferiore ad a1Cimb per cui `e possibile trascurarlo, inoltre, essendo sempre a1 > 0 il

(49)

un effetto stabilizzante per Cimb > 0 e destabilizzante per Cimb< 0 nelle simulazioni

eseguite.

Per quanto riguarda il modello a tre ruote, poich´e non si hanno variazioni dei coef-ficienti con la velocit`a, non si riesce a determinare la causa dei fenomeni riscontrati (nei limiti dell’analisi effettuata).

(50)

Controllore della coppia di

trazione posteriore

Per mostrare le potenzialit`a del sistema, `e stato creato un controllore alla coppia di trazione nel modello a tre ruote:

∆C = k_φp(φt− φ) + kφd

d (φt− φ)

dt

Al veicolo, supposto fermo, viene applicata nel centro di massa una forza laterale di 300N. La risposta del sistema `e rappresentata in Fig.5.1 mentre la coppia ∆C e il disturbo Fd sono visibili in Fig.5.2.

Si osserva dai grafici che, nonostante il veicolo sotto l’effetto del disturbo tenda a cadere, grazie alla coppia alle ruote viene ristabilito l’equilibrio.

`

E possibile usare questo tipo di controllo anche in dinamica, ma poiché si ha una forte dipendenza dei parametri del sistema da u e φ anche le costanti di proporzio-nalità del controllore devono essere studiate al variare della velocità longitudinale e dell’angolo di rollio del veicolo.

(51)

0.5 1.0 1.5 2.0t (s) -0.010 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.000 ϕ (rad)

Figura 5.1: Risposta del rollio.

Fd(N) ΔC (Nm) 0.5 1.0 1.5 2.0t (s) 0 50 100 150 200 250 300 ΔC,Fd

(52)

Conclusioni e sviluppi futuri

6.1 Conclusioni

L’obiettivo della tesi `e stato quello di studiare l’effetto delle forze longitudinali sulla stabilit`a di un veicolo basculante a tre ruote.

Sono stati creati due diversi modelli, un classico modello a bicicletta e un modello a tre ruote, con due ruote al posteriore, sia con software multibody che matematico. Nel modello a bicicletta le forze longitudinali sono considerate inserendo una coppia verticale fittizia sulla ruota posteriore. Nel modello a tre ruote le forze sulle ruote sono considerate grazie alla presenza di una differente coppia di trazione per ruota. Le analisi sono state eseguite portando il veicolo su traiettorie curvilinee di raggio costante; una volta a regime vengono azionate le forze longitudinali.

Dai risultati ottenuti si osserva che per il modello a bicicletta la stabilità è influenzata solamente dalla coppia verticale fittizia applicata alla ruota posteriore. Per il modello a tre ruote, oltre alle forze longitudinali, la stabilità del veicolo è influenzata anche dalla velocità longitudinale.

Per spiegare queste differenze tra i modelli `e stato usato un approccio basato sulle derivate di stabilit`a e sulle derivate di controllo. In questo modo si riesce a spiegare il comportamento del modello a bicicletta: il segno dell’accelerazione

(53)

angolare del rollio dipende solamente dal segno della coppia verticale inserita. Per il modello a tre ruote, avendo la dipendenza del modello da multipli stati, con l’analisi ridotta eseguita non si riesce a spiegare il comportamento riscontrato nelle simulazioni eseguite. Un’analisi pi`u accurata `e necessaria.

Per mostrare le potenzialità del sistema, è stato creato un controllo PD della coppia di trazione. Simulazioni sono state eseguiti nel caso di veicolo fermo soggetto ad un disturbo dovuto ad una forza laterale. Il controllo funziona egregiamente, riuscendo ad annullare l’effetto del disturbo e a stabilizzare il veicolo mantenendo-lo in posizione verticale. Applicazioni del controlmantenendo-lo con veicomantenendo-lo in movimento sono possibili ma, come riscontrato dalle analisi eseguite, il modello dipende da più sta-ti, quindi anche le costanti del controllore devono essere ricercate al variare della velocità longitudinale e dell’angolo di rollio.

6.2 Sviluppi futuri

A partire dai modelli sviluppati in questa tesi, si riportano di seguito un elenco dei possibili sviluppi futuri e miglioramenti del lavoro svolto:

• introduzione degli ammortizzatori e la rigidezza radiale degli pneumatici; • estendere lo studio delle derivate di stabilit`a a pi`u stati per spiegare il

com-portamento del modello a tre ruote;

(54)

[1] Ua tire model https://repository.arizona.edu/handle/10150/184478

[2] Sponziello A. Analisi dinamica di veicoli. Studio di uno scooter basculante a tre ruote. Revisione critica dell’handling diagram. Tesi di Dottorato di Ricerca. Universit`a di Pisa, 2008.

[3] Guiggiani M. The science of vehicle dynamics: handling, braking, and ride of road and race cars. Springer, Dordrecht

[4] Bucchi F, Cer`u F, Frendo F (2017) Stability analysis of a novel four-wheeled motorcycle in a straght running. Meccanica 52:2603-2613

[5] Cossalter V, Motorcycle Dynamics. A cura di Lulu. 2006.