3.1 Si dimostri che gli unici ideali di un campo K sono {0K} e K. Svolgimento
Sia I un ideale di K. Se esiste i 6= 0K in I, allora i−1i = 1K ∈ I. Ne segue k1K ∈ I per ogni k ∈ K, da cui I = K.
3.2 Siano d1, d2∈ D, dominio di integrit`a . Si dimostri che hd1i ≥ hd2i ⇔ d1|d2.
Svolgimento
Ricordiamo che, per d ∈ D, si definisce hdi := {dq | q ∈ D}. In particolare d = d 1 appartiene a hdi.
Sia hd1i ≥ hd2i. Da d2 ∈ hd1i segue d2 = d1q, per un opportuno q ∈ D. Pertanto d1 divide d2.
Viceversa, supponiamo d1|d2, ossia d2 = d1q1, per un opportuno q1 ∈ D. Da d2q = d1(q1q), per ogni q ∈ D, segue hd1i ≥ hd2i.
3.3 Nell’anello Z, si dimostri che h3i = hzi ⇔ z = ±3. Svolgimento
Ricordiamo che, per a ∈ Z, si definisce hai := {ak | k ∈ Z}. In particolare a = a 1 appartiene a hai.
Sia hzi = h3i. Ne segue 3 ∈ hzi, ossia 3 = zk per un opportuno intero k. Pertanto z = ±1 o z = ±3. Se fosse z = ±1 si avrebbe hzi = Z 6= h3i. Si conclude z = ±3.
24 ESERCIZI III. MODULI F.G. SU PID
Viceversa sia z = −3.
Da 3k = −3(−k) per ogni k ∈ Z, segue h3i ≤ h−3i. Da (−3)k = 3(−k) per ogni k ∈ Z, segue h−3i ≤ h3i. Pertanto h−3i = h3i.
3.4 Nell’anello Q[x], si dimostri che
hx2− 1i = hf (x)i ⇔ f (x) = λ(x2− 1), 0 6= λ ∈ Q.
Svolgimento
Ricordiamo che, per g(x) ∈ Q[x], si definisce
hg(x)i := {g(x)q(x) | q(x) ∈ Q[x]} . In particolare g(x) = g(x) 1 appartiene a hg(x)i.
Sia hx2− 1i = hf (x)i. Ne segue x2− 1 = f (x)q(x) per un opportuno polinomio q(x), da cui f (x) = λ, o f (x) = λ(x − 1), o f (x) = λ(x + 1) o f (x) = λ(x2− 1), per un opportuno λ ∈ Q non nullo. Siccome λ, λ(x − 1) e λ(x + 1) non sono multipli di x2− 1, avendo grado < 2, si conclude f (x) = λ(x2− 1), per qualche numero razionael λ 6= 0.
Viceversa sia f (x) = λ(x2− 1), 0 6= λ ∈ Q. Da (x2− 1)q(x) = λ(x2− 1)
λ−1q(x) per ogni q(x) ∈ Q[x], segue hx2− 1i ≤ hλ(x2− 1)i.
Da λ(x2− 1)q(x) = (x2− 1) (λq(x)) per ogni q(x) ∈ Q[x], segue hλx2− 1i ≤ h(x2− 1)i.
Pertanto hx2− 1i = hλx2− 1i.
3.5 Si dimostri che, se K `e un campo, allora tutti gli ideali di K[x] sono principali. Svolgimento
Sia I un ideale di K[x]. Se I `e l’ideale nullo, `e generato dal polinomio nullo. Altrimenti sia d(x) un polinomio di I di grado minimo fra i polinomi non nulli di I. Per definizione di ideale ogni multiplo di d(x) appartiene a I. D’altra parte, sia a(x) un polinomio di I. Dividendo a(x) per d(x) si ha a(x) = d(x)q(x) + r(x), dove r(x) ha grado strettamente inferiore a quello di d(x). Poich`e r(x) = a(x) − d(x)q(x) appartiene a I essendo somma
25
di due suoi elementi, ne segue che r(x) `e il polinomio nullo per la minimalit`a del grado di d(x). Pertanto a(x) = d(x)q(x) `e multiplo di d(x). Concludiamo che I `e l’insieme dei multipli di d(x), ossia `e generato da d(x).
3.6 Sia M = un D-modulo f.g. e d(M ) indichi il minimo numero dei suoi generatori. Si dimostri che:
1) se N `e immagine epimorfa di M allora d(N ) ≤ d(M );
2) se M = X + Y , con X e Y sottomoduli, allora d(M ) ≤ d(X) + d(Y ). Svolgimento
1) Sia f : M → N un epimorfismo di D-moduli. Posto d(M ) = n, fissiamo un insieme di generatori di M
{m1, . . . , mn} di M , avente cardinalit`a minima n. La sua immagine
{f (m1) , . . . , f (mn)}
ha cardinalit`a ≤ n e genera N per la suriettivit`a di f . Infatti, per ogni y ∈ N , esiste x ∈ M tale che f (x) = y. Da x =Pn
i=1dimi, per opportuni coefficenti di ∈ D, segue y = f (x) = n X i=1 dif (mi). Pertanto d(N ) ≤ n.
2) Posto d(X) = k, sia {x1, . . . , xk} un insieme di generatori di X. Analogamente, posto d(Y ) = h, sia{y1, . . . , yh} un insieme di generatori di Y .
Verifichiamo che
S := {x1, . . . , xk, y1, . . . , yh} `
e un insieme di generatori di M . Infatti, per ogni m ∈ M , esistono x ∈ X e y ∈ Y tali che m = x + y. Da x = k X i=1 aixi, y = h X i=1 biyi
per opportuni coefficenti ai, bj ∈ D, segue
m = k X i=1 aixi+ k X i=1 biyi.
26 ESERCIZI III. MODULI F.G. SU PID
3.7 Sia M = M1+ M2 un D-modulo. Si dimostri che
Ann (M ) = Ann (M1) ∩ Ann (M2).
Svolgimento
Ann (M ) ≤ Ann (M1). Sia infatti x ∈ Ann (M ). Per ogni m1 ∈ M1, si ha m1 ∈ M da cui xm1 = 0M. Pertanto x ∈ Ann (M1). Analogamente si dimostra Ann (M ) ≤ Ann (M2). Ne segue
Ann (M ) ≤ Ann (M1) ∩ Ann (M2).
Viceversa sia x ∈ Ann (M1) ∩ Ann (M2). Per ogni m ∈ M esistono m1 ∈ M1, m2 ∈ M2 tali che m = m1+ m2. Da x ∈ Ann (M1) segue xm1 = 0M. Da x ∈ Ann (M2) segue xm2 = 0M. Pertanto xm = xm1+ xm2 = 0M, da cui x ∈ Ann (M ). Abbiamo cos`ı verificato
Ann (M1) ∩ Ann (M2) ≤ Ann (M ). La doppia inclusione d`a la tesi.
3.8 Si calcolino gli annullatori dei seguenti Z-moduli: Z, Z 2Z, Z 5Z, Z 2Z ⊕ Z 5Z, Z 6Z ⊕ Z 9Z. Svolgimento Ann (Z) = {0}. Ann Z 2Z = 2Z. Ann Z 5Z = 5Z. Ann Z 2Z ⊕ Z 5Z = 5Z = 2Z ∩ 5Z = 10Z. Ann Z 6Z ⊕ Z 9Z = 5Z = 6Z ∩ 9Z = 18Z.
3.9 Si dimostri che l’applicazione f : Z → Z2⊕Z5tale che z 7→ [z]2 [z]5
!
`e un epimorfismo di Z-moduli. Per ciascun elemento del codominio, si indichi una preimmagine in Z. Si determini Ker f .
27
Per ogni z, t ∈ Z si ha:
f (z + t) := [z + t]2 [z + t]5 ! = [z]2 [z]5 ! + [t]2 [t]5 ! = f (z) + f (t). Pertanto f `e un omomorfismo.
Dato un generico elemento [a]2 [b]5
!
di Z2⊕ Z5, mediante il Teorema cinese del resto si trova che una sua preimmagine in Z `e 5a − 4b. Pertanto f `e suriettiva.
Per z ∈ Z si ha f (z) = [z]2 [z]5 ! = [0]2 [0]5 !
se e solo se 2|z e 5|z, se e solo se 10|z. Pertanto Ker f = 10Z. Per il Teorema fondamentale degli omomorfismi
Z
10Z = Z10' Z2⊕ Z5. 3.10 Si dica se l’applicazione f : Z → Z2⊕ Z4 tale che
z 7→ [z]2 [z]4
!
`
e un omorfismo di Z-moduli, e se `e suriettiva. Svolgimento
Per ogni z, t ∈ Z si ha:
f (z + t) := [z + t]2 [z + t]4 ! = [z]2 [z]4 ! + [t]2 [t]4 ! = f (z) + f (t). Pertanto f `e un omomorfismo. f non `e suriettiva. Si vede in due modi. I modo Ker f = 4Z, da cui Z
4Z = Z4' Imf . Ne segue che |Imf | = 4. D’altra parte |Z2⊕ Z4| = 8 > 4.
II modo L’elemento [1]2 [2]4
!
non ha preimmagini in Z. Infatti, detta z una sua eventuale preimmagine dovrebbe essere contemporaneamente
(
z ≡ 1 (mod 2) z ≡ 2 (mod 4)
28 ESERCIZI III. MODULI F.G. SU PID
La seconda condizione implica z = 4k + 2, con q ∈ Z, da cui z = 2(2k + 1) pari, contraddizione.
3.11 Si dimostri che l’applicazione f : Q[x] → hxQ[x]2+2i ⊕ Q[x]
hx3+1i tale che a(x) 7→ x2+ 2 + a(x)
x3+ 1 + a(x) !
`
e un epimorfismo di Q[x]-moduli. Si indichi una preimmagine di x2+ 2 + x + 4
x3+ 1 + x2
!
in Q[x]. Si determini Ker f . Svolgimento
Poniamo I =x2+ 2 , J = x3+ 1 . Per ogni a(x), b(x) ∈ Q[x] si ha: f (a(x) + b(x)) := I + a(x) + b(x) J + a(x) + b(x) ! = I + a(x) J + a(x) ! + I + b(x) J + b(x) ! = f (a(x)) + f (b(x)) . f (a(x)b(x)) := I + a(x)b(x) J + a(x)b(x) ! = a(x) I + b(x) J + b(x) ! = a(x)f (b(x)) .
Pertanto f `e un Q[x]-omomorfismo. f `e suriettiva per il Teorema cinese del resto. Infatti, risolvendo il relativo sistema di congruenze, si trova che una preimmagine in Q[x] del generico elemento x2+ 2 + a(x) x3+ 1 + b(x) `
e 19(x3+ 1)(2x + 1)a(x) + (x2+ 2)(−2x2− x + 4)b(x). In particolare per a(x) = (x + 4), b(x) = x2 si ha una preimmagine dell’elemento richiesto.
Ker f `e l’ideale di Q[x] generato da (x3+ 1)(x2+ 2), ossiax5+ 2x3+ x2+ 2 . 3.12 Si dica se l’applicazione f : Q[x] → hxQ[x]2−1i ⊕ Q[x]
hx−1i tale che a(x) 7→ x2− 1 + a(x)
hx − 1i + a(x) !
`
29
Svolgimento
Ponendo I = x2− 1 , J = hx − 1i e ragionando come nell’esercizio precedente, si ha che f `e un omomorfismo di Q[x]-moduli. Tuttavia, poich`e x2 − 1 e x − 1 non sono coprimi, non si pu`o applicare il Teorema Cinese del resto. In effetti f non `e suriettiva. Ad esempio l’elemento
x2− 1 + x − 1 hx − 1i + 1
!
non ha alcuna preimmagine. Infatti, detta c(x) una sua eventuale preimmagine, dovrebbe essere
c(x) ≡ x − 1 (mod (x2− 1)) c(x) ≡ 1 (mod (x − 1))
La prima condizione implica c(x) ≡ 0 (mod (x − 1)), in contrasto con la seconda. 3.13 Sia I l’deale di K[x] generato dal polinomio d(x), di grado n > 0. Si provi che ad ogni laterale di I appartiene un unico polinomio r(x) di grado ≤ n − 1.
Svolgimento
Sia I + f (x) un laterale, con f (x) ∈ K[x]. Dividendo f (x) per d(x) si ha f (x) = d(x)q(x) + r(x), dove r(x) ha grado ≤ n − 1. Da r(x) = d(x) (−q(x)) + f (x) segue r(x) ∈ I + f (x). Infine, sia s(x) ∈ I + f (x) = I + r(x), con deg s(x) ≤ n − 1. Il polinomio differenza s(x) − r(x) ha grado ≤ n − 1 e deve essere divisibile per d(x), che ha grado n. Si conclude che s(x) − r(x) = 0, da cui s(x) = r(x).
3.14 Per i seguenti moduli si dia un insieme di generatori minimale come Q[x]-modulo e un insieme di generatori minimale come Q-Q[x]-modulo:
M = Q[x]
hx + 4i , N =
Q[x]
hx3+ 2x − 1i, M ⊕ N. Si dimostri che M , N e M ⊕ N , come Q[x]-moduli, non hanno base. Svolgimento
Come Q[x]-moduli M , N e M ⊕ N sono tutti generati da 1 elemento (non essendo nulli, non possono essere generato da 0 elementi). Ad esempio hx + 4i + 1 genera M , x3+ 2x − 1 + 1 genera N e x4+ 4x3+ 2x2+ 7x − 4 + 1 genera M ⊕ N .
Se avessero una base come Q[x]-moduli sarebbero liberi, in particolare privi di tor-sione. Ma i loro ideali annullatori in Q[x] sono rispettivamente hx + 4i, x3+ 2x − 1 e x4+ 4x3+ 2x2+ 7x − 4 .
30 ESERCIZI III. MODULI F.G. SU PID
Tenendo presente l’esercizio precedente, si ottengono le seguenti Q-basi: • {hx + 4i + 1} per M ;
• x3+ 2x − 1 + 1, x3+ 2x − 1 + x, x3+ 2x − 1 + x2
per N ; Ponendo I = hx + 4i, J =x3+ 2x − 1 , una base di M ⊕ N `e :
I + 1 J + 0 ! , I + 0 J + 1 ! , I + 0 J + x ! , I + 0 J + x2 ! .
3.15 Si determinino l’ordine, i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti, la forma normale, l’annullatore, il minimo numero di generatori d(A) e d(B) dei seguenti gruppi abeliani:
A := Z20⊕ Z120⊕ Z50, B := Z9⊕ Z3⊕ Z3⊕ Z27.
Svolgimento
|A| = 20 · 120 · 50 = 120000, divisori elementari 4, 5, 8, 3, 5, 2, 25,
A ' Z2⊕ Z4⊕ Z8⊕ Z3⊕ Z5⊕ Z5⊕ Z25 (decomposizione primaria). Fattori invarianti: d3= m.c.m {4, 5, 8, 3, 5, 2, 25} = 8 · 38 · 25 = 600 d2= m.c.m {4, 5, , 5, 2} = 4 · 5 = 20 d1= m.c.m {2, 5} = 10. A ' Z10⊕ Z20⊕ Z600 (forma normale). Ann (A) = 600Z. d(A) = 3.
|B| = 9 · 3 · 3 · 27 = 37, divisori elementari 3, 3, 9, 27.
B `e gi`a assegnato mediante una sua decomposizione primaria (definita a meno di per-mutazioni degli addendi diretti).
Fattori invarianti: d4 = 27, d3= 9, d2 = d1= 3.
B ' Z3⊕ Z3⊕ Z9⊕ Z27 (forma normale). Ann (B) = 27Z. d(B) = 4.
31 Svolgimento • Zp⊕ Zp⊕ Zp⊕ Zp; • Zp⊕ Zp⊕ Zp2; • Zp⊕ Zp3; • Zp2 ⊕ Zp2; • Zp4;
3.17 Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 120. Svolgimento
Detta d1, . . . , dtla sequenza dei fattori invarianti di un gruppo abelliano di ordine 120 = 23· 3 · 5 si ha t ≤ 3.
• t = 3, d1= d2 = 2, d3= 30, Z2⊕ Z2⊕ Z30; • t = 2, d1= 2 d2 = 60, Z2⊕ Z60;
• t = 1, d1= 120, Z120.
3.18 Si determinino i gruppi abeliani non isomorfi di ordine 324. Svolgimento
Detta d1, . . . , dtla sequenza dei fattori invarianti di un gruppo abelliano di ordine 324 = 22· 34 si ha t ≤ 4. • t = 4, d1= d2 = 3, d3= d4 = 6, Z3⊕ Z3⊕ Z6⊕ Z6; • t = 4, d1= d2 = d3= 3, d4 = 12, Z3⊕ Z3⊕ Z3⊕ Z12; • t = 3, d1= 3, d2 = 6, d3 = 18, Z3⊕ Z6⊕ Z18; • t = 3, d1= d2 = 3, d3= 36, Z3⊕ Z3⊕ Z36; • t = 2, d1= 3, d2 = 108, Z3⊕ Z108; • t = 2, d1= 2, d2 = 162, Z2⊕ Z162; • t = 2, d1= 9, d2 = 36, Z9⊕ Z36; • t = 2, d1= 18, d2= 18, Z18⊕ Z18; • t = 2, d1= 6, d2 = 54, Z6⊕ Z54; • t = 1, d1= 324, d2= 36, Z324.
3.19 Si determini la decomposizione primaria del C[x]-modulo: V := C[x]
32 ESERCIZI III. MODULI F.G. SU PID
Si calcoli una base di V come C-modulo. Svolgimento
Il numero complesso = eπ4i `e tale che 4 = −1. Ne segue che le radici di x4+ 16 sono 2, 23, 25, 27. Pertanto la decomposizione primaria di V `e :
C[x] h(x − 2)i⊕ C[x] h(x − 23)i⊕ C[x] h(x − 25)i ⊕ C[x] h(x − 27)i. Postox4+ 16 := I, una base di V come C-modulo `e :
I + 1, I + x, I + x2, I + x3 .
3.20 Si scrivano i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale del seguente Z-modulo (= gruppo abeliano):
Z35⊕ Z49⊕ Z50⊕ Z18⊕ Z12. Svolgimento Divisori elementari: 5, 7, 72, 2, 52, 2, 32, 22, 3. Decomposizione primaria: Z5⊕ Z7⊕ Z49⊕ Z2⊕ Z25⊕ Z2⊕ Z9⊕ Z3⊕ Z4. Fattori invarianti: d3= m.c.m2, 2, 22, 3, 32, 5, 52, 7, 72 = 22· 32· 52· 72 = 44100 d2= m.c.m {2, 2, 3, 5, 7} = 2 · 3 · 5 · 7 = 210 d1= 2. Forma normale: Z2⊕ Z210⊕ Z44100.
3.21 Si scrivano i divisori elementari, la decomposizione primaria, i fattori invarianti e la forma normale del seguente Cx]-modulo:
C[x] hx4− 4i ⊕ C[x] hx4− 4x2+ 4i. Svolgimento Divisori elementari: (x −√2), (x +√2), (x −√2i), (x +√2i), (x −√2)2, (x +√2)2.
33 Decomposizione primaria: C[x] x −√2 ⊕ C[x] x +√2 ⊕ C[x] x −√2i ⊕ C[x] x +√2i ⊕ C[x] (x −√2)2 ⊕ C[x] (x +√2)2 . Fattori invarianti: d2(x) = (x −√2i)(x +√2i)(x −√2)2(x +√2)2 = x6− 2x4− 4x2+ 8. d1(x) = x2− 2. Forma normale: C[x] hx2− 2i⊕ C[x] hx6− 2x4− 4x2+ 8i.
Esercizi IV