Ombra geometrica

-4 -2 0 2 4 6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Per valori piccoli di w la funzione I[w ] possiede qualitativamente lo stesso comportamento, vedi figura. Nella regione d’ombra geometrica l’intensità decade monotonamente quando ci si allontana dalla frontiera d’ombra, su questa frontiera si ha I / I₀⩵ 1 / 4. Per w positivi l’intensità possiede mas-simi e minimi in successione. Nel primo massimo, il più grande, I / I₀⩵ 1.37.

■ 25-7 Diffrazione di Fraunhofer

Gli effetti della diffrazione dovuti all’incidenza sugli schermi di fasci piani paralleli presentano un interesse particolare per le applicazioni fisiche. In seguito alla diffrazione il fascio perde il parallelismo e si mostra come luce avanzante in direzioni differenti dalla direzione iniziale. Poniamo il prob-lema della determinazione della distribuzione in direzione dell’intensità della luce diffratta a grandi distanze dietro allo schermo, un modo tale di porre il problema risponde alla diffrazione di Fraunhofer. Inoltre si sup-porrà che si scarti poco dall’Ottica Geometrica, cioè che gli angoli di devi-azione a partire dalla direzione iniziale, angoli di diffrdevi-azione, siano piccoli.

Si potrebbe risolvere il problema posto partendo dalla formula generale (11) nella quale si passa al limite allontanando indefinitamente dagli schermi la sorgente e il punto di osservazione. Una particolarità caratteris-tica del caso considerato è che nell’integrale che definisce l’intensità della luce diffratta tutta la superficie d’onda su cui si integra giuoca un ruolo

superficie integra giuoca

essenziale, contrariamente al caso della diffrazione di Fresnel, nella quale solo le regioni della superficie d’onda vicine ai bordi dello schermo inter-vengono effettivamente.

Si ottengono i criteri di diffrazione di Fresnel e di Fraunhofer ritornando alla formula (19) e applicandola ad una fenditura di larghezza a, al posto del bordo di uno schermo isolato. L’integrazione in ⅆz nella (19) si fa allora tra 0 e a. La diffrazione di Fresnel corrisponde al caso in cui nell’espo nenziale sotto il segno di somma integrale il termine in z² è essenziale e il limite superiore dell’integrale si può sostituire con l’infinito. A questo fine si deve avere

k a² 1 D_p + 1

D_q ≫ 1.

Al contrario, se questa disuguaglianza fosse invertita, si può omettere il termine in z²; questo è il caso della diffrazione di Fraunhofer.

Ciononostante è più semplice riprendere il problema senza ricorrere alla formula generale (11).

Indichiamo con u₀ il campo dietro gli schermi che ci sarebbe stato se le leggi dell’Ottica Geometrica fossero state rigorosamente osservate. Esso rappresenta un’onda piana, la sui sezione trasversale comprende tuttavia delle regioni, corrispondenti all’”ombra” prodotta dagli schermi opachi, in cui il campo è nullo. Indichiamo con S la parte del piano della sezione trasversale in cui il campo u₀ è diverso da zero; poiché ogni piano di questo genere è una superficie d’onda di un’onda piana, si ha u₀⩵costante

su tutta l’area S.

Sviluppiamo il campo u₀ in integrale doppio di Fourier secondo le coordi-nate y e z nel piano della sezione trasversale dell’onda. Si ha per le compo-nenti di Fourier:

u_q^⩵ 

S u0ⅇ^{-ⅈ q r}ⅆy ⅆz, (26)

in cui i q sono dei vettori costanti nel piano {y , z }; l’integrazione viene effettuata infatti solo sulla parte S del piano {y , z } in cui u₀ non è nullo.

Se k è il vettore d’onda dell’onda incidente, allora alla componente del

componente campo u_q^ⅇ^{ⅈ q r} corrisponde il vettore k' ⩵ k +q. Di modo che il vettore q ⩵ k' -k definisce la variazione del vettore d’onda della luce durante la diffrazione. Poiché i valori assoluti sono k ⩵ k ' ⩵ ω / c, risulta che gli angoli piccoli di diffrazione θ_y e θ_z nei piani {x , y } e {x , z } sono legati alle componenti dal vettore q dalle relazioni

q_y ⩵ ω

c θy, q_z ⩵ ω

c θz. (27)

Quando si scarta poco dall’Ottica Geometrica si può ammettere che le com-ponenti dello sviluppo del campo u₀ coincidano con quelle del campo reale della luce diffratta, di modo che la formula (26) risolve il problema posto.

La distribuzione dell’intensità della luce diffratta è determinata dal quadrato u^_q ² come funzione del vettore q. Il legame quantitativo con l’intensità della luce incidente è dato dalla formula

 u⁰²ⅆy ⅆz ⩵ 1

(2 π)²   uq ²ⅆqy ⅆqz. (28) Ciò mostra che l’intensità relativa della diffrazione nell’elemento di angolo solido

ⅆo ⩵ ⅆθy ⅆθz è data dalla quantità

u_q 2

u₀²

ⅆqy ⅆqz

(2 π)² ⩵ ω 2 π c

2 u_q

u₀

2ⅆo. (29)

Consideriamo la diffrazione di Fraunhofer nel caso di due schermi

“complementari”: il primo schermo ha una apertura là dove l’altro è opaco e viceversa. Siano u⁽¹⁾ e u⁽²⁾ i campi della luce diffratta da questi schermi, essendo identica la luce incidente nei due casi. Poiché u⁽¹⁾ e u⁽²⁾ si espri-mono per mezzo degli integrali (26) estesi alle superfici delle aperture negli schermi e che le aperture nell’uno e nell’altro schermo si completano a vicenda occupando tutto il piano risulta che la somma u^{ (}_q ¹⁾+u^{ (}_q ²⁾ sia la componente di Fourier del campo ottenuto in assenza di schermi, cioè tutta la luce incidente. Ma la luce incidente rappresenta un’onda rigorosa-mente piana con una direzione di propagazione determinata, quindi u_q^{ (1)}+u^{ (}_q ²⁾⩵ 0 per tutti i q non nulli. Di modo che u_q^{ (1)}⩵ -u_q^{ (2)} o per le

intensità corrispondenti

u^_q ^{(1) 2} ⩵ u_q^{(2) 2}, q ≠ 0. (30) Ciò significa che gli schermi complementari danno distribuzioni identiche dell’intensità della luce diffratta, principio di Babinet.

Ricordiamo qui una conseguenza interessante del principio di Babinet.

Consideriamo un corpo nero qualunque, cioè un corpo che assorbe total-mente tutta la luce incidente. Secondo l’Ottica Geometrica, quando un tale corpo è illuminato da un fascio parallelo dietro di lui dovrebbe formarsi una regione di ombra geometrica la cui area della sezione dovrebbe essere uguale all’area della sezione del corpo perpendicolare alla direzione di incidenza della luce. Ma la diffrazione implica una deviazione parziale della luce rispetto alla sua direzione iniziale. Insomma a grandi distanze dietro il corpo non c’è ombra e nello stesso tempo che la luce si propaga nella direzione iniziale ci sarebbe anche una certa quantità di luce avan-zante sotto piccoli angoli relativamente alla direzione iniziale. In virtù del principio di Babinet la quantità di luce deviata in seguito alla diffrazione sul corpo considerato è uguale alla quantità di luce che viene deviata nella diffrazione da un’apertura tagliata in uno schermo opaco la cui forma e area coincidono con la forma e l’area della sezione trasversale del corpo.

Ma quando c’è diffrazione di Fraunhofer con una apertura c’è una devi-azione di tutta la luce che attraversa l’apertura. Risulta che la quantità totale di luce diffusa dal corpo nero è uguale alla quantità di luce che rag-giunge la sua superficie e che ivi è assorbita.

■ 25-8 Problemi

◼ 1. Determinare la diffrazione di Fraunhofer quando un’onda piana incide normalmente su una fenditura infinita, di larghezza 2 a, sui bordi paralleli tagliati su uno schermo opaco.

Prendiamo il piano della fenditura come piano {y , z }, essendo l’asse delle z diretto secondo la fenditura, in figura è rappresentata in sezione.

Quando la luce incide normalmente il piano della fenditura è una superfi-cie d’onda che si prende come superfisuperfi-cie d’integrazione nella (26). Poiché la fenditura è infinita, la luce devia nel piano {x , y }, l’integrale (26) si

piano l’integrale

annulla per q_z ≠ 0. Quindi lo sviluppo del campo u₀ si deve effettuare sola-mente secondo la coordinata y:

u_q ⩵ u0

-a a

ⅇ^{-ⅈ q y} ⅆy ⩵ 2 u₀

q Sin[q a].

-

a a

K

K' θ

y

x

x Sin[x]²

x²

L’intensità della luce diffratta nell’intervallo angolare ⅆθ è ⅆI ⩵ I₀

2 a

u_q u₀

2 ⅆq

2 π ⩵ I₀ π a k

Sin[k a θ]² θ² ⅆθ,

in cui k ⩵ ω / c, essendo I₀ l’intensità totale della luce incidente sulla fenditura.

ⅆI / ⅆθ in quanto funzione dell’angolo di diffrazione ha la forma rappresen-tata in figura. Quando θ aumenta da una parte all’altra del valore θ ⩵ 0 l’intensità passa per una serie di massimi le cui altezze diminuiscono rapi-damente. I massimi sono separati nei punti θ ⩵ n π / k a, gli n sono interi, dai minimi in cui l’intensità è nulla.

◼ 2. Stesso problema per la diffrazione con un reticolo, schermo piano attraversato da una serie di fenditure parallele identiche, la larghezza di una fenditura è 2 a, la larghezza della banda opaca che separa due fenditure vicine 2 b, il numero delle fenditure N.

Scegliamo il piano del reticolo come piano {y , z }, essendo l’asse delle z diretto parallelamente alle fenditure. La diffrazione si sviluppa di nuovo

parallelamente sviluppa

Utilizzando i risultati del problema 1 si ottiene ⅆI ⩵ I₀a

essendo I₀ l’intensità totale della luce che attraversa tutte le fenditure.

Quando il numero delle fenditure è grande, N → ∞, questa formula si può mettere sotto un’altra forma. Per i valori q ⩵ π n / d, n intero, ⅆI / ⅆq possiede massimi; nell’intorno di un tale massimo, cioè q d ⩵ n π + ε, con ε piccolo, for-mule note nella teoria delle serie di Fourier,

Limit 1

Si ha di conseguenza nell’intorno di ogni massimo:

ⅆI ⩵ I₀ a

larghezza totale della luce nell’n-esimo massimo è

I⁽ⁿ⁾⩵ I₀ d π²a

Sin[n π a / d ] n

2

.

◼ 3. Determinare la distribuzione dell’intensità secondo le direzioni quando c’è diffrazione di luce a incidenza normale su una apertura circolare di raggio a.

Introduciamo le coordinate cilindriche {z , r , φ}, con l’asse delle z passante dal centro dell’aperttura perpendicolarmente al suo piano. La diffrazione è simmetrica rispetto all’asse delle z, di modo che il vettore q possiede solo una componente radiale qr ⩵ q ⩵ k θ. Contando l’angolo φ a partire dalla direzione di q e integrando la (26) sul piano dell’apertura, si trova:

u_q ⩵ u₀

0 a

0 2 π

ⅇ-ⅈ q r Cos[φ]r ⅆφ ⅆr ⩵ 2 π u0

0 a

J₀[q r ] r ⅆr, in cui J₀ è la funzione di Bessel di ordine zero. Utilizzando la formula nota u_q' è il risultato dell’inegrazione fatta su una fenditura. Utilizzando i risul-tati del problema 1 si ottiene

0 a

J₀[q r ] r ⅆr ⩵ a

q J₁[a q ], si ha:

u_q ⩵ 2 πu₀a

q J₁[a q ],

e in virtù di (29) si trova in definitiva l’intensità della luce diffratta nell’ele-mento di angolo solido ⅆo:

ⅆI ⩵ I₀ J₁[a k θ ]² πθ² ⅆo,

in cui I₀ è l’intensità della luce incidente sull’apertura.

2 4 6 8 10 12 14

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

J₀(qr) J₁(qr)

Grafico delle due funzioni di Bessel.

:-) Orleo



-∞

∞

- ⅈ ⅇ^{ⅈk -x}

θ-θ³ρ 6 

ⅆ θ

ConditionalExpression 1 3 x (k²ρ²)^3/4

ⅈ 2 k²x²^1/4 π  k²x² ρ -x k²ρ² BesselJ-1

3, 2 2 (k²x²)^3/4 3 (k²ρ²)^1/4

 +

π  k²x² ρ -x k²ρ² BesselJ1

3, 2 2 (k²x²)^3/4 3 (k²ρ²)^1/4



-3  k²x² ρ +x k²ρ² BesselK-1

3, 2 2 (k²x²)^3/4 3 (k²ρ²)^1/4

 ,

k x ∈ Reals && k ρ ∈ Reals