Onde elettromagnetiche in due dimensioni

3.6 Onde elettromagnetiche in due dimensioni

Abbiamo visto che le onde elettromagnetiche sono del tipo trasversale (oscillano ortogonalmente alla direzione di propagazione). In generale ci sono due onde una

lungo asse y e l'altra lungo asse z. La loro combinazione da la polarizzazione dell'onda nale. Consideriamo due onde sinusoidali con lo sfasamento α

E_x = A sin (ω t) E_y = B sin (ω t + α) si ottiene ( E_x A )2 + ( E_y B )2 − 2 ( E_xE_y A B ) cos α = sin²α

che rappresenta un elise con gli assi ruotati per un angolo ϕ nel sistema S. Nel sistema S′ la sua equazione è

( E_x^′ a )2 + ( E_y^′ b )2 = 1 il legame tra due sistemi è dato da tan ϕ = ^{2 A B} A2− B2 cos α b² = ^{2 A} 2B² A2+ B2 sin²α 1 + √ 1−⁽ 2 A B A2+B2 )2 sin²α a² = ^{2 A} 2B² A2+ B2 sin²α 1−^√1−⁽ 2 A B A2+B2 )2 sin²α e² ≡ a2− b2 =( A²+ B²)^√ 1− ( 2 A B A2+ B2 )2 sin²α casi speciali

• α = 0, π polarizzazione lineare Ey =± B/A Ex

• α = π/2 polarizzazione ellittica ⁽Ex A )2 + ( Ey B )2 = 1 • α = π/2, A = B polarizzazione circolare E2 x+ E2 y = A2 • A = B → θ = π/4 sempre e b =^√2A sin ϕ/2, a =√ 2A cos ϕ/2

L'ultima formula permette la misura sperimentale della fase α. Si misura la sezione dell'ellisse sull'asse x, che implica

4 MOTO ONDULATORIO

Figure 17: Polarizzazione ellittica delle onde elettromagnetiche

Normalmente, un onda sinusoidale non trasmette un segnale sico perché dispersa in tutto lo spazio. Per localizzare un onda nello spazio bisogna sovrapporre onde di

diverso numero d'onda k. Questo si ottiene usano la trasformata di Furier (vedere l'introduzione matematica).

4 Moto ondulatorio

Moto ondulatorio si può visualizzare come il movimento di una forma che si sposta nello spazio. Il modo semplice di visualizzare un onda è di partire da un oscillatore

armonico descritto dalla equazione a(t)≡ ¨x = −ω2x(t)

che ha le soluzioni, con le condizioni iniziali (x0, v₀ = 0), x(t) = x0cos(ω t)

v(t)≡ ˙x = −ω x0sin(ω t)

Il moto ondulatorio di un'onda è sempre oscillatorio soltanto le oscillazioni avvengono sia nel tempo che nello spazio. In altre parole un onda si propaga nello

4 MOTO ONDULATORIO

spazio mentre compie oscillazioni nel tempo. Dunque, consideriamo due oscillatori armonici, uno oscilla temporalmente e l'altro spazialmente, descritti dalle equazioni

∂2y

∂ t2(x, t) =−ω2y(x, t) ∂²y

∂ x2(x, t) =−k2y(x, t)

sottraendo le due equazioni si arriva al ∂2y ∂ x2(x, t)− ¹ v2 ∂2y ∂ t2(x, t) =− ( k²− ^ω2 v2 ) y(x, t) se si impone la condizione detta relazione di dispersione

k²− ω2

/v² = 0

si arriva all'equazione di un onda in una dimensione

∂2y

∂ x2(x, t)− ¹ v2

∂2y

∂ t2(x, t) = 0 (28)

che ha la soluzione matematica generale

y(x, t) = A e^{i(k x±ω t)}+ B e^{i(k x±ω t)}

le costanti d'integrazione A, B si determinano dalle condizioni iniziali y(0, 0) = A + B, ˙y(0, 0) = i ω (A− B).

Le caratteristiche principali di un onda sono:

• la sua lunghezza d'onda λ, denita come la distanza tra due massimi o due minimi successivi

• e la sua frequenza ν denita come numero di oscillazioni in un unità di tempo

ν = ¹ T

4 MOTO ONDULATORIO

La relazione di base tra di loro è λ· ν = vf

Coeciente k si chiama vettore d'onda di modulo |k| = 2π/λ

e ω si chiama la frequenza angolare ω = 2π ν = 2π/T

.

Consideriamo un caso semplice di un'onda sinusoidale nel momento di tempo iniziale t = 0, con B = 0.

y(x, 0) = A sin (k x) e dopo un tempo t = 0.25 sec y(x, 0.25) = A sin (k x− 0.25 ω)

il graco di queste funzioni è dato dalla gura 18. Si vede che l'onda mantiene la

0 1 2 3 4 5 6 ^x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 sinHxL t=0 t=0.25

Figure 18: Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale

sua forma nel tempo, mentre si sposta a destra nello spazio (per il segno + si sposterebbe a sinistra).

Nella meccanica classica il moto ondulatorio caratterizza la propagazione del suono, oscillazioni di una corda, propagazione della luce etc. ma non è compatibile

con la descrizione del moto di una particella. In eetti, il tentativo di Newton di descrivere la luce come uno sciame di particelle classiche aveva fallito. Dunque, al

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

Esercizi

1. Si dimostri che le seguenti funzioni soddisfano l'equazione d'onda y = (x + v t)³

y =A e^{−k(x−v t)} y = ln k (x− v t) y =2 sin (k x) cos (ω t)

4.1 Sovrapposizione delle onde

Dall'esperienza è noto che le due onde interferiscono tra di loro (pensare alle onde create da due sassi buttati contemporaneamente nell'acqua). La descrizione

matematica e caratterizzata dal termine di interferenza ed è come segue: Prendiamo due onde sinusoidali

y1 = a sin (k1x− ω1t) y₂ = b sin (k₂x− ω2t)

La domanda è cosa si ottiene combinando queste due onde? Il modo più semplice di rispondere a questa domanda è di utilizzare la rappresentazione delle onde in termini di numeri complessi (vedi pre-requisiti matematici). Usando le proprietà dei

numeri complessi si ricava l'ampiezza |z| e la fase ϕ dell'onda risultante

|z|2 ≡ z¯z = |z1|2+|z2|2+ 2|z1||z2| cos (ϕ1− ϕ2) tan ϕ = |z1| sin ϕ1+|z2| sin ϕ2

|z1| cos ϕ1+|z2| cos ϕ2

Consideriamo prima il caso di due onde sinusoidali di ampiezze uguali b = a. Si ottiene

y ≡ a (sin ϕ1 + sin ϕ₂) =2 a cos ( ϕ₁− ϕ2 2 ) sin ( ϕ₁+ ϕ₂ 2 ) ϕ = ^{ϕ1 + ϕ2} 2

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

• Nel caso anche di fasi uguali ϕ1 = ϕ₂ si ha y = 2 a sin ϕ ϕ = ϕ₁

Si tratta di interferenza costruttiva che da massima amplicazione di ampiezza.

• Nel caso ϕ1− ϕ2 = π si ha

y = 0

ϕ = ϕ₂ + π/2

Si tratta di interferenza distruttiva che da zero ampiezza. Le due onde si annullano

Nel caso di due onde cosinusoidali di ampiezze uguali b = a si ottiene y ≡ a (cos ϕ1 + cos ϕ2) =2 a cos

( ϕ₁ − ϕ2 2 ) cos ( ϕ₁+ ϕ₂ 2 ) ϕ = ^{ϕ1 + ϕ2} 2

Si tratta di modulazione di ampiezza usato per trasmettere le onde radio (AM). L'onda di bassa frequenza si chiama modulante, mentre quella con alta frequenza

si chiama portante.

Guardiamo in dettaglio la somma di due onde sinusoidali (per a=b) y = 2 a cos ( (k₁− k2) x− (ω1− ω2) t 2 ) sin ( (k₁+ k₂) x− (ω1+ ω₂) t 2 ) (29) Questa è un onda la cui ampiezza A = 2 a cos [(k1− k2) x− (ω1− ω2) t/2] oscilla (non è costante) e varia come un onda. Denendo ω1− ω2 = 2∆ω e k1− k2 = 2∆ k

si ottiene

y = 2 a cos (∆ k x− ∆ω t) sin (k1x− ω1t)

Si vede che l'ampiezza si muove con la velocita v = ∆ω/∆ k mentre l'onda si muove con la velocità v = ω/k. Questo esempio dimostra che la velocità di un onda non è

denita in modo univoco. In eetti, nel caso delle onde si distinguono due tipi di velocità

1. vf = ω/k = ν· λ chiamata velocità di fase 2. vg = dω/d k chiamata velocità di gruppo

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

Figure 19: Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0]) + sin (5.7x + 5.9· 0))/2 = cos (0.3 · x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0)

La velocità di fase, come dice il nome, rappresenta la velocità di oscillazione della fase e non ha signicato sico. In eetti, si potrebbe considerare l'onda sulla gura 19 come un insieme di oscillatori armonici (blue in gura) che oscillano lungo asse y

senza spostarsi lungo x creando onda rossa che comunque trasmette energia. A noi interessa come si trasmette l'informazione ed energia portata dall'onda. Essendo energia proporzionale al quadrato dell'ampiezza, la velocità sica è quella

di gruppo. Esercizi 1. Due onde armoniche sono

y₁ = 0, 002 cos(6· x − 600 · t) y₂ = 0, 002 cos(5, 8· x − 580 · t)

Trovare la formula dell'onda risultante, la velocità di fase e di gruppo. Sono dispersive o no?

2. La relazione di dispersione per le onde in acqua è ω² = ( g k + ^γ ρ^k 3 ) tanh(k H)

con g accelerazione di gravità, ρ = 1g/cm3 densità dell'acqua, γ = 0.075N/m la tensione superciale e H la frondità dell'acqua. Calcolare la velocità di gruppo in acqua alta k H ≥ 1 e acqua bassa k H ≤ 1 per piccole onde λ = 1cm

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

e per grandi onde λ = 1m. Per quale lunghezza d'onda sono uguali la velocità di gruppo e di fase in acqua alta? Risposta:

v_f = √ (g + γ k2/ρ) k ^{tanh (k H)} v_g = ¹ 2 √ tanh (k H) k (g + γ k2/ρ) [ g + 3γ k²/ρ + ^{2k H (g + γ k} 2/ρ) sinh (2k H) ] • acqua bassa k H ≤ 1 v_f =√ (g + γ k2/ρ) H v_g = v_f^{g + 2γ k} 2/ρ g + γ k2/ρ → vg ≈ vf =√ g H • acqua alta k H ≥ 1 v_f =√ (g + γ k2/ρ) /k v_g = ^vf 2 g + 3γ k2/ρ g + γ k2/ρ → vg ≈ ^vf 2 ⁼ 1 2 √ g k v_f = v_g λ = 2π√ γ/g ρ = 17 mm

dai dati si trova γ/ρ = 7, 5 × 10−5_m3/sec2 e contribuisce pochissimo per le λ tra cm-m.

3. Due sorgenti hanno uno sfasamento di φ0 = C t e la stessa ampiezza A0 nel punto P. Scrivere le funzioni d'onda nel punto P per ciascuna onda,

supponendo che il punto è distante x dalla sorgente di un onda e x + ∆ x dalla sorgente dell'altra onda. Trovare la funzione dell'onda risultante e dimostrare che la velocità di gruppo è la media aritmetica di due velocità di fase delle singole onde.

4. Per le particelle quantistiche vale la relazione tra l'energia e la frequenza E = h ν ed impulso e la lunghezza d'onda p = h/λ (relazioni di de Broglie). Scrivere l'espressione di un onda piana in termini di energia ed impulso di una particella. Risposta:

⃗k ⃗x − ω t = ^2π

h ^{(⃗p ⃗x}− E t)

5. Calcolare la velocità di fase e di gruppo appratente alla particella classica e quantistica. Risposta:

• classica E = p2/2m

v_f ≡ ω/k = E/p = p/2 m = v/2 v_g ≡ dω/dk = dE/dp = p/ m = v

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO • quantistica E =^√p2c2+ m2 0c4 = m₀c2/√ 1− v2/c2 vf ≡ ω/k = E/p = mc2 /2 m v = c²/v v_g ≡ dω/dk = dE/dp = pc2/E = v 4.1.1 Onde stazionarie

Si ottengono da (29) quando ϕ1 = k x + ω t e ϕ2 = k x− ω t e corrispondono alle onde che si propagano in un tubo o in una corda di lunghezza L . Si possono avere

diverse situazioni

• Se chiediamo che agli estremi del tubo si trovano i nodi (punti di ampiezza zero y(0) = y(L) = 0) troviamo la soluzione

y = a sin(k x) cos(ω t) 0 = sin(k L)

k L = nπ→ L = nλ/2

si vede che la lunghezza è determinata dalla lunghezza d'onda λ = 2L/n per

Figure 20: Onde stazionarie per λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3 un numero intero n.

• Si può richiedere che agli estremi del tubo si trovano punti di ampiezza massima y(0) = y(L) = Ymax che da la soluzione in termini di due onde cosinusoidali con ϕ1 = k x + ω t e ϕ2 = k x− ω t

y = a cos(k x) cos(ω t) ±1 = cos(k L)

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

Figure 21: Onde stazionarie aperte λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3

• Alla ne posiamo avere un estremo del tubo con un nodo y(0) = 0 e l'altro con un massimo y(L) = a. Si ha, con due onde sinusoidali con ϕ1 = k x + ω t e ϕ₂ = k x− ω t,

y = a sin(k x) cos(ω t) 1 = sin(k L)

k L = (2n + 1) π/2→ L = (2n + 1) λ/4

Figure 22: Onde stazionare con λ = 20π/30, n = 2, L = 25π/3, ω = 6, k = 0, 3 Esercizi