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(1)

Lezioni di sica corso ITS 2015/16

A.Smailagi¢

(2)

List of Figures

1 Rappresentazione vettoriale di un numero complesso . . . 6

2 ⃗z = ⃗z₁+ ⃗z₂ . . . 7

3 . . . 27

4 Induzione magnetica in una spira in rotazione . . . 30

5 Induzione magnetica in una sbarra in movimento . . . 31

6 Induzione magnetica tra due spire . . . 31

7 Induzione magnetica tra una spira ed un lo . . . 32

8 La corrente a regime nel circuito RL . . . 37

9 La corrente a regime nel circuito RL . . . 38

10 Andamento temporale della corrente nel circuito RL . . . 38

11 Andamento temporale della corrente nel circuito RL . . . 39

12 Fase transitoria della corrente nel circuito RLC . . . 39

13 Rappresentazione vettoriale delle impedenze del circuito RLC . . . 43

14 circuito RLC in parallelo . . . 46

15 Circuito LC in regime AC . . . 46

16 circuito RLC con due armoniche . . . 47

17 Polarizzazione ellittica delle onde elettromagnetiche . . . 58

18 Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale . . . 60

19 Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0])+sin (5.7x + 5.9 · 0))/2 = cos (0.3· x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0) . . . . 63

20 Onde stazionarie per λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3 . . . . 65

21 Onde stazionarie aperte λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3 . . 66

22 Onde stazionare con λ = 20π/30, n = 2, L = 25π/3, ω = 6, k = 0, 3 . . 66

23 Onde circolari che si propagano dall'origine . . . 68

1 Prerequisiti matematici

Per poter seguire questo corso in modo procuo è necessario avere le seguenti conoscenze matematiche

• vettori

• funzioni trigonometriche

• numeri complessi

(4)

1.1 Diverse basi ortogonali 1 PREREQUISITI MATEMATICI

• elementi del calcolo dierenziale ed integrale

1.1 Diverse basi ortogonali

Un vettore può essere descritto in una base dello spazio n-dimensionale, caratterizzata dai vettori unitari ⃗ei, come

⃗ x =

∑n i=1

x_i⃗e_i

⃗ei· ⃗ej = δij

Il simbolo δij si chiama Kronecker delta denito come δij =

{

0 i̸= j 1 i = j Esempio delle basi comunemente usate

• base polare in due dimensioni con vettori unitari (⃗ρ0, ⃗φ₀), con l'angolo φ mis- urato in senso antiorario dall'asse x, si usa nei casi di simmetria circolare

x = ρ cos φ y = ρ sin φ

⃗

φ₀ = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

⃗

ρ₀ = cos φ⃗i + sin φ⃗j

⃗

x ≡ ρ ⃗ρ0 = x⃗i + y ⃗j ρ² = x²+ y²

d²x = ρ dρ dφ

• base cilindrica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗ρ0, ⃗φ₀, ⃗k) si usa nei casi di simmetria cilindrica

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z

⃗

ρ₀ = cos φ⃗i + sin φ⃗j

⃗

x ≡ ρ ⃗ρ0+ z ⃗k = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k ρ² = x²+ y²

d³x = ρ dρ dφ dz

(5)

• base sferica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗r0, ⃗φ0, ⃗θ0), con l'angolo θ misurato dall'asse z, si usa nei casi di simmetria sferica

x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ

⃗r₀ = sin θ ⃗ρ₀+ cos θ ⃗k

⃗

⃗θ0 = cos θ ⃗ρ0− sin θ ⃗k

⃗x ≡ r ⃗r0 = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k r² = x²+ y² + z²

d³x = r²d r dφ d θ Un vettore ⃗a scritto in una delle basi ha la forma

⃗a = a_x⃗i + a_y⃗j + a_z⃗k

= a_ρ⃗ρ₀+ a_φφ⃗₀+ a_z⃗k

= a_r⃗r₀+ a_φφ⃗₀+ a_θ⃗θ₀

e le componenti in diverse basi sono legate come segue

base polare

a_ρ = a_xcos φ + a_ysin φ a_φ =−axsin φ + a_ycos φ

a_z = a_z

base sferica

a_r= (a_xcos φ + a_ysin φ) sin θ + a_zcos θ a_φ =−axsin φ + a_ycos φ

a_θ = (a_xcos φ + a_ysin φ) cos θ− azsin θ

mentre gli operatori dierenziali hanno la forma

(6)

base polare

∇ = ⃗ρ⃗ 0

∂

∂ρ + ⃗φ0

1 ρ

∂

∂φ + ⃗k ∂

∂z

∇² = 1 ρ

∂

∂ρ (

ρ ∂

∂ρ )

+ 1 ρ²

∂²

∂φ² + ∂²

∂z²

base sferica

∇ = ⃗r⃗ 0

∂

∂r + ⃗φ₀ 1 r sin θ

∂

∂φ+ ⃗θ₀1 r

∂

∂θ

∇² = 1 r²

∂

∂r (

r² ∂

∂r )

+ 1

r²sin θ

∂

∂θ (

sin θ ∂

∂θ )

+ 1

r²sin²θ

∂²

∂φ² 1.1.1 Denizione del prodotto scalare e vettoriale

• prodotto scalare

s = ⃗a·⃗b = |a| · |b| cos α

⃗a·⃗b =

∑3 i,j=1

ai· bj(⃗ei· ⃗ej) =

∑3 i

ai· bi

⃗ei· ⃗ej = δij

δ_ij = {

0 i̸= j 1 i = j simbolo δij si chiama Kronecker delta.

• prodotto vettoriale

⃗c = ⃗a×⃗b = |a| · |b| sin α⃗c0

⃗c = ⃗a×⃗b =

∑3 i,j=1

a_i· bj(⃗e_i× ⃗ej) =

∑3 i,j,k

ϵ_ijka_i· bj· ⃗ek

⃗

e_i× ⃗ej = ϵ_ijk⃗e_k

ϵ_ijk =

{0 i̸= j ̸= k 1 i = j = k simbolo ϵijk si chiama tensore antisimmetrico.

Un esempio

⃗a×⃗b =(

a_x⃗i + a_y⃗j + a_z⃗k)

×(

b_x⃗i + b_y⃗j + b_z⃗k)

= (a_yb_z− azb_y)⃗i + (a_zb_x− axb_z)⃗j + (a_xb_y − ayb_x) ⃗k

(7)

• prodotto misto è un volume V =

(

⃗a×⃗b)

· ⃗c =

∑3 i,j=1

a_i· bj · ck(⃗e_i× ⃗ej)· ⃗ek=

∑3 i,j,k

ϵ_ijka_i· bj· ck

• prodotto vettoriale doppio

⃗a× (

⃗b × ⃗c)

= (⃗a· ⃗c) ·⃗b −(

⃗a· ⃗b)

· ⃗c

1.1.2 Rappresentazione dei numeri complessi

Un numero complesso è caratterizzato da due unità (1, i =√

−1) e si scrive

z = x + i y = Re z + i Im z z =|z| e^{i φ}→ Forma di Eulero x =|z| cos φ

y =|z| sin φ

|z|² = x²+ y² tan φ = y

x

Un numero complesso si può rappresentare come un vettore ⃗z nel piano complesso (x, i y) e le operazioni si svolgono come con i vettori. Per esempio la somma di due numeri complessi z1 =|z1| e^iφ¹ z₂ =|z2| e^iφ² si ottiene

⃗

z = ⃗z₁+ ⃗z₂

|z|² =|z1|²+|z2|²+ 2|z1| |z2| cos φ

dove φ = φ1− φ2 rappresenta lo spostamento di fase tra due numeri. Altro modo di fare e analitico come segue

z₁ =|z1| e^iφ¹ = Re z₁+ i Im z₁ z₂ =|z2| e^iφ² = Re z₂+ i Im z₂

z ≡ z1+ z₂ =|z| e^iϕ

|z|² ≡ z¯z =(

|z1| e^iφ¹ +|z2| e^iφ²) (

|z1| e^−iφ¹ +|z2| e^−iφ²)

=|z1|²+|z2|²+ 2|z1||z2| cos (φ1− φ2) tan φ≡ Im z₁+ Im z₂

Re z₁+ Re z₂ = |z1| sin φ1+|z2| sin φ2

|z1| cos φ1+|z2| cos φ2

(8)

Figure 1: Rappresentazione vettoriale di un numero complesso

Usando numeri complessi si possono ottenere formule utili per l'addizione di due onde (vedi più avanti)

eîα+ eîβ = ei[(α+β)/2+(α−β)/2]+ eî[(α+β)/2^{−(α−β)/2]}

= 2 cos

(α− β 2

)

eî(α+β)/2 eîα− eîβ = 2 i sin

(α− β 2

)

e^i(α+β)/2 sin α + sin β = 2 cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

cos α + cos β = 2 cos

(α− β 2

) cos

(α + β 2

)

a sin α + b sin β = (a + b) cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

+ (a− b) sin

(α− β 2

) cos

(α + β 2

)

1.1.3 Funzioni iperboliche

le denizioni di base sono seno iperbolico e coseno iperbolico

(9)

Figure 2: ⃗z = ⃗z1+ ⃗z2

sinh x = e^x− e^−x 2 cosh x = e^x+ e^−x

2

sono funzioni reali che per la variabile complessa x = iφ si riducono alle funzioni trigonometriche sinh iφ = i sin φ e cosh iφ = cos φ. Le approssimazioni per x ≤ 1 sono, usando lo sviluppo e^x =∑_∞

n=0 xⁿ/n!, sinh x≈ x cosh x≈ 1

1.1.4 Oscillazioni smorzate

Equazione di un oscillatore armonico smorzato sottoposto ad una forza esterna m ¨x + m γ ˙x + k x = F e^{i ω t} (1) Il fattore γ si chiama coeciente di smorzamento, k è la costante elastica, m la massa ed F e^{i ω t} la forza armonica esterna. Guardiamo prima la soluzione dell'equazione omogenea F = 0

(10)

0 = ¨x + γ ˙x + ω²₀x x(t) = A e^{i α}¹^t+ B e^{i α}²^t

0 = α²− i γ α − ω0²

α_1,2 = i γ

2 (1± Ω) γΩ =

√

γ²− 4 ω0²

ω₀² = k m

se si impongono le condizioni iniziali x(t = 0) = x0 e ˙x(t = 0) = v0 si trovano le condizioni per risolvere le costanti di integrazione A, B

x₀ = A + B

v₀ = iα₁A + i α₂B

A = 1

α₂− α1

(α₂x₀+ i v₀) B =− 1

α₂− α1

(α₁x₀+ i v₀)

la soluzione generale è

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cosh (γΩ t/2) + 1

γΩ(x₀γ + 2 v₀) sinh (γΩ t/2) ]

(2)

Possiamo avere tre diverse situazioni 1. γ/2 ≤ ω0 → Ω = i|Ω|

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cos (γ|Ω| t/2) + 1

γ|Ω|(x₀γ + 2 v₀) sin (γ|Ω| t/2) ]

= A sin (γ|Ω| t/2 + φ) A =

√ x²₀+

(x₀γ + 2 v₀ γ|Ω|

)2

tan φ = x₀γ|Ω|

x₀γ + 2 v₀

(11)

questa soluzione descrive oscillazioni smorzate

2. γ/2 ≥ ω0 → Ω = |Ω|

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cosh (γ|Ω| t/2) + 1

γ|Ω|(x₀γ + 2 v₀) sinh (γ|Ω| t/2) ]

Sovra-smorzamento. Il sistema si smorza in modo monotono senza oscillare.

3. γ/2 = ω0 → Ω = 0

x(t) = e^{−γ t/2}[x₀(1 + γ t) + 2 v₀t]

Smorzamento critico.

Nonostante l'apparenza complicata della soluzione, nel caso di oscillazioni armoniche semplici con γ = 0, γΩ/2 = iω0, la soluzione di sopra diventa

x(t) = x₀cos(ω₀t) + v₀

ω₀ sin(ω₀t) che descrive soluzione generale di un oscillatore armonico libero.

Adesso torniamo all'equazione non-omogenea. Questa ha la soluzione particolare

xP = F m

e^{i ω t}

ω₀²− ω²+ i γ ω = F

i Ze^{i ω t} = F

|Z|e^{i(ω t}^{−φ−π/2)} Z = m(

γ ω + i(

ω²− ω0²

))=|Z| e^{i φ}

tan φ = ω²− ω²0

γ ω

la soluzione completa è la combinazione della soluzione omogenea, nella quale si fa sostituzione x0 → x0 − _m^F _ω² ¹

0−ω²+i γ ω e v0 → v0 − iω^F_m_ω² ¹

0−ω²+i γ ω e quella particolare.

Si vede che il coeciente γ smorza l'ampiezza in modo che dopo un tempo suciente lungo la soluzione omogenea va a zero e sistema è costretto di oscillare con la fre- quenza ω della forza esterna.

(12)

1.1.5 Trasformata di Fourier

Ogni vettore ⃗x si può sviluppare in una base ortonormale ⃗en come segue

⃗e_n· ⃗em = δ_n,m (3)

⃗ x =∑

n

x_n· ⃗en (4)

x_n = ⃗x· ⃗en (5)

dove xn le coordinate in quella base. Questa procedura si applica alle funzioni espo- nenziali che soddisfano

(e_n· em) =1 a

∫ _a

0

e^i(2π/a)(n^−m)pdp = 1 a

∫ _a/2

−a/2

e^i(2π/a)(n^−m)pdp = δ_n,m (e(x)· e(y)) = 1

2π

∫ _∞

−∞

e^i(x^−y)pdp = δ(x− y)

e rappresentano una base ortonormale nello spazio delle funzioni con i vettori base e_n = e^{i n p}/√

2π = ei(2π/a) n p/√

a. Perció, ogni funzione si può espandere in questa base.

Se la funzione è periodica f(x+a) = f(x) in un intervallo [0, a] lo sviluppo è discreto in termini di serie di Fourier. Le formule generali (5) diventano

f (x) = 1

√a

∑∞ n=−∞

b_nei(2π/a) n x

b_n= 1

√a

∫ a 0

f (x) e−i(2π/a) n xdx

dove il numero d'onda discreto è kn = 2π n/a.

Essendo intervallo [−a/2, a/2] = [0, a] arbitrario si può considerare il limite a → ∞.

In questo caso si parla di trasformata di Fourier integrale f (x) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

f (p) e^{i x p}dp f (p) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

f (x) e^{−i p x}dx

(13)

2 CORRENTE ELETTRICA

in n dimensioni si scrive

f (x) = 1 (2π)^n/2

∫ _∞

−∞

f (p) e^{i ⃗}^{x ⃗}^pdⁿp f (p) = 1

(2π)^n/2

∫ _∞

−∞

f (x) e^{−i ⃗x ⃗p}dⁿx

f (p) si chiama la trasformata di Fourier nello spazio dei momenti, della funzione f (x) denita nello spazio delle coordinate. Analogamente, se la funzione è f(t) (tempo) la sua trasformata di Fourier è denita nello spazio di frequenze angolari f (ω).

Esercizio La conducibilità elettrica nello spazio t ha la forma

σ(t) =

√2πσ₀ τ e^−t/τ

per t ≥ 0 Trovare la sua trasformata di Fourier σ(ω). Soluzione

σ(ω) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

σ(t) e^{−iω t}d t σ(ω) = σ₀

τ

∫ _∞

0

e−(iω+1/τ) td t = σ₀ τ

1 iω + 1/τ σ(ω) = σ₀

1 + iω τ al contrario si ha

σ(t) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

σ(ω) e^{iω t}d ω σ(t) = σ₀

√2π

∫ _∞

−∞

e^{iω t}d t

∫ _∞

o

ds e^{−s(1+iω τ)} σ(t) = σ₀

√2π

∫ _∞

o

ds e^−s

∫ _∞

−∞

e^{−iω(sτ−t)}d t =√ 2πσ₀

∫ _∞

o

ds e^−sδ(sτ − t) σ(t) =

√2πσ₀ τ e^−t/τ

2 Corrente elettrica

La corrente elettrica I si denisce come il usso di carica, nell'unità di tempo, che attraversa una sezione S del conduttore.

I = dQ dt

(14)

dove dQ è la frazione di carica che attraversa, nel tempo dt, l'area S del lo. Questo

usso, nel caso di metalli, è rappresentato dagli elettroni liberi di muoversi

attraverso il conduttore. Dalla denizione si ricava l'unità di misura della corrente elettrica chiamata Amperé¹

A = C sec

Dunque, la corrente elettrica è una manifestazione macroscopica dei movimenti microscopici. Per trovare il legame tra le due descrizioni, deniamo n la densità volumica del numero di elettroni

n = dN dV

dove dN rappresenta numero di elettroni in un volume dV di una sezione del lo conduttore. Il volume si può esprimere attraverso la velocità media degli elettroni come segue

dV = v dt S

dQ = dN q_e = n q_edV dQ = n q_ev S dt

I = n qev S

Qui abbiamo fatto l'assunzione che tutti gli elettroni si muovono con la stessa velocità v (chiamata velocità di deriva). Questa semplicazione non cambia niente nella sostanza dell'argomento. Uno si può domandare come si riesce calcolare la densità del numero di elettroni n. La risposta è sorprendentemente semplice e passa attraverso la denizione della mole nmoli = N/N_A dove NA= 6× 10²³ è il numero di Avogadro.

n = ZN

V = ZN_A V_A ρ = M_A

V_A n = ZρN_A

M_A

Nel caso di di rame ρCu = 9 g/cm³, M_Cu = 64 g, Z = 1si trova numero di elettroni di conduzione per unità di volume

ρ_Cu = 8, 4× 10²²elettroni/cm³

Questo ragionamento classico richiede delle correzioni quantistiche, ma

qualitativamente da risultati giusti. Numero Z rappresenta numero di elettroni di

1Più tardi vedremo un altra denizione di Amperé attraverso forza tra due li

(15)

valenza (gli unici liberi di muoversi attraverso il metallo). Usando questo risultato si può calcolare la velocità di deriva

v_d = I

n q_eS = 1 A

8, 4× 10²²elettroni/cm³· 1, 6 × 10⁻¹⁹C· 1 mm² = 7× 10⁻³cm/sec Questa velocità si può confrontare con la velocità termica degli elettroni

v_T =√

3 k T /m =

√

3· 1, 38 × 10⁻²³J/K· 293 K

9, 1× 10⁻³¹kg = 1, 2× 10⁵m/sec

si vede che la velocità di deriva è molto più piccola di quella termica (prendendo in considerazione eetti quantistici vT ≈ 10⁶), ma se come agisce nella stessa direzione produce una corrente apprezzabile. Il movimento degli elettroni non è ordinato in una sola direzione, causa disturbi termici, ma in tutto si spostano seguendo il campo elettrico. In assenza del campo i movimenti termici in media si annullano e non producono uno spostamento (corrente). La domanda che si pone: se la velocità di deriva degli elettroni è così bassa, come è possibile che un segnale elettrico viaggi a velocità prossima a quella della luce? La risposta è semplice. L'elettrone che parte da un estremo di un lo non è lo stesso che arriva all'altro estremo, perchéci impiegherebbe un tempo veramente lungo. Quello che si propaga lungo la linea elettrica è il campo elettrico, che mette in moto tutti gli elettroni liberi presenti nei conduttori che la costituiscono. Tutto avviene come quando colleghiamo a un

rubinetto aperto un estremo di lunga conduttura piena d'acqua, e l'acqua esce quasi istantaneamente dall'altro estremo. Come dimostrazione calcoliamo il tempo

necessario per un elettrone di attraversare un lo lungo l = 1cm t = l

v_d = 1 cm

7× 10⁻³cm/sec = 0, 14× 10³sec≈ 2, 33 min

La velocità di deriva è causata dal campo elettrico esterno ⃗E che fa accelerare elettroni secondo la legge di Newton

⃗a = q_eE⃗ m_e

se il campo è costante il moto è uniformemente accelerato. La velocità di deriva si ricava integrando l'equazione di sopra che da

⃗vd= q_eE⃗

m_e τ (6)

dove τ signica il tempo medio tra due collisioni dell'elettrone con altri elettroni. Si vede che, causa collisioni, il moto in realtà diventa uniforme quando elettroni

(16)

raggiungono la velocità terminale. Il moto si può descrivere come in presenza di una forza di attrito dinamico

⃗a = q m

E⃗ −⃗v τ

Adesso vale la pena soermarsi su questa equazione dierenziale, perché equazioni simili incontreremmo spesso in diverse situazioni siche. L'equazione in questione è

˙v + v τ = q

mE (7)

Si può risolvere in due modi:

1. prima la scriviamo senza termine in E come equazione omogenea 0 = ˙v + v

τ dv

v =−dt τ e poi integriamo

∫ dv v =−

∫ dt τ ln v =−t

τ + const.

che da la soluzione generale dell'equazione omogenea vH(t) = C e^−t/τ

2. la stessa soluzione si può ottenere assumendo la forma vH(t) = e^{α t} e inserendo nel equazione omogenea si determina il valore del parametro α

α =−1 τ v_H(t) = C e^−t/τ

A questo punto si determina una soluzione particolare dell'equazione inomogenea (completa) che è

v_P = q mE τ

La soluzione completa è la somma tra soluzione dell'equazione omogenea e la soluzione particolare

v = C e^−t/τ + q mE τ

Resta da determinare una costante arbitraria (costante di integrazione C) dalle condizioni iniziali nel momento t = 0 quando v(0) = 0. Le condizioni iniziali portano alla soluzione completa

v = q mE τ(

1− e^−t/τ)

(8)

(17)

Per tempi sucientemente lunghi t ≥ τ il fattore esponenziale muore (si dice: a regime), la velocità di deriva raggiunge valore terminale e si ha il moto uniforme

v_d= q mE τ

Inserendo questo risultato nella formula della corrente si ha

I = n q²_eτ

m_e S E = σ S E

la costante σ = n q²_eτ /m_e si chiama la conducibilità. Esprimiamo il campo

elettrico tramite il potenziale elettrico V = E l, dove l rappresenta la lunghezza del

lo, e otteniamo

I = σ S

l V = V

R → Legge di Ohm

dove R = l/σ S si chiama la resistenza del lo. Abbiamo ricavato famosa legge empirica do Ohm dalle considerazione microscopiche. L'inverso della conducibilità si chiama la resistività ρ (o resistenza specica) ed e una caratteristica del metallo di cui à fatto il lo. Adesso possiamo anche calcolare il tempo medio di collisione tra due elettroni del rame a T = 273 K

τ = m

ρ n q_e² = 9, 1× 10⁻³¹kg

1, 56× 10⁻⁸Ω m 8.4× 10²⁸m⁻³ (1, 6× 10⁻¹⁹)² C² = 2, 7× 10⁻¹⁴sec In generale, per i metalli, il tempo libero varia tra 10⁻¹⁴ e 10⁻¹⁵, Il camino libero (distanza tra due collisioni) si trova

l_{f ree} = v_T · τ ≈ 10⁻⁷m

.Quanto descritto nora si riferisce alle correnti in regime stazionario (costanti nel tempo). Queste correnti sono prodotte dai campi elettrici costanti generati dai generatori a poli ssi (pile elettriche). In caso di campi elettrici variabili nel tempo avremmo correnti alternate. Prendiamo il campo di tipo cosinusoidale

E = ⃗⃗ E₀ cos (ω t) L'equazione per la velocità di deriva diventa

˙v + v τ = q

mE₀ cos (ω t) (9)

La soluzione della omogenea sarà come prima, ma cambia soluzione particolare che non è più costante. Per risolvere l'equazione diventa utile utilizzo dei numeri complessi e si scrive (9) come

˙z + z τ = q

mE₀e^{i ω t}

(18)

2.1 Il campo magnetico 2 CORRENTE ELETTRICA

dove v = Re z. Assumendo la forma della soluzione particolare come z = z0e^{i ω t} si trova

z₀ = q m

E₀τ 1 + iω τ

Scriviamo il numero complesso z0 =|z0| e^iφ. Il modulo |z0| e la fase φ si calcolano come segue

|z0| =√

z₀z₀^∗ = q m

E₀τ

√1 + ω²τ² tan φ = −ω τ

z =|z0| e^{i(ω t+φ)}

La legge di Ohm, per le correnti alternate si scrive in forma complessa in termini di densità della corrente j = I/S come

j(t) = σ(ω) E(t) σ(ω) = q_e²n τ

m_e

1 1 + i ω τ

Per le correnti alternate la conducibilità diventa complessa. La soluzione si ottiene prendendo la parte reale j(t) = Re j(t)

j(t) =|σ| E0 cos (ω t + φ)

|σ| = q_e²n m_e

√ τ

1 + ω²τ² I risultati per le correnti stazionarie si ottengono per ω = 0.

2.1 Il campo magnetico

Abbiamo visto che le cariche stazionarie producono campi elettrici ⃗E mentre campi magnetici ⃗B sono prodotti dalle cariche in movimento (correnti elettriche). La legge fondamentale del magnetismo e la legge di Biot-Savart

d ⃗B = k^′I d⃗l× ⃗r

r³ (10)

che da il campo magnetico ⃗B nel punto a distanza ⃗r, mentre dl rappresenta un elemento di linea di un conduttore attraversato dalla corrente I. Come esempio di applicazione calcoliamo il campo magnetico prodotto da:

1. Un conduttore di lunghezza innita posto sull'asse z, nel punto distante a da

(19)

essa. Elemento di linea dell'asse z è d⃗l = d z ⃗k.

⃗r = ⃗a + ⃗z d⃗l× ⃗r = dz ⃗k ×(

a ⃗r₀+ z⃗k )

= a dz ⃗φ₀ B = k⃗ ^′I

∫ _∞

−∞

d⃗l× ⃗r

[a²+ z²]^3/2 = 2 k^′I ⃗φ₀

∫ _∞

0

a dz [a²+ z²]^3/2 B =⃗ 2 k^′I

a φ⃗₀

Si vede che il campo magnetico avvolge il lo con le linee circolari chiuse su se stesse. Il verso è anti-orario per la corrente che segue l'asse z in su e orario quando la corrente va in giù.

2. Una spira circolare, di raggio R, nel piano x, y in un punto P (0, 0, a).

d⃗l = R dφ ⃗φ₀

⃗

r = ⃗R + ⃗a r =√

R²+ a²

⃗a = a ⃗k R = R ⃗⃗ r₀

B = k⃗ ^′I∫ d⃗l×(

⃗a− ⃗R)

[a²+ R²]^3/2 = k^′I

∫ 2π 0

R dφ a ⃗r₀+ R ⃗k [a²+ R²]^3/2 B =⃗ 2π k^′I R²

(a²+ R²)^3/2⃗k

quando a ≥ R, r ≈ a la formula si semplica dando B = 2π⃗ k^′I R²

a³ ⃗k = 2 k^′I S a³ ⃗k

dove S = π R² è l'area della spira circolare. Si denisce il vettore ⃗m = I S ⃗k che si chiama momento del dipolo magnetico e la spira rappresenta

eettivamente un dipolo magnetico, il cui campo è dato dalla formula B =⃗ 2 k^′m⃗

a³

L'ultimo esempio, oltre a servire come esercizio della legge di Biot-Savart, ci fa capire l'origine del magnetismo nella matteria. Le spire circolari elementari sono le orbite elettroniche negli atomi che generano campi magnetici dipolari. Il solenoide è una struttura di tante spire circolari messe insieme che formano un cilindro. Il

(20)

campo magnetico sull'asse del solenoide si può trovare quadrando il contributo di spire nell'arco di angolo dθ misurato dall'asse. Si ha

sin θ = r dθ d l

I_dl = I n dl = n I r dθ sin θ Bz = 2π k^′I R²

r³ = 2π k^′I sin²θ r R = r sin θ

dBz = 2π k^′Idl

sin²θ

r = 2π k^′I n sin θ dθ B_z = 2π k^′I n (cos θ₁− cos θ2)

Per un solenoide di lunghezza innita θ1 = 0 θ₂ = π el a formula si semplica dando B_z = 4π k^′I n

Calcoliamo adesso il usso magnetico attraverso una supercie chiusa che avvolge il lo del primo esercizio

I

S

B⃗ · d⃗S = 2 k^′I a

I

dS ⃗φ₀ · ⃗k = 0

Si può dimostrare che questa è una proprietà generale del campo magnetico. Inoltre, calcoliamo il lavoro compiuto dal campo quando fa un giro attorno al lo

I

C

B⃗ · d⃗l = 2 k^′I a

∫ 2π 0

a dφ = 4 π k^′I

anche questo è un risultato di validità generale. Possiamo scrivere insieme le formule di base per campi elettrici e magnetici statici

1. H

SE d ⃗⃗ S = 4π k Q Legge di Gauss 2. H

SB d ⃗⃗ S = 0 assenza di monopoli magnetici 3. H

cE d⃗l = 0⃗ conservatività della forza elettrica 4. H

CB⃗ · d⃗l = 4 π k^′I legge di Ampère

(21)

2.2 Forza di Lorentz 2 CORRENTE ELETTRICA

2.2 Forza di Lorentz

Quando una carica puntiforme si trova nel campo elettrico è soggetta alla forza elettrica

F = q⃗ _p· ⃗E

In analogia è da aspettarsi che anche il campo magnetico agisca con una forza simile sulle cariche. La dierenza tra due campi sta nel fatto che il campo magnetico agisce solo su le cariche puntiformi in movimento con la forza chiamata forza di Lorentz

F⃗_L = q_p· ⃗v × ⃗B

Questa formula permette di trovare l'unità di misura del campo magnetico nel sistema internazionale (SI).

[B] = [ F

q_pv] = N

Cm/sec = N Am T (Tesla) = N

Am

1 T = 10⁵G(Gauss)

Confrontano la forza elettrica e forza di Lorentz possiamo trovare il legame tra le unità di due campi

[F

F_L] = [ q_pE q_pv B] [E

B] = [v]

si vede che nel sistema di unità SI, il rapporto di E e B ha le dimensioni di una velocità. Usando le espressioni per il campo elettrico di Coulomb e quello magnetico di un lo lungo si ottiene

[E

B] = [v] = [k q/r²

k^′I/r] = [ k k^′v] k

k^′ = c²

La conclusione è che le costanti non sono indipendenti, ma proporzionali ad un altra costante fondamentale che è la velocità della luce. Questo è un modo semplice di vedere una relazione intrinseca tra campi elettrici e magnetici dinamici. Quando abbiamo un conduttore che porta la corrente elettrica è più conveniente scrivere la forza di Lorentz attraverso la corrente stessa. Si noti che la corrente non è altro che

(22)

un insieme di elettroni e si può scrivere

d ⃗FL= dN qp · ⃗v × ⃗B = n dV qp· ⃗v × ⃗B F⃗_L=

∫

⃗j× ⃗B dV = I

∫

d⃗l× ⃗B

2.2.1 Forza tra due correnti

Se ci sono due conduttori che portano le correnti I1, I2 si può scrivere la forza tra due correnti

F⃗₁₂= I₁

∫

d⃗l₁× ⃗B2

F⃗₁₂= k^′I₁I₂

∫

C1

∫

C2

d⃗l₁×d⃗l2× (⃗r1− ⃗r2) (⃗r₁− ⃗r2)³

Nel caso di due conduttori lunghi e paralleli la formula da F₁₂ = 2 k^′I₁I₂

d l

dove d rappresenta la distanza ortogonale tra due li ed l la loro lunghezza. La forza è attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando i versi sono opposti.

2.2.2 Movimento di una carica nel campo magnetico

Consideriamo la situazione di una carica , in assenza di campo elettrico ⃗E = 0, che entra in un campo magnetico ⃗B = By⃗j con la velocità v0. La velocità è data da

⃗v₀ = v_x⃗i + v_z⃗k. Le componenti della forza di Lorentz sono Fy = q (vzBx− vxBz) = 0

Fx= q (vyBz− vzBy) = −q vzBy

F_z = q (v_xB_y− vyB_x) = q v_xB_y

Equazioni di moto sono

a_y ≡ ¨y = 0 a_x ≡ ¨x = − q

mv_zB_y a_z ≡ ¨z = q

mv_xB_y

(23)

Introduciamo una variabile complessa u = x + i z e ω = q B/m che permette di scrivere le ultime due equazioni

0 = ¨u− iω ˙u che da le soluzioni

˙u(t) = ˙u(0)e^{iω t} u(t) = u(0) + ˙u(0)

iω

(e^{iω t}− 1)

separando la parte reale ed immaginaria si trova x(t) = x₀− v_z,0

ω + 1

ω(v_z,0cos ω t + v_x,0sin ω t) z(t) = z₀+v_x,0

ω + 1

ω(−vx,0cos ω t + v_z,0sin ω t) combinando le due soluzioni si dimostra che la traiettoria è un cerchio

[

x(t)−(

x₀− v_z,0 ω

)]2

+ [

z(t)−(

z₀+v_x,0 ω

)]2

= 1 ω²

(v_x,0² + v_z,0² )

di raggio

R =

√

v_x,0² + v_z,0²

ω = v

ω = m v q B

e con il centro nel punto x0− ^v^z,0_ω , z0+^v^x,0_ω . Il periodo di rotazione T = 2π m/q B.

Combinando l'eetto del campo elettrico e magnetico si accelerano particelle negli acceleratori. Il ciclotrone consiste di due semi-cerchi separati da uno spazio dove è applicato campo elettrico. Il campo elettrico accelera le particelle cariche, mentre il campo magnetico gli fa girare sulle orbite circolari. Come si vede dalle formule di sopra il raggio dell'orbita dipende dalla velocità, mentre il periodo no.

Esercizi

1. Un protone di massa mp = 1, 67× 10⁻²⁷kg e carica qp = 1, 6× 10⁻¹⁹C, inizialmente fermo, viene accelerato tra due piastre parallele tra le quali c'è il potenziale elettrico V = 5 × 10³V. Successivamente il protone entra in un campo magnetico B = 1, 2 T perpendicolare ala sua velocità. Calcolare

• la velocità quando entra nel campo magnetico

• il raggio della traiettoria nel campo magnetico e la frequenza di rotazione Soluzioni

1. Prima si calcola la velocità del protone quando si accelera tra le piastre parallele (un condensatore piano)

(24)

2.3 Magnetismo atomico 2 CORRENTE ELETTRICA

• velocità del protone E_k ≡ 1

2m v² = q_p· V v =

√

2 q_pV /m =√

2· 1, 6 × 10⁻¹⁹C· 5 × 10³V /1, 67× 10⁻²⁷kg

=√

1, 6× 10⁻¹⁵J/1, 67× 10⁻²⁷kg =√

0, 958× 10¹² m²/sec²

≈ 0, 98 × 10⁶m/sec≈ 10⁶m/sec

• Raggio della traiettoria R≡ m v

q_PB = 1, 67× 10⁻²⁷kg· 0, 98 × 10⁶m/sec 1, 6× 10⁻¹⁹C· 1, 2 T

= 0, 85× 10⁻² N sec

C N/A m = 0, 85 cm

2.3 Magnetismo atomico

Abbiamo visto che il campo magnetico agisce sulle cariche con la forza di Lorentz.

Un elettrone che gira (in senso anti-orario) attorno al nucleo a tutti gli eetti rappresenta una spira portante la corrente I. Il momento dipolare magnetico è

denito come

⃗ m = 1

2

∫

⃗

r× ⃗j dV = I 2

∫

⃗ r× d⃗l

per chiarire il fattore 1/2 calcoliamo l'area di una spira circolare

S =⃗ 1 2

∫

⃗r× d⃗l = 1

2⃗r₀× ⃗φ0

∫ _2π

0

d⃗φ = π r²⃗k e si trova il risultato

⃗

m = I · ⃗S

Per un elettrone possiamo calcolare il momento dipolare magnetico prendendo

⃗j = q_e⃗v_t= q_e⃗ω× ⃗R e si trova

⃗ m = 1

2

R⃗ ×(

⃗ ω× ⃗R)

= q_e

2⃗ω R² =−|qe| 2 m

L⃗

dove L = I ω è momento angolare dell'elettrone e I = m R² momento di inerzia per la rotazione attorno al nucleo sull'orbita di raggio R. Un dipolo magnetico ha

l'energia potenziale nel campo magnetico U =−⃗m · ⃗B

e, per un elettrone che gira in senso anti-orario, si trova U = |qe|

2 m⃗L· ⃗B

questo è il contributo orbitale all'energia potenziale. Si vede che l'energia potenziale è minima U ≤ 0 quando ⃗L|| − ⃗B ed e massima U ≥ 0 quando ⃗L|| ⃗B.

(25)

2.3.1 Frequenza di Larmor

Adesso guardiamo cosa succede ad un atomo in un campo magnetico. La forza di Lorentz si aggiunge alla forza elettrica (centripeta) e la forza centrifuga per denire

la traiettoria dell'elettrone attorno al nucleo. Prendiamo campo magnetico ortogonale all'orbita dell'elettrone ⃗v⊥ ⃗B = B ⃗k che ruota in senso anti-orario.

0 = ⃗F_L+ ⃗F_cf + ⃗F_C F⃗_C = mω²r ⃗r₀+ q_e⃗v× ⃗B d

dω → FC = mω²r + q_e (

⃗v× ⃗B)

· ⃗r0

0 = 2 mω r− |qe| d dω

(

⃗v_t× ⃗B)

· ⃗r0

(

⃗v_t× ⃗B)

· ⃗r0 = r ⃗B· ⃗ω = r B · ω cos (⃗ω ⃗B) = r B ω

⃗

ω_L = |qe| 2 m_e

B⃗

si vede che l'elettrone riceve una frequenza angolare aggiuntiva chiamata frequenza di Larmor che ha sempre lo stesso verso del campo magnetico. Il modo semplice di

vedere la direzione della velocità angolare di Larmor è di guardare il verso della forza di Lorentz

• quando elettrone ruota in senso anti-orario la forza di Lorentz è attrattiva e la forza centrifuga deve aumentare per mantenere l'orbita ssa dell'elettrone.

Dunque, la velocità tangenziale deve aumentare ω = ω₀+ ω_L e ωL||B

• quando elettrone ruota in senso orario la forza di Lorentz è repulsiva e la forza centrifuga deve diminuire per mantenere l'orbita ssa dell'elettrone.

Dunque, la velocità tangenziale deve diminuire ω = ω0− ωL

ma sempre ωL||B

Dunque, un elettrone, esposto ad un campo magnetico esterno, possiede un momento magnetico indotto dal campo stesso di valore

⃗

m_L =− |qe|

2 m_e I ⃗ωL=− q_e²

4 m_e R²B⃗

(26)

Il momento magnetico indotto è sempre antiparallelo al campo magnetico (diamagnetismo). Si ha l'energia totale dell'elettrone

U_tot ≡ −⃗mtot· ⃗B = |qe| 2 m_e

L⃗ · ⃗B + q_e²R² 4 m_e B²

Il primo termine si chiama contributo paramagnetico mentre il secondo è diamagnetico. Diamagnetismo è sempre più debole di paramagnetismo ed è

dominante solo negli atomi con L = 0 (livelli pieni).

2.3.2 Precessione di Larmor

Abbiamo visto che un campo magnetico ortogonale all'orbita di un elettrone modica la sua velocità angolare ma non il raggio dell'orbita. Consideriamo adesso un campo non ortogonale all'orbita ma formando un angolo θ ̸= 90⁰. In questo caso

il momento angolare e la velocità angolare non sono (anti)paralleli è il momento torcente ⃗τ = d⃗L/dt è dato da

⃗

τ = Idω

dt⃗ω0+ ⃗L× ⃗ω → equazioni di Eulero

ed anche quando la velocità è costante esiste un momento torcente. Questo momento provoca la precessione dell'orbita elettronica attorno alla direzione del

campo magnetico. Questa si chiama la precessione di Larmor. Un simile comportamento ha una trottola che fa la precessione attorno alla direzione della

velocità angolare dovuta al momento prodotto dal suo peso.

2.3.3 Risonanza magnetica

L'osservabile sica macroscopica è la magnetizzazione, denita come il momento di dipolo magnetico per unità di volume

M =⃗

∑

im⃗_i V

La magnetizzazione M, prodotta dall'azione del campo magnetico sugli spin nucleari, è proporzionale a quella dell'eccesso di spin con verso parallelo al campo

applicato ↑↑. È così possibile ottenere, da una piccola quantità di materia una magnetizzazione misurabile dovuta agli spin dei nuclei contenuti nella materia. Si usa il nucleo dell'idrogeno ( il protone). Esso rappresenta una corrente nucleare che

possiede un momento magnetico m. Anche H2 (il nucleo del deuterio, isotopo dell'idrogeno), C13, F₁₉, P₃₁, Ca₄₃ e molti altri nuclei hanno m ̸= 0 . Ma normalmente si considera il protone, in quanto presente in grandi quantità nei

tessuti umani. Per misurare M occorre perturbare il sistema dal suo stato di equilibrio, ad esempio applicando un secondo campo magnetico Bpert perpendicolare

a B0 e variabile nel tempo ( può essere prodotto da un segnale a radiofrequenze). I

(27)

campi B0 e Bpert si chiamano campo di polarizzazione e campo di eccitazione.

Una volta spento Bpert, il sistema di spin cede l'eccesso di energia al reticolo e si ristabilisce l'equilibrio tra spin degli atomi del campione e campo B0.

Se un nucleo è immerso in un campo magnetico B0, il vettore ⃗m tende a orientarsi parallelamente a B0, compiendo un moto di precessione con una frequenza di precessione di Larmore ωL. Un campo elettromagnetico variabile, della stessa frequenza ωL, che interagisca con il protone che subisce il moto di precessione, darà

luogo a un fenomeno di risonanza e il campo a radiofrequenza potrà cedere al protone l'energia necessaria a rovesciare il moto di precessione. Il protone a questo

punto può ritornare nello stato di partenza ↑↑ (minima energia) , emettendo un fotone di energia pari a quella che gli ha permesso di passare dallo stato ↑↑ a quello

↑↓ emettendo una radiazione elettromagnetica di frequenza ω0. Il debole segnale emesso dai protoni che ritornano alle condizioni iniziali è rivelato da un opportuno ricevitore. In questo modo è possibile ricostruire la mappa, anche tridimensionale,

della distribuzione dei protoni nei tessuti, e quindi negli organi. Se il corpo in considerazione è immerso in un campo magnetico B i momenti magnetici tenderanno ad allinearsi al campo , però la loro agitazione termica farà che, alla temperatura di circa T = 300 K, quelli con ↑↑ siano in numero leggermente più alto

di quelli con ↑↓. Il sbilancio produce una leggera magnetizzazione M del corpo.

Le componenti del vettore M(t) sono descritte con le equazioni di Bloch.

d⃗L

dt = ⃗L× ⃗ω L⃗ × ⃗ωL= q

2 m_pm⃗ × ⃗B d ⃗M

dt = gγ ⃗M × ⃗B

dove γ è una costante chiamata rapporto giromagnetico. Per gli elettroni sarebbe γ = q/2 m_p, ma per il nucleo si trova g ≈ 2q/2 mp. Questa dierenza riguarda il

contributo dello spin nucleare al momento magnetico.

Le equazioni delle componenti sono dM_x

dt = gγ(M_yB_z− MzB_y) dM_y

dt = gγ(M_zB_x− MxB_z) dMz

dt = gγ(M_xB_y − MyB_x)

Consideriamo un campo magnetico statico che scegliamo lungo l'asse z (

AEE @E IE?= ?HI 165 # $ )5=E=CE

Lezioni di sica corso ITS 2015/16

A.Smailagi¢

Contents

List of Figures

1 Prerequisiti matematici

1.1 Diverse basi ortogonali

2 Corrente elettrica

2.1 Il campo magnetico

2.2 Forza di Lorentz

2.3 Magnetismo atomico

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Lezioni di sica corso ITS 2015/16