Ottimizzazione topologica

In caso di verifica di una rete a gravità il sistema è unicamente definito, mentre nel caso di progettazione, come precedentemente accennato, il numero delle equazioni di tipo idraulico è inferiore alle incognite del problema in quanto le equazioni di continuità applicate ai nodi sono ridondanti; in altri termini si può dire che il problema ha un grado di libertà per ciascun nodo del sistema. Di conseguenza per la soluzione del problema è possibile aggiungere un’equazione di tipo economico per ogni nodo: le equazioni di minima passività. Detto ciò, si cerca quindi di progettare una rete che, tra le tante possibili, abbia minimo il seguente termine:

  * ∙ )i+ )e

ove r è il coefficiente di interesse/ammortamento, )i e )e sono rispettivamente i costi di impianto e i costi di

esercizio. Mediante delle analisi di mercato, il costo unitario c della condotta, relativo alle spese di impianto e comprendente posa e messa in funzione, può essere espresso come somma di una quota fissa e una aliquota dipendente dal diametro, ovvero :

31 dove ._/ , . ed 2 sono dei coefficienti di costo legati alle condizioni di sito e derivanti da un’analisi di mercato. Quando si esprimono le perdite di carico distribuite con l’espressione monomia:

3   ∙ 4_{∙ 0}56

dove k è un coefficiente di scabrezza dalla quale dipendono anche 7 e 8,  è la portata transitante e 0 è il diametro della condotta, si può dimostrare che la condizione di minima passività al nodo risulta:

9 *₈∙ .∙ 2 ∙ :  ∙ 0_6;<1; _4  9₌*=∙ ._{8=∙ :}=∙ 2₌ =∙ 0₌6><1> ₌4

nella quale con il pedice i sono stati indicati i rami che fluiscono verso il nodo, mentre con j i rami che fluiscono dal nodo. Questa equazione viene normalmente affiancata nel sistema risolvente, in luogo delle equazioni di continuità, alle equazioni del moto scritte per ciascun lato.

In una rete a maglie esiste almeno un nodo terminale. L’applicazione di tale equazione ad un nodo terminale porta ad avere un termine nullo a destra, perché trattandosi appunto di un nodo terminale non è presente alcun condotto uscente; ne consegue che i termini a sinistra relativi ai condotti entranti devo essere tutti nulli, non potendo di per sé essere negativi in quanto prodotti di fattori positivi. Per verificare tale uguaglianza quindi, l’unica possibilità affinché i termini di sinistra siano nulli è che lo siano i diametri. Applicando iterativamente la stessa equazione di passività ai nodi adiacenti si attiene, per le reti a maglie, che tutti i condotti risultano di diametro nullo. Questo è legato alle ipotesi di variabilità libera del carico sui nodi. Dal punto di vista progettuale però, questo risultato, induce ad una riflessione di aspetto economico: una rete magliata non è la rete più economica di tutte; la più economica è senz’altro quella ad albero, priva di condotti ridondanti. La buona pratica progettuale impone però che le reti idriche siano completamente magliate, il che conferisce una migliore affidabilità; è evidente, infatti, che in caso di rottura o chiusura per manutenzione di un condotto, in una rete siffatta sia possibile isolarlo riuscendo a garantire il servizio dei nodi (magari con pressioni inferiori dovendo percorrere un tragitto più lungo, il che si traduce in maggiori perdite di carico) tramite un tragitto differente. Risulta ovvio come ridondanza e minima passività, entrambi obiettivo del progettista, siano tra loro in conflitto. Secondo quanto detto si può semplicemente osservare come la ridondanza possa essere assunta quale misura indiretta dell’affidabilità della rete [Goulter et al. , 1992]. Jacobs e Goulter [1988] studiarono la topologia ottima di una rete basandosi sulla teoria dei grafi; i nodi che compongono tale grafo (rete) devono essere tutti dello stesso grado, cioè a ciascun nodo afferisce lo stesso numero di lati. Definendo un valore ottimo rispondente alla funzione obiettivo ideale, si è in grado di valutare, per differenza da tale modello di rete ideale, l’affidabilità di reti non ottime. Altri Autori mettono in gioco il concetto di entropia [Shannon, 1948; Jaynes, 1957]. Questa è una misura quantitativa dell’incertezza di una distribuzione di probabilità: l’entropia è considerata nulla quando è possibile un solo risultato (incertezza nulla), mentre è massima quando la distribuzione è uniforme. Formalmente l’entropia è definita come segue :

?  − ∙ 9 A

∙ ln A

dove  è una costante positiva e A_ è la probabilità di un insieme finito di N eventi mutualmente esclusivi e completi. Tonyimboh et al. [1993] derivano una rete in cui la distribuzione delle portate sia la più uniforme tra tutti i percorsi disponibili, in questo modo vengono minimizzati i disagi in caso di rottura di un ramo. Con questo approccio si cerca di ottenere l’uniformità dei percorsi raggiungendo un determinato grado di

32 ridondanza nel servizio dei punti di erogazione, massimizzando l’entropia della rete. Da quanto espresso risulta sempre più chiara la contrapposizione tra l’esigenza di ridurre la ridondanza della topologia, conveniente sotto il profilo economico, e quella di aumentarla per migliorare l’affidabilità del sistema. Un altro fattore che si aggiunge alla complessità del problema è la presenza delle perdite in rete e la necessità di individuarle. Ne nasce un problema di monitoraggio; tale necessità ci conduce verso la distrettualizzazione delle reti. L’aumento della ridondanza, sinonimo di maggiore affidabilità, è in contrasto con l’esigenza di distrettualizzazione. Diversi studi sono stati condotti per definire strutture di distrettualizzazione che conducano anche ad un aumentare l’affidabilità idraulica del sistema, andando a circoscrivere zone di maggior vulnerabilità, individuate per esempio dall’analisi delle rotture [Maksimovic et al., 1999; Maillhot et al., 2000]. Altri problemi sono legati alla diminuzione della velocità che può portare la formazione di depositi ed al peggioramento della qualità. La velocità, al pari della pressione, deve mantenersi sempre in un certo intervallo (0,5÷1.5 m/s) al fine di garantire un buon funzionamento. Se da un lato è necessario contenere le pressioni ai nodi (intervallo 25÷75m) per diminuire le perdite, è anche necessario che non si vada al di sotto di certi valori, altrimenti a farne le spese sarà l’offerta all’utenza.