Le prestazioni di una pompa vengono generalmente caratterizzate in termini di parametri adimensionali, mediante i quali è possibile svincolare le prestazioni stesse dalle caratteristiche geometriche, dimensionali ed operative della macchina.
Adimensionalizzando la portata volumetrica si ottiene il “coefficiente di flusso” definito mediante la seguente formula:
in cui si è indicata con l’area della sezione di passaggio del flusso. Il coefficiente di flusso può riferirsi sia alle grandezze relative alla sezione d’ingresso che a quelle relative alla sezione d’uscita ovvero ed
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Il salto di pressione subito dal fluido di lavoro viene invece adimensionalizzato fornendo così il “coefficiente di prevalenza”, :
Infine dalla adimensionalizzazione della coppia fornita dalla turbomacchina si ottiene il “coefficiente di coppia”, generalmente indicato con per le macchine centrifughe e con per quelle assiali. Il coefficiente
è definito come segue:
mentre il coefficiente è così definito:
Dove con si indica il valore medio tra i raggi di estremità e quelli di radice della pala.
Altro parametro adimensionale di grande importanza è il numero di Reynolds, , che nelle turbomacchine è definito nel modo seguente:
dove è la viscosità cinematica del fluido di lavoro.
Tramite le “curve caratteristiche” si può dare una descrizione grafica delle prestazioni di una pompa;
In esse infatti sono tracciati a mezzo di grafici gli andamenti dei parametri adimensionali prima introdotti in funzione di Φ come è mostrato nella Figura seguente che riporta l’andamento dei coefficienti ed per la turbopompa di alta pressione del combustibile dello SSME.
Figura 2-5 Curve caratteristiche della turbopompa di alta pressione del combustibile dello SSME [1] L’andamento delle curve mostrate in Figura 2.5 ha validità generale, almeno per le macchine centrifughe poiché per esse ci si aspetta sempre che la prevalenza sia decrescente col coefficiente di flusso , mentre il rendimento avrà un massimo in corrispondenza di una certo valore Φ
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Si noti che all’aumentare del numero di Reynolds e superato una certo valore di soglia di questo
(ovvero , le precedenti curve caratteristiche diventano praticamente indipendenti da tale parametro. Tale andamento ci dice che le caratteristiche delle turbopompe, quando si sia sviluppato un moto turbolento all’interno di esse, sono indipendenti dagli effetti viscosi. Pertanto due pompe godranno di similitudine fluidodinamica a patto che lavorino con gli stessi valori dei parametri Φ e ,e che il valore del numero di Reynolds superi per entrambe la soglia critica di .
Tuttavia i parametri Φ e risultano maggiormente utili in un secondo stadio della progettazione della turbomacchina quando ne siano già state definite la geometria interna e la velocità di rotazione. Invece i dati di cui si dispone preliminarmente sono in genere rappresentati dalla portata volumetrica che verrà elaborata dalla macchina ed il salto di pressione totale che si desidera impartire al fluido di lavoro; Per questo motivo si introduce un'altra coppia di parametri adimensionali la “velocità specifica” ed il “raggio specifico” (oppure in modo equivalente il “diametro specifico”) i quali consentono di disaccoppiare le incognite relative alla geometria e alla velocità di rotazione della pompa. Essi sono definiti mediante le seguenti relazioni:
Esistono inoltre una semplice formula empirica che lega le ultime due quantità di seguito riportata:
Mediante semplici passaggi algebrici si possono legare la velocità specifica ed il raggio specifico con e ottenendo le seguenti formule:
Con altrettanta facilità si possono derivare le relazioni inverse che esprimono e in funzione di velocità specifica e raggio specifico, ottenendo:
Combinando le precedenti equazioni si può ottenere la relazione che esprime la potenza elaborata da una turbopompa riportata di seguito:
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La precedente conferma la validità dei risultati che avevamo ricavato a mezzo dell’ analisi dimensionale (presentati nel paragrafo 1.1) i quali teorizzavano una proporzionalità di dal cubo della velocità di rotazione ed dalla quinta potenza del raggio.
Se supponiamo ora di prendere, per qualsiasi tipo di turbomacchina realizzabile, i valori di Φ e per cui l’efficienza è massima è possibile realizzare un diagramma in cui è tracciata, al variare di velocità specifica e raggio specifico (ricavati da Φ e tramite le relazioni precedentemente introdotte), la più alta efficienza ottenibile.
Un esempio di questo tipo diagramma è fornito, nel caso specifico di macchine centrifughe, dalla figura seguente in cui è realizzato anche un confronto tra i valori teorici calcolati e quelli misurati sperimentalmente; è inoltre messa in evidenza la dipendenza del rendimento dall’angolo (angolo formato, all’uscita della girante, dalle pale con la direzione radiale). Un diagramma analogo, relativo però al caso di pompe assiali, è dato in Figura 2.7.
Figura 2-6 Rendimenti ottenibili per pompe centrifughe in funzione del raggio specifico e della velocità specifica [1]
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Figura 2-7 Rendimenti ottenibili per pompe assiali monostadio in funzione del raggio specifico e della velocità specifica [1]
Dalle figure precedenti si comprende come a valori diversi della velocità specifica ,corrispondano differenti tipi di macchine che siano in grado di ottenere il rendimento migliore . Pertanto a seconda della particolare applicazione e del valore della velocità specifica da essa richiesta, converrà modificare il disegno della turbopompa così da consentirgli di lavorare sempre alla massima efficienza possibile.
Questi aspetti sono ben riassunti nelle seguente Figura dove si nota come per bassi valori di ( compresi nell’intervallo tra 0.2 ed 1), sono le macchine centrifughe le più efficienti, mentre le macchine assiali sono indicate per valori più alti della velocità specifica per i valori intermedi risultano preferibili le pompe a flusso misto.
Figura 2-8 Intervalli di velocità specifiche per turbomacchine tipiche e tipiche geometria di pompa per differenti velocità di progetto[3]
Ponendosi nell’ipotesi di lavorare sempre con il tipo di macchina “ottimale” suggerito dalla Figura, i rendimenti più alti si manifestano in corrispondenza dei valori di ,compresi tra per i quali si riescono ad ottenere efficienze dell’ordine del .
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A velocità specifiche più basse, come è ben evidenziato dalla Figura precedente , i passaggi all’interno della girante della pompa risultano essere molto più stretti e lunghi: ciò è conseguenza del fatto che le perdite dovute all’attrito diminuiscono il rendimento. Allo stesso modo anche per i valori più alti di S i rendimenti
subiscono forti diminuzioni : in questo caso infatti, come si evince dalla formula che definisce tale parametro,per ottenere un elevato valore del rendimento è necessario avere una bassa prevalenza della pompa ed un elevato valore del coefficiente di flusso. Ma avere bassa prevalenza significa che le perdite per attrito nella turbomacchina diventano una percentuale significativa della prevalenza stessa e questo è causa della riduzione del rendimento idraulico.
Queste ultime considerazioni sono ben descritte per via grafica nella cosiddetta “linea di Cordier” riportata nella seguente Figura.
Figura 2-9 Distribuzione delle turbomacchine ad efficienza ottima [2]