in (5.70)
Anche l’emittanza longitudinale varia con l’accelerazione 15. Anche per essa si definisce un’emittanza normalizzata cos`ı definita
ǫnormz = γ3βǫunormz (5.71)
5.6 Poisson-Vlasov e distribuzioni 6-D
Diversamente dal caso bidimensionale, nel 3-D non `e possibile lavorare con una KV pura. Generalizzando la KV 4-D nel seguente modo 16
fKV ∝ δx˜ 2+ ˜p2x ǫx0 +y˜ 2+ ˜p2y ǫy0 + z˜ 2 + ˜p2z ǫz0 − 1 (5.72) si pu`o far vedere che la densit`a di carica, definita da
˜ ρ(˜x, ˜y, ˜z) = Z ˜ fKVd˜pxd˜pyd˜pz (5.73) 14
Questo scaling non va confuso con la contrazione lorentziana, poich`e `e vero in entrambi i sistemi di riferimento.
15E interessante notare come usando le variabili longitudinali (δφ, δW )`
l’emittanza non cambi, mentre col sistema (z, z′) s`ı .
16In questo paragrafo tutte le variabili sono espresse in coordinate CS, poich`e
quelle usate da HALODYN. In letteratura sono invece espresse le coordinate fisiche, ma un semplice cambio di coordinata dimostra che le due impostazioni sono equivalenti.
presenta una singolarit`a totalmente priva di fondamento fisico. In linea di principio, in assenza di accelerazione, ogni funzione dell’Hamilto-niana, `e una costante del moto e quindi una soluzione stazionaria 17 Si pu`o anche mostrare 18 che una distribuzione autoconsistente per la sola parte longitudinale `e data dalla distribuzione parabolica
fL(˜z, ˜pz) ∝z˜
2+ ˜p2z ǫz0
(5.74) il cui campo elettrico Ez `e lineare.
In prima approssimazione, separando il moto longitudinale da quello trasverso, si pu`o pensare che una soluzione autoconsistente sia data dal prodotto tra una KV 4-D ed una parabolica, ottenendo la cosiddetta KV-Neuffer fKV −N euf = cost · δx˜ 2 + ˜p2x ǫx0 +y˜ 2+ ˜p2y ǫy0 − 1×z˜ 2+ ˜p2z ǫz0 1/2 (5.75) Dato l’intrinseco accoppiamento tra moto longitudinale e trasverso, non si tratta, evidentemente, di una soluzione autoconsistente. Il rap-porto tra le emittanze totali e RMS `e 4 per le trasverse, 5 per la longitudinale.
Se a questi argomenti aggiungiamo poi il fatto che il nostro sistema non `e isolato, a causa dell’accelerazione, appare evidente come anche le funzioni dell’Hamiltoniana non siano pi`u stazionarie. Non solo: gli acceleratoristi non si trovano mai nella posizione di poter generare un fascio secondo una desiderata distribuzione. Questo deriva da tanti fattori, come ad esempio la segmentazione dell’acceleratore in diversi stadi, ognuno con le proprie caratteristiche. Quello che si fa `e dunque individuare la distribuzione vera del fascio in ingresso e simularne
17
Vedi i lavori di Gluckstern et al. Halo formation in three-dimensional buches, Phys. Rew. E vol. 58 N. 4, 1998; Halo formation in three-dimensional buches with various phase space distributions, Phys. Rew. S.T.-Acc. and beams, vol. 2, 1999. Sono presentati i risultati di simulazioni numeriche 3-D con diverse distribuzioni
del tipo f ∝ (H0− H)n, con n variabile. Si tratta, tuttavia, di sistemi di constant
focusing nella quale l’Hamiltoniana `e palesemente costante nel tempo. La cosa `e
pi`u delicata nel periodic focusing, poich`e H non `e pi`u costante ma periodica.
18Vedi par. 5.4.7 di Reiser M. Theory and design of charged particle beams, op.
numericamente il comportamento usando la distribuzione che pi`u le si avvicina.
Per tutti questi motivi i programmi di simulazione offrono una gamma di diverse distribuzioni iniziali.
Le distribuzioni 6-D pi`u comunemente usate sono :
1. Uniforme 6-D. Si tratta di una distribuzione definita, in un certo senso, a posteriori, richiedendo che sullo spazio (x, y, z) sia uniforme. Il rapporto tra emittanza totale ed emittanza RMS `e 5. 19 Il vantag-gio offerto da questa distribuzione `e la linearit`a del campo elettrico generato, ma ha lo svantaggio di essere poco rappresentativa della realt`a. FU nif = cost · θ1 − x˜ 2 ǫx0 + ˜ y2 ǫy0 + ˜ z2 ǫz0 (5.76) Come si vede, nella definizione non compare alcuna dipendenza fun-zionale dai momenti. Questi sono distribuiti (in genere uniforme-mente, ma non `e obbligatorio) all’interno degli ellissi definiti nei singoli piani (x, px), (y, py), (z, pz). Il meccanismo usato da HALODYN `e il seguente:
1. si calcolano ˜x, ˜y, ˜z che soddisfano la 5.76;
2. dato che la dinamica nello spazio CS `e una rotazione su una cir-conferenza di raggio unitario (vedi (2.28)) ˜pxi =p1 − ˜x2
i · rand, dove rand `e un numero random compreso tra (−1, 1). Con questa scelta, anche i singoli ellissi vengono riempiti in modo uniforme.
2. Waterbag 6-D. Si tratta di una generalizzazione del caso bidimensionale, ottenendo una distribuzione uniforme all’interno del-l’iperelissoide seidimensionale ˜ f (˜x, ˜px, ˜y, ˜py, ˜z, ˜pz) = cost ·θ1 −x˜ 2+ ˜p2x ǫx0 −y˜ 2+ ˜p2y ǫy0 −z˜ 2+ ˜p2z ǫz0 (5.77)
Il rapporto tra l’emittanza totale e quella RMS `e in questo caso 8. 3. Gaussiana. Si tratta anche qui della generalizzazione del caso
bidimensionale e la si pu`o esprimere nel seguente modo ˜ f(˜x, ˜px, ˜y, ˜py, ˜z, ˜pz) = cost · e− 1 2 x˜2+ ˜p2x ǫx0 −y˜2+ ˜p2 y ǫy0 −z˜2+ ˜p2z ǫz0 (5.78) In letteratura si possono trovare diverse definizioni, nelle quali, ad es-empio, la forma quadratica ad esponente non `e in forma diagonale. Il rapporto tra emittanza totale e RMS dipende dal numero di deviazioni standard alla quale la distribuzione viene troncata. Approssimativa-mente vale la relazione
ǫtoti ≃ n2i × ǫRM Si (5.79) dove i rappresenta la coordinata ed ni il relativo numero di deviazioni standard tollerate.
Allo stato attuale dello sviluppo di HALODYN 3-D, `e possibile generare tre tipi di distribuzione: KV-Neuffer, Waterbag e Uniforme. La precisione con cui vengono realizzate dipende dal numero di par-ticelle simulate. Dalla statistica `e noto che l’accuratezza sar`a pro-porzionale a 1
pNpart
. Come detto in precedenza, un controllo sulla qualit`a della generazione sta nei rapporti tra emittanze totali e RMS, noti per ogni distribuzione. In tabella 5.1 sono riportati questi valori per le tre distribuzioni generate da HALODYN 3-D, e lo scarto mas-simo rispetto ai valori teorici. Le particelle simulate sono 104.
Dist ǫx,tot/ǫx,RM S ǫy,tot/ǫy,RM S ǫz,tot/ǫz,RM S max. diff. KV-Neuff. 4.038 (4) 4.034 (4) 5.03 (5) 0.9%
Waterbag 7.66 (8) 7.77 (8) 7.82 (8) 4.2% Uniform 4.89 (5) 5.01 (5) 4.95 (5) 2.2% Tabella 5.1: rapporti tra emittanze per distribuzioni generate da HALODYN e scarto massimo rispetto ai valori teorici (dentro le parentesi). Particelle simulate 104.
Ripetiamo lo stesso procedimento con 106 particelle. In tabella 5.2 sono riportati i risultati. Come si vede, la precisione della generazione migliora proporzionalmente a 1
Dist ǫx,tot/ǫx,RM S ǫy,tot/ǫy,RM S ǫz,tot/ǫz,RM S max. diff. KV-Neuff. 4.0029 (4) 4.005 (4) 5.0034 (5) 0.12%
Waterbag 7.93 (8) 7.957 (8) 7.968 (8) 0.87% Uniform 4.996 (5) 4.999 (5) 4.989 (5) 0.22% Tabella 5.2: rapporti tra emittanze per distribuzioni generate da HALODYN e scarto massimo rispetto ai valori teorici (dentro le parentesi). Particelle simulate 106.
Capitolo 6
HALODYN 3-D
6.1 Struttura e implementazione della
di-namica longitudinale
HALODYN 3-D ha la stessa struttura della versione bidimensionale. La parte di ottica `e identica alla precedente, tranne naturalmente per il fatto di lavorare con matrici 6 × 6 e di contemplare la matrice di trasferimento per la cavit`a accelerante. A questo proposito va fatta una sola osservazione. Quella definita nella (5.50) contiene dei ter-mini in funzione della distanza radiale r, propria di ogni particella. Nella parte di ottica non entrano in gioco le singole particelle ma so-lo le ampiezze di inviluppo. Non ha dunque senso lavorare con la matrice di cui sopra nella ricerca della soluzione mecciata. Un modo per aggirare questo limite `e usare l’approssimazione per bunch corto e collimato usata per ricavare la (5.45): la matrice di traferimento della cavit`a diventa quindi una rotazione iperbolica nei piani trasversi ed una trigonometrica nel piano (z, pz).
Un’altra piccola differenza con la verisone 2-D sta nella possibilit`a di evitare di passare per le routine di ottica, inserendo all’inizio, da utente, i valori delle funzioni ottiche. La scelta `e stata dettata da due motivi. Il primo riguarda la riduzione dei tempi: una volta calcolati questi valori per una data configurazione, con una precisione elevata a piacere, qualora si debbano fare diverse simulazioni ma con lo stesso set di parametri della macchina, si evita di perdere tempo nella parte
di ottica i cui risultati sono indipendenti (ad esempio dal numero di particelle e dalla risoluzione del mesh). L’altro motivo risiede nel fat-to che all’ingresso dell’accelerafat-tore entra di solifat-to un fascio uscente da un altro segmento i cui parametri d’inviluppo non sono periodici: occorre dunque prevedere come si evolve il fascio con quelle precise caratteristiche privando di senso la ricerca della soluzione periodica.
La generazione delle distribuzioni `e stata descritta nel precedente paragrafo, mentre per i dettagli matematici, si tratta soltanto di gen-eralizzare quelli esposti nel paragrafo 3.1.1. Anche lo shema evolutivo rispecchia il 2-D. Ad ogni periodo FOGODOGO, ad ogni micromap-pa, viene applicata ad ogni particella la matrice di trasferimento (F , D, O o RF ) ed il kick di carica spaziale (la (5.56) per il PIC, la (5.62) per il PC). Ad ogni micromappa viene ricalcolata la densit`a ρ(x, y, z) ed il campo elettrico che verr`a applicato alla micromappa sucessiva.
La gestione dell’output `e la stessa del 2-D, ad eccezione della den-sit`a di carica spaziale: in attesa di poter visualizzare immagini tridi-mensionali `e stato pensato di graficare soltanto la proiezione lungo z di ρ(x, y, z), visulazzando una ρ′(x, y). Si tratta della scelta pi`u ovvia per visualizzzare ogni eventuale formazione di alone trasverso. Con questa scelta, tuttavia, non `e possibile visualizzare l’alone longitudi-nale. Per quanto riguarda i valori RMS, vengono calcolate anche le emittanze normalizzate e le funzioni ottiche rms, come meglio spiegato nel paragrafo successivo.
Per quanto riguarda il post processing i programmi presentati nel Capitolo 3 sono stati modificati per tener conto della componente lon-gitudinale e sono stati raccolti in un unico pacchetto grafico chiama-to HALOPOST. Queschiama-to software visualizza gli spazi delle fasi (x, px), (y, py), (z, pz), lo spazio delle configurazioni (x, y), e la densit`a ρ′(x, y). A causa dell’accelerazioneale delle particelle non ha senso parlare di istogrammi ivariante radiale: il primo poich`e il sistema non `e pi`u con-servativo, il secondo poich`e la perveanza diminuisce e ci aspettiamo
una diminuzione delle dimensioni del fascio.
6.2 Il Poisson Solver 3-D
Il Poisson Solver (PS) 3-D presenta due opzioni. La prima `e una FFT 3-D, generalizzazione dell’algoritmo bidimensionale esposto nel para-grafo 3.1.3. Il secondo `e una FFT 2-D con inversione tridiagonale per la parte longitudinale. Il primo metodo `e pi`u preciso ma la sua comp-lessit`a computazionale cresce on una legge ∝ (K log2K)3, dove K `e la risoluzione del mesh nell’ipotesi che sia uguale sui tre piani. L’accoppi-amento FFT-tridiagonale, invece, `e meno preciso, ma non ha i tempi inaccetabilmente lunghi della FFT 3-D. La sua complessit`a, infatti, scala con una legge K3(log2K)2. Nella tabella 6.1 sono presentati i confronti tra i due metodi, e la versione bidimensionale.
K FFT 2-D FFT 3-D FFT 2-D + tridia. 16 4096 262144 65536 32 2560 40.96 × 105 819200 64 147456 56.6 × 106 94.4 × 105 128 802816 719.3 × 106 102.8 × 106 256 41.9 × 105 8.59 × 109 1.07 × 109 512 21.2 × 106 32.6 × 109 10.9 × 109 1024 104.8 × 106 1.07 × 1012 1.07 × 1011
Tabella 6.1: numero di operazioni richieste dalle FFT 3-D e dalle FFT 2D+tridiagonale in funzione della diversa risoluzione e confrontato col 2-D
Come si vede, la FFT 3-D con un mesh da 64 richiede pi`u del doppio delle operazioni richieste dal PS bidimensionale da 512. La FFT-tridiagonale con mesh da 64, invece, richiede operazioni con-frontabili col PS 2-D da 256. Ci`o nonostante, vedremo nel paragrafo dedicato ai tempi di CPU che questa differenza non comporta grosse differenze di tempo.
HALODYN 3-D permette all’utente di scegliere tra i due metodi, in base al valore della variabie logica sin tri definita nell’include file -PARAM.fi. Se sin tri=.true. si lavora con la FFT 2-D con inversione
tridiagonale, mentre con sin tri=.false. viene attivata la FFT 3-D.