CAPITOLO 6 Simulazioni
6.2 Prestazioni dei regolatori PI di corrente
Nel paragrafo 6.1 sono stati definiti i valori dei parametri costruttivi di macchina, quindi, sulla base delle considerazioni riguardanti l’implementazione dei sistemi di controllo di corrente, è possibile effettuare la taratura dei regolatori PI secondo i metodi suggeriti nei paragrafi 3.3 e 3.4.
Prendendo in considerazione l’architettura multi-trifase, si applica la (3.35) per trovare la matrice delle induttanze trasformate in termini spaziali. Il risultato è:
[𝑀𝑆𝑉] = [ 0.0059 0 0 0 0 0 0 0.0059 0 0 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0 0 0 0.0005 0 0 0 0 0 0 0.0005] (6.8)
135 Dalla (6.8), si ricavano i seguenti parametri di interesse:
𝐿1 = 0.0059 𝐻
𝐿5 = 0.0005 𝐻 (6.9)
Per quanto riguarda la resistenza di fase in termini spaziali, si era già riportata l’equivalenza:
[𝑅6𝑝ℎ] = [𝑅𝑆𝑉] (3.38)
Si può dunque procedere con la taratura del regolatore PI di spazio 1, valida sia per la componente d sia per la componente q di corrente. La costante di tempo elettrica di macchina di spazio 1 vale:
𝜏𝑅𝐿,1= 𝐿1 𝑅𝑠 =
0.0059
0.36 = 0.01638 ≈ 0.0164 𝑠 (6.10)
Il guadagno integrale del regolatore PI di spazio 1 vale:
𝐾𝑖,1 = 𝑅𝑠 4𝑇𝐶 =
0.36
4 ∗ 0.0001= 900 (6.11)
Il guadagno proporzionale del regolatore PI di spazio 1 vale:
𝐾𝑝,1 = 𝐾𝑖,1𝜏𝑅𝐿,1 = 900 ∗ 0.01638 = 14.7365 (6.12)
La funzione di trasferimento di anello aperto relativa al sistema in retroazione di spazio 1 ottenuta mediante la cancellazione polo-zero (come descritto nel paragrafo 3.3) risulta:
𝐺𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑜𝑝,1(𝑠) = 𝐾𝑖,1
𝑠𝑅𝑠(1 + 𝑇𝐶𝑠)=
900
0.36 𝑠(1 + 10−6𝑠) (6.13)
La funzione di trasferimento di anello chiuso relativa al sistema in retroazione di spazio 1 risulta:
𝐺𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑙𝑜𝑜𝑝,1(𝑠) = 𝐾𝑖,1 𝑅𝑠𝑇𝐶𝑠2+ 𝑅 𝑠𝑠 + 𝐾𝑖,1 = 900 0.36 10−6𝑠2+ 0.36 𝑠 + 900 (6.14)
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Per verificare la stabilità, la dinamica e la reattività del controllo progettato, si possono visualizzare i diagrammi di Bode (sia di ampiezza sia di fase) e la risposta al gradino del sistema in retroazione. Tale procedura può essere effettuata mediante l’utilizzo di una funzione di Matlab chiamata sisotool. In Figura 6.4 sono riportati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo la funzione di trasferimento di anello aperto del sistema riferita allo spazio 1 (6.13) all’interno di sisotool al fine di esaminarne la risposta in frequenza. Come si evince dalla Figura 6.4, il sistema presenta un guadagno statico Gopen loop,1 (0) positivo, non presenta poli a parte reale positiva ed ha solo una frequenza di taglio, quindi per il Criterio di Stabilità di Bode [11] il sistema risulta essere asintoticamente stabile in quanto il margine di fase risulta positivo.
Figura 6.4: Diagramma di Bode (ampiezza e fase) della funzione di trasferimento di anello aperto del sistema (spazio 1).
Per quanto riguarda la robustezza della stabilità del sistema in retroazione, si valuta il margine di fase; dalla Figura 6.4 si nota come esso sia superiore a 75°. Tale risultato garantisce robustezza (più è alto il margine di fase più la stabilità del sistema in retroazione è assicurata anche in presenza di grosse incertezze) ed assenza di sovra-elongazioni nella risposta al gradino. Al fine di verificare la dinamica e la prontezza di risposta del sistema, in Figura 6.5 è riportata la risposta al gradino, dalla quale è possibile constatare un tempo di assestamento al 1% Ta1 pari a 1.8 ms.
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Figura 6.5: Risposta al gradino della funzione di trasferimento di anello aperto del sistema (spazio 1).
In Figura 6.6 sono riportati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo la funzione di trasferimento di anello chiuso del sistema riferita allo spazio 1 (6.14) all’interno di sisotool al fine di verificare la banda del sistema; come è possibile constatare, la prestazione del regolatore nell’inseguire i riferimenti è ottima.
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Le medesime considerazioni possono essere effettuate per lo spazio 5. Il progetto dei regolatori parte con il calcolo della costante di tempo elettrica di macchina di spazio 5, ricavata come:
𝜏𝑅𝐿,5= 𝐿5 𝑅𝑠 =
0.0005
0.36 = 0.00138 ≈ 0.0014 𝑠 (6.15)
Il guadagno integrale del regolatore PI di spazio 5 vale:
𝐾𝑖,5 = 𝑅𝑠 4𝑇𝐶 =
0.36
4 ∗ 0.0001= 900 (6.16)
Il guadagno proporzionale del regolatore PI di spazio 5 vale:
𝐾𝑝,5 = 𝐾𝑖,5𝜏𝑅𝐿,5 = 900 ∗ 0.00138 = 1.2785 (6.17)
In Figura 6.7 sono mostrati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo la funzione di trasferimento di anello aperto del sistema riferita allo spazio 5 all’interno di sisotool: anche in questo caso, verificate le condizioni per il Criterio di Stabilità di Bode, il sistema in retroazione risulta essere asintoticamente stabile, con il margine di fase superiore a 75°.
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Dalla risposta al gradino, riportata in Figura 6.8, si può concludere che, anche in questa circostanza, la prontezza di risposta del sistema nello spazio 5 risulta essere assicurata.
Figura 6.8: Risposta al gradino della funzione di trasferimento di anello aperto del sistema (spazio 5).
In Figura 6.9 sono riportati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo la funzione di trasferimento di anello chiuso del sistema riferita allo spazio 5; come è possibile constatare, la prestazione del regolatore nell’inseguire i riferimenti risulta essere, anche in questo caso, ottima.
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Prendendo in considerazione l’architettura multilivello, i parametri di macchina utili alla taratura dei regolatori PI risultano essere differenti. La resistenza elettrica offerta dalla serie di due avvolgimenti statorici (costituente la nuova singola fase) vale:
𝑅𝑒𝑞 = 2𝑅𝑠 = 0.72 Ω (6.18)
Dalla (6.18) è possibile ottenere la matrice delle resistenze equivalenti espressa in ohm [Ω]:
[𝑅3𝑝ℎ] = [
0.72 0 0
0 0.72 0
0 0 0.72
] (6.19)
Si definisce la matrice delle induttanze equivalenti di macchina, espressa in Henry [H], composta dai nuovi coefficienti di auto e mutua induzione calcolati secondo la (3.98):
[𝑀3𝑝ℎ] = [ 8034 −3034 −3034 −3034 8034 −3034 −3034 −3034 8034 ] ∗ 10−6 (6.20)
Applicando la (3.104), si trova la matrice delle induttanze equivalenti trasformate in termini spaziali:
[𝑀𝑆𝑉,𝑒𝑞] = [
0.002 0 0
0 0.0111 0
0 0 0.0111
] (6.21)
Dalla (6.21), si ricava l’unico parametro di interesse:
𝐿1,𝑒𝑞 = 0.0111 𝐻 (6.22)
Per quanto riguarda la resistenza della nuova fase in termini spaziali, vale l’equivalenza:
[𝑅3𝑝ℎ] = [𝑅𝑆𝑉,𝑒𝑞] (3.108)
Si può procedere con la taratura dell’unico regolatore PI (quello di spazio 1), valida sia per la componente d sia per la componente q di corrente.
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La costante di tempo elettrica di macchina, in configurazione trifase equivalente, di spazio 1 vale:
𝜏𝑅𝐿,𝑒𝑞,1 =𝐿1,𝑒𝑞 𝑅𝑒𝑞 =
0.0111
0.72 = 0.0154 𝑠 (6.23)
Il guadagno integrale del regolatore PI di spazio 1 vale:
𝐾𝑖,𝑒𝑞,1 =𝑅𝑒𝑞 4𝑇𝐶 =
0.72
4 ∗ 0.0001= 1800 (6.24)
Il guadagno proporzionale del regolatore PI di spazio 1 vale:
𝐾𝑝,𝑒𝑞,1 = 𝐾𝑖,𝑒𝑞,1𝜏𝑅𝐿,𝑒𝑞,1 = 1800 ∗ 0.0154 = 27.67 (6.25)
La funzione di trasferimento di anello aperto equivalente relativa al sistema in retroazione di spazio 1 ottenuta mediante la cancellazione polo-zero (come descritto nel paragrafo 3.4) risulta:
𝐺𝑜𝑝𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑜𝑝,𝑒𝑞,1(𝑠) = 𝐾𝑖,𝑒𝑞,1
𝑠𝑅𝑒𝑞(1 + 𝑇𝐶𝑠)=
1800
0.72 𝑠(1 + 10−6𝑠) (6.26)
La funzione di trasferimento di anello chiuso equivalente relativa al sistema in retroazione di spazio 1 risulta: 𝐺𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑙𝑜𝑜𝑝,𝑒𝑞,1(𝑠) = 𝐾𝑖,𝑒𝑞,1 𝑅𝑒𝑞𝑇𝐶𝑠2+ 𝑅 𝑒𝑞𝑠 + 𝐾𝑖,𝑒𝑞,1 = 1800 0.72 10−6𝑠2 + 0.72 𝑠 + 1800 (6.27)
Si verifica il progetto del regolatore in termini di stabilità e velocità di risposta; in Figura 6.10 sono riportati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo all’interno di sisotool la funzione di trasferimento di anello aperto del sistema, in configurazione trifase equivalente, riferita allo spazio 1 (6.26). Essendo il metodo di taratura analogo a quello utilizzato nell’architettura multi- trifase, si ottengono gli stessi risultati, ovvero un sistema asintoticamente stabile e robusto, siccome il margine di fase risulta superiore a 75°. In Figura 6.11 si riporta la risposta al gradino, in cui è messa in evidenza la velocità di reazione del sistema.
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Figura 6.10: Diagramma di Bode (ampiezza e fase) della funzione di trasferimento di anello aperto equivalente.
Figura 6.11: Risposta al gradino della funzione di trasferimento di anello aperto equivalente.
In Figura 6.12 sono riportati i diagrammi di Bode, di ampiezza e di fase, ottenuti inserendo la funzione di trasferimento di anello chiuso equivalente del sistema (6.27); come è possibile constatare, la banda del sistema in retroazione è elevata, ciò comporta un’ottima prestazione del regolatore nell’inseguire i riferimenti.
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Figura 6.12: Diagramma di Bode (ampiezza e fase) della funzione di trasferimento di anello chiuso equivalente.