Un’altra evoluzione del modello ibrido proposto in questo elaborato è quel- la in cui le previsioni effettuate dai quattro strumenti previsivi (LOWESS, EMA, BBANDS e RSI) vengono prodotte "passo a passo" (one step ahead o statica) nel
periodo t2 e t3. Avvalendosi di questa metodologia, ogni previsione viene ag-
giornata man mano che vengono rilevate nuove osservazioni nel campione in esame.
Dal punto di vista finanziario, il modello proposto nei paragrafi preceden- ti e nel precedente capitolo può risultare utile per un investitore, il quale, per esempio, assumendo una posizione lunga su un contratto finanziario su indici di borsa può voler capire se nel lungo termine otterrà un guadagno o una perdita da questa determinata scelta di investimento. Introducendo invece la variante della previsione one step ahead ci si pone in un’ottica speculativa nella quale un trader cerca di prevedere se il giorno successivo l’indice di borsa, sul quale ha preso una determinata posizione, subirà un rialzo o un ribasso. Si può quindi facilmente comprendere che nel primo caso è fondamentale una prospettiva di lungo periodo, mentre nella seconda situazione una di breve termine.
A ciò si aggiunga che nel modello precedente le previsioni per il periodo t2
(e t3) degli indicatori di analisi tecnica non erano altro che l’ultimo segnale che
tali strumenti avevano evidenziato nel periodo t1 (e t2). Pertanto si supponeva
che tale segnale di buy o sell perdurasse per tutto il periodo successivo. Tale ipotesi risulta al quanto restrittiva. Ecco perché la procedura di aggiornamento della previsione man mano che vengono rilevate nuove osservazioni risulta più adeguata nel modello ibrido qui proposto.
Operativamente, sul primo 75% dei dati è stato stimato il modello della re- gressione locale regredendo le quotazioni degli indici di mercato solo sulla varia- bile tempo e sono stati rilevati i segnali originati dagli indicatori di analisi tecnica.
Successivamente sono state ottenute le previsioni one step ahead per il training set e sono stati stimati i pesi di ciascuna previsione utilizzando il PSO. In particolare, rispetto al modello ibrido esposto nelle pagine addietro, in questo caso è stata utilizzata la seguente funzione di fitting da minimizzare ad ogni iterazione:
f2 = −( t2 X i=1 θi) (3.1) dove
θi = sign(cpi) × (Pi− Pi−1) con i = 1, . . . , t2 (3.2)
e
cpi = γ1,iSLOW ESS(i)+ γ2,iSEM A(i)+ γ3,iSBBAN DS(i)+ γ4,iSRSI(i) (3.3)
Dall’equazione (3.2) si può comprendere che quando il segnale predetto dalla
cpi concorda con quello reale, la statistica θi aumenterà dello stesso ammontare
di (Pi− Pi−1), mentre in caso contrario diminuirà sempre di (Pi− Pi−1). Di con-
seguenza, più piccola risulta essere −(
t2
X
i=1
θi)e migliori saranno i pesi stimati dal
PSO.
Alla fine delle iterazioni, i pesi ottimali individuati dal PSO sono quelli ri-
portati in tabella 3.14, dove 0 ≤ (γ1, γ2, γ3, γ4) ≤ 1 sono i pesi assegnati rispet-
tivamente alla previsione effettuata dalla LOWESS, dall’EMA, dalle BBANDS e dall’RSI. Da tale tabella si può constatare che in tutti e quattro gli indici di merca- to, i pesi maggiori li ricevono le previsioni effettuate avvalendosi degli indicatori di analisi tecnica.
I pesi riportati in tabella 3.14 sono stati poi applicati alle previsioni one step ahead dei quattro strumenti previsivi calcolate sul test set. In questo modo sono
state ottenute le combinazioni di previsioni per il tempo t3. La performance di tali
combinazioni è stata valutata avvalendosi sempre della statistica riportata nell’e-
Indici di γ1 γ2 γ3 γ4 f2 mercato FTSE MIB 0.258 0.196 0.116 0.634 110.00 DAX 30 0.258 0.196 0.116 0.634 -1008.60 NASDAQ 100 0.009 0.504 0.565 0.035 153.91 FTSE 100 0.009 0.504 0.565 0.035 -527.99
Tabella 3.14: Pesi ottimali generati dal PSO sul periodo di training set attribuiti alle previsioni statiche
t3
X
j=1
θj. Tale misura di performance è conosciuta in letteratura con il nome di ANP
(Absolute Net Profitability) [41]. Inoltre, è stato calcolato (in percentuale) quante volte il segnale della combinazione di previsioni concorda con quello osservato sui dati reali, ottenendo quindi un Correct signal espresso in percentuale (%CS). I risultati di tali "test" sono riportati in tabella 3.15.
Indici di ANP % CS mercato FTSE MIB -1106 52% DAX 30 1346.01 60% NASDAQ 100 60.808 56% FTSE 100 50.91 45%
Tabella 3.15: Bontà delle combinazioni di previsioni statiche ottenute sul test set
Dalla tabella 3.15 si può notare che in tutti i casi la percentuale di volte in cui il segnale predetto dal modello ibrido concorda con quello effettivamente osservato sia abbastanza elevata per tutti e quattro gli indici di mercato. Tuttavia, nel caso del FTSE MIB, nonostante tale percentuale sia abbastanza elevata, si assiste ad un valore della statistica ANP piuttosto basso. Ciò significa che nel 52% dei casi la combinazione di previsioni riesce a prevedere correttamente il segnale di rialzo
o di ribasso. Tuttavia, quando questo non si verifica, le cpj con j = 1, . . . , t3 si
Successivamente, anche in questa evoluzione del modello ibrido è stata inseri- ta nella LOWESS la componente autoregressiva di ordine 1. I nuovi pesi attribuiti alle singole previsioni one step ahead dal PSO sono presenti in tabella 3.16, mentre le statistiche relative alla bontà di questa variante del modello sono esposte nella griglia 3.17. Indici di γ1 γ2 γ3 γ4 f2 mercato FTSE MIB 0.775 0.239 0.100 0.375 -1883.00 DAX 30 0.258 0.196 0.116 0.634 -1008.60 NASDAQ 100 0.623 0.073 0.356 0.026 -204.32 FTSE 100 0.775 0.239 0.100 0.375 -547.09
Tabella 3.16: Pesi ottimali generati dal PSO sul periodo di training set attribuiti alle previsioni statiche inserendo nella LOWESS, oltre al trend temporale, una componente autoregressiva di ordine 1
Indici di ANP %CS mercato FTSE MIB -1510 47% DAX 30 1346.01 60% NASDAQ 100 382.83 56% FTSE 100 400.39 61%
Tabella 3.17: Bontà delle combinazioni di previsioni statiche ottenute sul test set inseren- do nella LOWESS, oltre al trend temporale, una componente autoregressiva di ordine 1
Dalla tabella 3.16 si può constatare che il PSO attribuisce un peso maggiore al- le previsioni statiche effettuate dalla LOWESS, ad eccezione di quelle del DAX 30.
Inoltre, confrontando tale tabella con la 3.14 si può notare che la f2 è migliorata
in tutti e quattro i casi.
Per quanto concerne la griglia 3.17, si può osservare che rispetto alla tabel- la 3.15 c’è stato un peggioramento di entrambe le statistiche nel caso del FTSE MIB. Si assiste invece ad un miglioramento della bontà del modello ibrido in tut-
ti gli altri indici, ad eccezione delle statistiche relative al NASDAQ 100, le quali rimangono invariate.
Considerando nella LOWESS le quotazioni ritardate di cinque giorni degli indici di mercato, si ottengono i pesi della combinazione lineare di previsioni riportati in tabella 3.18, mentre le statistiche relative alla bontà di questi pesi sono esposti in tabella 3.19 Indici di γ1 γ2 γ3 γ4 f2 mercato FTSE MIB 0.009 0.504 0.565 0.035 723.01 DAX 30 0.258 0.196 0.116 0.634 -1210.84 NASDAQ 100 0.623 0.073 0.356 0.026 -116.60 FTSE 100 0.008 0.452 0.507 0.031 -372.29
Tabella 3.18: Pesi ottimali generati dal PSO sul periodo di training set attribuiti alle previsioni statiche inserendo nella LOWESS, oltre al trend temporale, una componente autoregressiva di ordine 5
Indici di ANP %CS mercato FTSE MIB 4350 59% DAX 30 1346.011 60% NASDAQ 100 274.66 54% FTSE 100 60.808 56%
Tabella 3.19: Bontà delle combinazioni di previsioni statiche ottenute sul test set inseren- do nella LOWESS, oltre al trend temporale, una componente autoregressiva di ordine 5
Dalla tabella 3.18 si può constatare che il PSO assegna un peso maggiore alle previsioni statiche effettuate dagli indicatori di analisi tecnica, ad eccezione di quello attribuito alle previsioni della regressione relative al NASDAQ 100.
Confrontando la tabella 3.19 con la 3.17 si può notare che nel caso del DAX 30
la bontà delle cpj con j = 1, . . . , t3 rimane invariata. Tuttavia, nel caso del FTSE
combinazioni di previsioni. Per quanto concerne invece gli altri due indici, si verifica in entrambe le situazioni un peggioramento di tali statistiche rispetto a quelle presenti in tabella 3.17.
Nella tabella 3.20 è riportata una sintesi dei risultati ottenuti effettuando le previsioni one step ahead. Da tale tabella, si può notare che nel caso del FTSE 100 e del NASDAQ 100 il considerare una componente autoregressiva di ordine 1 nella LOWESS sembra portare ad un miglioramento delle statistiche relative alla bontà delle combinazioni di previsioni. Per quanto riguarda il FTSE MIB, tali statistiche migliorano considerando una componente autoregressiva di ordine 5 nella regressione locale polinomiale. Nel caso invece del DAX 30 non si verificano modifiche alla qualità di tali statistiche considerando sia i prezzi del giorno prima che quelli di cinque giorni antecedenti nel modello ibrido.
Indici Trend Componente Componente
di Temporale autoregressiva autoregressiva
mercato di ordine 1 di ordine 5
ANP %CS ANP %CS ANP %CS
FTSE MIB -1106 52% -1510 47% 4350 59%
DAX 30 1346.01 60% 1346.01 60% 1346.01 60%
NASDAQ 100 60.808 56% 382.83 56% 274.66 54%
FTSE 100 50.91 45% 400.39 61% 60.808 56%
Tabella 3.20: Confronto tra le combinazioni di previsioni one step ahead ottenute consi- derando il trend temporale, la componente autoregressiva di ordine 1 e di ordine 5 per le quattro serie storiche in esame
A questo punto è utile sottolineare che se si impone il vincolo della somma a uno sui pesi generati dal PSO in questa variante del modello ibrido che effettua previsioni one step ahead, si ottengono gli stessi risultati appena esposti.