Osservazione. Il lettore, scomponendo un trinomio tramite le equazioni di secondo grado, si sar`a ricordato della scomposizione del particolare trinomio di secondo grado. In tale scomposizione dovevamo trovare due numeri p e q tali che la loro somma fosse uguale al coefficiente di x e il loro prodotto fosse uguale al termine noto. Una volta trovati la scomposizione risultava essere (x + p)(x + q) (tutto ci`o funzionava se il coefficiente di x2 era 1). Ovviamente scomporre tramite il particolare trinomio oppure scomporre tramite l’equazione di secondo grado porta allo stesso risultato: bisogna per`o aggiungere che la scomposizione tramite equazione di secondo grado si applica ad un numero maggiore di casi.
2.7 Problemi risolubili tramite equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado possono essere utilizzate, al pari delle equazioni di primo grado, per risolvere dei problemi.
I passi da seguire sono i seguenti:
1. Definire cosa indichiamo come incognita (cio`e cosa ci chiede il problema)
2. Stabilire i vincoli a cui deve sottostare l’incognita (ad esempio se deve essere intera, positiva, minore di qualcosa ecc.)
3. Impostare l’equazione risolutiva e risolverla 4. Verificare se la soluzione soddisfa i vincoli Esempi
. In un cinema tutte le file sono composte dallo stesso numero di sedie. Il numero di file `e uguale al numero di sedie per fila aumentato di 3 (in altre parole se ci fossero 10 sedie per fila le file sarebbero 13, oppure se ci fossero 15 sedie per fila le file sarebbero 18 e cos`ı via). In tutto il cinema ha 208 posti. Quante sedie ci sono per ogni fila?
1. L’incognita x `e il numero di sedie per fila. Dal momento che il numero di file supera di 3 il numero di sedie per fila, il numero di file `e x + 3
2. Vincoli: ovviamente x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: il numero di posti equivale al numero di sedie per fila (che abbiamo chiamato x) moltiplicato il numero di file (x + 3). Dal momento che i posti totali sono 208 risulta che:
x · (x + 3) = 208 Cio`e
x2+ 3x − 208 = 0 Risolviamola:
4 = b2− 4ac = (3)2− 4 · 1 · (−208) = 9 + 832 = 841 x = −b ±√
4
2a = −3 ±√ 832
2 = −3 ± 29
2 → x =−3 − 29
2 = − 63216
6 2 = −16; x = −3 + 29
2 = 62613 6 2 = 13 4. Una soluzione `e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 13 `e positiva ed intera
e quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di sedie per fila `e quindi 13.
. Francesca vuole organizzare una festa di compleanno e invita un certo numero di ragazze/i.
Ciascun invitato, a sua volta, invita lo stesso numero di persone che ha invitato Francesca (in altre parole se Francesca invita 10 persone, ciascuna di queste 10 persone ne invita altre 10 e cos`ı via.
In questo caso abbiamo 10 persone invitate da Francesca pi`u 10 · 10 = 100 persone invitate dagli invitati). Alla fine, alla festa ci sono, compreso Francesca, 241 persone. Quante persone ha invitato Francesca?
1. L’incognita x `e il numero di persone invitato da Francesca. Dal momento che ciascuno degli x invitati pu`o invitarne altri x gli invitati dagli invitati sono x2.
2. Vincoli: x deve essere positivo e intero.
3. Impostiamo l’equazione risolvente: alla festa ci sono gli invitati dagli invitati (che sono x2), gli invitati direttamente da Francesca (che sono x) e Francesca stessa. Dal momento che in tutto alla festa ci sono 241 persone risulta che:
x2+ x + 1 = 241 Cio`e
x2+ x − 240 = 0
Risolviamola:
4 = b2− 4ac = (1)2− 4 · 1 · (−240) = 1 + 960 = 961 x = −b ±√
4
2a = −1 ±√ 961
2 = −1 ± 31
2 → x =−1 − 31
2 = − 63216
6 2 = −16; x = −1 + 31
2 = 63015 6 2 = 15 4. Una soluzione `e negativa e quindi non rispetta il vincolo mentre l’altra, 15 `e positiva ed intera
e quindi soddisfa i vincoli e risolve il problema.
Il numero di invitati direttamente da Francesca `e quindi 15.
2.8 Domande
Paragrafo 2.1
1. Qual’`e la forma normale di un’equazione di secondo grado?
Paragrafo 2.2
2. Quando un’equazione di secondo grado si dice pura?
3. Quali sono le soluzioni di un’equazione pura?
4. Quando un’equazione di secondo grado si dice spuria?
5. Quali sono le soluzioni di un’equazione spuria?
6. Quando un’equazione di secondo grado si dice monomia?
7. Quali sono le soluzioni di un’equazione monomia?
Paragrafo 2.3
8. Quanto `e il discriminante 4 di un’equazione di secondo grado?
9. Perch´e il 4 si chiama discriminante?
10. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante negativo?
11. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante zero?
12. Quante soluzioni ha un’equazione di secondo grado con il discriminante positivo?
13. Scrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado Paragrafo 2.4
14. In quali casi pu`o essere usata la formula ridotta?
15. Scrivi la formula ridotta per risolvere un’equazione di secondo grado.
Paragrafo 2.5
16. Se il discriminante `e maggiore di zero, a quanto equivale la somma delle soluzioni di un’equa-zione di secondo grado?
17. Se il discriminante `e maggiore di zero, a quanto equivale il prodotto delle soluzioni di un’e-quazione di secondo grado?
18. Le risposte precedenti valgono anche nel caso che il discriminante sia uguale a zero?
19. Le relazioni fra soluzioni e coefficienti sono utili per risolvere un problema inverso. Quale?
Paragrafo 2.6
20. Se x1 e x2 sono le due soluzioni di un’equazione di secondo grado, come si scompone un trinomio di secondo grado.
21. Se x1 `e l’unica soluzione di un’equazione di secondo grado, come si scompone un trinomio di secondo grado.
22. Se il discriminante `e negativo il trinomio di secondo grado pu`o essere scomposto?
23. Quale tecnica di scomposizione assomiglia a quella tramite le equazioni di secondo grado?
Paragrafo 2.7
24. Elenca i 4 passi per risolvere un problema tramite un’equazione di secondo grado
2.9 Esercizi
Paragrafo 2.1
Porta in forma normale le seguenti equazioni di secondo grado:
1. x2+ 2x + 3 = 8; 2x2− 3x = 7 + 5x2+ 8x; 0 = x2+ 2x + 3
2. x(x + 4) + 2x − 3 = −18; −3x = 7(x + 1) + 5x2+ 8x; x2− 2x = 4x2− 2x + 3 3. 7(x + 5) + x2+ 2x − 10 = 8x2+ 25; −2x2− 3(x − 5) = 7 + 4x2; −x − x2= x2 4. x(2x + 4) + 5(2 − x) = 10 − x; 6x = 3(x2− 5) − 4x; 2x2 = 0
Paragrafo 2.2
Risolvere le seguenti equazioni
5. x2− 9 = 0; 5x = 2x2 2x2+ 50 = 0
6. x2− 5x + 6 = 6(2x + 1); 4x2− 9x = 0 2x2+ 50 − 8x = 2(25 − 4x) 7. 3x2− 5(x − 6) = 30; 4x2− 9 = 0 50x2− 8x = 2x(3 − 4x)
8. x2− 5x = 0; −8x2+ 32 = 0 2x2+ 50 = 2(25 − 4x) + 8x 9. 7x − 3x2= 0; −3x2− 48 = 0 4x2+ 22x + 5 = 5(x + 1) 10. 4x2− 1 = 0; 4x2+ 8 = 8 4x(x − 3) = 0
11. 3x + 2 = x(x + 3); 2x2− 10 = 0 70x − 3(10x + 5) + x2 = −15
12. 4x2− 16x = 0; 7x2− 21 = 0 x = x2
13. 4(x2− 3x) + 12x − 7 − 3x2= 0; 5x + 21 = 3 − 7x2+ 5x 100 = x2 14. 2x2− 9 = 0; 7(x2− 3) + 21 = 0 x + 3 = x2− 2x + 3
Paragrafo 2.3
15. x2− 5x + 6 = 0; 4x2− 9x = 0 2x2+ 50 − 7x = 2(25 − 4x) + 12 16. x2− 7x + 12 = 0; 4x2− 12x + 9 = 0 2x2+ x + 10 = 0
17. x2− 5x + 6 = −5(x + 2); 4x2− 3(x + 5) = −3x + 15 2x2+ 7x + 8 = 5 18. x2− 6x + 6 = 0; 2x − 8 + x2= 0 18x2+ 48x + 32 = 0
19. 2x2− 5x − 7 = x2+ 1; −4x2+ 3x − 6 = 3(x − 5) x2+ 10 − 7x = 0 20. x2+ 11x + 18 = 0; −x2+ 5x − 6 = 0 3x(x − 2) + 9x = 18
21. 2x2− 5x + 6 = 3(2 + x); x2− 9x = 9(1 − x) 2x2+ 3x + 3 = 1
22. x2+ 9x + 14 = 0; x2− 4x + 4 = 0 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + x2+ x + 2x + 3x + 4x = 0 23. x2+ 2x − 14 = 1; x2+ x + 1 = 0 2x2+ 3x − 1 = 0
24. x2+ 5x + 6 = 0; 4x2− 4x + 1 = 0 x2+ 11x − 10 = 2 25. x2− 3x − 2 = 0; 4x2− x + 2 = 0 x2+ 11x + 30 = x + 6 26. 3x2− 5x − 2 = 0; 4x2+ x − 5 = 0 x2− 10x + 9 = 0 27. x(x − 3) = 10; x2− x = 0 x(x − 7) + 6 = −6 28. x + 2 = x2; 10x2− 9x = 9x x2+ 5x + 4 = 0
29. x2+ 8x + 16 = 0; 3x2− x + 1 = 0 x2− 7x + 10 = 0 Paragrafo 2.4
Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado usando se possibile la formula ridotta:
30. x2+ 8x + 16 = 0; x2− 4x + 1 = 0 x2− 6x + 8 = 0 31. x2+ 12x + 20 = 0; 3x2− 4x + 1 = 0 x2+ 2x + 1 = 0 32. x2+ 8x + 3 = 0; x2− 10x + 24 = 0 5x2− 6x + 1 = 0
Paragrafo 2.5
Delle seguenti equazioni determinare, senza risolverle, quanto `e la somma e il prodotto delle soluzioni:
33. x2+ 8x + 16 = 0; 2x2− 4x + 1 = 0 x2− 6x + 8 = 0 34. 4x2+ 21x + 16 = 0; x2− x − 1 = 0 2x2− 8x + 3 = 0 35. x2− 8x + 15 = 0; 3x2− 6x + 8 = 0 6x2− 12x − 9 = 0
Date le seguenti coppie di numeri o un numero solo, determinare le equazioni di secondo grado che hanno tali numeri come soluzioni. Successivamente risolvi l’equazione per verificare di aver trovato l’equazione giusta:
36. (2; 3); (−1; 2); (5) 37. (10; −3); (−1; 4); (−2) 38. (2; 1); (4; 0); (4) 39. (4; −3); (−2; 2); (0) 40. (1; −1); (1; 3); (1)
41. (−2; −5); (−4; −4); (−10) Paragrafo 2.6
Scomponi tramite le equazioni i seguenti trinomi di secondo grado. Se non `e possibile scrivi irriducibile:
42. x2+ 8x − 20; 4x2− 4x + 1 x2− 6x + 8 43. x2+ 3x − 40; x2+ 3x + 6 5x2− 6x + 1 44. 2x2+ 8x − 42; x2− 2x + 1 3x2− 7x + 4 45. x2− 10x + 25; 4x2+ 7x + 3 x2+ 3x + 2 46. x2+ 2x + 5; 9x2+ 6x + 1 x2− 4x − 32 47. x2+ 5x − 14; 2x2− 9x + 9 x2+ x − 30 48. 3x2+ 8x + 4; x2− 4x + 4 x2+ 5x + 4