Processi di Itô e formula di Itô generale

6.2.1. Processi di Itô. Sappiamo che per definire l’integrale stocastico ^R₀^tX_sdB_s per ognit ≥ 0 è necessario che il processo X = {Xs}_s≥0sia in M²_loc. Per definire l’integrale ordinario^R₀^tX_sds per ogni t ≥ 0 è sufficiente richiedere che X sia nello spazio M1

loc, lo spazio dei processi progressivamente misurabili con traiettorie localmente integrabili.

Definizione 6.3. Indichiamo con M_loc¹ [0, T ] lo spazio dei processi X = {Xt}_t∈[a,b] progressivamente misurabili tali che^R₀^T |X_t| dt < ∞ q.c..

Indichiamo con M¹_loclo spazio dei processi progressivamente misurabiliX = {X_t}_t∈[0,∞) tali che per ogniT > 0 si ha X = {Xt}_{t∈[0,T ]} ∈ M1

loc[0, T ].

La formula di Itô mostra che, per ogniΦ : R → R di classe C2, il processo {Φ(B_t)}_t≥0 si scrive come somma di due processi: l’integrale stocastico Rt

0Φ0(B_s) dB_s e l’integrale ordinario ¹₂Rt

0Φ00(B_s) ds. Questo motiva la prossima importante definizione.

Definizione 6.4. Un processo stocastico reale continuo X = {Xt}_t≥0 è detto processo di Itô se esistono ϕ = {ϕt}_t≥0 ∈ M2

loc eψ = {ψt}_t≥0∈ M1

loc tali che

X_t − X₀ = Z t 0 ϕ_sdB_s + Z t 0 ψ_sds . (6.7)

Indicheremo questo fatto con la notazione differenziale dX_t= ϕ_tdB_t+ ψ_tdt.

Un’ampia classe di processi di Itô è dunque data dai processi della forma {Φ(Bt)}t≥0, qualunque siaΦ : R → R di classe C2.

Si noti che nella Definizione 6.4 richiediamo cheX sia un processo continuo. Questa non è una restrizione: infatti seX deve soddisfare la relazione (6.7), esso ammette una versione continua, per le proprietà dell’integrale stocastico e dell’integrale ordinario.

Un processo di Itô è dunque per definizione un processo che si può scrivere come somma di un integrale stocastico I_t :=Rt

0ϕ_sdB_s e di un integrale ordinario R_t :=Rt

0ψ_sds. È importante sottolineare che questi due processi hanno proprietà radicalmente differenti. Infatti, ricordando che se g : [0, T ] → R è integrabile la funzione t 7→ Rt

0 g(s) ds è a variazione finita, cf. § 2.4, segue che q.c. le traiettorie del processoR_t hanno variazione finita su ogni intervallo[0, T ]. D’altro canto, sappiamo che il processo I_tè una martingala locale e, analogamente alle martingale di quadrato integrabile, si può mostrare che q.c. le sue traiettorie hanno variazione infinita su ogni intervallo (escludendo il caso banale in cui siano costanti). Sfruttando queste proprietà, non è difficile mostrare che la decomposizione di un processo di Itô nella forma (6.7) è unica, cioè i processi ϕ e ψ (o meglio le loro classi di equivalenza in M²_loc e M¹_loc) sono univocamente determinati daX.

Notiamo infine che seψ ≡ 0 si ha dX_t= ϕ_tdB_t, dunque X è una martingala locale.†

Questa osservazione sarà molto utile nel seguito.

6.2.2. Formula di Itô generale. Se X è un processo di Itô, dXs = ϕ_sdB_s + ψsds, possiamo definire l’integrale rispetto a X ponendo semplicemente

Z t 0 YsdXs := Z t 0 YsϕsdBs + Z t 0 Ysψsds , (6.8)

per ogni processoY = {Y_s}_s≥0 progressivamente misurabile per cui gli integrali abbiano senso, cioè tale che {Y_sϕ_s}_s≥0 ∈ M2

loc e {Y_sψ_s}_s≥0 ∈ M1

loc. Per esempio, basta che Y abbia q.c. traiettorie localmente limitate, in particolare che sia q.c. continuo.

Dato il processo di Itô X con decomposizione dXs = ϕsdBs + ψsds, definiamo variazione quadratica hXi_t di X la variazione quadratica dell’integrale stocastico che compare nella sua decomposizione, ossia

hXi_t := Z t

0

ϕ2

sds . (6.9)

Si può infatti dimostrare che hXi_tè il limite in probabilità della sommaPk−1

i=0(X_ti+1−X_ti)2

lungo una partizione π = {0 = t₀ < t₁ < . . . < t_k = t} di [0, t], quando il passo della partizione tende verso zero. Si noti che hXi_t è un processo di Itô il cui differenziale stocastico è dato da

dhXi_t = ϕ2 tdt .

Possiamo quindi definire l’integrale rispetto a hXi ponendo Z t 0 Y_sdhXi_s := Z t 0 Y_sϕ²_sds , (6.10) †

Vale anche il viceversa: un processo di Itô X con dXt = ϕtdBt + ψtdt è una martingala locale rispetto alla filtrazione {Ft}t≥0 fissata sullo spazio soltanto se ψt ≡ 0. L’enfasi sulla filtrazione è di fondamentale importanza! Si può infatti verificare che il processo Yt:= Bt−Rt

0 Bs

s ds, che ha differenziale stocastico dYt= dBt−B_t

t dt (in particolare ψt6≡ 0) è un moto browniano. Come ogni moto browniano, il processo Y è una martingala rispetto alla sua filtrazione naturale {Gt= σ({Ys}s≤t)}t≥0. Il punto è che il moto browniano originale B non è un {Gt}t≥0-moto browniano, quindi {Gt}t≥0 non può essere presa come filtrazione sullo spazio (Ω, F , P).

per ogni processo Y per cui ciò abbia senso. Si noti che se X è un moto browniano, si ha hXi_t= t e di conseguenza dhXi_t= dt.

Diremo che una funzioneΦ = Φ(t, x) : R+× R → R è di classe C^1,2 se è derivabile con continuità una volta in t e due volte in x, ossia se le derivate parziali ^∂Φ_∂t(t, x), ^∂Φ_∂x(t, x) e

∂2Φ

∂x2(t, x) esistono e sono funzioni continue di (t, x) ∈ R+× R. È prassi indicare la derivata temporale con un punto e le derivate spaziali con gli apici, ossia

˙Φ(t, x) := ^∂Φ ∂t^{(t, x) , Φ} 0(t, x) := ^∂Φ ∂x^{(t, x) , Φ} 00(t, x) := ^∂ 2Φ ∂x2(t, x) . Enunciamo ora (senza dimostrazione) una generalizzazione della formula di Itô.

Teorema 6.5 (Formula di Itô generalizzata). Se X = {Xt}_t≥0 è un processo di Itô, condX_t= ϕ_tdB_t+ ψ_tdt, e Φ = Φ(t, x) : R+× R → R è di classe C^1,2, si ha q.c. per ogni t ≥ 0 Φ(t, X_t) − Φ(0, X₀) = Z t 0 ˙Φ(s, X_s) ds + Z t 0 Φ⁰(s, X_s) dX_s + ¹ 2 Z t 0 Φ⁰⁰(s, X_s) dhXi_s. (6.11) In notazione differenziale: dΦ(t, X_t) = ˙Φ(t, X_t) dt + Φ⁰(t, X_t) dX_t + ¹ 2^Φ 00(t, X_t) dhXi_t (6.12)

Ricordando le relazioni (6.8) e (6.10), possiamo riscrivere il membro destro in (6.11) nel modo seguente:

Z t 0 Φ⁰(s, X_s) ϕ_sdB_s+ Z t 0  ˙Φ(s, Xs) + Φ⁰(s, X_s) ψ_s + ¹ 2^Φ 00 (s, X_s) ϕ²_s  ds . Questo mostra che, per ogni processo di Itô X = {X_t}_t≥0 e per ogni funzione Φ = Φ(t, x) : R+× R → R di classe C1,2, il processo {Φ(t, X_t)}_t≥0 è un processo di Itô, il cui differenziale stocastico è dato da

dΦ(t, Xt) = Φ⁰(t, Xt) ϕtdBt +  ˙Φ(t, Xt) + Φ⁰(t, Xt) ψt + ¹ 2^Φ 00 (t, Xt) ϕ²_t  dt . 6.2.3. Moto browniano geometrico. Vogliamo ora determinare il processo di Itô X = {X_t}_t≥0 che risolve la seguente equazione differenziale stocastica:

(

dX_t = b X_tdt + σ X_tdB_t

X₀ = x ^{, (6.13)}

doveb ∈ R, σ > 0 e x > 0. Procediamo euristicamente per “indovinare” la soluzione: se assumiamo che X_t6= 0 per ogni t, possiamo dividere per X_t, ottenendo

dXt

Il membro di sinistra fa pensare al differenziale di log Xt. In effetti, se assumiamo che X_t > 0 per ogni t, dalla formula di Itô si ha d(log X_t) = _X¹

t dX_t − ¹₂ ¹

X2

t dhXi_t.^† Dall’equazione (6.13) è chiaro chedhXi_t= σ2X2

t dt, per cui da (6.14) si ottiene d(log X_t) =  b − ¹ 2^σ 2  dt + σ dB_t,

e integrando da0 a t si ha log X_t− log X₀= (b − 1

2σ2) t + σ B_t, ovvero X_t = x exp  b − ¹ 2^σ 2  t + σB_t  . (6.15)

Questo processo è noto come moto browniano geometrico.

Questa derivazione euristica suggerisce che, se esiste un processo positivo soluzione dell’equazione (6.13), esso è necessariamente un moto browniano geometrico. La dimo-strazione rigorosa di questo fatto sarà una conseguenza dei teoremi di esistenza e unicità per equazioni differenziali stocastiche, che vedremo nel prossimo capitolo.

Mostriamo ora che effettivamente il processoX definito da (6.15) risolve l’equazione (6.13). ChiaramenteX₀ = x, inoltre scrivendo X_t= x e^Yt, dovedY_t= (b−1

2σ2) dt+1 2σ dB_t, possiamo applicare la formula di Itô (6.12), ottenendo

dX_t = d(x e^Yt) = x e^YtdY_t + ¹ 2^{x e} YtdhY i_t = X_t  b − ¹ 2^σ 2  dt + ¹ 2^{σ dBt}  + ¹ 2^Xtσ 2dt = b X_tdt + σ X_tdB_t,

cioè l’equazione (6.13) è verificata. Mostreremo nel prossimo capitolo che non esistono altre soluzioni dell’equazione (6.13).

6.2.4. Supermartingala esponenziale. Dato un processo ϕ = {ϕt}_{t∈[0,T ]} ∈ M2

loc[0, T ], definiamo il processo Z = {Zt}_{t∈[0,T ]} ponendo

Z_t := exp  Z t 0 ϕ_sdB_s − 1 2 Z t 0 ϕ²_sds  . (6.16)

Si noti che possiamo scrivere

Z_t = exp(X_t) , dove dX_t := ϕ_tdB_t − 1 2^ϕ

2 tdt . Applicando la formula di Itô (6.12) si ricava

dZ_t = e^XtdX_t + ¹ 2^e XtdhXi_t = e^Xt  ϕ_tdB_t − 1 2^ϕ 2 tdt  + ¹ 2^e Xtϕ²_tdt , †

A priori l’applicazione della formula di Itô non è giustificata, perché il logaritmo non è definito su tutto R. Tuttavia, se Xt> 0 per ogni t, è possibile mostrare che la formula di Itô è effettivamente valida, usando opportuni tempi d’arresto (nello spirito della dimostrazione del Lemma 6.12). In ogni caso, questa derivazione serve soltanto a “indovinare” la soluzione (6.15) dell’equazione differenziale stocastica (6.13), che verifichiamo poi essere effettivamente soluzione.

quindi i termini a variazione finita si cancellano e si ottiene

dZ_t = Z_tϕ_tdB_t. (6.17)

Questa relazione mostra che Z è una martingala locale. Dato che Z_t > 0, segue dal Lemma 5.32 che Z è una supermartingala. Il processo Z è detto supermartingala esponenziale.

Essendo Z una supermartingala, si ha E(Z_t) ≤ E(Z0) = 1, per ogni t ≥ 0. È di fondamentale importanza dare condizioni che garantiscano cheZ = {Z_t}_{t∈[0,T ]} sia una vera martingala, come vedremo a proposito del Teorema di Girsanov.

Una condizione necessaria e sufficiente, benché implicita, è che E(Z_T) = 1 (che implica E(Zt) = 1 per ogni t ∈ [0, T ]: infatti 1 = E(Z0) ≥ E(Zt) ≥ E(Z_T) per la proprietà di supermartingala). Questo segue dal fatto generale che una supermartingala costante in media è una martingala. Infatti per la proprietà di supermartingala vale che Zs− E(Zt|F_s) ≥ 0 e se Z è costante in media si ha E[Zs− E(Zt|F_s)] = E(Zs) − E(Zt) = 0, per cui la variabileZ_s− E(Z_t|F_s) deve essere q.c. nulla: Z_s= E(Z_t|F_s) q.c. e dunque Z è una martingala. Due condizioni più concrete sono descritte nella seguente proposizione, che non dimostreremo.

Proposizione 6.6. Sia Z la supermartingala esponenziale definita in (6.16). • Se E[exp(¹₂RT

0 ϕ2

sds)] < ∞, allora E(ZT) = 1 (criterio di Novikov ). • Se esiste a > 0 tale che E[exp(aϕ2

s)] < ∞, ∀s ∈ [0, T ], allora E(Z_T) = 1.