Processi stocastici e filtrazioni

Indichiamo con T un sottoinsieme di R, che avrà la funzione di insieme dei tempi per i processi stocastici che considereremo. I casi che ci interessano di più sono T = N0 e soprattutto T = [0, ∞) o T = [a, b] con 0 ≤ a < b < ∞. Ricordiamo che la la nozione processo stocastico è stata introdotta nella Definizione 2.1.

3.1.1. Modificazioni e indistinguibilità. Dato un processo X = {Xt}_t∈T, de-finito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), ricordiamo che le leggi dei vettori (X_t1, . . . , X_tk) su (Ek, E⊗k), al variare di k ∈ N e t1, . . . , t_k∈ T, sono dette leggi finito-dimensionali del processo.

Definiamo ora alcune importanti relazioni tra processi stocastici. Definizione 3.1. Due processi stocastici X = {Xt}_t∈T, X0 = {X0

t}_t∈T aventi lo stesso insieme dei tempi, definiti sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P) e a valori nello stesso spazio misurabile (E, E), sono detti:

• modificazione (o versione) l’uno dell’altro se P(Xt= X_t⁰) = 1, per ogni t ∈ T; • indistinguibili se P(X_t= X_t⁰ per ogni t ∈ T) = 1.

In altri termini, X e X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro se, per ogni t ∈ T, si ha X_t = X0

t q.c., mentre sono indistinguibili se, q.c., si haX_t= X0

t per ogni t ∈ T. Si noti che l’ordine in cui compaiono “q.c.” e “per ognit ∈ T” è fondamentale.

Le osservazioni seguenti sono facilmente verificabili.

• Se due processi X, X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro, allora hanno le stesse leggi finito-dimensionali. Infatti, per ognit₁, . . . , t_k∈ T, i vettori aleatori (Xt1, . . . , X_tk) e(X0

t1, . . . , X0

tk) sono q.c. uguali (perché?) e dunque hanno la stessa legge.

• Se due processi X, X⁰ sono indistinguibili, allora sono modificazione l’uno dell’altro. • Se due processi X, X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro e se l’insieme dei tempi T

è numerabile, alloraX e X0 sono indistinguibili.

Quando l’insieme dei T è più che numerabile, la nozione di indistinguibilità è invece strettamente più forte della nozione di modificazione, come mostra l’esempio seguente. Esempio 3.2. Sia U una variabile uniforme su [0, 1] definita su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) (per esempio si può prendere Ω = [0, 1], munito della σ-algebra boreliana e della

misura di Lebesgue, e porre U (ω) := ω). Definiamo X = {X_t}_t∈[0,∞),X0= {X0

t}_t∈[0,∞) ponendo X_t(ω) := 0 e X0

t(ω) := 1_{t}(U (ω)), per ogni t ≥ 0 e ω ∈ Ω. È immediato verificare cheP(X_t⁰ = Xt) = P(X_t⁰ = 0) = P(U 6= t) = 1, per ogni t ∈ [0, ∞), quindi X⁰ è una modificazione di X. Tuttavia i processi X e X⁰ non sono indistinguibili, poiché P(X0

t= X_t per ogni t ∈ [0, ∞)) = P(U 6= t per ogni t ∈ [0, ∞)) = P(U 6∈ [0, ∞)) = 0. Si noti che ogni traiettoria diX è continua, mentre ogni traiettoria di X⁰ è discontinua.

Questo esempio mostra anche che la continuità delle traiettorie di un processo non è una proprietà delle leggi finito-dimensionali : esistono cioè processi X, X⁰ che hanno le stesse leggi finito-dimensionali (infatti nell’esempioX e X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro) tali cheX ha traiettorie continue mentre X0 le ha discontinue.

3.1.2. Continuità e misurabilità di processi. In questo sottoparagrafo sup-poniamo che T = [0, ∞) oppure T = [a, b] con 0 ≤ a < b < ∞. Sia X = {Xt}_t∈T un processo stocastico, definito su uno spazio di probabilità(Ω, F, P) a valori in uno spazio topologico, che per noi sarà sempre R^d. Si dice cheX è continuo (risp. continuo a destra o sinistra) se ogni sua traiettoria è continua (risp. continua a destra o sinistra), cioè se per ogni ω ∈ Ω la funzione t 7→ Xt(ω) è continua (risp. continua a destra o sinistra). Analogamente si definiscono i processi q.c. continui e q.c. continui a destra o sinistra.

Definiamo ora la nozione di misurabilità per un processo. Ricordiamo che per ipotesi T è [0, ∞) oppure un intervallo [a, b] ⊆ [0, ∞) e che B(T) ne indica la σ-algebra boreliana. Definizione 3.3. Un processo X = {Xt}_t∈T, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice misurabile se l’applicazione (t, ω) 7→ X_t(ω) è misurabile da (T × Ω, B(T) ⊗ F) a valori in (E, E).

Ricordiamo dal paragrafo 1.4.4 del capitolo 1 che, se una applicazione(x, y) 7→ f (x, y) è misurabile (dove x e y variano in due arbitrari spazi misurabili), allora per ogni x fissato la funzioney 7→ f (x, y) è misurabile e, analogamente, per ogni y fissato la funzione x 7→ f (x, y) è misurabile; tuttavia non vale il viceversa.

Segue allora dalla Definizione 3.3 che, se un processoX = {Xt}_t≥0 è misurabile, le sue traiettoriet 7→ X_t(ω) sono funzioni misurabili, per ogni ω ∈ Ω fissato. La misurabilità di tutte le traiettorie non è tuttavia sufficiente a garantire che un processo sia misurabile.

L’importanza della nozione di misurabilità è legata per esempio al teorema di Fubini: se un processo reale positivoX = {X_t}_t≥0 è misurabile, si può infatti scrivereE(R1

0 X_tdt) = R1

0 E(X_t) dt. Vedremo tra poco che si tratta di una condizione poco restrittiva, che è verificata non appena le traiettorie del processo sono continue a destra (si vedano il Lemma 3.9 e il Lemma 3.10).

3.1.3. Filtrazioni e ipotesi standard. Dato uno spazio misurabile (Ω, F ), si dice filtrazione una famiglia crescente {F_t}_t∈T di sotto-σ-algebre di F, cioè tale che F_s⊆ F_t per ogni s, t ∈ T con s ≤ t. Un esempio tipico è dato dalla filtrazione naturale {F_t^X}_t∈T di un qualunque processo X = {Xt}_t∈T, definita da F_t^X := σ({Xu}_{u∈T, u≤t}) e introdotta nel paragrafo 2.5.1 del capitolo 2. Nel caso speciale di un moto browniano {B_t}_t∈[0,∞), indicheremo la filtrazione naturale con G_t:= FB

t = σ({B_u}_0≤u≤t).

L’interpretazione intuitiva è che la σ-algebra Ft rappresenti l’informazione disponibile fino all’istante t. Più precisamente, F_t contiene gli eventi conoscibili entro l’istante t, ossia quelli per cui al tempo t è possibile dire se si siano verificati oppure no. Nel caso della filtrazione naturale di un processo X = {Xt}_t∈T, si dice che la σ-algebra F_t= F_t^X = σ({X_u}_{u∈T, u≤t}) contiene la “storia” del processo X fino all’istante t, ossia gli eventi esprimibili come funzione (misurabile) delle variabiliX_u peru ≤ t.

Uno spazio di probabilità(Ω, F, P) munito di una filtrazione {Ft}_t∈T è detto spazio (di probabilità) filtrato e sarà indicato con(Ω, F, {F_t}_t∈T, P).

Assumiamo d’ora in avanti che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞. Definizione 3.4. Una filtrazione {Ft}_t∈T su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) si dice completa se, per ognit ∈ T, la σ-algebra Ftcontiene tutti gli insiemiP-trascurabili, cioè tutti i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla.

Dal momento che supponiamo che lo spazio (Ω, F, P) sia completo, gli insiemi P-trascurabili coincidono con gli eventi di probabilità nulla: una filtrazione {F_t}_t∈Tè dunque completa se N := {C ∈ F : P(C) = 0} ⊆ Ft, per ogni t ∈ T.

Data una filtrazione {F_t}_t∈T, definiamo F_t+ := T

u>tF_u, per ogni t < sup(T); se T = [a, b], poniamo Fb+ := F_b. Intuitivamente, la σ-algebra F_t+ contiene gli eventi conoscibili immediatamente dopo l’istantet.

Definizione 3.5. Una filtrazione {Ft}_t∈T si dice continua a destra se si ha l’uguaglianza F_t= F_t+ per ogni t ∈ T.

Osserviamo che F_t⊆ F_t+⊆ F_t+ε, per ogni t ∈ T e ε > 0, come si verifica facilmente. Si noti che F_t+ può essere strettamente più grande di F_t: per esempio, seX = {Xs}_s≥0 è un processo reale, l’evento A := {lim_n→∞X_t+1

n = 0} ∈ F_t+^X, ma in generale A 6∈ F_t^X.^† Definizione 3.6. Diciamo che una filtrazione {Ft}_t∈T su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) soddisfa le ipotesi standard se è completa e continua a destra. In questo caso, (Ω, F, {Ft}_t∈T, P) è detto spazio (di probabilità) filtrato standard.

†

Per esempio, sullo spazio (Ω = {T, C}, F = P(Ω)) definiamo il processo X = {Xs}s≥0 ponendo Xs(ω) ≡ 0 per s ≤ t mentre Xs(ω) := 1{C}(ω) per s > t. Definendo la σ-algebra banale B := {∅, Ω}, la filtrazione naturale del processo X è data da Fs^X = B per s ≤ t mentre Fs^X= F per s > t. Si ha quindi FX

t = B mentre F_t+^X = F ; dato che A := {limn→∞X_t+1

Data una filtrazione generica {F_t}_t∈Tsu uno spazio(Ω, F, P), se ne possono considerare alcune estensioni:

• si ottiene una filtrazione completa {F_t}_t∈T ponendo F_t := σ(Ft, N ), dove N := {C ∈ F : P(C) = 0}: è la più piccola filtrazione completa che estende {F_t}_t∈T; • si ottiene una filtrazione continua a destra considerando {F_t+}_t∈T (esercizio): si

tratta della più piccola filtrazione continua a destra che estende {F_t}_t∈T;

• combinando i punti precedenti, si ottiene la filtrazione {F_t+}_t∈T= {σ(Ft+, N )}_t∈T, detta ampliamento standard di {F_t}_t∈T, che è la più piccola estensione di {F_t}_t∈T che soddisfa le ipotesi standard.

La ragione per cui insistiamo su queste proprietà è che in molti casi risulta tecnicamente conveniente lavorare con uno spazio filtrato standard (si veda per esempio l’Esecizio 1.8 nel capitolo 1 in [Karatzas e Shreve, 1998], o il Lemma 3.10 più sotto).

3.1.4. Processi adattati e progressivamente misurabili. Definiamo ora alcune importanti relazioni tra processi stocastici e filtrazioni. Assumiamo sempre che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞.

Definizione 3.7. Un processo stocastico {Xt}_t∈T, definito su uno spazio filtrato (Ω, F, {F_t}_t∈T, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice adattato alla filtrazione (o adattato tout court) se per ogni t ∈ T la variabile Xtè F_t-misurabile, cioè seX_tè

misurabile come applicazione da(Ω, Ft) in (E, E).

È immediato verificare che ogni processo X è adattato alla sua filtrazione naturale {F_t^X}_t∈T. Si tratta della più piccola filtrazione a cuiX sia adattato: ciò significa che, se X è adattato a {F_t}_t∈T, si deve avere F_t^X ⊆ F_t per ogni t ∈ T.

Definiamo ora l’importante nozione di progressiva misurabilità.

Definizione 3.8. Un processo X = {Xt}_t∈T, definito su uno spazio filtrato (Ω, F, {F_t}_t∈T, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice progressivamente mi-surabile se, per ogniT ∈ T, l’applicazione (t, ω) 7→ Xt(ω) da ([a, T ] × Ω, B([a, T ]) ⊗ F_T) a valori in(E, E) è misurabile, dove poniamo per brevità a := min(T).

SeX = {X_t}_t∈T è un processo progressivamente misurabile, è facile mostrare che X è misurabile e adattato. Vale un parziale viceversa: se un processo è misurabile e adattato, si può dimostrare che ne esiste sempre una modificazione progressivamente misurabile (si tratta di un risultato altamente non banale).

Le nozioni di misurabilità e di progressiva misurabilità, all’apparenza piuttosto tecniche, sono automaticamente verificate per una classe molto ampia di processi, come mostrano i seguenti risultati. La dimostrazione del Lemma 3.10 è omessa per brevità.

Lemma 3.9. Se un processo X = {Xt}_t∈T è continuo a destra, allora è misurabile. Se X è continuo a destra e adattato, allora è progressivamente misurabile.

Dimostrazione. Dimostriamo la seconda parte nel caso in cui T = [0, ∞). Fissiamo T ≥ 0 e definiamo X₀⁽ⁿ⁾:= X0e Xu⁽ⁿ⁾:= X i

2n per u ∈ (i−1 2nT, i

2nT ], dove n ∈ N e 1 ≤ i ≤ 2ⁿ. Verifichiamo che la funzione (u, ω) 7→ Xu⁽ⁿ⁾(ω) è misurabile da ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ FT) a valori in (E, E): per ogni A ∈ E si ha

(u, ω) ∈ [0, T ] × Ω : X(n) u (ω) ∈ A = {0} × {X0∈ A}
∪ 2ⁿ [ i=1  i−1 2nT, ₂ⁱnT × X i 2nT∈ A ^ ∈ B[0, T ] ⊗ FT,

poiché per ipotesi X è adattato. Dalla continuità a destra di X si ha Xu(ω) = limn→∞Xu⁽ⁿ⁾(ω), per ogni (u, ω) ∈ [0, T ] × Ω. La funzione (u, ω) 7→ Xu(ω) è dunque misurabile come limite di funzioni misurabili.

Lemma 3.10. Se un processo X = {Xt}_t∈T è q.c. continuo a destra e se lo spazio di probabilità (Ω, F, P) è completo, allora X è misurabile. Se X è q.c. continuo a destra e adattato a una filtrazione completa, alloraX è progressivamente misurabile.