2.2 Produzione dei radionuclidi emettitori di positroni
2.2.1 Produzione tramite ciclotrone
La quantità di radionuclide necessaria per l’impiego clinico può essere prodotta tramite irraggiamento di un nuclide stabile con particelle cariche o neutre. Il ciclo- trone permette di accelerare fasci di ioni positivi ad alte energie e farli incidere su bersagli per produrre le reazioni nucleari volute. Il processo di formazione del ra- dionuclide dipende dalla sezione d’urto della reazione, che è funzione a sua volta dell’energia delle particelle incidenti, nonché dalla densità e spessore del bersaglio. La velocità di produzione dei radionuclidi (o rateo di attivazione) è propor- zionale alla densità di nuclei nel bersaglio n [nuclei/cm3], all’intensità del fascio Φ[particelle/s], ovvero al numero di particelle incidenti per unità di tempo, e alla sezione d’urto di attivazione σ[cm2]ma deve tenere conto durante l’irraggiamento anche del decadimento dei radionuclidi prodotti [17]:
dN(t)
dt =σΦnx−λN(t) (2.1)
dove λ è la costante di decadimento del radionuclide prodottos−1, x è lo spes- sore del bersaglio [cm] e N(t) è il numero di radionuclidi prodotto durante un irraggiamento al tempo t.
Prendiamo in considerazione un caso particolare con diverse semplificazioni, come un target sottile, e quindi una sezione d’urto costante, una non sovrapposi- zione delle sezioni d’urto dei nuclei bersaglio, inoltre consideriamo la corrente del fascio durante l’irraggiamento costante e la distribuzione dei nuclei all’interno del target uniforme. Integrando l’equazione 2.1 si ottiene:
N(t) =σΦnx1−e
−λt
Si può riscrivere il numero di nuclei nel bersaglio per unità di volume nell’equa- zione 2.2 nel seguente modo:
n= NA
A ρ (2.3)
dove NA=6.022·1023mol−1 è il numero di Avogadro, A è la massa molare del- l’elemento bersaglio[g/mol]e ρ è la densità del bersaglio[g/cm3]. Quindi si può riscrivere l’equazione come segue:
N(t) = NA A Φσρx
1−e−λt
λ (2.4)
dove s=ρxè lo spessore del materiale espresso in unità di massa[g/cm2].
L’attività indotta in un radionuclide durante un irraggiamento della durata t è data quindi da A(t) =dN(t) dt = NA A Φσs 1−e− λt (2.5)
Il termine dentro parentesi è detto fattore di saturazione. Si osserva che con un tempo di irraggiamento sufficientemente lungo (t t1/2 = ln(2)/λ) il termine di saturazione tende a 1 e si raggiunge la condizione di saturazione, ovvero il ra- teo di produzione è uguale al rateo di decadimento e oltre il quale un ulteriore irraggiamento non risulterebbe produttivo:
Asat= NA
A Φσs (2.6)
Questo valore risulta essere l’attività massima raggiungibile per il radionuclide tramite tale processo di produzione.
Generalmente si esprime l’attività a saturazione in termini della resa a satura- zione (saturation yield, MBq/µA o mCi/µA) definita come il rapporto tra l’attività di saturazione e l’intensità della corrente del fascio I:
Ysat= Asat
I (2.7)
Questo parametro racchiude tutte le caratteristiche di produzione del radionucli- de, eccetto la corrente del fascio e il tempo di irraggiamento.
Quindi l’attività prodotta da un sistema di irraggiamento/produzione in un tempo t può essere calcolata con la seguente relazione:
A(t) =YsatI 1−e−λt
Finito l’irraggiamento della durata T, l’attività del radionuclide segue un deca- dimento esponenziale decrescente:
A(t, T) =YsatI 1−e−λT e−λt (2.9) dove si identifica come attività al termine dell’irraggiamento il termine (EOB, end of bombardament):
AEOB(T) =YsatI 1−e−λT
(2.10)
Figura 2.2: Andamento dell’attività di un radionuclide durante la sua produzione. Finito l’irraggiamento a t=60 min l’attività inizia a decadere esponenzialmente.
Le formule precedenti sono valide se lo spessore x del bersaglio è sufficiente- mente sottile (thin target) in modo tale che le variazioni di energia delle particelle incidenti siano trascurabili durante il loro percorso nel bersaglio e che non vi sia sovrapposizione tra le sezioni d’urto dei nuclei. In caso contrario, se non sono sod- disfatte le condizioni di bersaglio sottile, è necessario tenere conto delle variazioni dell’energia del fascio all’interno del target e quindi delle variazioni della sezione d’urto che è dipendente dall’energia (thick target) [18].
Si definisce potere frenante (stopping power) il valore medio della perdita di energia che una particella subisce per unità di percorso S=dE
dx (MeV/cm).
Per una particella carica pesante che attraversa un materiale assorbente, la perdita media di energia per unità di percorso è data dalla formula di Bethe-Bloch:
S=−dE dx = 4πe4z2ZNB mv2 dove B=ln 2mv2 I(1−β2) −β2 (2.11)
dove m è la massa dell’elettrone a riposo, ze la carica della particella incidente, N= NA
A ρil numero di atomi per cm3del materiale assorbente, I il potenziale me- dio di ionizzazione del bersaglio, v la velocità della particella incidente, β= vc la velocità in termini della velocità della luce.
Figura 2.3: Stopping Power dei protoni in un target di Niobio ottenuto tramite SRIM.
Spesso si utilizza il potere frenante massico definito come il rapporto fra il potere frenante e la densità del materiale attraversato Sm=−
1
ρ
dE
dx (MeV·cm 2/g).
Si definisce un’ulteriore grandezza molto utile, il range R il quale esprime lo spessore di materiale in cui una particella perde completamente la sua energia cinetica ed è legata al potere frenante come:
R=
Z 0
Emax
1
S(E)dE (2.12)
Tramite il software di simulazione SRIM (Stopping and Range of Ions in Matter [19]) è possibile simulare l’interazione di ioni di differente tipo e energia con vari materiali (di fissata composizione e densità). Alcune misure che si possono calco- lare sono lo stopping power e il range in un particolare intervallo di energia degli ioni incidenti.
Quindi nel caso di target spesso, bisogna tenere conto della variazione di ener- gia delle particelle durante l’attraversamento del materiale e quindi bisogna con- siderare la sezione d’urto variabile in funzione dell’energia σ(E)e l’equazione 2.5
Figura 2.4: Range dei protoni in un target di Niobio ottenuto tramite SRIM.
deve essere riscritta, usando la relazione dx= dE dE dx =− dE S(E): A(t) = dN(t) dt = NA A ρΦ 1−e −λt Z E0 ET σ(E) S(E)dE (2.13)
dove l’integrale è valutato fra l’energia di soglia della reazione ET e l’energia ini- ziale del fascio E0.
La resa a saturazione risulta quindi essere:
Ysat= dN(t) dt = NA A ρΦ Z E0 ETh σ(E) S(E)dE (2.14)