Proprietà dei materiali

L’eurocodice 2 – parte 2 fornisce indicazioni a livello delle proprietà dei materiali per rappresentare il comportamento del calcestruzzo armato, sia in termini di legge costitutiva, che di resistenza.

Più precisamente, come precedentemente introdotto si tende ad utilizzare dei valori di resistenza che risultano maggiori di quelli tipicamente adottati per far sì di meglio rappresentare il materiale anche dal punto di vista della sua capacità.

I parametri così utilizzati sono definiti come valori “medi”. Questo risulta particolarmente vero per il materiale acciaio, a cui l’EC2 richiede di assegnare una legge costitutiva elasto-plastica incrudente (figura 6.1) i cui valori di tensione di snervamento e di rottura sono moltiplicati per 1.1. Ciò implica che il valore di riferimento risulta essere 1.15 ∙ 1.1 = 1.27 volte il valore di design.

Figura 6.1 - Legge costitutiva non lineare acciaio

Nel caso del calcestruzzo, invece, il valore assegnato non coincide con il suo valore medio, bensì con uno ulteriore e tale per cui il rapporto tra quest’ultimo il rispettivo di design risulti essere uguale a quello tra il valore assegnato all’acciaio e il rispettivo parametro di design.

Tale stratagemma ha lo scopo di rimuovere la diversità tra le probabilità di failure assegnate ai due materiali;

dunque, di fare sì che tale probabilità a livello globale della struttura risulti essere la stessa, indipendentemente che il collasso sia imputabile alla rottura del materiale acciaio o calcestruzzo.

Questo comporta che per il calcestruzzo il parametro di resistenza debba essere così definito (6.1):

𝑓_𝑐𝑚 = (1.1 ∙ 𝛾_𝑠/𝛾_𝑐) ∙ 𝑓_𝑐𝑘 = (1.1 ∙ 1.15/1.5) ∙ 𝑓_𝑐𝑘 ≃ 0.83𝑓_𝑐𝑘 (6.1) dove: 𝛾_𝑠 e 𝛾_𝑐 rappresentano i coefficienti di parziali di sicurezza per l’acciaio e il calcestruzzo, rispettivamente.

Il valore di 𝑓_𝑐𝑚 così individuato sarà sostituito all’interno della parabola di Sargin (6.2), (figura 6.2).

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𝜎_𝑐

𝑓_𝑐𝑚= ^{𝑘𝜂−𝜂2}

1+(𝑘−2)𝜂 (6.2)

dove:

- 𝜎_𝑐 è la resistenza a compressione;

- 𝑓_𝑐𝑚 è la resistenza a compressione media, che assume il valore della (6.1);

- 𝑘 = 1.05 ∙ 𝐸_𝑐𝑚∙ |𝜀_𝑐1|/𝑓_𝑐𝑚, con 𝐸_𝑐𝑚 valore medio del modulo elastico e 𝜀_𝑐1 è la deformazione sotto la massima tensione;

- 𝜂 =𝜀_𝑐/𝜀_𝑐1

Figura 6.2 - Legge costitutiva non lineare calcestruzzo, parabola di Sargin

Quanto indicato finora può essere schematicamente riassunto nell’immagine sottostante (figura 6.3), dove i valori in ascissa rappresentano i valori di resistenza del materiale adimensionalizzati con il valore di design.

Figura 6.3 - Definizione probabilistica dei valori di design, caratteristici e medi

139 Infine, la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata.

6.2.1 Definizione legge equivalente

Al fine di riuscire a svolgere l’analisi non lineare tramite il software Straus7, si rende necessario implementare l’approccio dello smeared reinforcement e al tempo stesso di estenderlo all’intera sezione trasversale.

Di conseguenza, si procede a definire una legge costitutiva equivalente da assegnare ad un materiale omogeneo, quello modellato, in grado di riprodurre la risposta della sezione reale contraddistinta dalle proprietà del materiale descritte in precedenza, riferite ad un materiale composito calcestruzzo + acciaio.

Nel far ciò, si sono compiute alcune assunzioni: considerare che il contributo dell’armatura di acciaio sia maggiore lato trazione, la cui diretta conseguenza è il poter descrivere il ramo in compressione tramite la legge di Sargin; infine, assumere il comportamento a trazione come definito da una legge elastica – perfettamente plastica, della quale si tarano 3 parametri, vale a dire la resistenza a trazione, la deformazione ultima e la deformazione al cambio di pendenza.

In accordo a quanto ipotizzato, il comportamento a compressione è stato linearizzato con una trilatera allo scopo di rendere più rapido lo svolgimento dell’analisi non lineare dal punto di vista dell’onere computazionale.

Il processo di taratura consiste nel definire il valore dei tre parametri incogniti al punto che risulti così possibile riprodurre l’andamento della legge 𝑀 − 𝜒 ottenuto con la geometria della sezione reale avente i parametri richiesti dall’EC2. La procedura di matching si è basata sull’implementazione del metodo ai minimi quadrati, cercando quei valori dei parametri tali da minimizzare la somma dei quadrati degli scarti tra le ordinate dei due andamenti, una volta aver prima fatto coincidere le curvature ultime (figura 6.4). La curva nera deriva da una sezione di 26x100 cm avente un rinforzo d’armatura con barre 20 spaziate di 150 mm. La curva azzurra deriva da una sezione di uguali dimensioni, senza armatura e con una legge costitutiva pari a quella tarata.

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Figura 6.4 - Confronto tra legame "reale" e tarato per N = 0

L’immagine soprastante fa riferimento alla riproduzione del legame momento-curvatura in corrispondenza di uno sforzo normale pari a zero, per i tre parametri incogniti si sono individuati i seguenti valori (tabella 6.1).

Tabella 6.1 - Risultato taratura per N = 0

_t [MPa] 7,41

cp [-] 0,00164

u [-] 0,00224

Sono di seguito riportati gli andamenti dei risultati ottenuti dal processo di taratura, esteso a dei valor di rapporto di armatura da 0.5% a 2.0% e con un range di sforzo normale da 500 kN in trazione a 2000 kN in compressione (figura 6.5, 6.6 e 6.7). Riguardo le tre immagini, i seguenti commenti possono essere espressi:

la resistenza a trazione aumenta di pari passo con la percentuale di armatura, dato che è solo questa a portare la trazione; la deformazione al cambio di pendenza è pressoché costante; infine, la deformazione ultima tende a diminuire all’aumentare del rapporto d’armatura, in ragione di una diminuzione di duttilità a cui gli elementi maggiormente armati sono soggetti.

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0.00000 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 0.00007 0.00008

Momento M [kNm]

Curvatura χ [1/mm]

EC2 NL Legge Eq

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Figura 6.5 - Ramo trazione: resistenza a trazione vs rapporto armatura

Figura 6.6 - Ramo trazione: deformazione cambio di pendenza vs rapporto armatura

Figura 6.7 - Ramo trazione: deformazione ultima vs rapporto armatura y = 7.914x

0 5 10 15 20 25

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Resistenza a trazione [MPa]

Rapporto di armatura [%]

y = 5E-06x + 0.0024

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Deformazione cambio pendenza [-]

Rapporto di armatura [%]

y = -0.011x + 0.028

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Deformazione ultima [-]

Rapporto di armatura [%]

142

E’ di seguito riportata la legge costitutiva equivalente tarata (tabella 6.2), (figura 6.8) Tabella 6.2 - Legge costitutiva equivalente tarata

Deformazione Tensione

[-] [MPa]

-0,0035 -42,20 -0,0018 -42,20 -0,00456 -16,88

0 0

0,00224 7,41

0,0164 7,41

Figura 6.8 - Legge costitutiva equivalente tarata introdotta in Straus7