Sia P un ideale primo di A. Osserviamo che A \ P `e una parte moltiplicativa di A, infatti
• a, b /∈ P ⇒ ab /∈ P
• 1 /∈ P
Definizione 2.5.1. Dato un ideale primo P di A si definisce localizzazione su P l’anello AP = (A \ P )−1A. Ap `e un anello locale con ideale massimale (A \ P )−1P . Definizione 2.5.2. Sia A un anello. Una propriet`a P viene detta locale se equivalen-temente
1. Vale per A.
2. Vale per AP per ogni ideali P primo di A.
3. Vale per Am per ogni ideale m massimale.
Un primo esempio di propriet`a locale `e dato dalla seguente
Proposizione 2.5.3. Per un qualsiasi A-modulo M le seguenti condizioni sono equiva-lenti
1. M = 0.
2. MP = 0 per ogni ideali P primo di A.
3. Mm = 0 per ogni ideale m massimale di A.
Dimostrazione. Banalmente (1) ⇒ (2) ⇒ (3).
(3) ⇒ (1) Per assurdo supponiamo che M 6= 0, allora esiste x ∈ M con x 6= 0, quindi 1 /∈ Ann(x) ( A, pertanto esiste un ideale massimale m di A contenente Ann(x). Per ipotesi Mm = 0 quindi x1 = 01, cio`e esiste u ∈ A \ m tale che ux = 0 pertanto u ∈ Ann(x) ⊆ m, assurdo.
Se ϕ : M → N `e un omomorfismo di A-moduli e P `e un ideale primo di A, indichiamo con ϕP = (A \ P )−1ϕ.
Proposizione 2.5.4. Siano M, N due A-moduli e ϕ : M → N un omomorfismo di A-moduli, sono equivalenti
1. ϕ : M → N `e iniettiva [suriettiva]
2. ϕP : MP → NP `e iniettiva [suriettiva]
3. ϕm : Mm → Nm `e iniettiva [suriettiva]
Dimostrazione.
(1) ⇒ (2) Dire che ϕ : M → N `e iniettiva equivale a dire che 0 → M → N
`e esatta, quindi anche
0 → MP → NP
`e esatta, da cui ϕP : MP → NP `e iniettiva.
(2) ⇒ (3) Ovvia.
(3) ⇒ (1) La successione
0 → ker ϕ → M → N
`e esatta, pertanto anche
0 → ker ϕm → Mm → Nm
`e esatta. Mostriamo adesso che ker ϕm = (ker ϕ)m, infatti siano x ∈ M e y ∈ A \ m, abbiamo questa serie di equivalenze
x
y ∈ ker ϕm ⇔ ϕm x y
= ϕ(x) y = 0
1 ⇔
⇔ ∃u ∈ A \ m : uϕ(x) = ϕ(ux) = 0 ⇔ ux ∈ ker ϕ ⇔ x y = ux
uy ∈ (ker ϕ)m da cui
0 = ker ϕm = (ker ϕ)m
dalla proposizione precedente e dall’arbitrariet`a di m segue ker ϕ = 0.
Capitolo 3
Decomposizione primaria
Definizione 3.0.1. Un ideale I di A si dice primario se
xy ∈ I ⇒ x ∈ I oppure yn ∈ I per qualche n ∈ N.
Equivalentemente
• xy ∈ I, x /∈ I ⇒ y ∈√ I.
• xy ∈ I, y /∈√
I ⇒ x ∈ I.
Dalla definizione segue subito che ogni ideale primo `e primario.
Definizione 3.0.2. Se un ideale I di A si scrive come intersezione di ideali primari I = Q1∩ . . . ∩ Qn
allora la precedente scrittura sar`a detta una decomposizione primaria per I. In questo caso I si dice decomponibile.
In generale non `e detto che ogni ideale I di un anello A abbia una decomposizione primaria.
Proposizione 3.0.3. Se f : A → B `e un omomorfismo di anelli e J `e un ideale primario di B, allora f−1(J ) `e un ideale primario di A.
Dimostrazione. Supponiamo che xy ∈ f−1(J ) e x /∈ f−1(J ), ci`o vuol dire che f (xy) = f (x)f (y) ∈ J e f (x) /∈ J quindi esiste n ∈ N tale che f(y)n = f (yn) ∈ J , cio`e yn ∈ f−1(J ).
Proposizione 3.0.4. I `e primario se e solo se in A/I ogni divisore dello zero `e nilpotente.
Dimostrazione.
⇒ Sia x = x + I ∈ A/I un divisore dello zero, quindi esiste y = y + I ∈ A/I non nullo (y /∈ I) tale che x y = 0 ⇔ xy ∈ I, per ipotesi I `e primario quindi esiste n ∈ N tale che xn∈ I, ovvero xn = 0.
⇐ Supponiamo che xy ∈ I e y /∈ I, ci`o equivale a dire che (x + I)(y + I) = I in A/I, quindi x + I `e un divisore dello zero di A/I (dato che y + I 6= I), pertanto `e nilpotente, cio`e xn+ I = I ⇔ xn∈ I.
Proposizione 3.0.5. Se I `e un ideale primario allora√
I `e primo.
D’ora in poi parleremo di ideale P -primario, nel senso che I `e P -primario se `e primario con √
quindi in A/I ogni divisore dello zero `e nilpotente ⇔ I `e primario. D’altra parte si ha (x, y)2 = (x2, xy, y2) ⊆ (x, y2) ⊆ (x, y)
Infatti consideriamo in k[x, y, z]/(xy−z2). Nel quoziente, indicando con x = x+(xy−z2), y = y + (xy − z2), z = z + (xy − z2) sia P = (x, z). P `e primo poich´e l’ideale (x, z) di k[x, y, z] `e primo e contiene (xy − z2). Adesso abbiamo
x y = z2 ∈ P2, x /∈ P2, y /∈ P =√ P2 fatti da cui segue che P2 non `e primario.
Questo esempio mostra anche che non tutte le potenze di un ideale primo sono ideali primari.
Proposizione 3.0.8. Se Q `e un ideale tale che √
Q = M `e massimale, allora Q `e M -primario.
Dimostrazione. Sia P un ideale primo contenente Q. Risulta P ⊇ Q ⇒ P =√
P ⊇p
Q = M ⇒ P = M.
Pertanto M `e l’unico ideale primo che contiene Q. Dunque il quoziente A/Q ha un solo ideale primo, quindi in A/Q ogni elemento `e invertibile oppure nilpotente, in particolare ogni divisore dello zero `e nilpotente.
Sia I un ideale decomponibile
I = Q1∩ . . . ∩ Qn
con Qi ideali primari. Sfrondiamo la precedente decomposizione nel seguente modo.
Se √ Una decomposizione cos`ı ottenuta si dice minimale.
I primi Pi = √
Qi si dicono primi associati a I. I primi dell’insieme {P1, . . . , Pn} minimali rispetto all’inclusione si dicono primi minimali associati ad I. I restanti sono detti primi immersi.
Se P `e un ideale primo che contiene I allora
P ⊇ I = Q1∩ . . . ∩ Qn⇒ P = √
P ⊇ P1∩ . . . ∩ Pn
da cui P ⊇ Pi per qualche i ∈ {1, . . . , n} (1.1.23). Da ci`o segue che i primi minimali associati ad I sono i primi minimali nella famiglia degli ideali primi contenenti I.
Lemma 3.0.9. Sia Q un ideale P -primario di A. Per ogni x ∈ A abbiamo 1. x ∈ Q ⇒ (Q : x) = A
Teorema 3.0.10 (Primo teorema di unicit`a). Sia I un ideale decomponibile e sia I = Q1∩ . . . ∩ Qn
una decomposizione primaria minimale. Allora i primi Pi = √
Qi associati ad I sono tutti e soli i primi della formap(I : x) al variare di x ∈ A. In particolare non dipendono dalla decomposizione scelta.
Dimostrazione. Per ogni x ∈ A tale che p(I : x) `e primo si ha
Viceversa, dato che la decomposizione considerata `e minimale, per ogni i ∈ n esiste xi ∈ (T
j6=iQj) \ Qi, pertanto si ha I = {i}, quindip(I : xi) = Pi.
Proposizione 3.0.11. Se I `e un ideale decomponibile in A e I = Q1∩ Q2∩ . . . ∩ Qn `e una sua decomposizione primaria minimale, con Pi =√
Qi, allora
Corollario 3.0.12. Se A `e un anello tale che l’ideale nullo (0) sia decomponibile, allora
n
[
i=1
Pi = {x ∈ A : (0 : x) 6= (0)} = D (divisori dello zero).
Proposizione 3.0.13. Sia S una parte moltiplicativa di A, Q un ideale P -primario 1. S ∩ P 6= ∅ ⇒ S−1Q = S−1A
2. S ∩ P = ∅ ⇒ S−1Q `e S−1P -primario e Qec = (S−1Q)c= Q.
Dimostrazione.
1. s ∈ S ∩ P ⇒ sn∈ S ∩ Q 6= ∅ ⇒ S−1Q = S−1A.
2. Se as ∈ S−1Q, allora esistono b ∈ Q, t ∈ S tali che a
s = b
t ⇒ ∃u ∈ S : u(at − bs) = 0 ⇒ (ut)a = sb ∈ Q.
Adesso ut ∈ S ⊆ A \ P , cio`e ut /∈ √
Q, quindi a ∈ Q, cio`e Qec ⊆ Q, l’inclusione inversa `e sempre vera.
Sia adesso asbt ∈ S−1Q, as ∈ S/ −1Q, quindi ab ∈ Q e a /∈ Q, pertanto b ∈ P , cio`e
b
t ∈ S−1P . Ci`o prova che S−1Q `e S−1P -primario (pS−1Q = S−1√
Q = S−1P ).
Corollario 3.0.14. Sia I un ideale di A, I = Q1 ∩ . . . ∩ Qn una sua decomposizione primaria minimale e sia S una parte moltiplicativa di A. Allora
S−1I = \
Pi∩S=∅
S−1Qi, (S−1I)c= \
Pi∩S=∅
Qi.
Teorema 3.0.15 (Secondo teorema di unicit`a). Gli ideali Qi che sono Pi-primari, con Pi primi minimali associati ad I sono indipendenti dalla decomposizione.
Dimostrazione. Se Pi`e un primo minimale associato ad I sia S = A\Pi, quindi S ∩Pj 6= ∅ per ogni j 6= i quindi dal corollario precedente abbiamo che
S−1I = S−1Qi ⇒ (S−1I)c= Qi. Cio`e Qi `e indipendente dalla decomposizione.
Capitolo 4
Anelli e moduli Noetheriani e Artiniani
Proposizione 4.0.1. Sia (Σ, ≤) un insieme parzialmente ordinato. Le seguenti condi-zioni sono equivalenti
1. (Ascending Chain Condition, A.C.C) Ogni catena ascendente di Σ x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . .
`e stazionaria, cio`e esiste n ∈ N tale che xn = xn+1 = xn+2= . . .
2. (Maximal condition) Ogni sottoinsieme non vuoto di Σ possiede elementi mas-simali.
Dimostrazione.
(1) ⇒ (2) Sia ∅ 6= A ⊆ Σ, supponiamo per assurdo che A non abbiamo elementi massi-mali. Sia x0 ∈ A, dato che x0 non `e massimale esiste x1 ∈ A tale che x0 < x1. Allo stesso modo, x1 non `e massimale quindi esiste x2 ∈ A tale che x1 < x2. Procedendo induttiva-mente in questo modo riusciamo a costruire una catena acendente x0 < x1 < x2 < . . . non stazionaria, assurdo.
(2) ⇒ (1) Basta considerare C = {xi : i ∈ N} ⊆ Σ, C ha almeno un elemento massimale xn, pertanto xn = xi per ogni i ≥ n.
Diciamo che (Σ, ≤) soddisfa la Descending Chain Condition (D.C.C.) se (Σ, ≥) soddisfa la A.C.C.
Definizione 4.0.2. Un A-modulo M `e detto noetheriano se, detto Σ l’insieme dei suoi sottomoduli, (Σ, ⊆) soddisfa la A.C.C. (o equivalentemente la maximal condition).
M `e detto artiniano se (Σ, ⊆) soddisfa la D.C.C.
Definizione 4.0.3. Un anello A `e noetheriano [artiniano] se lo `e come A-modulo (cio`e se vale la A.C.C [D.C.C] sugli ideali)
Proposizione 4.0.4. Per ogni A-modulo M si ha
M `e noetheriano ⇔ ogni sottomodulo di M `e di tipo finito.
Dimostrazione.
⇒ Sia N un sottomodulo di M . Supponiamo per assurdo che N non sia di tipo finito.
Siano quindi x0 ∈ N , x1 ∈ N \ (Ax0), x2 ∈ N \ (Ax0+ Ax1) e cos`ı via. In questo modo riusciamo a costruire una catena ascendente di sottomoduli di M che non `e stazionaria, assurdo.
⇐ Sia N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ . . . una catena ascendente di sottomoduli di M . Consideriamo N = S
i∈NNi, N `e un sottomodulo di M , quindi `e di tipo finito, cio`e esistono x1, x2, . . . , xn ∈ N tali che N = Ax1+ . . . + Axn. Ne segue che essendo xi ∈ N = S
k∈NNk esiste h ∈ N tale che x1, x2, . . . , xn ∈ Nh, pertanto N = Ax1+ . . . Axn ⊆ Nh ⊆ N da cui per ogni i ≥ h abbiamo
Nh ⊆ Ni ⊆ [
k∈N
Nk = N = Nh ⇒ Ni = Nh.
Esempio 4.0.5. Z `e un anello noetheriano (`e un PID), ma non `e artiniano, infatti la seguente
(1) ⊇ (2) ⊇ (4) ⊇ . . . ⊇ (2n) ⊇ . . .
`
e una catena discendente infinita.
k[xi : i ∈ N], con k campo, non `e noetheriano, infatti la seguente (x1) ⊆ (x1x2) ⊆ (x1x2x3) ⊆ (x1x2x3x4) ⊆ . . .
`
e una catena ascendente infinita. Non `e neanche artiniano, infatti la seguente (x1) ⊇ (x21) ⊇ (x31) ⊇ . . .
`
e una catena discendente infinita.
Osserviamo che se A `e un anello noetheriano, non `e detto che ogni suo sottoanello B ⊆ A sia anch’esso noetheriano. Basta considerare dall’esempio precedente
B = k[xi : i ∈ N] ⊆ k(xi : i ∈ N) = A, infatti A `e noetheriano poich´e `e un campo, mentre B non lo `e.
Proposizione 4.0.6. Sia
0 → M0 u−→ M −→ Mv 00 → 0 una successione esatta di A-moduli. Allora
M `e noetheriano [artiniano] ⇔ M0 e M00 sono noetheriani [artiniani].
Dimostrazione. Proviamo il caso noetheriano, il caso artiniano `e analogo.
⇒ Se N0 ⊆ N1 ⊆ . . . `e una catena ascendente di sottomoduli di M0 allora u(N0) ⊆ u(N1) ⊆ . . . `e una catena ascendente di sottomoduli di M , quindi `e stazionaria, cio`e esiste n ∈ N tale che u(Nn) = u(Ni) per ogni i ≥ n. Dato che u `e iniettiva, abbiamo che u−1(u(Ni)) = Ni, da cui segue che anche la catena in M0 `e stazionaria.
Si procede in modo analogo per le catene ascendenti di M00, infatti v `e suriettiva quindi abbiamo v(v−1(Ni)) = Ni.
⇐ Sia N0 ⊆ N1 ⊆ N2 ⊆ . . . una catena ascendente di sottomoduli di M . Consideriamo le due catene ascendenti u−1(N0) ⊆ u−1(N1) ⊆ u−1(N2) ⊆ . . ., v(N0) ⊆ v(N1) ⊆ v(N2) ⊆ . . . di sottomoduli rispettivamente di M0 e M00. Esse sono entrambe stazionarie, pertanto esiste h ∈ N tale che u−1(Ni) = u−1(Nh), v(Ni) = v(Nh) per ogni i ≥ h. Supponiamo per assurdo che Nh ( Nh+1, sia x ∈ Nh+1\ Nh. Se esiste y ∈ M0 tale che x = u(y) allora y ∈ u−1(Nh+1) = u−1(Nh), da cui x = u(y) ∈ Nh, assurdo. Pertanto x /∈ Im u = ker v, quindi v(x) 6= 0, v(x) ∈ v(Nh+1) = v(Nh), pertanto esiste x0 ∈ Nh tale che v(x0) = v(x) ⇔ v(x − x0) = 0 da cui x − x0 ∈ ker v = Im u, quindi esiste z ∈ M0 tale che u(z) = x − x0 ∈ Nh+1, ma x /∈ Nh pertanto x − x0 ∈ N/ h, dunque z ∈ u−1(Nh+1) \ u−1(Nh), assurdo.
Corollario 4.0.7. Se M `e un A-modulo e N ⊆ M `e un suo sottomodulo, allora M `e noetheriano [artiniano] se e solo se N e M/N sono noetheriani [artiniani].
In particolare se M `e noetheriano [artiniano] il quoziente M/N `e noetheriano [artiniano].
Dimostrazione. In base alla proposizione precedente, basta considerare la seguente suc-cessione esatta
0 → N −→ Mi −→ M/N → 0π
Osserviamo che se I `e un ideale di A, se A `e noetheriano allora A/I `e noetheriano (come A-modulo). (DA FARE) `e un anello noetheriano
Corollario 4.0.8. Siano M1, M2 due A-moduli, allora
M1, M2 sono noetheriani [artiniani] ⇔ M1⊕ M2 `e noetheriano [artiniano]
Dimostrazione. Basta considerare la successione esatta 0 → M1 −→ Mi 1⊕ M2 −p→ M2 2 → 0 dove p2(x, y) = y.
Analogo discorso vale nel caso generale M1⊕ M2⊕ . . . ⊕ Mn, basta applicare indutti-vamente il precedente corollario.
Corollario 4.0.9. Se A `e un anello noetheriano [artiniano] e M `e un A-modulo di tipo finito allora M `e noetheriano [artiniano].
Dimostrazione. Per ipotesi esistono x1, x2, . . . , xn ∈ M tali che M = Ax1+Ax2+. . .+Axn. Consideriamo l’omomrfismo suriettivo
ϕ :
n
M
i=1
A → M tale che ϕ(ei) = xi
allora abbiamo
A noetheriano ⇒
n
M
i=1
A noetheriano ⇒ M '
n
M
i=1
A/ ker ϕ noetheriano.
Corollario 4.0.10. Sia S una parte moltiplicativa di A. Se A `e noetheriano [artiniano]
allora anche S−1A `e noetheriano [artiniano].
Dimostrazione. Infatti se S−1I0 ⊆ S−1I1 ⊆ S−1I2 ⊆ . . . `e una catena ascendente di ideali di S−1A allora la catena I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ . . . `e una catena ascendente di ideali di A. Per ipotesi essa `e stazionaria, da cui segue che anche la catena in S−1A `e stazionaria.
Teorema 4.0.11 (Teorema della base di Hilbert). Se A `e noetheriano allora A[x] `e noetheriano.
Dimostrazione. Sia I un ideale di A[x]. Supponiamo per assurdo che I non sia finitamente generato. Sia f1 un polinomio di grado minimo su I e sia d1 = deg(f1). Per ipotesi I \ (f1) 6= ∅, quindi sia f2 un polinomio di grado minimo su I \ (f1) e sia d2 = deg(f2).
Procedendo induttivamente costuriamo una successione f1, f2, . . . , fn, . . . di polinomi di grado rispettivamente d1, d2, . . . , dn, . . . e indichiamo con aixdiil termine di grado massimo di fi. Consideriamo la seguente catena ascendente di ideali in A
(a1) ⊆ (a1, a2) ⊆ (a1, a2, a3) ⊆ . . .
essa `e stazionaria per ipotesi, pertanto esiste h ∈ N tale che (a1, . . . , ah) = (a1, . . . , ai) per ogni i ≥ h, pertanto ah+1 ∈ (a1, a2, . . . , ah), dunque esistono b1, b2, . . . , bn ∈ A tali che
ah+1= b1a1+ b2a2+ . . . + bhah. Adesso il polinomio
fh+1−
h
X
i=1
bifixdh+1−di
ha grado minore di dh+1 e appartiene a I \ (f1, . . . , fh), assurdo.
(A[x] `e noetheriano come anello, cio`e come A[x]-modulo, non come A-modulo).
Corollario 4.0.12. Se A `e noetheriano allora A[x1, x2, . . . , xn] `e noetheriano.
Dimostrazione. Basta applicare il teorema precedente per induzione su n.
In particolare se k `e un campo allora k[x1, . . . , xn] `e noetheriano.
Corollario 4.0.13. Se A `e un anello noetheriano e B `e una A-algebra finitamente generata allora B `e noetheriano.
Dimostrazione. Infatti se A `e noetheriano allora lo `e anche f (A)[x1, x2, . . . , xn] pertanto, dato che B `e una A-algebra finitamente generata esistono b1, b2, . . . , bn∈ B tali che
B = f (A)[b1, b2, . . . , bn] ' f (A)[x1, x2, . . . , xn] (x1− b1, x2− b2, . . . , xn− bn), ne segue che anche B `e noetheriano.
Proposizione 4.0.14. Se A `e un anello noetheriano e I `e un ideale allora esiste n ∈ N
tale che √
In
⊆ I.
Dimostrazione. Infatti √
I = (a1, . . . , at), per ogni ai esiste ni tale che anii ∈ I, quindi basta prendere n =Pt
i=1ni per cui si abbia√
I
n
⊆ I.
Corollario 4.0.15. Se A `e noetheriano allora NA =p(0) `e nilpotente (cio`e esiste n ∈ N tale che NAn = (0)).
4.1 Lunghezza di un modulo
Definizione 4.1.1. Sia M un A-modulo. Se N0, N1, . . . , Nh sono sottomoduli di M tali che
N0 ( N1 ( . . . ( Nh allora diremo che la precedente catena ha lunghezza h.
Se N0 = (0) e Nh = M la catena
(0) ( N1 ( . . . ( Nh−1( M
`
e detta serie di composizione se non `e raffinabile (cio`e se Ni+1/Ni `e un modulo semplice, ossia privo di sottomoduli non banali).
Definizione 4.1.2. Siano M un A-modulo e L l’insieme di tutte le serie di composizione di M . Si definisce lunghezza di M come
λ(M ) =
(min{h : lunghezza di L ∈ L} L 6= ∅
+∞ L = ∅
Teorema 4.1.3. Sia M un A-modulo e supponiamo che esso abbia una serie di compo-sizione.
1. N ⊆ M ⇒ λ(N ) ≤ λ(M ), inoltre N = M ⇔ λ(N ) = λ(M ).
2. Ogni catena di sottomoduli di M ha lunghezza minore o uguale a λ(M ).
3. Ogni serie di composizione di M ha lunghezza λ(M ).
4. Ogni catena di sottomoduli di M si raffina con una serie di composizione.
5. Una catena di sottomoduli `e una serie di composizione se e solo se ha lunghezza λ(M ).
Dimostrazione.
1. Sia
(0) ( M1 ( . . . ( Mh−1( M (4.1)
una serie di composizione di M , allora intersecando con N otteniamo (0) ⊆ N ∩ M1 ⊆ . . . ⊆ N ∩ Mh−1⊆ N.
Dato che Mi+1/Mi`e semplice considerando l’omomorfismo ϕ : Mi+1∩N → Mi+1/Mi composizione dell’immersione Mi+1∩N ,→ Mi+1e della proiezione Mi+1 Mi+1/Mi allora
ker ϕ = {x ∈ Mi+1∩ N : x ∈ Mi} = Mi∩ N quindi Mi+1∩ N
Mi∩ N `e isomorfo a un sottomodulo di Mi+1/Mi che `e semplice, pertanto Mi+1∩ N
Mi∩ N `e semplice da cui λ(N ) ≤ λ(M ). Inoltre ovviamente se N = M allora λ(N ) = λ(M ). Viceversa se λ(N ) = λ(M ) allora si ha N ∩ Mi ( N ∩ Mi+1 per ogni i ∈ {0, 1, . . . , h − 1} (altrimenti λ(N ) < λ(M )). Adesso consideriamo
(0) ( N ∩ M1 ⊆ M1
allora deve aversi N ∩ M1 = M1 ⇒ M1 ⊆ N , altrimenti la catena 4.1 sarebbe raffinabile. Pertanto
N ∩ M2 N ∩ M1
= N ∩ M2 M1
⊆ M2/M1 che `e semplice
quindi, dato che N ∩ M1 ( N ∩ M2, deve aversi N ∩ M2
M1 = M2/M1, cio`e N ∩ M2 = M2 ⇒ M2 ⊆ N . Iterando il procedimento dopo un numero finito di passi otteniamo M ⊆ N , quindi N = M .
2. Sia
(0) ( M1 ( M2 ( . . . ( Mh−1( M
una catena qualsiasi di sottomoduli di M di lunghezza h. Dal punto precedente abbiamo che
0 < λ(M1) < λ(M2) < . . . < λ(Mh−1) < λ(M ) ⇒ h ≤ λ(M ).
3. Dal punto precedente ogni serie di composizione ha lunghezza minore o uguale a λ(M ). Ma λ(M ) `e il minimo delle lunghezze di tutte le serie di composizione, da cui abbiamo la tesi.
4. Data una catena
(0) ( M1 ( M2 ( . . . ( Mh−1( M,
se essa non `e una serie di composizione allora esiste i ∈ {0, 1, . . . , h1} tale che Mi+1/Mi non `e semplice, quindi esiste un sottmodulo N tale che Mi ( N ( Mi+1. A questo punto raffiniamo la catena con N e ripetiamo il procedimento, dopo un numero finito di passi passi otteniamo una serie di composizione.
5. ⇒ Segue dal punto 3.
⇐ Se la catena non fosse una serie di composizione potrei raffinarla (in base al punto 4) ottenendo una serie di composizione di lunghezza maggiore di λ(M ), contro il punto 3.
Proposizione 4.1.4. Un A-modulo M ha una serie di composizione se e solo se M `e noetheriano e artiniano.
Dimostrazione.
⇒ Ovvio
⇐ Se M 6= (0) sia M1 un sottomodulo massimale tra tutti i sottomoduli propri di M (l’esistenza di M1 ci `e garantita dalla noetherianit`a di M ). Cos`ı abbiamo che M/M1 `e semplice. Se M1 6= (0) sia M2 un sottomodulo massimale tra tutti i sottomoduli di M contenuti propriamente in M1. Come prima M1/M2 `e semplice.
Se M2 6= (0) reiteriamo il procedimento su M2. In questo modo otteniamo una catena discendente di sottmoduli di M
M ) M1 ) M2 ) . . .
Dato che M `e artiniano deve esistere un n ∈ N tale che Mn = (0) (altrimenti avremmo costruito una catena discendente infinita), ottenendo cos`ı una serie di composizione.