Proposizione 6.3.1 (Artin-Tate). Siano A ⊆ B ⊆ C tre anelli. Supponiamo che A sia noetheriano, C sia una A-algebra finitamente generata e anche un B-modulo di tipo finito. Allora B `e una A-algebra finitamente generata (quindi B `e anche noetheriano).
Dimostrazione. Siano x1, . . . , xm, y1, . . . , yn∈ C tali che C = A[x1, . . . , xm] C = By1+ . . . + Byn. Risulta
xi =
n
X
j=1
bijyi, yiyj =
n
X
k=1
bijkyk, per certi bij, bijk ∈ B. Sia
B0 = A
bij, bjkt : i ∈ {1, . . . , m}
j, k, t ∈ {1, . . . , n}
.
B0 `e una A-algebra finitamente generata, quindi `e anche noetheriano. Inoltre utilizzando le relazioni scritte sopra abbiamo che C `e un B0-modulo di tipo finito pertanto `e un B0 -modulo noetheriano, quindi B `e un B0-modulo di tipo finito (in quanto sotto-B0-modulo di C). Dunque, poich´e B0 `e una A-algebra finitamente generata allora anche B `e un A-algebra finitamente generata.
Definizione 6.3.2. Sia F ⊆ K una estensione di campi. Gli elementi α1, . . . , αn ∈ K si dicono algebricamente indipendenti su F se per ogni polinomio f ∈ F[x1, . . . , xn] non nullo si ha f (α1, . . . , αn) 6= 0.
L’indipendenza algebrica `e una generalizzazione della trascendenza, infatti dire che x ∈ K `e algebricamente indipendente su F equivale a dire che x `e trascendente su F.
Teorema 6.3.3. Sia k ⊆ E un’estensione di campi. Se E `e un k-algebra finitamente generata allora l’estensione k ⊆ E `e finita.
Prima dimostrazione. Poniamo E = k[x1, . . . , xn]. Se per assurdo E non `e algebrico su k allora supponiamo che x1, . . . , xrsiano algebricamente indipendenti su k e che xr+1, . . . , xn siano algebrici su F = k(x1, . . . , xr) (osserviamo che F `e isomorfo al campo dei quozienti dell’anello dei polinomi in r variabili a coefficienti in k, dal momento che x1, . . . , xr sono algebricamente indipendenti su k). Quindi F ⊆ E `e un’estensione finita, in altri termini E `e un F -modulo di tipo finito. Applichiamo adesso la proposizione precedente su k ⊆ F ⊆ E, cos`ı F risulta una k-algebra finitamente generata, cio`e F = k[y1, . . . , ym] con yi = fi/gi, dove fi, gi ∈ k[x1, . . . , xr]. Sia adesso h = g1g2. . . gm+ 1 ∈ k[x1, . . . , xr], h non ha nessun divisore in comune con ognuno degli gi, risulta
1
h = p(x1, . . . , xr)
gt11g2t2. . . gtmm ⇒ p(x1, . . . , xn) = g1t1g2t2. . . gmtm
h ∈ k[x1, . . . , xr], contro il fatto che h non ha nessun divisore in comune con gli gi, assurdo.
Corollario 6.3.4. Sia k un campo e A una k-algebra finitamente generata. Sia m un ideale massiamle di A, allora A/m `e un’estensione finita di k. Inoltre se k `e algebrica-mente chiuso allora A/m ' k.
Dimostrazione. A/m `e una k-algebra finitamente generata, e ha come generatori le classi di resto dei generatori di A come k-algebra. Adesso basta applicare il teorema precedente con E = A/m. Se k `e algebricamente chiuso, l’estensione k ⊆ E `e finita quindi `e anche algebrica da cui k = E.
Corollario 6.3.5 (Nullstellensatz debole). Sia k un campo algebricamente chiuso. Un ideale I di k[x1, . . . , xn] `e proprio se e solo se
V (I) = {P ∈ An(k) : f (P ) = 0 ∀f ∈ I} 6= ∅.
Dimostrazione.
⇒ I `e contenuto in un ideale massimale M di A = k[x1, . . . , xn]. Dal corollario prece-dente sappiamo che k[x1, . . . , xn] = A/M ' k quindi esiste un isomorfismo di campi φ : k[x1, . . . , xn] → k tale che φ(xi) = αi ∈ k. Adesso ad ogni f ∈ M corrisponde in A/M la classe nulla
f (x1, . . . , xn) + M = f (x1, . . . , xn) = 0, quindi si ha anche
f (α1, . . . , αn) = f (φ(x1), . . . , φ(xn)) = φ(f (x1, . . . , xn)) = φ(0) = 0.
Dunque dall’arbitrariet`a di f ∈ M abbiamo P = (α1, . . . , αn) ∈ V (M ) ⊆ V (I) 6= ∅.
⇐ Basta osservare che V (k[x1, . . . , xn]) = ∅, infatti ∀P ∈ An(k) si ha 1(P ) = 1 6= 0.
Osserviamo che il Nullstellensatz debole `e equivalente al teorema precedente, infatti se k ⊆ k[α1, . . . , αn] = E `e un’estensione di campi allora consideriamo l’omomorfismo φ : k[x1, . . . , xn] → E con φ(xi) = αi. L’ideale ker φ = M `e massimale poich´e E `e un campo, per ipotesi esiste P = (β1, . . . , βn) ∈ An(k) tale che f (P ) = 0 per ogni f ∈ M . Pertanto sia ϕ : k[x1, . . . , xn] → k[β1, . . . , βn] con ϕ(xi) = βi, si ha M ⊆ ker ϕ, dalla massimalit`a di M abbiamo ker ϕ = M , quindi
E ' k[x1, . . . , xn]
M ' k[β1, . . . , βn].
Dunque dato che βi ∈ k allora E `e algebrico su k, cio`e k ⊆ E `e finita.
L’ipotesi che k sia algebricamente chiuso `e necessaria, infatti se k = R abbiamo che V (x2+ 1) = ∅.
Corollario 6.3.6. Se k `e un campo algebricamente chiuso allora ogni ideale massimale di k[x1, . . . , xn] `e della forma (x1− α1, . . . , xn− αn) con α1, . . . , αn∈ k.
Dimostrazione. Sia M massimale in k[x1, . . . , xn]. Sappiamo che esiste P = (α1, . . . , αn) ∈ V (M ). Adesso se f (P ) = 0 allora f ∈ M , altrimenti (f ) + M = k[x1, . . . , xn], quindi 1 = λf + m ⇒ 1(P ) = λ(P )f (P ) + m(P ) = 0, assurdo. Pertanto f ∈ M . Dunque xi − αi ∈ M , cio`e l’ideale massimale (x1 − α1, . . . , xn− αn) `e contenuto in M , da cui abbiamo l’uguaglianza.
Teorema 6.3.7 (Nullstellensatz). Sia k un campo algebricamente chiuso e sia I un ideale di k[x1, . . . , xn]. Allora
I (V (I)) =√ I.
Dimostrazione.
⊆ Osserviamo prima di tutto che k[x1, . . . , xn] `e noetheriano, quindi l’ideale I `e fini-tamente generato I = (f1, . . . , fn).
Sia f ∈ I (V (I)) e sia J = I + (fT − 1) E k[x1, . . . , xn, T ]. Per assurdo sia P = (a1, . . . , an, b) ∈ V (J ) ⊆ An+1(k) abbiamo che P = (a1, . . . , an) ∈ V (I) infatti per ogni g ∈ I si ha g + 0 ∈ I + (f T − 1) = J , quindi g(P ) = g(P ) = 0. D’altra parte abbiamo
(f T − 1)(P ) = f (P )b − 1 = −1 6= 0,
assurdo, quindi V (J ) = ∅ ⇒ J = k[x1, . . . , xn, T ]. Pertanto 1 ∈ J = I + (f T − 1), da cui si ha
1 =
n
X
i=1
λifi+ λ(f T − 1)
dove gli fi sono i generatori di I e λ, λi ∈ k[x1, . . . , xn, T ]. Consideriamo adesso
Abbiamo dimostrato il Nullstellensatz (forte) a partire dal Nullstellensatz debole, vediamo che le due forme sono in realt`a equivalenti:
Nullstellensatz =⇒ Nullstellensatz debole.
Infatti se I `e un ideale di k[x1, . . . , xn] con V (I) = ∅, risulta
√
I =I (V (I)) = I (∅) = k[x1, . . . , xn] ⇒ I = k[x1, . . . , xn].
Proposizione 6.3.8. Ogni variet`a algebrica pu`o essere scritta come unione di variet`a algebriche irriducibili.
Dimostrazione. Sia V (I) una variet`a algebrica. Essendo k[x1, . . . , xn] noetheriano, dal Corollario 4.2.4 abbiamo che I ha una decomposizione primaria
I = Q1∩ . . . ∩ Qn
Capitolo 7
Normalizzazione di Noether
Teorema 7.0.1 (Principio di identit`a dei polinomi). Sia k un campo infinito.
Se f ∈ k[x1, . . . , xn] `e tale che f (P ) = 0 per ogni P ∈ kn allora f `e il polinomio nullo.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Se n = 1 dal teorema di Ruffini segue che f pu`o avere al pi`u un numero di radici pari al suo grado, ma dato che k `e infinito f deve essere necessariamente il polinomio nullo.
Supponiamo il teorema vero per n − 1, dimostriamolo per n. Fissiamo α1, . . . , αn−1∈ k, per ipotesi il polinomio f (α1, . . . , αn−1, xn) ∈ k[xn] ha infinite radici, quindi per l’ipotesi induttiva esso `e il polinomio nullo, cio`e i suoi coefficienti devono essere tutti nulli. Ma i coefficienti di f (α1, . . . , αn−1, xn) sono polinomi calcolati in α1, . . . , αn−1, dall’arbitra-riet`a di questi ultimi e dall’ipotesi induttiva segue che essi sono polinomi nulli, pertanto abbiamo che f `e il polinomio nullo.
Teorema 7.0.2 (Normalizzazione di Noether). Sia k un campo e A = k[x1, . . . , xn] una k-algebra finitamente generata.
1. Esistono r ≤ n e y1, . . . , yr ∈ A algebricamente indipendenti su k tali che l’esten-sione k[y1, . . . , yr] ⊆ A `e intera.
2. Se I `e un ideale proprio di A allora I ∩ k[y1, . . . , yr] = (yδ, yδ+1, . . . , yr), per qualche δ ≤ r.
Proviamo solamente il primo punto nel caso k infinito.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Se n = 1 allora A = k[x]. Se x `e algebrico su k allora `e anche intero su k, quindi r = 0 e k ⊆ A `e intera. Se x `e trascendente su k allora r = 1 e k[x] = A `e banalmente intera. Supponiamo il teorema vero per n − 1 e dimostriamolo per n. Se x1, . . . , xn sono algebricamente indipendenti su k allora r = n e k[x1, . . . , xn] = A `e banalmente intera. Altrimenti supponiamo esista f ∈ k[X1, . . . , Xn] tale che f (x1, . . . , xn) = 0. Scriviamo f come somma di polinomi omogenei fi di grado i = 0, 1, . . . , d
f = f0+ f1+ . . . + fd,
con fd6= 0. Dunque per il principio di identit`a dei polinomi esistono b1, b2, . . . , bn−1, bn∈ k non tutti nulli (a meno di riordinamento degli indici possiamo supporre bn 6= 0) tali che fd(b1, b2, . . . , bn−1, bn) 6= 0, allora ponendo ci = bi/bn per i ≤ n − 1, abbiamo
fd(b1, b2, . . . , bn−1, bn) = bdnfd(c1, . . . , cn−1, 1) 6= 0 ⇒ fd(c1, . . . , cn−1, 1) 6= 0.
Poniamo yi = xi− cixn per ogni i ≤ n − 1. Risulta
0 = f (x1, . . . , xn) = f (y1+ c1xn, . . . , yn−1+ cn−1xn, xn) = g0+ g1xn+ . . . + gdxdn (7.1) e dev’essere
gd(y1, . . . , yn−1)xdn = fd(c1xn, . . . , cn−1xn, xn) = xdnfd(c1, . . . , cn−1, 1)
da cui moltiplicando la 7.1 per fd(c1, . . . , cn−1, 1)−1otteniamo una relazione di dipendenza integrale di xn su k[y1, . . . , yn−1]. Dall’ipotesi induttiva, esistono r ≤ n − 1 e t1, . . . , tr ∈ k[y1, . . . , yn−1] algebricamente indipendenti su k, tali che k[t1, . . . , tr] ⊆ k[y1, . . . , yn−1] sia intera. Da cui l’estensione k[t1, . . . , tr] ⊆ A `e intera.
Corollario 7.0.3. L’anello dei polinomi k[x1, . . . , xn] ha dimensione n.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Per n = 0 sappiamo che dim k = 0.
Supponiamo il teorema vero fino a n − 1 e proviamolo per n. Osserviamo che la catena (0) ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ . . . ⊂ (x1, . . . , xn) ci permette di dire che dim k[x1, . . . , xn] ≥ n.
Sia adesso
(0) ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ . . . ⊂ Pm
una qualunque catena di primie proviamo che m ≤ n. Per il lemma di normalizzaizone di Noether abbiamo che esistono y1, . . . , yn algebricamente indipendenti su k tali che k[y1, . . . , yn] ⊆ k[x1, . . . , xn] `e intera e inoltre P1 ∩ k[y1, . . . , yn] = (yδ, yδ+1, . . . , yn) per qualche δ ≤ n, da cui anche l’estensione
k[y1, . . . , yδ−1] = k[y1, . . . , yn]
(yδ, yδ+1, . . . , yn) ⊆ k[x1, . . . , xn] P1
`
e intera. Dall’ipotesi induttiva dim k[y1, . . . , yδ−1] = dim k[x1, . . . , xn]/P1 = δ − 1, quindi la catena di primi
(0) ⊂ P2/P1 ⊂ P3/P1 ⊂ . . . ⊂ Pm/P1
in k[x1, . . . , xn]/P1 pu`o avere lunghezza al pi`u δ − 1, cio`e m ≤ δ ≤ n.
Corollario 7.0.4. Se A = k[x1, . . . , xn] `e un dominio allora dim A = tr degk(Q(A)).
Dimostrazione. Infatti per il lemma di normalizzazione di Noether esistono y1, . . . , yd∈ A algebricamente indipendenti su k tali che k[y1, . . . , yn] ⊆ A `e intera. Da cui passando al campo dei quozienti abbiamo
k ⊆ k(y1, . . . , yd) ⊆ Q(A)
dove la prima estensione `e puramente trascendente di grado d e la seconda `e un’estensione algebrica.
Capitolo 8
Teorema dell’ideale principale
Lemma 8.0.1. Sia A un dominio e y, u ∈ A\{0}, allora abbiamo il seguente isomorfismo di A-moduli
Per la seconda realazione, osserviamo che A/(u) ' (u)/(u2) tramite l’isomorfismo che manda x + (u) in ux + (u2). Adesso sia ϕ : A → (u2, y)/(u2, uy) con ϕ(x) = yx + (u2, uy).
ϕ `e un omomorfismo suriettivo. Inoltre ϕ(u) = uy + (u2, uy) = 0, pertanto (u) ⊆ ker ϕ.
Viceversa sia x ∈ ker ϕ, allora
yx = αu2+ βuy ∈ (u2, uy)
αu2 = y(x − βu) ⇒ α ∈ (y : u2) = (y : u)
⇒ αu = γy ⇒ αu2 = γuy yx = y(γ + β)u ⇒ x = (γ + β)u ∈ (u).
Dunque ker ϕ = (u), quindi (u)/(u2) ' A/(u) ' (u2, y)/(u2, uy).
Corollario 8.0.2. Sotto le stesse ipotesi del lemma precedente, se A/(u2) `e artiniano allora (u, y) = (u2, y).
Dimostrazione. Infatti se A/(u2) `e artiniano `e anche noetheriano, pertanto ogni suo sottomodulo ha lunghezza finita. Ne segue che
λ (u, y)
Teorema 8.0.3 (Teorema dell’ideale principale di Krull).
Sia A un anello noetheriano, x ∈ A non invertibile e P un ideale primo minimale di (x), allora ht(P ) ≤ 1.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due primi P1, P2 tali che P2 ⊂ P1 ⊂ P . Per ipotesi x /∈ P1, altrimenti P non sarebbe un primo minimale di (x). Quozientiamo con P2 e localizziamo in P/P2. Con abuso di notazione continuiamo a indicare con P l’ideale S−1(P/P2), con x l’elemento (x + P )/1, con P1 l’ideale S−1(P1/P ) e cos`ı via (dove S = (A/P2) \ (P/P2)). In questo modo l’anello che otteniamo `e locale con ideale massimale P e si ha (x) ⊂ P , (0) ⊂ P1 ⊂ P (ricordiamo che gli ideali primi di S−1(A/P2) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali primi Q di A tali che P2 ⊆ Q ⊆ P ). Sia y ∈ P1 \ {0}, abbiamo la seguente catena di moduli
(y : x) ⊆ (y : x2) ⊆ (y : x3) ⊆ . . .
dato che A `e noetheriano esiste n ∈ N tale che (y : xn) = (y : xn+1). Poniamo u = xn, allora (y : u) = (y : u2). Inoltre P `e l’unico ideale primo che contiene x, quindi l’unico che contiene u2, pertanto A/(u2) ha un solo ideale primo, dunque `e artiniano. Dal lemma precedente segue che (u, y) = (u2, y). In particolare
u = αu2 + βy u(1 − αu) = βy
u = (1 − αu)−1βy ∈ (y) ⊆ P1
(infatti u ∈ P quindi 1 − αu `e invertibile), ne segue x ∈ P1, assurdo.
Teorema 8.0.4 (Teorema dell’ideale principale generalizzato).
Sia A un anello noetheriano. Se I `e un ideale di A con n generatori I = (a1, a2, . . . , an), allora per ogni ideale primo P minimale di I si ha ht(P ) ≤ n.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n. Per n = 1 il teorema segue dal teorema dell’ideale principale. Supponiamo il teorema vero fino a n−1 e dimostriamolo per n. Per assurdo supponiamo che esista un ideale primo P1 ⊂ P tale che ht(P1) ≥ n. Supponiamo inoltre che non esistano ideali primi compresi tra P1 e P . Localizziamo in P . Per ipotesi risulta P1 ( I, quindi, a meno di riordinamento degli indici, supponiamo che a1 ∈ P/ 1 e consideriamo l’ideale (P1, a1) ⊆ P . P `e l’unico ideale primo che contiene (P1, a1), pertanto P = p(P1, a1). Dato che A `e noetheriano allora per 4.0.14 si ha Pk ⊆ (P1, a1) per qualche k ∈ N, da cui aki = bi + cia1 per ogni i ≥ 2, con bi ∈ P1, ci ∈ A. Sia J = (b2, . . . , bn), dall’ipotesi induttiva abbiamo che ht(J ) ≤ n − 2, quindi deve esistere un primo minimale Q di J tale che J ⊂ Q ⊂ P1. Per ogni i ≥ 2 si ha aki ∈ (Q, a1), quindi ogni ideale primo che contiene (Q, a1) contiene I, da cui P `e l’unico ideale primo che contiene (Q, a1). Adesso quozientiamo rispetto a Q, otteniamo che P/Q `e un primo minimale di (Q, a1)/Q = (a1), ma (0) ⊂ P1/Q ⊂ P/Q, cos`ı ht(P/Q) ≥ 2, contro il teorema dell’ideale principale, assurdo.
Dato che in un anello noetheriano ogni ideale ha un numero finito di generatori segue Corollario 8.0.5. In un anello noetheriano A ogni ideale ha altezza finita. Se A `e semilocale allora dim A `e finita. Se (A, m) `e locale e dim A = d allora m ha almeno d generatori.
Corollario 8.0.6. Se A `e un anello noetheriano e I = (a1, . . . , an) `e un suo ideale tale che ht(I) = n allora ogni suo primo minimale ha altezza n.
Dimostrazione. Dal teorema precedente ogni primo P minimale di I ha altezza al pi`u n, da cui n = ht(I) ≤ ht(P ) ≤ n.
Lemma 8.0.7. Sia A un anello noetheriano. Se P1, . . . , Pn sono i primi minimali di A e x ∈ A \ (P1 ∪ . . . ∪ Pn) allora ht(x) = 1.
Dimostrazione. Dal teorema dell’ideale principale abbiamo ht(x) ≤ 1. Inoltre se P `e un primo che contiene (x) allora Pi ⊂ P per qualche i ≤ n, da cui ht(x) ≥ 1.
Osserviamo che se P `e un ideale primo contenente un ideale I, P `e un primo minimale di I se e solo se htA/I(P/I) = 0.
Proposizione 8.0.8. Sia A un anello noetheriano e I = (a1, . . . , an) un suo ideale. Se P `e un dieale primo contente I tale che htA/I(P/I) ≤ k allora htA(P ) ≤ n + k.
Dimostrazione. Procediamo per induzione su k. Per k = 0 la tesi segue dal teorema del-l’ideale principale generalizzato. Supponiamo il teorema vero fino a k − 1, dimostriamolo per k > 0. P non `e un primo minimale di I, quindi detti P1, . . . , Pt i primi minimali di I abbiamo P * Pi, da 1.1.23 segue che P * P1 ∪ . . . ∪ Pt. Sia y ∈ P \ (P1 ∪ . . . ∪ Pt) e J = (I, y), per la scelta di y applicando il lemma precedente all’ideale J/I = (y) di A/I abbiamo che htA/I(J/I) = 1. Osservando infine che gli idaeli primi di A/J sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali primi di A/I che contengono J ne segue che
htA/J(P/J ) = htA/I(P/I) − htA/I(J/I) = htA/I(P/I) − 1 ≤ k − 1.
Dato che J ha n+1 generatori, dall’ipotesi induttiva htA(P ) ≤ k −1+(n+1) = n+k.
Corollario 8.0.9. Sia A un anello noetheriano. Se P `e un ideale primo di A tale che ht(P ) = l e x ∈ P allora
1. ht(P/(x)) ∈ {l, l − 1}.
2. Se x /∈ Q, per ogni Q primo minimale di A, allora ht(P/(x)) = l − 1.
Dimostrazione.
1. Dalla proposizione precedente abbiamo che l = htA(P ) ≤ htA/(x)(P ) + 1, cio`e risulta htA/(x)(P/(x)) ≥ l − 1. Inoltre htA/(x)(P/(x)) ≤ l poich´e i primi di A/(x) corrispondono ai primi di A contenenti (x).
2. Se x ∈ P non appartiene a nessun ideale primo minimale di A allora htA(x) = 1 (Lemma 8.0.7), da cui htA/(x)(P/(x)) = htA(P ) − htA(x) = l − 1.
Teorema 8.0.10. Sia A un anello noetheriano.
1. Se I `e un ideale di A tale che ht(I) = n ≥ 1 allora esistono a1, . . . , an ∈ I tali che ht(a1, . . . , ai) = i per ogni i ≤ n.
2. Se I `e primo posso scegliere a1, . . . , an in modo che I sia minimale su (a1, . . . , an).
Dimostrazione.
1. Siano P1, . . . , Pt gli ideali primi minimali di A. Per ipotesi e da 1.1.23 abbiamo che I * (P1∪ . . . ∪ Pt). Sia a1 ∈ I \ (P1∪ . . . ∪ Pt), risulta ht(a1) = 1. Adesso procedendo induttivamente supponiamo di aver gi`a scelto gli elementi a1, . . . , ai ∈ I tali che ht(a1, . . . , aj) = j per ogni j ≤ i. Siano Q1, . . . , Ql i primi minimali di (a1, . . . , ai), per il teorema dell’ideale principale generalizzato abbiamo che ht(Qh) ≤ i < n, quindi I * Qhper ogni h ≤ l, da cui I * (Q1∪. . .∪Ql). Sia ai+1∈ I \(Q1∪. . .∪Ql).
Adesso se P `e un primo minimale di (a1, . . . , ai+1) allora Qh ⊂ P per qualche h ≤ l, da cui ht(P ) ≥ i + 1, d’altra parte dal teorema dell’ideale principale generalizzato abbiamo ht(P ) ≤ i + 1, da cui ht(P ) = i + 1. Dunque ht(a1, . . . , ai+1) = i + 1.
2. Se I `e primo, dato che esso ha la stessa altezza di (a1, . . . , an) allora non pu`o esistere un primo P tale che (a1, . . . , an) ⊂ P ⊂ I, il che equivale a dire che I `e un primo minimale di (a1, . . . , an).
Corollario 8.0.11. Sia (A, m) un anello noetheriano locale tale che dim A = ht(m) = d.
Esistono a1, . . . , ad ∈ m tali che ht(a1, . . . , ad) = d.
Quindi (a1, . . . , ad) `e m-primario (il quoziente ha un solo ideale primo, quindi ogni divisore dello zero `e nilpotente). Inoltre dal teorema dell’ideal principale generalizzato si ha che ogni ideale m-primario non pu`o avere meno di d generatori.
Definizione 8.0.12. Sia (A, m) un anello noetheriano tale che dim A = d. L’insieme {a1, . . . , an} `e un sistema di parametri se (a1, . . . , an) `e m-primario.
Definizione 8.0.13. Sia (A, m) un anello noetheriano, si chiama dimensione d’im-mersione di A il numero
ν = dimA/m(m/m2).
Dal Corollario 2.1.4 abbiamo che la dimensione d’immersione `e la cardinalit`a di un qualsiasi insieme minimale di generatori di m. Dunque in generale ν ≥ ht(m) = dim A.
Definizione 8.0.14. Se (A, m) `e un anello noetheriano locale tale che ν = dim A allora A `e detto locale regolare.
Capitolo 9
Teorema di Cayley-Hamilton*
Sia V un k-spazio vettoriale di dimensione finita dim(V ) = n, indichiamo con End(V ) = Homk(V, V ).
(End(V ), +, ◦) `e un anello. Osserviamo che ogni elemento di k pu`o essere visto come elemento di End(V ), cio`e
ϕ : k → End(V ) (ϕ(a))(v) = av ∀v ∈ V
`
e un omomorfismo iniettivo di anelli.
Inoltre, fissata una base A = {x1, x2, . . . , xn} di V e f ∈ End(V ) si ha
f (x1) = a11x1 + a12x2+ . . . + a1nxn f (x2) = a21x1 + a22x2+ . . . + a2nxn ...
f (xn) = an1x1+ an2x2+ . . . + annxn
in questo modo l’applicazione ψ : End(V ) → kn,n che manda f ∈ End(V ) in A = (aij) ∈ kn,n `e un isomorfismo di anelli.
Per ogni f ∈ End(V ) posto A = ψ(f ) si definisce polinomio caratteristico di f (o di A) il polinomio dato da
p(x) = det(A − xI) ∈ k[x] ⊆ End(V )[x].
Inoltre data una matrice F = (fij) ∈ End(V )n,ne un vettore x∈ Vnpossiamo considerare il prodotto
∗ : End(V ) × Vn → Vn F ∗ x =
n
X
j=1
fij(xj)
! .
∗ `e un’azione del gruppo moltiplicativo (End(V )n,n, ·) su Vn. Ponendo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Vn, possiamo vedere ogni endomorfismo f ∈ End(V ) come matrice di End(V )n.n, preci-samente associando a f la matrice f I, quindi
f I ∗ x = (f (xi) : i = 1, . . . , n).
Teorema 9.0.1 (Cayley-Hamilton). Ogni endomorfismo di V si annulla nel suo polino-mio caratteristico.
Dimostrazione. Sia f ∈ End(V ), poniamo ψ(f ) = A = (aij) ∈ kn,n ⊆ End(V )n,n. Adesso abbiamo
f I ∗ x = A ∗ x ⇒ (f I − A) ∗ x = 0
moltiplicando per la matrice aggiunta A#di (f I −A) = B (cio`e la trasposta della matrice dei cofattori) ad ambo i membri otteniamo
A#(B ∗ x) = (A#B) ∗ x = (det B)I ∗ x = 0
quindi det(If − A)(xi) = 0 ∀i = 1, . . . , n, cio`e p(f ) = det(f I − A) = 0End(V ).