12. mm 120000 mm
12.0 mm 1.2 105 mm
12.00 mm 12 104 mm
12.000 mm 120 103 mm
indica un valore non noto ma non per questo nullo
Attenzione:
Quando viene fatto un conto, utilizzando un calcolatore, NON bisogna mai copiare senza riflettere sul risultato:
Esempio:
Pesiamo insieme tre masse uguali e otteniamo 4.0 grammi. Vogliamo sapere quanto pesa una massa. Effettuando la divisione 4:3 con la calcolatrice si ottiene 1.333333.
E’ un grave errore copiare senza riflettere il risultato di 1.333333 grammi, un lettore sarà autorizzato ad assumere che la precisione della vostra misura è del milionesimo di
grammo, cosa non vera.
Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza presente, tuttavia non è una rappresentazione soddisfacente della incertezza di una misura
Attenzione:
Quando viene fatto un conto, utilizzando delle costanti (come ad esempio p, bisogna sempre usare un numero ‘sufficiente’ di decimali.
Esempio:
Misuriamo il diametro di un tavolo e vogliamo calcolare la sua superficie. Il tavolo ha un diametro di 123 .31 cm, la sensibilità della misura è pari a 0.30 cm.
L’uso di un numero troppo basso di decimali nell’uso di costanti note, puo’ distruggere la precisione della misura.
Quando usate delle costanti nei vostri conti usate quanti piu decimali possibile.
Vedremo in seguito come si puo’ estrarre l’errore e l’incertezza di una misura e quindi scegliere il numero di decimali corretto (s , sm)
Il risultato di una qualsiasi misura di una osservabile fisica si scrive come:
Valore dell’osservabile = xbest ± s (unità di misura)
Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 Kg Nota: Non ha senso scrivere
X = 12.345689 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.137845
X = 12.345689 ± 0.190865
Attenzione ai decimali ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato, le misure precedenti si scriveranno come:
X = 12.3 ± 0.1 X = 12.3 ± 0.1 X = 12.35 ± 0.19
L’ultima cifra significativa, in qualunque risultato, dovrebbe di solito essere dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’incertezza.
L’incertezza è stata indicata con s poichè successivamene sarà chiamata deviazione standard
123.456789 ± 0.17 11123.456789 ± 345.17 123.456789 ± 0.17908 123.456789 ± 1.17 123.456789 ± 1.1 123.456789 ± 1 123.456789 ± 0.00017 123.456789 ± 0.0017 123.456789 ± 0.017 123.456789 ± 0.170 123.46 ± 0.17 1.112 ± 0.035 104 123.46 ± 0.18 123.5 ± 1.2 123.5 ± 1.1 123 ± 1 123.45679 ± 0.00017 123.4568 ± 0.0017 123.457 ± 0.017 123.46 ± 0.17 Esercizio:
Cifre Significative:
Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.
Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)
Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra. 2.30 104 3 cifre significative
0.23 104 2 cifre significative 0.02 104 1 cifre significative 2.301 104 4 cifre significative
• Quando si moltiplicano o si dividono due numeri il risultato non può avere più cifre significative del fattore meno preciso
• Nelle addizioni e sottrazioni l’ultima cifra significativa del risultato occupa la stessa posizione relativa dell’ultima cifra significativa degli addendi.
Non e’ quindi importante il numero di cifre significative ma la loro posizione decimale
Esempio: a = 187.3 4 cifre significative b = 1234.584 7 cifre significative a+b = 1421.884 1421.9 5 cifre significative
ATTENZIONE
Le regole sul calcolo delle cifre significative ora viste valgono solo quanto si sommano, sottraggono, moltiplicano o dividono due numeri. Non valgono nel caso di altre operazioni:
Esempio: Sen (85°) = 0.996194698
Se dicessi: 85° ha 2 cifre significative: allora
Sen(85°) = 0.99 ma Arsen (0.99) = 81.9 °
Arsen (0.9961) = 84.9 °
Per riottenere l’angolo di partenza devo utilizzare 4 cifre significative
Il medesimo ragionamento vale per tutte le funzioni trigonometriche, per i logaritmi, per gli esponenziali ...
NOTA
La regola delle cifre significativa è una rozza approssimazione (limitata alle quattro operazioni fondamentali) di come è possibile valutare un errore e propagarlo nelle operazioni matematiche
Nel corso vi verrà spiegata una metodologia piu accurata e rigorosa che DEVE essere sempre usata
Le regole con le cifre significative è utilissima per una stima veloce, senza l’uso di matematica sofisticata, di quale possa essere l’incertezza di una misura o di come si propaga
Esercizi:
Esercizi:
Esercizio:
Uno studente misura l’accelerazione di gravità, g, cinque volte con i seguenti risultati
Trovare il valor medio e la deviazione standard 9.90 m/s2 9.60 m/s2 9.50 m/s2 9.70 m/s2 9.80 m/s2
L’esercizio è molto semplice, i conti anche. L’importante è non sbagliare a digitare i numeri sulla calcolatrice o fare un errore grossolano nei conti.
Un buon metodo è usare questa tabella, è leggermente più lungo da fare, ma minimizza gli errori e se presenti permette di identificarli facilmente.
Notate il fatto che la somma degli scarti è zero e il numero di decimali con cui sono stati espressi valor medio e deviazione standard.
Esercizio:
Calcolare la media e la deviazione standard delle seguenti 30 misure (valori in secondi)
Trovare la percentuale di misure comprese in una deviazione standard dal valor medio, in due e in tre deviazioni standard
8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24 8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10 8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13
Esercizio:
Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 30 intervalli temporali (in secondi)
Fare l’istogramma dei seguenti dati ed estrarre il valor medio e la deviazione standard usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e la mediana.
Fare poi la Curva di Probabilità
8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24 8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10 8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13
Moda = 8.18 s Mediana = 8.16 s
Nell’istogramma l’area di ciascuna barra deve corrispondere al
numero di misure presenti in quel determinato intervallo.
Spesso però sull’asse delle ordinate dell’istogramma si mette solo il
numero di misure presenti nella classe Attenzione se devo unire delle classi
Per far questo sull’asse delle ordinate devo rappresentare un rettangolo con la base pari alle classi che ho sommato e l’altezza pari alla media dei conteggi presenti.
Perche il valor medio e la deviazione standard sono differenti rispetto a quelli Estratti con le formule classiche ?
Media = 8.149 Media = 8.151
Sigma = 0.039 Sigma = 0.041 La differenza è significativa ?
Esercizi
Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 3 dataset di 20 misure ciascuno. Fare l’istogramma e la curva di probabilità dei dati ed estrarre il valor medio e la
deviazione standard usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e la mediana 6 5 3 6 9 3 4 2 1 4 9 1 5 3 10 8 6 4 3 4 5 9 2 2 4 10 5 5 3 9 6 7 7 7 4 3 5 4 3 1 2 0 7 8 4 4 5 5 5 5 1 2 2 6 7 7 5 2 4 10 1 2 3