Avvertenza Iniziale

Avvertenza Iniziale

1. Questi appunti potrebbero contenere errori, per favore se trovate affermazioni, formule o conti errati avvisate il docente.

2. Questi appunti NON sostituiscono il libro di testo, che deve essere studiato.

3. L’ordine degli argomenti discussi in questi appunti spesso è differente da quello seguito dal libro di testo.

4. Non limitatevi a fare solo gli esercizi consigliati e proposti in questi appunti, fatene anche altri. Prendete spunto dalle esperienze che farete e dai temi di esame che trovate sul sito web del corso.

5. L’impostazione di questa prima parte di lezione è empirica, non saranno date dimostrazioni. Nella seconda parte del corso molti argomenti saranno svolti con un approccio più formale e rigoroso.

6. La complessità e la densità degli argomenti trattati a lezione crescerà con il progredire del corso

Il corso consisterà nella 1 e 2 parte (capitoli 1-12) del libro di testo. Alcuni concetti o

approfondimenti sono stati presi da altri libri di testo.

Misura:

“Insieme di operazioni sperimentali e/o numeriche che assegnano un numero ad una osservabile fisica attraverso confronto di questa con un'altra grandezza a lei omogenea detta unità di misura “

Si definisce grandezza fisica di un sistema fisico una sua caratteristica (i.e. lunghezza, massa, velocità) sulla quale possa essere eseguita una operazione di misura mediante una definita procedura sperimentale .

La grandezza fisica implica anche una definizione operativa che descrive la procedura sperimentale necessaria per ottenere il valore numerico della misura della grandezza stessa (il profumo non è una grandezza fisica a meno di non avere una accurata definizione operativa sulla procedura sperimentale per la sua misura).

L’operazione di misura non deve (per quanto possibile) perturbare il sistema fisico e deve dare un valore (entro una incertezza che deve essere accuratamente valutata) riproducibile e indipendente dallo sperimentatore.

 Se uno di voi effettua la misura della lunghezza della cattedra con un metro a nastro, deve dare un valore numerico e una incertezza tale per cui chiunque altro di voi che effettui la stessa misura ottenga un valore ‘uguale’ (diremo in seguito

‘compatibile’)

Esempio:

Definisco la lunghezza del tavolo come:

1) Si appronta un’asta sulla quale siano tracciate due tacche la cui distanza è assunta, arbitrariamente, come unità di lunghezza.

2) Si mette a confronto la lunghezza del tavolo con il campione di unità di lunghezza rilevando quante volte la dimensione del tavolo è più grande (o più piccola) del campione.

3) Il numero cosi dedotto rappresenta la misura della grandezza “lunghezza” del tavolo

- ricordate la necessità di avere una misura riproducibile e indipendente dall’osservatore 3a) se si vuole eseguire una misura più precisa è possibile suddividere la distanza tra le

tacche in sottomultipli.

Il risultato di questa operazione è un numero con tante cifre significative (a breve discuteremo la definizione in dettaglio) quanti sono i sottomultipli (decimi, centesimi e millesimi) dell’unità di misura riportati sullo strumento usato (in questo caso l’asta).

Il numero dovrà essere sempre seguito dal simbolo dell’unità di misura adottata.

Tutte le grandezze che possono essere misurate con la medesima procedura (descritta dalla definizione operativa) sono dette grandezze fisiche omogenee.

Operazione di Misura:

1) Sia stata definita una unità di misura (con eventuali multipli o sottomultipli)

2) Ad ogni misura della grandezza fisica possa essere attribuito un valore numerico 3) Tra due grandezze omogenee sia possibile stabilire quale è la maggiore o la minore 4) Tra grandezze omogenee possa essere eseguita l’operazione di somma o differenza Nota: Ricordatevi che è necessario avere una definizione operativa della grandezza fisica Nota:

• Supponete di misurare un tavolo con un metro a nastro con tacche da 1 mm.

• Supponete che il risultato della misura sia L = 2.452 ± 0.001 m.

• Questo significa che avete stimato che la lunghezza del tavolo sia compresa tra i valori di 2.451 e 2.453 m e che chiunque altro facesse la stessa misura otterrebbe lo stesso risultato.

• Non ha senso fornire ulteriori cifre significative poiché inferiori all’incertezza.

La valutazione corretta dell’incertezza ed il significato statistico da dare all’incertezza stessa è l’obiettivo di questo corso

Nota:

A volte può capitare che non venga riportata una incertezza, in questo caso è convenzione che essa sia una unità o mezza unità dell’ultima cifra significativa

MISURE DIRETTE

La misura di una grandezza fisica è diretta se può essere eseguita per confronto con l’unità di misura. L’esempio nel lucido precedente tratta di una misura diretta.

MISURE INDIRETTE

Talvolta non e’ possibile misurare direttamente una grandezza fisica ( Velocità, Pressione, Forza….) ma e’ possibile misurare direttamente grandezze ad esso collegate mediante una formula definita ( v= Dl/Dt).

In questo caso l’operazione di misura e’ un’operazione algebrica:

si sostituisce nella formula alle grandezze fondamentali la loro misura e si calcola il numero reale che costituisce una misura indiretta della grandezza fisica in osservazione detta anche grandezza derivata.

L’unità di misura della grandezza derivata si ottiene allo stesso modo della misura diretta sostituendo, nella formula, alle grandezze fondamentali le rispettive unita’ di misura e definendo cosi’, algebricamente, l’unita’ di misura della grandezza derivata.

Grandezze Derivate

Fissato un determinato sistema di unità di misura e quindi delle grandezze che diremo fondamentali (ad esempio il sistema MKS o SI, vedi dopo) allora è possibile definire le grandezze derivate.

Nota che la scelta delle grandezze fondamentali è arbitrario e per convenzione si segue la scelta fatta dalla metrologia per la meccanica (lunghezza, tempo, massa)

Esempio:

Velocità = DL / DT [v] = [L][t^-1]

Nella relazione algebrica che definisce la grandezza fisica in esame si pongono, per

convenzione, i simboli delle grandezze fondamentali, misurate direttamente, tra parentesi quadra [ ] e si ignorano eventuali coefficienti numerici.

La relazione cosi ottenuta si chiama equazione dimensionale

Più in generale, nel sistema MKS (dove la misura di lunghezza, massa e tempo sono le grandezze fondamentali) una grandezza fisica derivata può essere espressa come :

[G] = [L

][M

][t

]

Grandezze adimensionali e numeri puri

E’ possibile che una grandezza derivata risulti non avere unità di misura. Queste grandezze sono in generale definite come rapporti tra grandezze omogenee (i.e. la densità relativa) .

Questo tipo di grandezze sono dette grandezze adimensionali o numeri puri.

Nota:

• Il p è un numero puro in quanto definito come il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza ed il raggio del cerchio.

• Alcune grandezze fisiche possono essere adimensionali solo in certi sistemi di unità di misura.

• Ad esempio la costante di accoppiamento della forza elettrostatica nel sistema CGS è un numero puro, nel sistema SI assume che abbia le dimensioni di [F][Q^-2]L²}

• Le funzioni sen(a),cos(a), tg(a), e^a, senh(a), … ed i loro argomenti sono , per definizione, numeri puri.

• Il seno o la tangente sono un rapporto di lunghezze  devono essere numeri puri.

• Se sviluppo in serie una esponenziale ottengo una serie di potenze  l’esponenziale ed il suo argomento devono essere numeri puri.

    ^...

6 1 2

1   1





 t t t

e

  

Angoli

Gli angoli misurati in gradi non sono un numero puro e non devono essere usati

Gli angoli misurati in radianti sono numeri puri, infatti sono definiti come il rapporto tra due lunghezze. In questo corso e in generale sono da usare solamente gli angoli misurati in

radianti

nza circonfere

della raggio

r

angolo dall'

sotteso nza

circonfere di

arco dell'

lunghezza /





 l

r

 l

Sistemi di unità di misura

Misura ed errori:

• A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, sicuramente si dovrà avere una idea del suo ordine di grandezza o si avrà una stima ‘teorica’ dell’osservabile.

• Il valore vero di una grandezza non potrà mai essere conosciuto (in fisica classica) e quindi anche il valore dell’errore non potrà essere noto.

• L’incertezza di una misura, che possiamo chiamare “s”, può essere considerata una buona stima dell’errore (in generale è una sovrastima).

• Se la misura è fatta correttamente, il valore vero deve della grandezza fisica deve essere con altissima probabilità nell’intervallo x_mis-s < x_vero < x_mis+s

• D’ora in avanti i termini incertezza ed errore (anche se in italiano con significati differenti) saranno considerati sinonimi

• Nessuna misura, per quanto fatta con cura, può essere completamente libera da incertezze o errori.

• E’ di importanza fondamentale essere capaci di calcolare/estrarre/ricavare queste incertezze e di pianificare un esperimento in grado di ridurle al minimo.

• Ogni qualvolta si effettua una misura è quindi necessario/obbligatorio fornire un errore o una incertezza.

• Errore non vuol dire uno sbaglio o un comportamento/procedura non corretta

• Gli errori non si possono eliminare

• Il concetto di errore è insito nel concetto di misura

Esempio:

Massa = (0.23 ± 0.01) 10

kg

Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili).

Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA.

E’ una notazione compatta che esprime il risultato della misura, cioè

Vedremo successivamente quale è il significato in termini probabilistici di una tale notazione

kg Massa

kg

5

0 . 24 10

10 22

.

0 

  

In altre parole:

L’incertezza o errore deve avere la stessa precisione della misura (ne minore ne maggiore) a cui è associata. In generale dovrà avere uno o (meglio) due cifre significative. Le altre cifre si tagliano arrotondando

X = 12.345689 ± 0.190865  X = 12.35 ± 0.19 E’ necessario definire cosa sono le cifre significative

Cifre Significative:

Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.

Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)

Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.

2.30 10⁴  3 cifre significative 0.23 10⁴  2 cifre significative 0.02 10⁴  1 cifre significative 2.301 10⁴  4 cifre significative

Inevitabilità dell’incertezza

Immaginiamo di misurare la larghezza dell’aula:

• Contiamo le piastrelle, sapendo le dimensioni delle piastrelle, otteniamo una misura della larghezza dell’aula

• Sorgenti di errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. Le distanza tra le piastrelle non sarà sempre la stessa

2. Le piastrelle non saranno sempre di dimensioni esattamente uguali 3. L’ultima piastrella sarà certamente tagliata

• Errore: probabilmente qualche centimetro

• una certa frazione delle dimensioni della piastrella

• Usiamo un metro a nastro

• Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. la sensibilità del metro (legata alla minima suddivisione apprezzabile sullo strumento) 2. Il metro a nastro è steso perpendicolarmente alle pareti ?

• Errore: probabilmente qualche millimetro

• una certa percentuale della sensibilità strumentale

• Usiamo un sistema laser

• Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):

1. La rugosità delle pareti fa cambiare la larghezza dell’aula

• Errore: al massimo un mm

Altre sorgenti di errore:

• Anche se fossero risolti tutti i precedenti problemi la larghezza potrebbe dipende dalle condizioni di temperatura, umidità, …

 Errore casuale (fenomeni fuori dal controllo dello sperimentatore)

Se le pareti della stanza non fossero parallele tra loro o perpendicolari al pavimento ? - ondulate

- inclinate

 Errore sistematico (errato procedimento di misura)

Errore Casuale

In fisica classica nessuna quantità può essere misurata con una infinita precisione.

Indipendentemente dallo strumento che usiamo per effettuare la misura di una osservabile fisica, esistono sempre una vasta gamma di fenomeni (detti fenomeni casuali perche al di fuori del controllo dello sperimentatore) che ne possono modificare il valore.

L’errore casuale determina una distribuzione delle misure attorno al valore ‘vero’ della grandezza fisica. Si vedrà che, aumentando il numero di misure, si riduce l’incertezza nella determinazione del valore vero.

La presenza di un errore casuale, una volta sicuri che il protocollo di misura sia corretto, è indice del fatto che si stanno usando degli strumenti di sensibilità appropriata.

Se si adoperasse uno strumento di scarsa sensibilità i valori numerici delle misure ripetute sarebbero tutti coincidenti. Questo non è indice di assenza di errore ma del fatto che la precisione della misura non è sufficiente a misurare la grandezza fisica e che quindi lo strumento usato è probabilmente inadeguato per tale misura. In questo caso tuttavia si prende come incertezza l’ultima cifra del display dello strumento.

Esiste un altro tipo di errore, molto piu difficile da riconoscere e da correggere, esso è definito come Errore Sistematico.

E’ difficile dare una definizione generale di “errore sistematico”.

In generale, questo deriva da uno strumento difettoso o mal calibrato, oppure da un’ipotesi errata, o da un’approssimazione eccessiva nel nostro modello di lavoro.

La sua caratteristica principale è quella di influenzare tutte le misure allo stesso modo (per esempio sempre in eccesso, o sempre in difetto, ma non `e detto che si sappia in che

verso).

Al contrario degli errori casuali, gli errori sistematici non si riducono aumentando il numero di misure.

In presenza di errori sistematici non è possibile misurare il valore ‘vero’ di una osservabile indipendentemente dal numero di misure effettuate.

La presenza di errori sistematici (non corretti) sostanzialmente invalida la teoria statistica che presenteremo a lezione. E’ quindi necessario identificare/stimare la presenza di errori sistematici e correggere di conseguenza il valore misurato.

Esempio:

1. Supponiamo di dover pesare un determinato corpo, ma di avere una bilancia mal calibrata, in cui cioè il risultato è sempre il 10% maggiore di quello reale.

• Se non pesiamo il corpo con una strumentazione differente non saremo mai in grado di riconoscere questo tipo di errore nella misura

• Se ricalibriamo lo strumento potremmo correggere anche le misure già effettuate

2. Supponiamo di dover confrontare la velocità del suono nota dalla pressione e temperatura dell’aria v=(g p_o/r_o) ^0.5 con quella ottenuta con la misura delle frequenze delle onde stazionarie in un tubo di Kundt (v=ln.

• Per estrarre questo valore leggerò la pressione e la temperatura da un sensore.

• Tuttavia l’aria all’interno del mio strumento non necessariamente ha la stessa

temperatura presente in prossimità del sensore e sicuramente il valore della temperatura nel tubo e nel laboratorio non rimarrà costante nel tempo (come potrà cambiare la pressione atmosferica).

• La velocità cosi estratta sarà sempre leggermente differente da quella reale poichè la temperatura/pressione usata nelle formule non è quella misurata all’interno del tubo

3. Eccessiva semplificazione del modello adottato: una molla ad esempio è supposta lineare su un ampio intervallo di allungamenti, ma in realtà lo è sicuramente solo sull’intervallo nel quale si è misurata k; se per esempio, per pesi elevati la molla subisce allungamenti minori di quelli previsti dalla legge di Hooke, le misure di peso vengono sistematicamente sottostimate.

Esempio:

4. Si misura g attraverso la misura del periodo del pendolo T, si fa oscillare il pendolo con un angolo massimo di 30◦ e si calcola g con la formula T² = 2π (ℓ/g), valida solo per “piccole

oscillazioni”; l’approssimazione è eccessiva, perché l’angolo di oscillazione scelto può essere grande e quindi la formula non corretta

5. La misura è affetta da condizioni sperimentali sfavorevoli. Per esempio, vogliamo misurare

l’allungamento di una molla mediante una scala graduata in millimetri, che per motivi di montaggio dell’esperimento si trova ad una certa distanza dalla molla stessa.

In tal caso, come mostrato l’incertezza della lettura è affetta dalla posizione dell’occhio, cosicché l’errore di misura `e ben più di 1 mm (distanza fra le tacche). Essa andrà quindi valutata dallo sperimentatore

Morale:

L'errore sistematico e` per sua natura molto difficile da individuare, perché ha cause in linea di principio ignote:

• lo strumento e` calibrato bene?

• il nostro modello descrive bene la realtà?

• es: le pareti sono davvero lisce, parallele etc.

Quand'anche si riescano a considerare tutte le possibili fonti di incertezza, la valutazione quantitativa del loro impatto spesso implica una qualche discrezionalità dello sperimentatore - anche per questo non possiamo attribuirgli un significato di deviazione standard o di intervallo di confidenza.

Spesso aiuta ripetere la stessa misura con due tecniche sperimentali completamente diverse ed indipendenti, per esempio misurare la k della molla con un metodo statico (allungamenti) e uno dinamico (periodi):

la presenza di discrepanze significative suggerisce che ci siano degli effetti sistematici non valutati

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± s_casuale ± ssistematico (unità di misura) g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s²

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata)

Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Casuale

In presenza di un errore sistematico accertato

Valore dell’osservabile = xbest ± s_casuale ± ssistematico (unità di misura) g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s²

Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se presente e quantificata)

Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una azione di somma tra gli errori. Infatti:

Errore Sistematico

Errore Casual

Cosa fare in presenza sia di errore sistematico che di casuale ?

- Se l’errore sistematico è maggiore dell’errore casuale è assolutamente inutile fare più

misure, infatti l’incertezza nella misura è caratterizzata dall’errore sistematico che non si riduce con il numero di misure

- Se devo confrontare una misura sperimentale (con errore sistematico e casuale) con una previsione teorica o con una altra misura allora sarebbe possibile sommare in

quadratura i due errori (deviazioni standard o della media) anche se il risultato non ha le proprietà statistiche della deviazione standard o di quelle della media

(che saranno definite nelle prossime lezioni)

- Non è vero ad esempio che esiste il 68% di probabilità che la misura vera sia entro una deviazioni standard o della media

- invece che un punto e una barra di errore è meglio mettere semplicemente una barra

L’errore sistematico e l’errore casuale sono legati dal concetto di accuratezza e precisione:

Accuratezza:

• Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore reale della quantità misurata

Precisione:

• Stima della ripetibilità della misura indipendentemente dal fatto che la misura sia accurata

Una misura molto accurata sarà senza errore sistematico. Una misura molto precisa potrà essere affetta anche da un grande errore sistematico

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Bassa Accuratezza Alta Precisione (errore piccolo,

valor medio lontano dal valore

vero, errore sistematico)

Alta Accuratezza Alta Precisione Alta Accuratezza

Bassa Precisione (errore grande) Bassa Accuratezza

Bassa Precisione

In questa serie di figure è molto semplice identificare l’errore casuale e quello sistematico, questo perché sappiamo a priori il valore ‘vero’ dell’osservabile, cioè il centro della figura.

Cosa succede quando (in quasi tutte le situazioni reali) non è noto il valore vero dell’osservabile da misurare ?

Esiste un terzo tipo di errore, è chiamato Errore grossolano

Come si può dedurre dal nome è un errore unicamente dovuto allo sperimentatore e facilmente riconoscibile ripetendo i conti e/o una misura. Esso puo essere generato da:

• Una lettura non corretta dello strumento

• Una sbagliata unità di misura

• Una non corretta procedura di misura

• ………….

Ovviamente in queste lezioni considereremo sempre assenti gli errori grossolani

E’ tutto Chiaro ?

• Definizione di misura

• Unità di misura (MKS, SI, angoli, numeri puri)

• Definizione operativa

• Riproducibilità e indipendenza della misura

• Cifre Significative

• Misure dirette e misure indirette

• Errore  Incertezza

• Tipologia di errore e sua origine

• Errore Casuale, Sistematico, Grossolano

• Rappresentazione dell’errore sistematico.

Fino ad ora, tuttavia, sono stati dati concetti generali .

Bisogna ora trovare il metodo per estrarre il valore ‘vero’ di una grandezza fisica (o

quantomeno qualcosa che si avvicini il più possibile a questo valore) e soprattutto

trovare il valore dell’incertezza della misura stessa.

Misure Ripetute ed Indipendenti

Una delle metodologie più semplici per valutare l’affidabilità di una misura consiste nel ripeterla diverse volte, nelle medesime condizioni, ed esaminare i diversi valori ottenuti.

Ovviamente, una volta stimato in qualche modo l’errore, mi aspetto di ottenere misure sempre diverse numericamente ma ‘identiche’ entro l’incertezza della misura stessa.

Esempio:

Se la prima misura ha dato come risultato L = 1.234 m con incertezza 0.001 m mi aspetto che la grande maggioranza delle misure cada nell’intervallo 1.233-1.235 .

Perché solo la grande maggioranza e non tutte ?

Perché al momento non so stimare la probabilità che una misura di una grandezza fisica cada al di fuori della incertezza (saranno i concetti di deviazione standard in una gaussiana o di limite di confidenza per le altre distribuzioni statistiche a darmi questo valore)

• Dalla dispersione delle misure è possibile però avere un’idea dell’entità dell’errore casuale.

• Non si avrà tuttavia pero’ alcuna informazione sulla presenza o meno di errore sistematico.

Attenzione:

E’ necessario essere assolutamente sicuri che la grandezza da misurare sia esattamente la medesima (questo significa misure ripetute nelle stesse condizioni) ogni volta che si effettua la misura. Inoltre il risultato di una misura non deve influenzare la misura successiva (questo significa Indipendenti):

• Possono cambiare le condizioni al contorno (lo vedremo con il pendolo)

• Il sistema può evolvere

• Se pesiamo un bicchiere d’acqua in ebollizione ogni misura sarà differente (minore) della precedente poichè un po’ di acqua sarà evaporata.

Le misure non sono indipendenti.

In questa prima parte supporremo vere le seguenti ipotesi

Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità) Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici

Date N misure di una data osservabile fisica (x

, x

, ... x

) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare potrebbe essere data dalla media aritmetica delle singole misure:

N x N

x x

x x x

x

N

i

i N

best



 



 





...

N x

N

i

i N





 lim



Media Campionaria

Media della popolazione

Notate la notazione differente ( e x_best o <x>)

In seguito, una volta definite le distribuzioni e sotto opportune ipotesi (ecco il perche del condizionale nella definizione), sarà possibile dimostrare queste affermazioni in maniera più rigorosa.

Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto

• Eseguo 21 misure della stessa quantità.

• Ottengo 21 numeri differenti.

• Media = 0.904 mg

• Max = 2.01 mg

• Min = 0.60 mg

Posso costruire un grafico che ha come ascissa il valore della misura (in intervalli) e sull’ordinata la frequenza assoluta o il numero di volte in cui ho ottenuto tale misura.

Esempio

Per costruire un istogramma bisogna:

1. Trovare la misura con valore massimo x_max e la misura con valore minimo x_min e l’intervallo D tra questi due valori detto ‘range’ della distribuzione

• Nel nostro caso: x_max = 2.01 mg, x_min = 0.6 g  D = 1.41 mg

2. Dividere l’intervallo D in un numero conveniente di sottointervalli (classi) di ampiezza d

• Nella maggioranza delle classi dovrebbero cadere almeno 3-5 misure

• Non necessariamente tutte le classi devono avere la stessa ampiezza d anche se sarebbe meglio che lo fosse

• Per evitare che una misura coincida con il confine tra due classi esprimente i

confini della classe con una cifra significative in più rispetto a quello delle misure

• Non tutte queste condizioni potrebbero essere soddisfatte contemporaneamente

• A volte ci sono troppo poche misure per fare un istogramma

• Nel caso d = 0.5 mg - vedi plot successivo

• Nel caso d = 0.025 mg - vedi plot tra due pagine

3. Costruire una Tabella/Grafico con il numero di misure che cadono in ciascun sottointervallo

Classe troppo larga (0.5 mg) Classe troppo stretta (0.025 mg)

Notate la notazione con cui scrivo l’asse delle Y in cui si scrive esplicitamente la classe usata Con un passo troppo largo quasi tutte le misure cadranno in uno o due intervalli, con un Passo troppo stretto ogni intervallo conterrà al più una sola misura

Esempio di istogramma

Esempio di istogramma

Esempio di istogramma Esempio di plot di dati

Notare che l’unità di misura

è sull’asse delle Y Notare che l’unità di misura

è sull’asse delle X

I due plot rappresentano la stessa cosa ma sono totalmente diversi e hanno un significato totalmente differente

Attenzione

Misure Sperimentali

Media

N

x x

x x

x

 



 ... 

Media = 0.90381 g  0.904 mg

Attenzione

E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g)

Ogni Classe ha una unità di misura















i

i M

i

i i best

n n x x

x

1 1

Media

Media = 0.903571 g  0.904 mg M = Numero Classi

N = numero di misure  S n_i = N

Attenzione

Misure Sperimentali Distribuzione Associata

Media

Mediana

delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori. Esistono definizioni più accurate di mediana. Noi useremo quella che usa la ‘classe’ dell’istogramma per calcolare la mediana è utile calcolare la somma percentuale degli eventi

N

x x

x x

x

  





...

tot k

i i

k N

n S



 ¹

% _ni è il numero di conteggi in una classe

La media corrisponderebbe al 50% ma quasi sempre non si trova un valore S_k% = 50%. In questo caso se d è il passo dell’istogramma devo:

1) Prendere la classe con Sk% più vicina al 50%. Sia x_k la ascissa della classe (in questo caso x_k = 0.9 e d = 0.05)

913 . 0 0632 .

0 85 . 0 1 . 0 38* 57

38 05 50

. 0 8 . 0

%*

%

%

% 50

2 ₁

1 1





 

 







 







 

Mediana

S d S

S x d

Mediana

k k

k k

Media

Mediana

delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori.

Moda

Media = 0.90 g Mediana = 0.913 g Moda = 0.65 g

N

x x

x x

x

  





...

Peso [mg]

Possono essere estimatori del valore vero migliori della media aritmetica ?

E’ tutto Chiaro ?

• Misure Ripetute ed Indipendenti

• Valore medio campionario o di popolazione

• Istogrammi

• Valore medio da un istogramma

• Moda e Mediana

Fino ad ora, tuttavia, non è stato dato alcun criterio per definire l’incertezza.

Bisogna ora trovare il metodo per estrarre l’incertezza dai dati sperimentali in

maniera che le misure siano ripetibili da chiunque faccia la medesima misura.

Stima dell’incertezza casuale

Immaginate tre casi generali:

1) Si usa uno strumento inadatto, cioè uno strumento con una sensibilità bassa rispetto all’errore casuale

E’ inutile fare tante misure (darebbero tutte lo stesso risultato) Si ha un errore di sensibilità pari alla sensibilità dello strumento

definito come la più piccola frazione di unità misura che lo strumento è in grado di misurare (un righello ad esempio avrà una sensibilità

compresa tra 0.5 e 0.25 mm)

Stima dell’incertezza casuale

2) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona rispetto a quella richiesta dalla misura ma è possibile fare solo poche misure

- La statistica fornisce strumenti per dare una stima dell’incertezza (ad esempio la ‘t di student’)

- Una sovrastima grossolana per l’incertezza è quella di usare la semidispersione massima definita come la meta tra la differenza tra il valore massimo e minimo della misura

2

min

max

X

x X 



D

Stima dell’incertezza casuale

3) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona rispetto a quella richiesta dalla misura ed è possibile fare un buon numero di misure (N> 10-30)

- la semidispersione massima non può essere usata come stima dell’incertezza poiché è una sua sovrastima.

- E’ necessario trovare una osservabile in grado di quantificare in maniera corretta questa incertezza.

- La differenza dal caso precedente è che, in questo caso, si ha a

disposizione un elevato numero di misure e quindi questo

permette una più accurata valutazione (magari con delle

ipotesi) della incertezza delle misure.

Caso 3 – Ipotizziamo vere queste ipotesi

Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità) Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici

Date N misure di una data osservabile fisica (x

, x

, ... x

) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare potrebbe essere data dalla media aritmetica delle singole misure:

N x N

x x

x x x

N

i

i N

best



 



 



...

Date N misure di una data osservabile fisica (x₁, x₂, ... x_N) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione

standard definita come:

Come nel caso del valore vero  che si stima con il valore medio, può essere utile definire la deviazione standard di un campione e quella di popolazione.

Se si hanno a disposizione poche misure e se si usasse la formula della deviazione standard di popolazione (usando il valore medio) in generale si ha una sottostima del valore vero di s.

Notate come in un caso si usa il simbolo s e nell’altro il simbolo s







 









 





N

N x N

x x

x

N

i i

N 1

2 2

2 2

2 1

) ) (

( ...

) (

)

( 



 s 

1 ) (

1

) (

...

) (

)

(

2 2

2 2

2 1





 











  



N

x x N

x x

x x

x s x

N

i

i N

Deviazione standard del campione Deviazione standard

di popolazione Rimostriamo la definizione di deviazione standard

Media Moda

Mediana

s s

FWHM

Conteggi / 0.05g

La deviazione standard è un indicatore della larghezza della distribuzione

Distribuzione Verde → s = 1.3 Distribuzione Viola → s = 2 Distribuzione Blu → s = 3

s s

s s

s

s

Media Moda

Mediana

s s

FWHM

Conteggi / 0.05g

Da notare che nel caso di dati distribuiti secondo una distribuzione la relazione da usare come deviazione standard non è quella del lucido precedente

Esempio di istogramma Esempio di plot di dati

Notare che l’unità di misura

è sull’asse delle Y Notare che l’unità di misura

è sull’asse delle X

I due plot rappresentano la stessa cosa ma sono totalmente diversi e hanno un significato totalmente differente

Attenzione

Misure Sperimentali

Media

N

x x

x x

x

 



 ... 

1 ) (

1

) (

...

) (

)

( ₁

2 2

2 2

2 1





 











 





N x x N

x x x

x x

s x

N

i i N

Media = 0.90381 mg  0.90 mg s = 0.308261 mg  0.31 mg X_best = 0.90 ± 0.31 mg

Attenzione

E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g)

Ogni Classe ha una unità di misura















i

i M

i

i i best

n n x x

x

1 1

Media

1 ) (

1

2





 



N

x x n s

M

i

i i

M = numero classi N = numero misure

Media = 0.90381 mg  0.90 mg s = 0.308261 mg  0.31 mg X_best = 0.90 ± 0.31 mg

Date N misure di una data osservabile fisica (x₁, x₂, ... x_N) e supposte valide le ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione

standard:

Come nel caso del valore medio può essere utile distinguere tra la deviazione standard di un campione e quella di popolazione.

Notate come in un caso si usa il simbolo s e nell’altro il simbolo s per valori di N elevati (N > 10-30) allora s  s







 









 





 











 









N

N x x N

x x

x x

x x

N

x x N

x x

x x

x s x

N

i

i N

N

i

i N

1

2 2

2 2

2 1

1

2 2

2 2

2 1

) ) (

( ...

) (

) (

1 ) (

1

) (

...

) (

) (

s

Deviazione standard del campione

Deviazione standard di popolazione

Teorema

La varianza (il quadrato della deviazione standard della popolazione) può essere scritta anche come la media dei quadrati meno il quadrato della media

Notate che il teorema vale per la deviazione standard di popolazione (c’e’ N al denominatore)

   

2 2 2

2 2 2

1 1

2 1

2 1

2 2

2 2 2

2

2 /

1 /

1 /

1 )

( /

1

x x

x x

x

x x N

x N

x N

x x

N x x

N

i

i N

i N

i

i N

i

i

































s s s

Si può dimostrare che:

La media aritmetica rende minima la somma dei quadrati degli scarti (definiti come x_i-) e quindi è un estimatore del valore vero (migliore di altre possibili formule:

moda e mediana ad esempio).

L’errore associato alla media aritmetica (nel caso di molte misure e di una distribuzione di misure simmetrica attorno al valor medio) tende a zero all’aumentare del numero di misure

Nell’ipotesi di una distribuzione di Gauss, il valore vero e la deviazione standard della popolazione corrispondono ai parametri  e s della distribuzione stessa

Nell’ipotesi di una distribuzione di Gauss, l’integrale tra s e s è SEMPRE il 68% dell’area della gaussiana

 

2 2

2

2

) 1

(



ps

 





x

e x

G Gaussiana

   







 









 



s

 s



s

 s



ps ps

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2 68

. 0

x x

dx e

dx e

Nota:

• Perché la deviazione standard è sotto radice ?

In questo modo la deviazione standard ha esattamente le stesse unità di misura della osservabile di cui rappresenta la dispersione. Così la misura e la sua

deviazione standard sono grandezze omogenee

• Perche la differenza tra la misura ed il valor medio è al quadrato ?

Perché è facile dimostrare che è sempre vera la seguente relazione

Quindi se non elevo al quadrato non ho nessuna informazione utile (ho sempre zero)

1 ) (

) (

1

2 1

2 2











  





N

x x N

x Varianza

N

i

i N

i

i



s

0 ) (

scarti degli

Somma

1





 

 N

i

i

x

x

Nota:

Perché nella deviazione standard del campione al denominatore c’e’ N-1 ? Se ho una sola osservazione x₁

Infatti con una sola osservazione non sono in grado di valutare la dispersione e quindi l’incertezza delle mie misure. Ho una sola misura per determinare il valor medio e non posso calcolare la deviazione standard.

Se avessi usato la relazione dividendo per N

Cioè avrei una misura con deviazione standard nulla cioè con incertezza nulla

! Inconsistente !

   

0 0 1

1 1 1

1

1 2

1



 



 







N x x s i

   

1 1 1

1 2

1















N x x s i

Nota:

• Perché al denominatore nella deviazione standard del campione c’e’ N-1 ? Supponiamo di avere N misure indipendenti

Supponiamo di estrarre il valore medio a partire dalle N misure

Allora usando il valor medio e N-1 misure sono in grado di ricavare la misura

‘ennesima’. Infatti

Quindi l’ennesima misura non è più indipendente

Quindi, se estraggo il valor medio dai dati, ho solo N-1 misure indipendenti





2 1

...

...















 

N N

N

x x

x x

N x

N

x x

x x

Nota:

• Perché al denominatore nella deviazione standard del campione c’e’ N-1 ?

• Attraverso una trattazione matematicamente più rigorosa è possibile dimostrare che:

• Se dalle N misure si è estratto il valor medio allora la deviazione standard deve essere estratta dividendo per N-1, si è ‘bruciato’ un grado di libertà*

• Se il valor vero è noto attraverso un’altra via allora la deviazione standard deve essere calcolata dividendo per N

• Ovviamente tanto più N è grande tanto piu piccola sarà la differenza tra i due valori di deviazione standard

*Grado di Libertà : Numero di misure indipendenti meno il numero di parametri estratti da queste misure

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)

La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura, in altre parole è una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure attorno al valore medio.

Domanda: La deviazione standard è in grado di valutare quanto è vicina al valore vero la mia misura sperimentale, cioè il valor medio estratto dai dati ?

• La deviazione standard non cambia sostanzialmente con l’aumentare di N

Se raddoppio il numero di misure in prima approssimazione raddoppia il numeratore

Se raddoppio il numero di misure raddoppia N

Quindi il valore della deviazione standard non cambia significativamente con il numero di misure.

Aumentando il numero di misure, tuttavia, sarò in grado di avere una stima più precisa della dispersione dei dati, cioè della deviazione standard ‘vera’ s

Con l’esperienza dei dadi vedrete direttamente questa fenomenologia.

1 ) (

1

2











N x x s

N

i

i

Media Moda

Mediana

s s

FWHM

Conteggi / 0.05g

La deviazione standard è un indicatore della larghezza della distribuzione

1000 Misure

Aumentando il numero di misure può cambiare l’istogramma ma non cambia il profilo della distribuzione ne le sue caratteristiche intrinseche. E’ possibile però determinare con piu’ precisione la forma della distribuzione

Nell’ipotesi di fare un numero infinito di misure ed in assenza di errore sistematico la distribuzione finale è detta distribuzione limite e il valor medio della distribuzione statistica coincide con il valore vero della osservabile

100 Misure 250 Misure

4000 Misure

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)

La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura,

A noi interessa trovare una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure attorno al valore medio. Posso usare la deviazione standard ?

Nota:

• La deviazione standard è una misura della qualità dell’esperimento (strumentazione + sperimentatore)

• La deviazione standard può cambiare solo se si cambia strumentazione e/o sperimentatore

• Se la deviazione standard cambiasse con il numero di misure significherebbe che le misure non sarebbero più indipendenti tra loro.

In altre parole ci sarebbe memoria del passato

La deviazione standard del campione non necessariamente coincide con quella della popolazione se le misure sono poche

Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)

• Allora s o s non possono rappresentare l’errore della misura, infatti mi aspetto che l’errore diminuisca con l’aumentare del numero di misure N.

• Al più la deviazione standard può rappresentare una sovrastima dell’errore in quanto non tiene conto del fatto che all’aumentare del numero delle misure il valore medio si avvicina sempre di più al valore medio

Morale:

La deviazione standard rappresenta la dispersione dei dati attorno al valore medio. Noto il tipo di distribuzione statistica (ne parleremo in una lezione successiva) è in grado dare una stima probabilistica del risultato di una singola misura futura.

La deviazione standard NON da una stima dell’errore con cui è stata valutata una osservabile (solo un estremo superiore). In altre parole, la deviazione standard non è in grado di dare una valutazione (se non sovrastimata) di quanto il valore medio può distare dal valore vero.

Abbiamo bisogno di una osservabile statistica che mi stimi questa differenza per valutare l’errore di una misura.

Deviazione Standard della Media

E possibile dimostrare che l’incertezza a cui è soggetto il valore medio è data dal rapporto della deviazione standard con la radice quadrata del numero di misure effettuate.

Altri nomi della Deviazione Standard della media (SDOM) sono:

• Errore Standard

• Errore Standard della Media

• La Deviazione Standard della media decresce con l’aumentare del numero di misure

• Notate che nelle formule c’e’ la deviazione standard di popolazione s

x

N

m

s s s  

 media della

standard Deviazione

Nell’ipotesi di:

• Aver effettuato N>10-30 misure della medesima quantità (misure ripetute ed indipendenti).

• NON siano presenti errori sistematici.

C’e’ il 68% di probabilità che il valore x_vero sia all’interno dell’intervallo (<x>– s_m; <x>+ s_m).

Il valore <x> è estratto atrraverso il processo di media.

Analogamente per il 95% ed il 99.7% di probabilità con 1.96s_m e 3s_m

Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana

Per comprendere in maniera intuitiva l’origine della deviazione standard della media

• Immaginate di avere un numero infinito di dataset composti ciascuno da N misure di una osservabile fisica (indipendentemente da come sono distribuiti)

• I dati in ciascun dataset si distribuiranno secondo una distribuzione qualsiasi dalla quale su potrà estrarre un valor medio ed una deviazione standard

• Posso ottenere un numero infinito di valori medi (uno per dataset).

• Costruiamo la distribuzione dei valori medi ottenuti in ciascun dataset.

• Questa distribuzione è sempre una Gaussiana

• Questa distribuzione avrà come valore medio x_vero

• Questa distribuzione avrà come deviazione standard la deviazione standard della media di un singolo dataset

Media Dev. Std

Media Dev. Std Media

Dev. Std Media

Dev. Std Media

Dev. Std

Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana

Nota importante

La deviazione dalla media è uno strumento molto utile per valutare il numero di misure necessarie per ottenere un certo errore. P.es.

Devo misurare una osservabile, una stima a priori mi dice che dovrei ottenere come valor medio <x> ed una deviazione standard s

Se volessi una incertezza nel valore medio pari all’1% quante misure dovrei fare ?

2

01 .

0 1

01 .

1 0

% 1

 

 



 



 

 

 

 



 



N x

N x x

x

m m

s s s

s