Quaternioni e rotazioni: SU (2) → SO(3) - Appunti su alcune classi importanti di matrici e grup

   cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0 0 0 cos ϕ − sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ     Allora posto: C =     0 −θ 0 0 θ 0 0 0 0 0 0 −ϕ 0 0 ϕ 0     si ha: T = eC e quindi: γ(t) = B⁻¹e^tCB = e^tB⁻¹^CB ∈ SO(4) e verifica γ(0) = I e γ(1) = A.

Teorema 6.6 SO(n) `e connesso per sottogruppi a un parametro. In particolare exp : so(n) → SO(n) `e suriettivo in grande.

Prova. In virt`u del teorema 6.4 la dimostrazione `e perfettamente analoga a quella dei casi n = 3 e n = 4.

Possiamo ora riprendere l’osservazione 6.4 e dimostrare il seguente teorema:

Teorema 6.7 SO(n) `e la componente connessa con l’identit`a di O(n). In particolare π₀(O(n)) = O(n)/SO(n) = Z2

Prova. E’ chiaro per il precedente teorema che SO(n) ⊆ O(n)₀. Per il viceversa, se g ∈ O(n)₀, esiste una curva γ(t) in O(n) tale che γ(0) = I e γ(1) = g; det γ(t) è una funzione continua di t che può assumere solo i valori ±1, e quindi non può cambiare segno senza passare per lo 0, e allora det γ(t) = 1 per tutti i t (valendo 1 in t = 0). In particolare det γ(1) = det g = 1 e allora g ∈ SO(n).

6.3 Quaternioni e rotazioni: SU (2) → SO(3)

Abbiamo già dimostrato (vedi osservazione 5.6) che sebbene SU (2) e SO(3) abbiano la stessa algebra, e quindi la stessa dimensione, essi non sono gruppi isomorfi perchè hanno centri diversi; possiamo ora dire di più su questa questione. Descriveremo infatti un importante omomorfismo tra SU (2) e SO(3) (detto omomorfismo di ricoprimento).

Osservazione 6.9 Nel corso della dimostrazione illustreremo la relazione esistente tra i qua-ternioni e le rotazioni spaziali. Il metodo illustrato per trattare le rotazioni spaziali ha una no-tevolissima applicazione pratica: è infatti l’algoritmo più efficiente numericamente per eseguire calcoli con le matrici di rotazioni ed è quello usato nei programmi di grafica 3D al computer, specialmente nei videogiochi.

Teorema 6.8

SO(3) = ^{SU (2)} Z2

Dove abbiamo identificato Z2 con {±I} ⊂ SU (2).

Prova. Ricordiamo che (vedi esempio 3.2) SU (2) = S³ = Sp(1) (il gruppo moltiplicativo dei quaternioni di norma 1). L’isomorfismo `e dato esplicitamente da:

a −b ¯ b ¯a

dove a¯a + b¯b = 1 ⇐⇒ x + iy + jz + tk (dove a = x + iy e b = z + it) Consideriamo ora lo spazio H1 dei quaternioni cosiddetti puri:

H1 = {q ∈ H | q = −q} = {bi + cj + dk, b, c, d ∈ R}

Lo spazio H dei quaternioni (isomorfo a R4) si spezza quindi in H = H0 ⊕ H1 , dove H0 `e costituito dai quaternioni reali, mentre H1 `e isomorfo come spazio vettoriale reale a R3. Nel seguito considereremo l’isomorfismo che manda i, j, k nella corrispondente base di R³ ortonor-male rispetto al prodotto scalare standard. Converremo anche di indicare il quaternione puro q e il corrispondente vettore con la stessa lettera. In completa analogia con i numeri complessi chiameremo parte reale di un qualsiasi quaternione h ∈ H l’espressione Re {h} = ¹₂ h + ¯h .

Se q₁, q₂ sono due quaternioni puri il prodotto scalare in R3 dei corrispondenti vettori `e dato da:

(q1, q2) = Re {q1q2}

Dove al secondo membro il prodotto `e il prodotto di quaternioni. Infatti, ricordando che nei quaternioni si ha hk = k h,si trova che:

Re {q₁q₂} = b₁b₂+ c₁c₂+ d₁d₂

Ricordando che la norma quadrata di un quaternione h `e khk² = h¯h abbiamo per i quaternioni puri:

(q, q) = qq = kqk²

Quindi la lunghezza euclidea in R3 di un vettore corrisponde alla norma quaternionica del quaternione puro che lo rappresenta. Ricordiamo anche che se A ∈ Sp(1), essendo kAk = 1, si ha AqAq = qq

Definiamo ora una mappa Ψ : SU (2) → GL(3, R) Ψ(A)(q) = AqA⁻¹

Dove a sinistra pensiamo A come matrice di SU (2) , Ψ(A) come una matrice 3×3 , q un vettore di R3 e il prodotto è il prodotto righe per colonne; a destra pensiamo invece A come elemento di Sp(1), q come un quaternione puro (usando gli isomorfismi citati sopra), e i prodotti sono i prodotti tra quaternioni. Notiamo anche che AqA⁻¹ è effettivamente un quaternione puro e quindi è interpretabile come un vettore di R3 :

6 CONSIDERAZIONI TOPOLOGICHE 42

Dove abbiamo usato le relazioni: A = A⁻¹, q = −q. La mappa Ψ `e un omomorfismo:

Ψ(AB)(q) = ABq (AB)⁻¹ = A BqB⁻¹ A−1

= [Ψ(A) ◦ Ψ(B)] (q) e inoltre preserva la lunghezza in R3, infatti si ha:

AqA⁻¹AqA−1 = AqA⁻¹A−1qA = AqqA = AqAq = qq E’ quindi:

(Ψ(A)q, Ψ(A)q) = (q, q) Abbiamo quindi scoperto che, in realt`a:

Ψ(A) ∈ O(3).

Con un lunghissimo ma elementare calcolo (basta infatti esprimere A come un quaternione unitario, eseguire nell’ordine i prodotti AiA⁻¹, AjA⁻¹, AkA⁻¹ e poi scrivere la matrice 3 × 3 che ha come colonne le componenti i, j, k di questi prodotti) si potrebbe scrivere esplicitamente l’omomorfismo (vedi pi`u sotto dove lo facciamo con l’aiuto di un programma di computer algebra). Ad esempio: Ψ i 0 0 −i =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   Infatti, nel caso in oggetto, A = i e quindi

AiA⁻¹ = i, AjA⁻¹ = −j, AkA⁻¹ = −k. Osserviamo ora che:

Ψ i 0 0 −i

∈ SO(3)

Questo fatto `e generale, e un ragionamento topologico ci consente di evitare i calcoli espliciti: essendo Ψ continua e non costante ed essendo SU (2) connesso, l’immagine di Ψ deve essere connessa e quindi:

Ψ (SU (2)) ⊆ SO(3)

Il nucleo di Ψ è formato da {±I} ⊂ SU (2), infatti A ∈ ker Ψ quando Ψ(A) è l’identità, ovvero quando AqA⁻¹ = q per ogni q ∈ H1. Cioè quando Aq = qA. Essendo q puro, è immediato verificare che questo implica A = ±1 ∈ Sp(1), ovvero A = ±I ∈ SU (2).

Occupiamoci ora della suriettivit`a di Ψ. Sia u un quaternione puro di norma 1 cio`e u¯u = −uu = 1 e consideriamo il quaternione unitario A :

A = cos θ + u sin θ

`e facile verificare che u `e lasciato fisso dalla rotazione determinata da A : AuA⁻¹ = (cos θ + u sin θ)u(cos θ − u sin θ) = u

Concludiamo che Ψ è suriettiva su SO(3) perchè già sappiamo che ogni rotazione è una rota-zione di un certo angolo attorno ad un certo un asse (osserviamo che, fortunatamente, non è qui necessario trovarli!). Possiamo allora applicare il teorema di isomorfismo, ottenendo:

SO(3) = ^{SU (2)} Z2

Dove abbiamo identificato Z2 con {±I} ⊂ SU (2).

Osservazione 6.10 Anche la suriettivit`a potrebbe essere molto elegantemente dimostrata da argomenti topologici (ma un poco pi`u avanzati della sola connessione).

Osservazione 6.11 Con un programma di computer algebra `e facile scrivere esplicitamente l’omomorfismo: Ψx + iy −z − it z + it x − iy =   x2 + y2− z2− t2 2tx + 2yz 2ty − 2xz −2tx + 2yz x2− y2+ z2− t2 2tz + 2xy 2ty + 2xz 2tz − 2xy x²− y2− z2+ t²   Dove x²+ y²+ z²+ t² = 1. Il determinante vale: t⁶+ x⁶ + y⁶+ z⁶ + 3t²x⁴+ 3t⁴x²+ 3t²y⁴ + 3t4y2 + 3t2z4 + 3t4z2 + 3x2y4 + 3x4y2 + 3x2z4 + 3x4z2+ 3y2z4+ 3y4z2+ 6t2x2y2 + 6t2x2z2 + 6t2y2z2+ 6x2y2z2 = (t2+ x2+ y2+ z2)³ = 1. Si conferma quindi che Ψ : SU (2) → SO(3). Osservazione 6.12 Osserviamo che applicando la formula al caso A = cos^α₂ − i sinα

2 = cos −^α₂ + i sin −α 2 otteniamo: Ψe−iα/2 0 0 eiα/2 =   1 0 0 0 cos α − sin α 0 sin α cos α  

Ovvero una rotazione antioraria di angolo α attorno all’asse x. La formula si pu`o applica-re allora per trovaapplica-re la matrice di rotazione corrispondente ad un angolo θ e ad un asse u rappresentato da u = uxi + uyj + uzk ponendo: x = cos^θ 2^{, y = −u}^x^sin θ 2^{, z = −u}^y^sin θ 2^{, t = −u}^z^sin θ 2

Si ottiene allora la famosa formula di rotazione di Eulero-Rodrigues. Osservando la matrice esplicita della prima osservazione si capisce subito perch`e il metodo dei quaternioni `e cosi efficiente: l’angolo e l’asse di rotazione si vedono immediatamente e non sono nascosti nei parametri di una complicata matrice ortogonale!

Osservazione 6.13 L’introduzione dell’isomorfismo tra quaternioni puri e vettori di R³ `e alla base della teoria delle algebre di Clifford, uno strumento molto importante in fisica teorica e in geometria. Ad esempio si pu`o dare una interpretazione unificata del prodotto scalare e del prodotto vettoriale ∧ in R³ osservando che:

q₁q₂ = (q₁, q₂) − q₁∧ q₂

6 CONSIDERAZIONI TOPOLOGICHE 44

Nel documento Appunti su alcune classi importanti di matrici e gruppi di matrici (pagine 40-44)