, M = 0 1 0 0 , N = 0 0 1 0 . Si calcola facilmente che le parentesi di Lie sono date da
[L, M ] = 2M, [L, N ] = −2N, [M, N ] = L.
Non pare esserci molta somiglianza tra queste relazioni e quelle trovate tra H, X e Y . Tuttavia notiamo che la matrice M − N assomiglia a H. Proviamo quindi come nuova base H0 = M − N , X0 = L e Y0 = M + N . Si ottiene:
[H0, X0] = [M − N, L] = 2M + 2N = −2Y0,
[H0, Y0] = [M − N, M + N ] = 2L = 2X0, (30) [X0, Y0] = [L, M + N ] = 2M − 2N = 2H0. (31) A parte le costanti moltiplicative queste relazioni sono quasi identiche a quelle tra H, X e Y . Infatti se ora prendiamo l’applicazione lineare ϕ tra so(2, 1) e sl(2, R) data da
H 7→ H 0 2 X 7→ X 0 2 Y 7→ Y 0 2
si vede subito che ϕ conserva le parentesi di Lie. Osserviamo ora che sl(2, R) non pu`o essere isomorfa a so(3); infatti dalle relazioni di commutazione di so(3) si vede che la parentesi di Lie di due vettori tangenti indipendenti `e indipendente da questi (l’algebra `e isomorfa a quella del prodotto vettoriale), mentre in sl(2, R) questo non `e vero in generale (ad esempio [L, M ] = 2M ).
5.3 Sottogruppi ad un parametro
Definizione 5.6 Un sottogruppo a un parametro in un gruppo di matrici G `e l’immagine di un omomorfismo differenziabile ϕ :
ϕ : R → G
Osservazione 5.12 Con abuso di notazione spesso ϕ stesso si dice sottogruppo a un parametro, tali sottogruppi sono abeliani, infatti
6 CONSIDERAZIONI TOPOLOGICHE 34
Osservazione 5.13 Si noti che per conoscere ϕ basta definirlo in un piccolo intorno di t = 0, infatti, ∀t ∈ R, e per ogni intero n, ϕ(1nt)n= ϕ(nn1t) = ϕ(t) e quindi ϕ(n1t) determina ϕ(t). Esempio 5.7 ϕ(t) = etA con A matrice n × n `e un sottogruppo a un parametro di GL(n, R) e ϕ0(0) = A.
Questo esempio `e, in un certo senso, generale:
Teorema 5.6 Sia ϕ(t) un sottogruppo a un parametro di GL(n, R), allora esiste una matrice A tale che ϕ(t) = etA.
Prova. Per l’osservazione 5.13 basta limitarsi a un piccolo intorno di t = 0. Poniamo α(t) = log ϕ(t); questa `e una curva in Mn e ϕ(t) = eα(t). Sia α0(0) = A. Vogliamo mostrare che α(t) = tA. Infatti, per ogni t si ha:
α0(t) = lim s→0 α(t + s) − α(t) s = lims→0 log ϕ(t + s) − log ϕ(t) s = lims→0 log [ϕ(t)ϕ(s)] − log ϕ(t) s = = lim s→0
log ϕ(t) + log ϕ(s) − log ϕ(t)
s = lims→0
log ϕ(s) − log ϕ(0)
s = α
0
(0) = A
Dove abbiamo usato il fatto che logϕ(0) = log I = 0 e che ϕ(t) e ϕ(s) commutano fra loro (vedi lemma 5.3. Si ha allora la tesi: α(t) = tA.
Teorema 5.7 C’`e corrispondenza biunivoca tra i vettori tangenti a GL(n, R) e i suoi sottogruppi a un parametro.
Prova. Sappiamo gi`a che ogni matrice n × n `e un vettore tangente a GL(n, R) e viceversa (vedi 4.3), e abbiamo gi`a osservato che ad ogni matrice corrisponde un sottogruppo a un parametro. Il teorema 5.6 dimostra anche che ad ogni sottogruppo corrisponde un vettore tangente.
Osservazione 5.14 Lo stesso `e ovviamente vero anche per GL(n, C).
Osservazione 5.15 Il teorema `e facilmente dimostrabile anche per SO(n), O(n), U (n) e SU (n). Basta osservare che a ogni vettore tangente A ad uno dei gruppi citati corrisponde il sottogruppo etA e che questo sottogruppo (vedi la dimostrazione del lemma 5.5) `e sottogruppo dei gruppi citati. Viceversa ad ogni sottogruppo dei gruppi citati corrisponde un vettore tangente ai gruppi citati (vedi teorema 5.6 e lemma 4.5).
6 Considerazioni topologiche
6.1 Connessione e suriettivit`a dell’esponenziale
Ricordando che i gruppi di matrici sono sottoinsiemi di qualche Rn che sono spazi metrici, ad esempio con l’usuale distanza euclidea d, `e chiaro che sono essi stessi spazi metrici.
Definizione 6.1 Sia G un gruppo di matrici, la componente connessa con l’identit`a, (indicata con G0) `e l’insieme degli elementi di G che possono essere connessi all’identit`a tramite una curva (continua e tutta contenuta in G). In altre parole, g ∈ G0 se e solo se esiste una curva γ continua e tale che: γ(t) ∈ G, γ(0) = I, γ(1) = g.
Definizione 6.2 G `e connesso se G0 = G.
Osservazione 6.1 Questa definizione di connessione `e quella che in topologia `e usualmente chiamata connessione per archi.
Teorema 6.1 G0 `e un sottogruppo normale di G. Il quoziente G/G0 ≡ π0(G) `e detto gruppo delle componenti connesse di G.
Prova. Dati h, k ∈ G0 indicheremo con h(t) e k(t), rispettivamente, le curve tali che: h(0) = k(0) = I e h(1) = h, k(1) = k
G0 `e un sottogruppo perch`e la curva g(t) = h(t)k(t) `e tale che g(0) = I e g(1) = hk; inoltre la curva g(t) = (h(t))−1`e tale che g(0) = I e g(1) = h−1. E’ anche normale, perch`e ∀a ∈ G e h ∈ G0, la curva g(t) = ah(t)a−1 verifica g(0) = I e g(1) = aha−1 e quindi aha−1 ∈ G0.
Esempio 6.1 GL(n, R) non `e connesso. Il determinante `e una applicazione continua e su-riettiva da GL(n, R) a R∗, per cui se GL(n, R) fosse connesso, lo sarebbe anche R∗, che per`o, ovviamente, non lo `e. Dimostreremo in seguito che GL0(n, R) = {A| det A > 0}, e quindi π0(GL(n, R)) contiene due elementi, rappresentati rispettivamente dalle matrici con determinante positivo o negativo.
Osservazione 6.2 Nel caso di GL(n, C) il ragionamento precedente non si applica. Questa osservazione per`o non `e una dimostrazione del fatto (vedi pi`u sotto) che GL(n, C) `e connesso. Osservazione 6.3 O(n) non `e connesso. Anche qui basta considerare il determinante; pu`o essere solo 1 o −1 e quindi una curva continua tutta contenuta in O(n) non pu`o connettere I e una matrice di O(n) con determinante −1 (il determinante dovrebbe passare per il valore zero). Osservazione 6.4 Nel caso di SO(n) il ragionamento precedente non si applica. Questa os-servazione per`o non `e una dimostrazione del fatto che SO(n) `e connesso (vedi pi`u sotto), anzi, `e proprio la componente connessa con l’identit`a di O(n).
Esempio 6.2 SO(3) `e connesso. (Vedi anche esempio 5.5)
Prova. Vogliamo mostrare che ogni elemento di SO(3) `e connesso all’identit`a da una curva tutta contenuta in SO(3). Dimostriamo prima di tutto che per ogni matrice R di SO(3) esiste in R3 una base ortonormale in cui R = B−1AB, con A ∈ R3 e B ∈ O(3).
6 CONSIDERAZIONI TOPOLOGICHE 36
• R ∈ SO(n) con n dispari, ammette sempre l’autovalore 1; basta calcolare:
det(R − I) = det(R − RRt) = det R det(I − Rt) = det(I − R) = (−1)ndet(R − I) Si ottiene quindi det(R − I) = 0.
• V , l’autospazio dell’autovalore 1, non pu`o avere dimensione 2. Infatti se ha dimensione 2, siano u, v ∈ V di lunghezza 1 e ortogonali tra loro, e sia w ∈ V0 (il complemento ortogonale di V ) anch’esso di lunghezza 1. Si ottiene: (Rw, u) = (Rw, Ru) = (w, u) = 0 e (Rw, v) = (Rw, Rv) = (w, v) = 0. Ne segue allora Rw ∈ V0, (cio`e il sottospazio V0 `e invariante sotto R) ma la dimensione di V0 `e 1 e quindi Rw = ±w (si ricordi che gli autovalori possibili per R sono solo ±1). Il caso −1 `e impossibile perch`e allora la matrice R avrebbe come autovalori 1, 1, −1 e quindi il suo determinante non potrebbe essere uguale a 1. Nel caso +1, seguirebbe che V ha dimensione 3, e quindi V0 sarebbe ridotto al solo vettore nullo.
• Se V ha dimensione 3 non c’`e nulla da dimostrare: nella base u, v, w si ha R = I.
• Nel caso in cui V ha dimensione 1, V0 ha dimensione 2. Sia u, v, w una base ortonormale di R3 = V0⊕ V . In questa base, essendo V0 `e invariante sotto R, la matrice R assume la forma (abbiamo indicato con B ∈ O(3) la matrice di passaggio dalla base canonica di R3
alla base u, v, w): A = BRB−1 = a b 0 c d 0 0 0 1 .
Essendo A ortogonale e di determinante 1, deve essere a b c d =cos α − sin α sin α cos α (con α 6= 0) e quindi: R = B−1AB = B−1eαA3B
• Il gruppo SO(3) `e quindi connesso perch`e la curva: (vedi esempio 5.5) γ(t) = B−1etαA3B = etB−1αA3B∈ SO(3) e verifica γ(0) = I e γ(1) = R.
Osservazione 6.5 La curva costruita sopra `e un sottogruppo a un parametro: abbiamo mostrato che SO(3) non solo `e connesso, ma `e anche connesso per sottogruppi a un parametro. Osservazione 6.6 Gli esempi 5.1 e 5.5 ci mostrano che la mappa esponenziale `e suriet-tiva in grande. Ogni matrice di SO(2) e ogni matrice di SO(3) si ottengono quindi per esponenziazione di matrici di so(2) e so(3) rispettivamente. Dimostreremo pi`u sotto che lo stesso `e vero per SO(n).
Osservazione 6.7 Ricordiamo che la mappa esponenziale `e anche iniettiva in piccolo, perch`e in un intorno della matrice 0 ha un’inversa (il logaritmo), ma non pu`o essere iniettiva in grande, perch`e altrimenti SO(2) e SO(3) sarebbero diffeomorfi (tramite exp) ai loro spazi tangenti e questo `e ovviamente falso perch`e SO(2) e SO(3) sono compatti (nella usuale topologia metrica) mentre i loro spazi tangenti, essendo spazi vettoriali, non lo sono certamente.
Esempio 6.3 SU (2) e U (2) sono connessi (per sottogruppi a un parametro). In particolare la mappa esponenziale `e suriettiva in grande.
Prova. Mostriamo che ogni elemento R di SU (2) `e connesso all’identit`a da un sottogruppo a un parametro di SU (2) . Sappiamo che R ∈ SU (2), essendo normale, `e diagonalizzabile tramite matrici unitarie e che una sua forma diagonale D `e (vedi teorema 3.4; per la definizione di U1 vedi esempio 5.3): D = U RU∗ con U ∈ U (2).
D = eiα 0 0 e−iα = e iα 0 0 −iα = eαU1
Essendo R = U∗DU = U∗eαU1U = eαU∗U1U, abbiamo che il sottogruppo a un parametro R(t) = etαU∗U1U soddisfa R(t)R(t)∗ = I, R(0) = I, e R(1) = R. Si ha inoltre:
det R(t) = etr(tαU∗U1U ) = etαtr(U∗U1U )= e0 = 1, E quindi R(t) ∈ SU (2).
Il caso di U (2) `e perfettamente analogo (vedi teorema 3.4):
D = eiα 0 0 eiβ = e iα 0 0 iβ Essendo R = U∗DU = U∗e iα 0 0 iβ U = e U∗ iα 0 0 iβ U
abbiamo che il sottogruppo a un parametro R(t) = e
tU∗ iα 0 0 iβ U soddisfa: R(t)R(t)∗ = I, R(0) = I, R(1) = R.
Teorema 6.2 SU (n) e U (n) sono connessi (per sottogruppi a un parametro). In particolare la mappa esponenziale `e suriettiva in grande.
Prova. Essendo le matrici di SU (n) e U (n) diagonalizzabili mediante matrici unitarie, la dimostrazione `e perfettamente analoga a quella del caso n = 2.
Osservazione 6.8 Il caso di SO(n) `e pi`u complicato. Infatti tali matrici non sono tutte dia-gonalizzabili perch`e non hanno sempre abbastanza autovalori reali. Si pu`o dimostrare per`o che, come nel caso di SO(3), possono essere messe in una forma a blocchi particolarmente semplice mediante matrici ortogonali.
6 CONSIDERAZIONI TOPOLOGICHE 38