Rassegna dei metodi di simulazione

Si introduce adesso una classificazione dei metodi di simulazione più utilizzati in Geostatistica, tra le più importanti ricordiamo la:

 Simulazione auto regressiva;  Media mobile;

 Turning bands;

 Decomposizione della matrice covarianza;  Simulazione sequenziale gaussiana;

Di seguito, verranno presentati gli ultimi due metodi elencati precedentemente: 6.5.1 Decomposizione matrice covarianza

Sia Y(x) una FAST gaussiana di legge margianale N(0,1) e di covarianza C(h) e sia N è il numero di punti, localizzati in x(k) (k =1,…,N), in cui effettuare la simulazione. Il metodo prevede di generare N numeri gaussiani indipendenti Xi (i =1,…N) di media nulla e varianza unitaria e di simulare YS(k) come combinazione lineare degli Xi:

Utilizzando la notazione matriaciale: Y=AU. La matrice dei coefficienti A viene calcolata per decomposizione della matrice varianza-covarianza C={C(xk-xl} delle

variabili da simulare che si determina a partire dalla funzione C(h) e dalla localizzazione degli n punti. La matrice C(xk-xl) è data da:

.

In termini matriciali la precedente si esprime: C = AA’, dove A è la matrice cercata e A’ la sua trasposta. La matrice C è nota e, per essere una matrice varianza-covarianza, è simmetrica e definita positiva. La determinazione di A non è univoca. Tra le tante soluzioni viene scelta la decomposizione di Choleski, che vede in A una matrice triangolare inferiore e di conseguenza in A’ una matrice triangolare superiore. Questa scelta, oltre ad essere vantaggiosa per la rapidità del calcolo, lo è anche perché consente di ottenere una simulazione condizionata da M osservazioni.

A tale scopo si opera come segue:

 includere negli N punti da simulare gli eventuali M punti di misura: xk (k =1,…,M,M+1,…,N);

 determinare la matrice A tramite la decomposizione di Cholesky;

 se M ≠ 0 risolvere U0 =A0-1 _{Y0. Nel sistema Y0 è il sottovettore costituito dai primi M} elementi di Y (le M osservazioni), A0 la sottomatrice di A composta dalle prime M righe e colonne e U0 è il sottovettore costituito dai primi M valori gaussiani.

 Applicare Y=AU dopo avere generato i restanti Uj (j=M+1, N). Se M ≠ 0, i primi elementi di Y corrispondono alle M Misure.

Ogni altra simulazione si ottiene ripetendo l’ultimo passo.

Poiché per effettuare una simulazione è necessario manipolare, ai fini della decomposizione di Choleski, una matrice C di dimensioni pari al numero di valori da simulare (a cui si aggiungono gli eventuali valori condizionanti) il metodo è limitato a poche centinaia di punti. Particolari accorgimenti, sia di tipo numerico sia di tipo operativo, permettono di aumentare il numero di punti da simulare, ma si rimane sempre entro numeri limitati.

Ricapitolando: il metodo restituisce una covarianza esatta, comprensiva di strutture annidate e di anisotropie, permette la condizionalizzazione diretta e restituisce valori simulati compatibili con una legge multi-gaussiana. Il metodo è praticabile in tutte le dimensioni dello spazio e non è richiesto che i punti in cui effettuare la simulazione siano disposti a maglia regolare.

6.5.2 Simulazione sequenziale gaussiana(SGS)

La simulazione sequenziale gaussiana (SSG) è un metodo di simulazione, introdotto nella applicazioni geostatistiche da Alabert e Massonnat (1990), che per essere applicato necessita che la FA di riferimento sia multigaussiana. Questa caratteristica è stata illustrata nel paragrafo precedente, dove è stata sottolineata un’importante proprietà, in

Y1,…YN, impiantati nei punti x0, x1,…,xN, la legge di Y0, condizionata da N punti di

misura: Y1= y1,…,YN = yN, è una legge normale avente di media:

E(Y0/Y1=y1,…,YN =yN) = (7)

e varianza:

Var(Y0/Y1=y1,…,YN =yN) = 1- . (8)

Nella precedente ρ(h) è il coefficiente di correlazione tra due variabili impiantate in due punti distanti h e i coefficienti λα si ricavano dalla risoluzione del sistema:

=ρ(xα- x0) ∀α=1,N (9)

In termini geostatistici, la media e la varianza condizionale di Y0 non sono altro che il

kriging semplice [Y0]KS e la sua varianza .

Nota nel punto x0 la legge condizionata, una realizzazione (simulazione) Ys(x0) si ottiene

in base alla espressione che segue, dopo aver generato un valore casuale N di legge gaussiana (0,1):

Ys(x0) =[Y0]KS + (10)

Per realizzare una simulazione nei nodi di una griglia a partire da N misure della variabile y_α (α=1,N) si opera effettuando sequenzialmente, nodo dopo nodo, la simulazione secondo la (10) includendo nel kriging semplice ad ogni passo, oltre alle N misure, tutti i valori simulati nei passi precedenti. Le proprietà del kriging semplice assicurano che Cov(Ys(x0),Y(xα)) = ρ(x0-xα). La simulazione ottenuta è anche

condizionata. Infatti, se x0 coincide con uno dei punti di misura, il kriging semplice in

quel punto è pari al valore misurato e la varianza di stima è nulla.

Nella pratica non è possibile, per ragioni numeriche legate alla risoluzione del sistema (9) includere oltre 150-200 valori e pertanto per mitigare gli effetti negativi sulla simulazione è consigliabile percorrere i nodi non con regolarità, ma secondo griglie, prima larghe e poi sempre più fini, fino a coprire tutti i punti.

Ripetendo la simulazione un elevato numero di volte (100-200) si ottengono, in ogni nodo, altrettanti valori, il cui istogramma costituisce una stima della funzione di densità di probabilità condizionata. Ma se questo è lo scopo (per es. quando si vuole stimare la probabilità che la concentrazione di un contaminante superi in un punto la concentrazione limite ammissibile) non conviene effettuare la simulazione, perché la soluzione del problema è la legge condizionale, consistente, come si è visto, (quando non succede la covarianza restituita è approssimata) in una distribuzione normale la cui

media e la cui varianza sono date dalla (7) e dalla (8) In particolare, se Z è la variabile di studio e si vuole valutare la probabilità che essa superi in x0 un valore di soglia zs dati N

misure della stessa variabile nei punti x1,…,xN, nel quadro di questo metodo si ha: Prob[Z(xo) > zs| z(x1),…,z(xN)] =

Dove ys è il valore trasformato di zs, [Y0]KS\è il kriging semplice di Y(x0) calcolato con

gli N valori trasformati y(x1),…,y(xN), la deviazione standard del kriging semplice e G la funzione di distribuzione della variabile normale ridotta.

Se invece il superamento della soglia è riferito non ad una variabile puntuale, ma ad una variabile definita su un volume V, allora il ricorso alla simulazione puntuale (da effettuare su una griglia molto fine rispetto a V) diventa importante, perché la funzione di distribuzione di Z(V) si può agevolmente ricavare dall’istogramma dei valori (puntuali) simulati e poi mediati all’interno di V, in alternativa alla stima diretta della legge condizionale, che costituisce una operazione più laboriosa.

Ricapitolando: la qualità della covarianza ricostruita dipende dalle dimensioni del “vicinaggio” del KS e dal percorso di simulazione che sono stati scelti. La covarianza è comprensiva di strutture annidate e di anisotropie, permette la condizionalizzazione diretta e restituisce valori simulati compatibili con una legge multi-gaussiana. Il metodo è praticabile in tutte le dimensioni dello spazio.