REALIZZAZIONE DEL MODELLO NUMERICO DI FLESSIONE

DI

FLESSIONE

MACROSCOPICA

DEL

SEGMENTO OSSEO

2.1.1 SCANSIONI MICRO-CT

È stato intrapreso uno studio a livello numerico attraverso la creazione di modelli ad elementi finiti per simulare prove di flessione a quattro punti, cercando così di replicare quanto fatto sperimentalmente da IOR.

Sono state elaborate delle immagini ottenute tramite scansioni microCT di diversi femori di topo, quattro sani e due patologici aventi una risoluzione pari a 10.77 μm. Nello specifico i campioni sani appartengono ad una campagna sperimentale precedente e quelli patologici fanno parte dei campioni forniti da IOR per le prove di nanoindentazione che sono descritte nel paragrafo 2.1.9, la tabella seguente mostra le loro caratteristiche:

Tabella 2.1

NOME TIPO ETA' [gg] Tratt. Stiff AP [N/mm] Stiff ML [N/mm] DR [N] Rottura

L1G51 WILD 241 NO 107.1 151.8 -25.2 Centrale L2G24 WILD 395 NO 76.4 121.1 -19.2 Centrale-Distale L2G38 WILD 339 NO 68 158.2 -23.1 Centrale L3G40 WILD 332 NO 79.8 166.4 -16.5 Centrale L3G68 ETERO 200 2 60.1 98.4 -23 Centrale L6G73 ETERO 200 1 61.1 119.4 -24.7 Centrale

Come si può notare dalla tabella 2.1, viene riportato per prima cosa il nome del campione (es. L1G51: dove L1 identifica un determinato topo, mentre il codice G51 identifica la gabbia), successivamente viene indicata la tipologia del modello animale da cui deriva il campione (il termine Etero definisce la condizione patologica dell'animale, invece il termine Wild indica una tipologia di topo sano); nella colonna denominata "tratt." viene specificato, se presente, il tipo di trattamento a cui è stato sottoposto il modello animale. Nelle colonne successive, invece, vengono mostrate le caratteristiche meccaniche ottenute dalle prove di

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flessione a quattro punti; in particolare è possibile vedere i valori di rigidezza del femore murino sottoposto a flessione nella direzione antero-posteriore e medio- laterale, oltre al carico a rottura. Infine viene precisata la zona di rottura del provino.

La tomografia computerizzata è una tecnica di indagine radiodiagnostica, con la quale è possibile riprodurre immagini in sezione di un oggetto, create da un'analisi generata al computer dell'attenuazione di un fascio di raggi X passante attraverso un corpo, e successivamente, tramite l'elaborazione e l'aggregazione delle stesse, ottenere la riproduzione tridimensionale dell'anatomia. In altre parole, il principio alla base di questa tecnica sta nel fatto che a partire dalle proiezioni delle sezioni di una parte del corpo in molte direzioni, o lungo una direzione a seconda della tipologia di acquisizione, si può ricostruire l'oggetto 3D.

Le potenzialità della tomografia computerizzata sono state descritte da David W. Holdsworth e Micheal M. Tharnthon [28] esaminando l'utilizzo di tale tecnica diagnostica anche per campioni di origine animale di piccole dimensioni, fra cui ossa di topo, analizzandone la densità e l'architettura.

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Le microCT ottenute da IOR sono state elaborate con opportuni software, in modo da ottenere una mesh orfana per ogni femore da importare in Abaqus e su cui impostare il modello di flessione a quattro punti. I file delle immagini microCT in possesso consistono in una serie di 1500-1600 immagini bidimensionali di sezioni di femore in formato .bmp, che, sovrapposte l'una sull'altra, permettono di ricostruire tridimensionalmente l'intero femore.

Figura 2.2 - Esempio di tre sezioni di microCT del campione L1G51. Da sinistra a destra si ha rispettivamente una sezione distale, una centrale e una prossimale.

Nei paragrafi successivi vengono mostrati nel dettaglio i passaggi seguiti per l'elaborazione delle immagini fino all'ottenimento della mesh.

2.1.2 ELABORAZIONE DELLE IMMAGINI MICROCT

Le immagini ottenute dalle microCT sono state importate in ImageJ, un software per l'elaborazione di immagini di vario tipo [29]. Per ogni singolo femore è stata importata tutta la sequenza di immagini ed è stato necessario settare la scala dimensionale dei pixel, in modo da ottenere le reali dimensioni dell'oggetto in analisi: come descritto nel paragrafo precedente, ogni pixel dell'immagine è stato settato pari a 10.77 μm.

Per ogni immagine è stata effettuata la binarizzazione: tale processo permette di distinguere l'oggetto di interesse dallo sfondo, attraverso la determinazione di una soglia discriminante nella scala di grigi dell'immagine, tramite un algoritmo di riconoscimento. Tale operazione non è sempre immediata, dato che molto dipende

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dalle condizioni dell'ambiente in cui l'oggetto si trova: a volte infatti risulta complesso risalire ad una soglia adatta a causa della forte somiglianza delle tonalità di grigio dell'oggetto con quelle dello sfondo; tuttavia ciò non si verifica nel presente lavoro.

In particolare, scelta la soglia, l'algoritmo fa in modo che tutti i punti dell'immagine la cui intensità di grigio è sotto ad un certo valore vengano considerati parte dello sfondo, mentre tutti i punti con intensità maggiore siano associati all'oggetto, in modo da ottenere un'immagine binarizzata caratterizzata da un insieme di pixel aventi due valori possibili, 0 (nero) o 255 (bianco).

Figura 2.3 - A sinistra, istogramma dei livelli di grigio prima della binarizzazione. A destra, istogramma dei livelli di grigio dopo la binarizzazione. Si noti come, a binarizzazione avvenuta, i pixel delle immagini microCT si presentano solo bianchi o neri senza gli altri livelli di grigio.

Il metodo maggiormente utilizzato per determinare una possibile soglia è l'analisi dell'istogramma dei toni di grigio, che consiste nel disegnare un grafico in cui si conti la frequenza dei valori di luminanza dei pixel all'interno dell'immagine. Una volta costruito l'istogramma dei toni di grigio, è possibile procedere con una sogliatura automatica, in base ad alcune caratteristiche proprie dell'immagine. In genere si applica un approccio di tipo statistico considerando per esempio la media, la varianza e l'entropia dell'immagine. In particolare, nel presente lavoro, il metodo utilizzato per la scelta della soglia è il Metodo di Otsu [30, 31] che consiste nella ricerca di una soglia che minimizzi la varianza intra-classe, definita come la somma pesata delle varianze delle due classi. Tale metodo segmenta l'immagine in due regioni:

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• regione scura T0 con livelli di intensità da 0 a t (valore di soglia)

• regione chiara T1 con livelli di intensità da t+1 a 256 (massimo livello di grigio che corrisponde al bianco)

Figura 2.4 - Esempio di una stessa sezione del femore non binarizzata (a sinistra) e binarizzata (a destra).

Inoltre ImageJ ha permesso di ricostruire il femore tridimensionale attraverso il plug-in "3D viewer": tale funzionalità utilizza Java3D per fornire, a partire dall'elaborazione della pila di immagini 2D, una visualizzazione 3D dell'oggetto sotto forma di volumi e superfici. Nel caso specifico delle immagini microCT in possesso, si è optato per la ricostruzione della superficie esterna del femore assumendo un resampling factor pari a 6, il quale consente di ricampionare lo stack delle immagini per ridurre il costo computazionale, a scapito di una peggiore accuratezza dell'oggetto; tuttavia, la ricostruzione 3D della superficie del femore è risultata sufficientemente accurata ai fini degli sviluppi computazionali [32].

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Figura 2.5 - Ricostruzione del femore del campione L1G51 attraverso il 3D viewer.

Il femore così ottenuto è stato esportato da ImageJ sotto forma di un file di tipo .obj, necessario per i successivi passaggi di elaborazione in MeshLab.

25 2.1.3 FILTRAGGIO E SMOOTHING

Il file .obj ottenuto in ImageJ è stato importato in MeshLab, un software di elaborazione mesh 3D orientato alla gestione ed all'elaborazione di mesh di diverse dimensioni che fornisce una serie di strumenti per la modifica, la pulizia, la correzione, l'ispezione, il rendering e la conversione di questi tipi di mesh [33].

Figura 2.6 - Ricostruzione tridimensionale del femore L1G51 in MeshLab

In particolare, sono stati rimossi tutti gli elementi isolati non appartenenti al femore tramite un opportuno filtro e si è applicato uno smoothing sulla superficie in analisi; nello specifico è stato scelto uno smoothing di Taubin, il quale utilizza un filtro passa-basso che rimuove le alte variazioni di curvatura.

Nell'elaborazione digitale delle immagini, lo smoothing consiste nell'applicazione di una funzione di filtro il cui scopo è evidenziare pattern significativi attenuando il rumore, che è il fattore di degrado dell'immagine, il quale a sua volta dipende da diversi aspetti.

Lo smoothing di Taubin consiste nell'applicare per due volte consecutive lo smoothing di Gauss: dopo aver applicato un primo smoothing di Gauss, con un fattore di scala λ positivo, su tutti i vertici dell'oggetto, un secondo smoothing di

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Gauss viene applicato a tutti i vertici, ma con un fattore di scala μ negativo, il quale tuttavia risulta maggiore in modulo rispetto al primo fattore (0 < λ < |μ|). In questo studio sono stati utilizzati i seguenti valori per i parametri μ e λ: λ = 0.5 e μ = -0.53; essi garantiscono il buon esito dell'operazione di smoothing [34, 35, 36].

L'oggetto ottenuto attraverso le operazioni sopracitate viene esportato in un file di tipo .stl.

2.1.4 CREAZIONE DELLA MESH DI VOLUME

Il file .stl, prodotto da MeshLab, è stata importato in Gmsh, un software che genera una mesh ad elementi finiti. Tale software fornisce strumenti utili per la costruzione di mesh e funzionalità di visualizzazione avanzate [37]. In particolare, nel presente lavoro, Gmsh è stato utilizzato per creare la mesh di volume tridimensionale del femore (creazione di un file di tipo .geo), tramite un algoritmo che, a partire dalla superficie importata da MeshLab, applica un processo iterativo di triangolazione fino a quando la mesh soddisfa una distribuzione ottimizzata della dimensione degli elementi [38]. Inoltre sono stati eliminati i triangoli della mesh di superficie, così la mesh orfana risultante è stata salvata sotto forma di un input file (estensione .inp) da importare in Abaqus, un software che permette simulazioni ad elementi finiti.

Figura 2.7 - Creazione della mesh di volume per il campione L1G51 ed ingrandimento del terzo trocantere.

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2.1.5 MODELLO NUMERICO DELLA PROVA DI FLESSIONE A QUATTRO PUNTI

Il file .inp creato in Gmsh è stato importato in Abaqus/CAE 2018, un software per analisi ad elementi finiti che fornisce un ambiente di modellazione integrata (pre- elaborazione) e di visualizzazione (post-elaborazione) per la simulazione numerica di svariate applicazioni di ambito ingegneristico. Tale software è popolare in ambienti accademici e di ricerca grazie alla sua grande capacità di modellazione e versatilità [39].

Abaqus è in grado di risolvere problemi legati sia all'analisi lineare, che alla più complessa analisi non lineare. Un'analisi completa di Abaqus consiste nelle seguenti fasi:

• Pre-elaborazione: in questa fase bisogna definire un modello del problema fisico e creare un file di input. Abaqus/CAE fornisce un'interfaccia per la creazione del modello, ed è suddiviso in moduli, ciascuno dei quali definisce un aspetto logico del processo di modellazione.

• Simulazione: è la fase in cui Abaqus risolve il problema numerico definito nel modello e restituisce come output della simulazione un file .odb, necessario per le operazioni di post-elaborazione.

• Post-elaborazione: dopo che sono state calcolate tutte le variabili fondamentali inerenti al problema numerico, e dopo che la simulazione è stata completata, è possibile valutare i risultati. La valutazione viene fatta utilizzando il modulo di visualizzazione di Abaqus/CAE che legge i file .odb prodotti dalla simulazione, ed è così possibile realizzare animazioni, mappe colorimetriche e grafici X-Y delle variabili desiderate [40].

La geometria di base della struttura fisica modellata in Abaqus, derivante dal file .inp creato in Gmsh, è costituita da elementi finiti 3D identificati da nodi ai loro vertici. Il tipo di elemento, così come la forma e la posizione, influenzano i risultati ottenuti dalla simulazione. All'aumentare della densità della mesh (nodi + elementi), i risultati dell'analisi convergono ad una soluzione approssimata nel modo migliore, tuttavia il tempo richiesto per portare a termine la simulazione aumenta.

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La mesh orfana creata in Gmsh è stata importata in Abaqus; il primo problema da trattare risulta essere l'orientazione del femore [25], la quale deve essere coerente con l'orientazione del femore reale nella configurazione di prova utilizzata dal gruppo di ricerca IOR per condurre la flessione a quattro punti. Per fare ciò è stata ricavata la lunghezza biomeccanica del femore: è stato individuato il punto più basso della zona di transizione tra la testa e il grande trocantere nella zona prossimale e il punto più basso dell'avvallamento creato dai due condili in zona distale; la distanza tra questi due punti risulta essere la lunghezza biomeccanica di interesse. Per facilitare l'individuazione dei due punti sopramenzionati, il femore ricostruito in Abaqus è stato orientato come nella figura seguente:

Figura 2.8 - Costruzione della lunghezza biomeccanica nel modello FEM e individuazione dei piani posti al 25% e al 70% della lunghezza biomeccanica.

Sono state individuate due sezioni poste rispettivamente al 25% e al 70% della lunghezza biomeccanica, tramite la creazione di due piani ortogonali alla retta caratterizzante la lunghezza biomeccanica (figura 2.8): ruotando il femore in modo che risulti nel piano sagittale, i piani ortogonali sopra detti permettono di individuare il punto di mezzeria delle due sezioni; unendo tali punti è stato possibile tracciare l'asse orizzontale del femore (figura 2.10). Inoltre il set up sperimentale prevede che il femore sia vincolato alle estremità in due blocchi

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terminali, in modo tale che l'asse del femore individuato risulti orizzontale quando i due blocchi sono appoggiati ai supporti inferiori e parallelo al lato inferiore del cubo. In aggiunta, il grado di libertà rotazionale attorno all'asse del femore permette di fissare la rotazione di quest'ultimo in modo tale che i due condili siano appoggiati sulla superficie interna del blocco distale, e precisamente giacenti su un piano orizzontale che dista 2.7 mm dal supporto inferiore (figura2.9).

Figura 2.9 - Orientazione del femore nella configurazione antero-posteriore (sopra) e orientazione del femore in configurazione medio-laterale (sotto).

Quanto ottenuto seguendo i passaggi sopra descritti, viene definita configurazione antero-posteriore della prova (AP), la quale ha permesso di studiare la flessione del femore in modo che il carico di applicazione fosse diretto in tale direzione (si

A

P

M

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veda la figura 2.9, in alto); portata a termine la simulazione per tale configurazione, il femore è stato ruotato di 90°, ottenendo un'orientazione medio- laterale (ML) del femore, ossia con un carico orientato in direzione ML (figura 2.9, in basso).

Figura 2.10 - Orientazione del femore nel modello numerico (sotto) che replica quella del disegno (sopra). Come si può notare i condili poggiano su un piano orizzontale posto a 2.7 mm dalla base del cubo. L'asse orizzontale del femore risulta parallelo al piano orizzontale del blocco.

Terminata l'orientazione del femore è necessario ricostruire i diversi componenti del set up sperimentale; come si può notare dal disegno nella figura precedente, lo schema di flessione a quattro punti utilizzato durante le prove sperimentali condotte dal gruppo di ricerca IOR prevede un interasse fra gli appoggi esterni pari a 15 mm e tra gli appoggi interni pari a 5 mm. I quattro appoggi sono

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costituiti da quattro cilindri di acciaio, aventi tutti 1 mm di diametro, il cui asse è perpendicolare al piano del disegno; i quattro cilindri sono fissi, ovvero non sono rulli e pertanto non possono ruotare intorno al loro asse. Ciò nonostante i due cilindri che costituiscono l'appoggio interno sono montati su un supporto basculante rispetto ad un asse, sempre perpendicolare al piano del disegno e quindi parallelo agli assi dei cilindri. Questo terzo asse è posizionato sulla mezzeria e costituisce una cerniera che garantisce il contatto di entrambi i cilindri del supporto interno con la diafisi superiore del femore durante tutta la prova (figura 2.11).

Figura 2.11 - Schematizzazione del sistema basculante che permette ai cilindri interni di essere a contatto con il femore indipendentemente dalla geometria di quest'ultimo.

Relativamente ai due cubi che vanno a costituire i due afferraggi durante la prova sperimentale, quello distale presenta una sezione quadrata con dimensioni esterne di 9.5x9.5 mm ed è riempito con cemento acrilico (E = 2GPa). La parete inferiore è spessa 2.7 mm, come precedentemente accennato, mentre le restanti pareti sono spesse 1.5 mm; il blocco prossimale, invece, presenta una parete inferiore di spessore pari a 3 mm e le restanti pareti spesse 1 mm. I due blocchi si trovano ad una distanza di 8.8 mm tra loro (figura 2.10, in alto).

Per ricostruire nel modello in Abaqus tutti gli elementi si sono create le singole parti disegnandone la geometria; per non alterare i rapporti geometrici presenti nello schema di flessione a quattro punti in esame, si è optato per la costruzione di

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due superfici discrete rigide cubiche di dimensioni 9.5x9.5x9.5 mm, senza modellare la presenza interna del cemento acrilico.

Anche per i due cubi appena creati è stata attuata la discretizzazione della geometria: in questo modo è possibile generare la griglia computazionale che definisce il numero di nodi ed elementi che compongono i blocchi precedentemente definiti; in particolare è possibile definire la dimensione, la forma e la tipologia degli elementi che compongono la mesh. I blocchi, nello specifico, presentano una mesh costituita da elementi quadrati di tipo R3D4, ovvero quadrilateri bi-lineari a quattro nodi, mentre il femore presenta una mesh costituita da elementi tetraedrici di tipo C3D4, ovvero elementi tetraedrici a quattro nodi.

Creati i singoli elementi col proprio sistema di riferimento locale, è possibile assemblarli e posizionarli in modo da ricreare una configurazione di prova di flessione a quattro punti, rispetto ad un sistema di coordinate globale (figura 2.12).

Figura 2.12 - Ricostruzione degli afferraggi della prova sperimentale condotta dal gruppo di ricerca dello IOR (12A). Le estremità distale e prossimale del femore sono inglobate nei cubi come si può notare dalla figura 12B. La distanza tra i due blocchi è di 8.8 mm.

A

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Come si può notare dalla figura precedente, le estremità distale e prossimale del femore sono inglobate nei due blocchi, tuttavia ciò non è funzionale ai fini della simulazione, dal momento che si è deciso di trattare i cubi come degli oggetti discreti rigidi senza la modellazione del cemento acrilico interno, e quindi tali estremità, distale e prossimale, sono state rimosse.

Figura 2.13: Immagine, senza prospettiva, del femore accoppiato con i due cubi di afferraggio. Si noti che le parti di femore inglobate nei blocchi sono state rimosse perché non funzionali alla simulazione.

I cilindri interni sono stati creati con le seguenti dimensioni: diametro = 1 mm,

h = 9.5 mm ed è stata creata una mesh anche per essi, esattamente come è stato

fatto per i cubi; pertanto, anche in questo caso, la mesh è costituita da elementi R3D4. Gli appoggi esterni, per semplicità, anziché utilizzare dei cilindri veri e propri, sono stati definiti con due reference point, in quanto risultano adatti e più efficaci per instaurare i vincoli cinematici opportuni, come verrà descritto nei prossimi paragrafi.

Figura 2.14 - Configurazione della flessione a quattro punti realizzata nel modello numerico. I cubi di afferraggio sono stati rimossi perché inutili ai fini della simulazione e sono stati aggiunti due reference point che modellano gli appoggi esterni.

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In aggiunta a ciò, anche la presenza dei blocchi nel modello non è necessaria ai fini della simulazione, dal momento che il femore viene legato agli appoggi esterni per mezzo dei vincoli cinematici sopra menzionati. La figura 2.14 mostra come si presenta il modello della flessione a quattro punti utilizzato nelle simulazioni.

Figura 2.15 - Allineamento dei reference point dei cilindri interni con quelli di appoggio.

I reference point che modellano gli appoggi esterni sono stati allineati con i reference point dei due cilindri interni (figura 2.15), che individuano il contatto cilindro-femore. In questo modo sono stati minimizzati il più possibile i momenti che si creerebbero se tali reference point venissero posti altrove lungo l'asse X (es. al centro delle basi dei cilindri interni).

Le proprietà dei materiali devono essere specificate per tutti gli elementi del modello. Per semplicità, il femore è stato considerato come un solido deformabile omogeneo, avente un comportamento lineare-elastico ed isotropo; in particolare è stato assegnato al femore un materiale con modulo di Young E = 30 GPa (valore arbitrario, poi corretto in una seconda fase del lavoro) e coefficiente di Poisson ν = 0,25.

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Se si volesse costruire un modello più raffinato sarebbe necessario dividere il femore in regioni distinte, ad esempio anteriore, laterale, mediale e posteriore, e assegnare per ciascuna di queste regioni uno specifico materiale. È infatti molto probabile che il femore murino presenti diverse rigidezze nelle diverse zone sopramenzionate, e quindi la strategia di ricostruire un femore con proprietà di materiale disomogeneo riprodurrebbe in modo più efficace la realtà.

Sono state create, inoltre, differenti fasi di analisi al fine di specificare l'ordine in cui applicare le condizioni al contorno e i carichi agenti sul set up. Abaqus/CAE crea di default uno step iniziale che consente di definire le condizioni al contorno, ossia i campi predefiniti e le interazioni applicate all'inizio dell'analisi; lo step