Le reti trifase

con  intensità  delle  correnti  della  linea  k  indipendenti  dai  generatori  e  dalle  impedenze  relative alle altre linee. 

In  Italia,  ad  esempio,  il  sistema  trifase  nazionale  di  bassa  tensione  (detto  anche sistema di  utilizzazione) è un sistema spurio: oltre ai tre conduttori di fase, normalmente indicati con  la sequenza  R‐S‐T, è disponibile un quarto conduttore “neutro” N (oltre ad un eventuale  ulteriore  conduttore  di  protezione  P,  normalmente  non  funzionale  al  sistema  RSTN)¹⁸.  Il  sistema di distribuzione in media tensione è invece un sistema puro, con tre sole linee. 

                 

Fig.III.11.2 Sistema polifase puro   

                 

Fig.III.11.2 Sistema polifase spurio   

 

Sistemi simmetrici ed equilibrati: un sistema polifase si dice simmetrico (diretto o inverso)  se le tensioni di alimentazione sono simmetriche (dirette o inverse) , ossia se i moduli sono  uguali ed ogni tensione è in ritardo (in anticipo per la simmetria inversa) di 2π/n rispetto  alla  tensione  che  la  precede  nella  sequenza.  Se  le  tensioni  sono  simmetriche,  i  fasori  rappresentano  i  lati  di  un  poligono  regolare.  Se  anche  le  correnti  di  linea  sono 

18 Nella realtà il conduttore di neutro potrà essere schematizzato con una impedenza (di neutro) normalmente di modulo molto piccolo rispetto alle altre impedenze; la tensione tra i centri stella

∑ ∑

∑

≅

+

= ⁿ

Yk k n N

N Yk n

Yk k

Y Z

Z E

Z Z

Z E V

1 1

1

0 1 1 & &

&

&

&  

risulta piccola rispetto alle tensioni stellate e le intensità delle correnti di linea molto poco dipendenti dal  valore dell’impedenza di neutro

+ e2(t)

+ eⁿ(t)

1

2

n

i2(t) i1(t)

0 Y

+ e1(t) + e²(t)

+ en(t)

1

2

n

i2(t) i1(t)

in(t)

0 Y

N

simmetriche,  ossia  le  impedenze  equivalenti  sono  uguali  tra  loro,  il  sistema  si  dice  equilibrato.  

In  un  sistema  simmetrico  ed  equilibrato  l’intensità  di  corrente  nell’eventuale  conduttore  neutro è nulla¹⁹. 

k k k n

k n

k n

k n

k k

Y Z

I E n j

E

Z n Z E

Z Z E

V &

&

&

&

&

= +

=

=

=

=

∑ ∑

∑

∑

0 0 ;

1 1

1 1

1 1

0 (III.11.3) 

In fig.III.11.3 sono riportate, per un sistema trifase puro simmetrico diretto con impedenze  di carico a stella, le relazioni tra tensioni stellate, tensioni concatenate e correnti di linea. Il  poligono  delle  tensioni stellate forma un triangolo equilatero. Facendo poi corrispondere  al  centro  stella  0  un  punto  del  piano  della  rappresentazione  simbolica  e  riportando  a  partire da esso i tre vettori simmetrici rappresentativi delle tensioni stellate del generatore,  si possono rappresentare i punti 1,2 e 3 e quindi costruire le tensioni concatenate che a loro  volta formano un triangolo equilatero e risultano in semplice relazione geometrica rispetto  alle tensioni stellate. Infatti posto 

 

 

( ) ( )

( )

( )

^{⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

=

⎟↔

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

=

⎟↔

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

=

↔ +

=

π α

π α α

π α ω

π α ω

α ω

3 4

3 3

3 2

2 2

1 1

3 2 4

3 2 2

2

j j j

Ee E t

sen E

t e

Ee E t

sen E

t e

Ee E t

sen E

t e

 (III.11.4) 

si ha 

( )

( )

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

=

↔

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

=

↔

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

=

↔

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

π π α ω

π π α ω α π

ω

π π π

π π π

π

3 4 2 6

3 3

3 2 2 6

3 3

2 6 3 3

31 3

4 6 3 1

4 12 31

12 3

2 6 3 1

2 12 23

6 12 1 12

t sen E

t v e

E e

V V

t sen E

t v e

E e

V V

t sen E

t v e

E V

j j j j

j

(III.11.5) 

Il  modulo  della  tensione  concatenata  si  ottiene  da  quello  della  tensione  stellata  moltiplicandolo  per  √3.  Tipicamente,  ad  una  tensione  concatenata  di  380  V  corrisponde  una tensione stellata di 220 V. 

Con  la  (III.8.1)  è  possibile  determinare  la  posizione  sul  piano  del  centro  stella  Y  (spostamento del centro stella), le tensioni sulle impedenze e l’intensità delle correnti di linea  (fig.III.11.4): 

19 Questa considerazione è vera anche se il conduttore di neutro non è un cortocircuito ideale; infatti

0 1 0

1

1 1

1

1 1

0 j

Z Z n Z E

Z Z

Z E V

N n

k n

N k n

k k

U = +

+

= +

=

∑

∑

∑

&

&

&

&

&

&

 

j k

Yk k Yk

k k

Y k n k

Yk n

Yk k

Y

Z e E Z

I E

V E E Z Z E V

ϕ

= −

=

−

=

=

∑

∑

&

&

&

&

' '

0 '

1 1

0 ;

1

         (III.11.6) 

  Fig.III.11.4 Sistema trifase simmetrico 

 

Se  si  considera  un  carico  a  triangolo  (o  un  carico  a  triangolo  equivalente  a  quello  della  fig.III.11.4),  le  correnti  di  lato  possono  essere  ricavate  direttamente  dalle  tensioni  concatenate (fig.III.11.5); le relazioni tra le impedenze a stella e quelle a triangolo possono  essere ricondotte a quelle tra resistenze analoghe. 

I

1

E

1

+

Y +

+

1

2

3

0

I

²

I

3

E

3

E

2

E

3

E

2

E

1

V

12

V

31

V

23

x y

0

α

Z &

₁Y

Z &

₂Y

Z &

₃Y

Y

'

E1 '

E3 '

E2

1

2 3

I

1

I

3

I

2

  Fig.III.11.4 Sistema trifase simmetrico; carico a stella 

I

1

E

1

+

Y +

+

1

2

3

0

I

²

I

3

E

3

E

2

E

3

E

2

E

1

V

12

V

31

V

23

x y

0

α

Z &

₁Y

Z &

₂Y

Z &

₃Y

Y

'

E1 '

E3 '

E2

1

2 3

I

1

I

3

I

2

  Fig.III.11.5 Sistema trifase simmetrico; carico a triangolo 

 

Nel caso di carico equilibrato (fig. III.11.6) 

Y Y

Y Y

Y

Z Z Z Z Z Z Z Z

Z

₁

=

₂

=

₃

= ;

₁₂

=

₂₃

=

₃₁

=

_Δ

= 3

 

lo  spostamento  del  centro  stella  è  nullo;  le  intensità  delle  correnti  di  linea  e  di  lato  sono  simmetriche  e  si  ha 

I = 3 J

.  Si  mantiene  nella  trasformazione  l’angolo  di  potenza  ϕ  (nello schema a stella, tra tensione stellata e intensità di corrente di linea; nello schema a  triangolo, tra tensione concatenata e corrente di fase). 

Si  nota  che  la  simmetria  suggerisce  di  considerare  uno  schema  base,  da  cui  riportare  le  altre  grandezze  simmetriche.  La  pratica  suggerisce  di  adottare  lo  schema  equivalente  stellato, per la opportunità di indicare con evidenza i centri stella 0 e Y, corrispondenti di  punti fisici.  

Lo  schema  monofase  equivalente  è  una  semplificazione  dello  schema  a  stella,  in  cui  si  evidenzia  un  generico  generatore  stellato  ed  i  carichi  a  stella  o  stella  equivalente  (fig.III.11.7) 

Nelle applicazioni, potranno essere utilmente carichi a triangolo solo se si è in presenza di  carico equilibrato, esempio un motore trifase per sollevamento. La presenza tuttavia di un  centro  stella  Y  accessibile  permette  –  se  considerato  opportuno  –  di  poter  collegare  un  conduttore neutro per i seguenti scopi: 

E

3

E

2

E

1

V

12

V

31

V

23

x y

0

α

1

2 3

I

1

I

3

I

1

E

1

+ +

+

1

2

3

0

I

²

I

3

E

3

E

2

Z&

¹²

Z&

23

Z&31

J31

J23

J12

J12

I

2

J23

J31

J12

J23

J31

a)  consentire di mantenere una tensione pari alla tensione sui carichi pari alla tensione  stellata  dei  generatori  nel  caso  di  carichi  diversi  (ad  es.  tre  fabbricati)  anche  se  statisticamente rappresentabili con carichi “confrontabili”. 

b)  Consentirebbe  di  “sentire”  un  guasto  su  una  linea  di  un’apparecchiatura  che  è  rappresentabile come un carico equilibrato. 

   

   

I

1

E

1

+ +

+

1

2

3

0

I

²

I

3

E

3

E

2

Z&

^Δ

Z&

Δ

Z&Δ

J31

J23

J12

I

1

E

1

+

Y +

+

1

2

3

0

I

²

I

3

E

3

E

2

3 x

E

E

2

E

1

V

12

V

31

V

23

y

0≡Y

α

Z&

Y

Z&

Y

Z&

Y

ϕ

I

2

J12

J31

J23

I

1

I

2

ϕ

^J12

^I

³

I

1

Fig.III.11.6 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato   

                         

Fig.III.11.7 Schema monofase equivalente. 

   

   

Tensione (nominale) di sistema: in un sistema simmetrico ci si riferisce in genere al valore  efficace della tensione concatenata ( tensione di sistema). 

   

Potenza  nei  sistemi  trifase:  in  un  sistema  trifase  simmetrico  ed  equilibrato  la  potenza  fluttuante erogata dai generatori è nulla. Infatti, in questo caso, con le solite notazioni, 

( ω α β) ω α β π ω α β π ϕ

ϕ 3 cos

3 2 8

3 cos 2 4

cos 2

cos cos

3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( _{1 1 2 2 3 3}

VI t

VI t

VI t

VI VI

t i t e t i t e t i t e t p_g

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

− + +

−

=

= +

+

=

 (III.8.7) 

costituendo  i  tre  termini  fluttuanti  una  terna  simmetrica  inversa  e  quindi  a  somma  (istantanea) nulla. 

La  potenza  istantanea  quindi  coincide  con  la  potenza  media:  la  sollecitazione  meccanica  sull’albero  dell’alternatore,  legata  alla  coppia  istantanea  non  ha  quindi  un  termine  di 

“fatica”,  determinando  così  prestazioni  decisamente  migliori  soprattutto  in  termini  di  durata. Lo stesso dicasi per il tripolo utilizzatore (es. un motore). 

Da ciò nasce l’esigenza di pianificare al meglio l’alimentazione di utenze monofasi sulle tre  linee. 

Un  sistema  trifase  simmetrico  ed  equilibrato  equivale  (vedi  fig.III.11.7)  a  tre  sistemi 

“monofasi”;  quindi  consentirebbe,  a  parità  di  energia  trasmessa  dal  generatore  al  carico,  un risparmio del 50% sui conduttori rispetto a tre sistemi monofasi. In un sistema spurio,  il  carico  è  di  norma  “quasi”  equilibrato,  il  conduttore  neutro  può  essere  realizzato  della  stessa sezione dei conduttori di fase e quindi si ha un risparmio di 1/3 rispetto a tre sistemi  monofase. 

E I

Y

+ 1

0

Z&

Y

Teorema di Aron: in un sistema trifase puro (anche dissimmetrico e squilibrato), assegnate  le tensioni (stellate) tra i morsetti ed il centro stella O’ del generatore, la potenza complessa  assorbita da un carico (così come la potenza istantanea) può essere calcolata valutando le  tensioni  rispetto  ad  un  riferimento  qualsiasi  O*  (teorema  di  Aron  o  della  invarianza  della  potenza rispetto al centro stella). Infatti 

( ) ( ) ( )

( )

* 3

3 2

* 2 1

* 1 3 2 1 '

* 3

* 3 2

* 2 1

* 1

3 '

*

* 3 2 '

*

* 2 1 '

*

* 1 3 ' 3 2 ' 2 1 '

1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~

~

~

~

~

~

~

I E I E I E I I I V I E I E I E

I V E I V E I V E I E I E I E P

O O

O O O

O O

O

+ +

= + +

− +

+

=

=

− +

− +

−

= + +

& =

   (III.11.8); 

prendendo  come  riferimento  O*  il  morsetto  corrispondente  ad  una  linea  k    ,  essa  può  essere quindi espressa con somma di solo due termini (essendo  nullo E_k^*)considerando il  prodotto  del  fasore  delle  tensioni  concatenate  di  una  delle  due  linee    rispetto  alla  terza  linea k con  il coniugato del fasore della corrente della linea. 

Per  la  misura  della  potenza  media  e  della  potenza  reattiva    in  un  sistema  puro  bastano  quindi due wattmetri e due varmetri. 

 

Rifasamento   

Nei  sistemi  trifase  si  può  procedere  a  rifasare  un  carico  equilibrato,  tipicamente  ohmico‐

induttivo), che assorba una potenza P=3EIcosϕ inserendo una terna di condensatori a stella  o a triangolo²⁰; nel primo caso la terna di condensatori assorbirà la potenza reattiva 

2 2 2

3 3

3 E

C Q E

X C

Q E _{Y Y} ^Y

c =− ω ⇒ =− ω

−

Υ = ; 

nel secondo caso 

2 2

2

3 3

3 EV

C Q V

X C Q V

c ω _{Δ Δ} ω ^Δ

Δ =− =− ⇒ =−  

A parità di potenza reattiva si ha quindi che la capacità dei condensatori a triangolo è un  terzo della capacità dei condensatori a stella. 

Volendo  rifasare  al  valore  Φ  dell’angolo  di  potenza,  il  valore  della  capacità  nella  connessione a triangolo sarà 

2

2 3

) (

3 3

1

V tg tg P V C Q

C _y ^Y

ω ϕ ω

−

= Φ

−

=

Δ =  

Da tale espressione si evince l’opportunità di valutare la convenienza di un rifasamento a  triangolo²¹. 

 

Dissimetrie  nelle  reti  trifase:  la  presenza  di  carichi  squilibrati  e/o  “monofasi”,  i  guasti  transitori  e/o  ricorrenti,  il  comportamento  non  ideale  dei  componenti  delle  linee  di  tramissione,  distribuzione  ed  utilizzazione  dell’energia  elettrica,  portano  alla  progressiva  dissimmetria  delle  grandezza  man  mano  che  ci  si  allontana  dal  generatore.  Poiché  una  terna  di  correnti  non  simmetrica  può  essere  scomposta  in  terne  simmetriche  (diretta, 

20 nei rari casi di carico ohmico‐capacitivo si inseriranno opportuni induttori. 

21 Ne consegue, di massima la convenienza di utilizzare collegamenti a triangolo. Nel caso di tensione‐medio  alta,  tuttavia,  potrebbero  intervenire  considerazioni  riguardo  all’affidabilità  dei  componenti  tali  da  far  preferire la configurazione a stella, che comporta sollecitazioni e perdite più contenute negli isolanti.

Nel documento III.1.1) per cui valga – con la convenzione dell’utilizzatore ‐ la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e corrente e qualunque sia l’istante di tempo considerato (pagine 37-46)