I metodi precedenti sono finalizzati all’ottimizzazione del calcolo di massima verosimi- glianza su un singolo evento di scintillazione, ignorando la posizione di quest’ultimo all’interno del dataset N x M in ingresso all’algoritmo. In esso infatti, gli eventi sono ordinati in modo cronologico: ogni volta che si verifica una scintillazione, si memorizzano i valori di ampiezza campionati dalla matrice di sensori. Questo significa che la posizione del rivelatore con segnale di ampiezza massimo è distribuita in modo casuale all’interno del dataset iniziale.
Figura 4.11 Primi dieci eventi su un milione di un dataset relativo ad una radiazione
uniforme senza collimatore del cristallo preclinico di INSERT. In giallo sono evidenziati i rivelatori che hanno misurato la massima ampiezza per l’evento di quella riga.
Si consideri ora il metodo della finestra mobile: per ogni evento, ad ogni ciclo iterativo, si deve selezionare una parte delle LRF tramite una griglia di scansione: una volta trovata la coordinata cercata si passa all’evento successivo, calcolando nuove finestre di selezione e cancellando quelle vecchie. Questa operazione si rende necessaria poichè, mantenendo l’ordine cronologico del dataset, non vi è alcuna correlazione tra un evento e il successivo: per ogni riga infatti, la griglia mobile iniziale deve essere centrata nelle coordinate del rivelatore con segnale di ampiezza massimo; poichè quest’ultimo è distribuito in modo casuale all’interno del dataset, le finestre di LRF selezionate per un evento saranno differenti rispetto a quelle del successivo, quindi non possono essere riutilizzate nel calcolo della posizione seguente:
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Figura 4.12 (Sopra) tabella con specificati i rivelatori aventi segnale massimo, (sotto) le
finestre mobili iniziali vengono centrate nel relativo sensore ad ampiezza massima, distribuito in modo casuale nel dataset.
Si potrebbe quindi riordinare il dataset in funzione del sensore con segnale massimo: esso viene dunque diviso in M sezioni, in cui le finestre di LRF sono identiche per ogni evento della suddivisione considerata.
Figura 4.13 Riordino del dataset precedente in sezioni di eventi con rivelatore a massima
ampiezza in comune.
Si riprenda ora la formula di verosimiglianza semplificata:
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Figura 4.14 Equazione di massima verosimiglianza semplificata.
Nel (2) termine è presente ln(LRFsum), ovvero la somma di tutte le M LRF nei punti
della finestra mobile. La sua elaborazione è piottosto onerosa, tuttavia grazie al riordino non è più necessario calcolarla per ognuno dei centinaia di migliaia di eventi del dataset; è sufficiente farlo una sola volta per sezione: in essa le porzioni di LRF selezionate per il primo evento saranno le stesse di quelle dei successivi, dunque non è necessario ricalcolarle. La riscrittura semplificata della verosimiglianza consente di individuare un secondo riordino tra elementi della stessa suddivisione, basato sul parametro E. Esso non è altro che la somma delle ampiezze degli M sensori, E = ΣM
i ni; nonostante infatti i
singoli valori di ampiezza dei canali siano differenti da evento a evento, la loro somma è spesso ricorrente. Ogni sezione viene quindi divisa in sottogruppi dove anche il termine (2) dell’equazione di verosimiglianza semplificata è in comune, quindi viene calcolato
solo all’inizio della sottosezione.
Figura 4.15 Riordinamento del dataset in sezioniaventi la stessa finestra di LRF, suddivise
poi in sottosezioni di eventi con medesima somma di ampiezze.
Il termine (3), ΣM
i ni· ln(LRFi) deve essere invece calcolato singolarmente per ogni
elemento del dataset poichè, nonostante i valori Li siano gli stessi per tutta la sezione
considerati, le singole quantità ni sono diverse da evento a evento.
Si consideri ora la struttura iterativa di questo algoritmo: nonostante esso si basi sul metodo di finestra mobile, il comportamento iterativo è differente. Nella prima il percorso ricorsivo si applica all’evento selezionato fino a quando non si trova la relativa coordinata stimata, poi si passa al successivo e si ripete lo stesso procedimento. Nella tecnica a riordino invece, lo stesso ciclo viene applicato a tutti gli eventi:
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(a) (b)
Figura 4.16 Confronto dell’andamento iterativo dei due metodi tramite diagramma di
flusso.
Come si vede in figura 4.16b, nel metodo a finestra mobile, prima di passare all’evento successivo si deve stimare la posizione corrente; nel riordino ad eventi, terminato il calcolo di massima verosimiglianza, si passa all’evento successivo indifferentemente dal fatto che la posizione sia stata stimata o meno. Questo approccio obbliga a eliminare dal dataset i dati di ampiezza relativi alla coordinata appena stimata, altrimenti nel ciclo successivo quest’ultima verrebbe ricalcolata. Al termine di ogni iterazione quindi, la quantità di eventi da rielaborare diminuisce; il numero di finestre mobili dovrebbe invece aumentare drasticamente ad ogni iterazione, poichè un qualsiasi massimo posto sul perimetro di una qualunque finestra origina una nuova griglia di scansione. Effettivamente quando si passa dal primo ciclo, in cui si hanno solo M matrici mobili, al secondo, il loro numero varia dalle centinaia alle migliaia a seconda del lato della finestra scelto. Nei passaggi successivi però, la quantità di finestre può anche solo raddoppiare o addirittura diminuire; ciò dipende sia dalle dimensioni delle griglie sia dal fatto che il numero di eventi mancanti si riduce da un ciclo all’altro, quindi anche i massimi sul bordo delle
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finestre tendono a diminuire.
Sperimentalmente si è notato che quando il numero di eventi mancanti è circa doppio rispetto a quello delle griglie, il riordino perde di efficacia rispetto al metodo di finestra mobile normale poichè la maggior parte delle sezioni che compongono il dataset mancante sono formate da singoli elementi, quindi i riordini sono superflui. Le ultime coordinate vengono stimate tramite il metodo a finestra mobile classico; nel caso di un cristallo 50x50 mm, una risoluzione dell’immagine pari a 0.2 mm e una finestra composta da 20x20 pixel si tratta comunque di meno del 1% degli eventi.
Figura 4.17 Diagramma di flusso completo del metodo iterativo a riordino di eventi.
Per quanto riguarda le prestazioni, sfruttare la ridondanza di parti del codice consente di ridurre il peso computazionale dell’algoritmo di finestra mobile di circa 3,5 volte; si passa dunque da 2200 ricostruzioni/s a 7500 ricostruzioni/s.