Risoluzione – punto b)

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Uni ver sità del Salento

Determiniamo il valore effettivo del coefficiente k_f utilizzando i valori effettivi dei rapporti geometrici

𝜏_𝑎 = 𝑘_𝑓 16𝑀_𝑡 𝜋𝑑³ 𝑠

Sulla base dei rapporti geometrici effettivi si ricalcola il valore del k_t:

Esercizio 5

Risoluzione – punto b)

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^{⇒ 𝑘𝑡 = 1.62}

𝐷

𝑑 = 30

24 = 1.25 𝑟

𝑑 = 1

24 = 0.042

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli non cambia si può quindi determinare il valore effettivo del coefficiente di concentrazione delle tensioni a fatica:

𝑘_𝑓 = 1 + 𝑞 𝑘_𝑡 − 1 = 1.50

Si può quindi determinare l’ampiezza di sollecitazione corrispondente:

Esercizio 5

Risoluzione – punto b)

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𝑁 = 1246.7^𝑘

𝜏_𝑎^𝑘 = 4.118 ∙ 10⁶ Dall’equazione della curva di Wöhler, si può quindi ricavare il corrispondente numero di cicli:

𝜏_𝑎 = 𝑘_𝑓 16𝑀_𝑡

𝜋𝑑³ 𝑠 = 116 𝑁/𝑚𝑚²

L’attuatore idraulico riportato in figura ha come sezione resistente una corona circolare e può essere sollecitato da una forza eccentrica con valore massimo F = 100 kN.

a) Dimensionare staticamente la sezione resistente dell’attuatore considerando l’azione della forza massima F nella condizione di massima eccentricità e = 20 mm. Utilizzare un coefficiente di sicurezza statico s_stat = 8;

Esercizio 6 Traccia

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Dati:

b)Verificare la resistenza a fatica la sezione dell’attuatore. Eseguire la verifica con un coefficiente di sicurezza a fatica s_fat = 5 nell’ipotesi in cui la forza F sia pulsante tra 0 e 100 kN e che l’eccentricità e possa variare come precisato in tabella

c) Determinare il numero di cicli che porterebbero a rottura il componente se venisse applicata un’ampiezza di deformazione totale Δε= 2 %.

Esercizio 6 Traccia

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Condizioni di carico e [mm] ρ_i

1 0 0.70

2 10 0.15

3 20 0.15

La sezione resistente dell’attuatore deve essere dimensionata staticamente a presso-flessione;

questa infatti è soggetta a un carico assiale di compressione F = 100 kN e da un momento flettente M = Fe = 2000 Nm dovuto appunto all’eccentricità presentata dal carico F.

La sollecitazione massima sarà quindi somma del carico di trazione e del carico di flessione:

Esercizio 6

Risoluzione – punto a)

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^𝜎_𝑚𝑎𝑥 ^{= 4𝐹}

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ Si assume che:

𝐷_𝑖 = 1 3𝐷₀

⇒ 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² = 8 9𝐷₀²

⇒ 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ = 80 81𝐷₀⁴

Il dimensionamento della sezione si otterrà imponendo di non superare la tensione ammissibile:

Esercizio 6

Risoluzione – punto a)

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𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 9

La determinazione di D₀ può essere effettuata numericamente individuando lo zero della funzione attraverso il teorema degli zeri

𝑓 𝐷₀ = 9

Nel caso di carico assiale pulsante fra 0 e 100 kN ed eccentricità variabile secondo quanto riportato in tabella, si è in presenza di una sollecitazione di fatica di ampiezza variabile in cui il carico medio vale F_m = 50 kN e il carico alternato F_a = 50 kN.

Le sollecitazioni agenti nella sezione dell’attuatore si possono così determinare:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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_𝜎

𝑎 = 4𝐹_𝑎

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑎𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀

𝜎_𝑚 = 4𝐹_𝑚

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑚𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀

Tutti i termini delle espressioni dei carichi sono noti ed è quindi possibile determinare le tensioni caratteristiche delle tre condizioni di carico, amplificandole del coefficiente di sicurezza s_fat = 5:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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𝐹_𝑎 = 50 𝑘𝑁 ⇒ 𝜎_𝑎 = 4𝐹_𝑎

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑎𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ 𝑠_𝑓𝑎𝑡

𝐹_𝑚 = 50 𝑘𝑁 ⇒ 𝜎_𝑚 = 4𝐹_𝑚

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑚𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ 𝑠_𝑓𝑎𝑡 Condizioni di carico

e [mm] ρ_i σ_m [N/mm²] σ_a [N/mm²]

1 0 0.70 41.4 41.4

2 10 0.15 73.5 73.5

Si passa a considerare le caratteristiche a fatica del materiale:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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^{𝑆𝑛′ = 0.5𝜎𝑅 = 255 N}_mm2

𝐶_𝐿 = 1 𝐶_𝐺 = 0.9 𝐶_𝑆 = 0.98

𝑆_𝑛 = 𝑆_𝑛^′𝐶_𝐿𝐶_𝐺𝐶_𝑆 = 224.9 𝑁 𝑚𝑚² (flessione)

(d > 10 mm)

(lucidatura media R_a < 0.25, σ_R = 510 N/mm²)

Per tracciare la curva di Wöhler è necessario determinare anche l’ampiezza di sollecitazione corrispondente a 10³ cicli:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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𝑆₁₀³ = 0.9𝜎_𝑅 = 459 N mm²

Ricordando che S_n rappresenta il limite di fatica convenzionale corrispondente a 10⁶ cicli, è possibile determinare la pendenza della curva di Wöhler:

𝑆₁₀^{3 𝑘} ∙ 10³ = 𝑆_𝑛 ^𝑘 ∙ 10⁶ ⇒ 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ + 3 = 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑆_𝑛 + 6 𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ − 𝑙𝑜𝑔 𝑆_𝑛 = 3 ⇒ 𝑘 = 3

𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ 𝑆

= 9.683

Si ottiene quindi la curva di Wöhler relativa al materiale base e per un rapporto di sollecitazione R = -1.

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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𝜏_𝐴 = 100.9 𝑁 𝑚𝑚²

Poiché si richiede di garantire la vita a fatica per un numero di cicli N = 10⁷ cicli, si ricava il corrispondente limite di fatica dall’equazione della

curva di Wöhler,

supponendo che la pendenza non vari:

Si può quindi costruire il diagramma di Haigh:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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e riportare sul diagramma i punti rappresentativi delle tre condizioni di carico 𝜎_𝑅 = 510 N

mm² 𝜎_𝑦 = 355 N

mm²

Tracciando le rette di Goodman-Smith passanti per questi punti e intersecandole con l’asse delle ordinate, si

determinano le

sollecitazioni alternata a carico medio nullo equivalenti a quelle date

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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Uni ver sità del Salento

Si sono così ottenute tre condizioni di carico equivalenti, nel senso che determinerebbero le stesse durate di quelle date.

Si ha però il vantaggio che tutte e tre le ampiezze di sollecitazione si riferiscono ad un carico medio nullo. Tali dati possono quindi inseriti in un’unica curva di Wöhler per determinare le corrispondenti vite a fatica:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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Condizioni di carico

e [mm] ρ_i σ_a,eq [N/mm²]

1 0 0.70 45.1

2 10 0.15 85.9

3 20 0.15 133.1

I valori di queste sollecitazioni equivalenti possono essere utilizzate per determinare i corrispondenti numeri di cicli a rottura sfruttando la curva di Wöhler relativa al rapporto di sollecitazione R = -1 e ipotizzando di prolungarla con la medesima pendenza.

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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Uni ver sità del Salento

Utilizzando l’equazione della

curva di Wöhler si possono determinare i corrispondenti numeri di cicli a rottura:

Condizioni di carico σ_a,eq [N/mm²] N_i

1 45.1 5.73·10¹²

2 85.9 1.12·10¹⁰

3 133.1 1.60·10⁸

Condizioni di carico σ_a,eq [N/mm²] N_i ρ_i

1 45.1 5.73·10¹² 0.70 7·10⁶ 1.22·10^-6

2 85.9 1.12·10¹⁰ 0.15 1.5·10⁶ 1.34·10^-4

3 133.1 1.60·10⁸ 0.15 1.5·10⁶ 9.35·10^-3

TOTALE 9.49·10^-3

Infine si può valutare il danneggiamento corrispondente alla storia di carico costituita dai tre blocchi:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

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_{ni = 𝜌𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡} ^{di = 𝑛𝑖}_𝑁

𝑖

Poiché il danneggiamento totale è inferiore a 1 se ne deduce che la sezione è verificata a fatica

Il numero di cicli di carico N_f che porterebbero a rottura il componente nell’ipotesi in cui si applicasse una variazione di deformazione totale pari a Δε, si può calcolare con l’equazione di Manson-Coffin:

Esercizio 6

Nel documento Esercitazioni sulla fatica (pagine 37-54)