Esercitazioni sulla fatica

(1)

Lezioni del corso di

Calcolo e Progetto di Macchine

Università del Salento

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

prof. ing. Riccardo Nobile

Esercitazioni sulla fatica

(2)

La leva in figura è saldata su un albero rotante di diametro d mediante un doppio cordone d’angolo circonferenziale. La sezione dell’albero è sollecitata, oltre che dal momento torcente originato da F, da un momento flettente M_f.

Dimensionare a fatica la sezione ristretta dell’albero considerando il cordone di saldatura come un intaglio con raggio di raccordo r = 0.5 mm e rapporto D/d = 1.5 (utilizzare un coefficiente di sicurezza a fatica s_fat = 2.5).

Esercizio 4 Traccia

R. Nobile – Calcolo e Progetto di Macchine Esercitazioni sulla fatica

Uni ver sità del Salento

Dati:

F = 4580 N l = 280 mm M_f = 3650 Nm

Materiale: acciaio Fe 510 σ_R = 510 N/mm²

σ_y = 355 N/mm²

(3)

L’albero in figura è sollecitato da un momento torcente M_t = F · l = 4580 N · 280 mm = 1282.4 Nm e da un momento flettente M_f = 3650 Nm. La sezione critica è la sezione ristretta del cordone di saldatura, per cui il dimensionamento a fatica va effettuato in questa sezione. Le sollecitazioni agenti nella sezione critica si possono così determinare:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

Uni ver sità del Salento

_𝜎

𝑎 = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠} 32𝑀_𝑓 𝜋𝑑³

𝜏_𝑚 = 16M_𝑡

𝜋𝑑³ ⇒ 𝜎_{𝑚,𝑒𝑞} = 𝜎_𝑚

2 + 𝜎_𝑚 2

2

+ 𝜏_𝑚² = 𝜏_𝑚

(4)

Si può quindi determinare il valore del coefficiente di concentrazione delle tensioni assumendo i valori dei seguenti rapporti geometrici:

Uni ver sità del Salento

^𝐷_𝑑 ^{= 1.5}

𝑟

𝑑 = 0.1

⇒ 𝑘_{𝑡,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} = 1.72

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(5)

In base alla tensione di rottura (σ_R = 510 N/mm²) e considerando un valore del raggio di raccordo r = 0.5 mm si determina il fattore di sensibilità agli intagli

Uni ver sità del Salento

^𝜎^𝑅 ^{= 510}

𝑁 𝑚𝑚² 𝑟 = 0.5 𝑚𝑚

⇒ 𝑞 = 0.64

𝑘 = 1 + 𝑞 𝑘 − 1 = 1.46 Utilizzando questi dati si calcola quindi il coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(6)

𝑆_𝑛^′ = 0.5𝜎_𝑅 = 255 N mm² 𝐶_𝐿 = 1

𝐶_𝐺 = 0.9 𝐶_𝑆 = 0.81

𝑆_𝑛 = 𝑆_𝑛^′𝐶_𝐿𝐶_𝐺𝐶_𝑆 = 185.9 𝑁 𝑚𝑚²

Si passa a considerare le caratteristiche del materiale:

Uni ver sità del Salento

(flessione)

(d > 10 mm)

(sgrossatura Ra = 16÷40, σ_R = 510 N/mm²)

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(7)

Si può quindi costruire il diagramma di Haigh:

Uni ver sità del Salento

e tracciare la retta di lavoro, la cui pendenza sarà data da:

𝜎_𝑅 = 510 N mm² 𝜎_𝑦 = 355 N

mm²

𝑘 = 𝜎_𝑎

= 2𝑘 𝑀_𝑓

= 8.31

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(8)

Uni ver sità del Salento

𝜎_𝐴 = 𝑘 𝑘

𝑆_𝑛 + 1 𝜎_𝑅

= 178.1 𝑁 𝑚𝑚² Si può quindi determinare il corrispondente limite di fatica:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(9)

Il limite di fatica dovrà quindi tenere conto del coefficiente di sicurezza s e si può imporre la condizione limite. il diametro minimo risulta quindi essere pari a:

Uni ver sità del Salento

Scelto come valore per il diametro d = 95 mm, si ricalcolano i rapporti geometrici effettivi:

𝐷

𝑑 = 1.5

d_min = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} 32𝑀_𝑓 𝜋 𝜎_𝐴/𝑠

3 = 91.33 mm ⇒ 𝑑 = 95 𝑚𝑚

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(10)

Si rende quindi necessario verificare la sezione a fatica utilizzando i rapporti geometrici effettivi:

Uni ver sità del Salento

^{⇒ 𝑘}^𝑡 ^{= 3.52}

𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} = 1 + 𝑞 𝑘_𝑡 − 1 = 2.61

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli è invariato (q = 0.64), si possono utilizzare questi dati per calcolare il coefficiente effettivo di concentrazione degli sforzi a fatica:

𝐷

𝑑 = 1.5 𝑟

𝑑 = 0.0053

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(11)

La variazione di k_f comporta una leggera variazione del limite di fatica, in particolare un aumento, che è quindi possibile trascurare ragionando a vantaggio di sicurezza. Di conseguenza si può ricalcolare il nuovo valore di d che garantisca la verifica a fatica del componente:

Uni ver sità del Salento

Si assume quindi d = 115 mm, D = 172.5 mm e r = 0.5 mm.

La variazione del diametro d comporta ancora una volta una variazione dei rapporti geometrici dello spallamento, quindi una variazione del k_t, ma tale variazione è del tutto trascurabile ai fini della verifica, che deve quindi ritenersi soddisfatta

d_min = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} 32𝑀_𝑓 𝜋 𝜎_𝐴/𝑠

3 = 110.85 mm ⇒ 𝑑 = 115 𝑚𝑚

Esercizio 4

Risoluzione – normativa europea

(12)

L’albero è sollecitato da un momento torcente M_t = F · l = 4580 N · 280 mm = 1282.4 Nm e da un momento flettente M_f = 3650 Nm. La sezione critica è la sezione ristretta del cordone di saldatura, per cui il dimensionamento a fatica va effettuato in questa sezione.

Il metodo proposto dalla normativa americana consiste nel considerare un coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica anche per le tensioni medie. Si ricalcolerà quindi la sezione resistente dell’albero secondo i dettami di tale normativa, in maniera da confrontare criticamente i risultati ottenuti con entrambi i metodi.

Applicando quindi il coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica anche per le tensioni medie torsionali, le sollecitazioni agenti nella sezione critica si possono così determinare:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

Uni ver sità del Salento

𝜎_𝑎 = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠} 32𝑀_𝑓 𝜋𝑑³

𝜏_𝑚 = 𝑘_{𝑓,𝑡𝑜𝑟𝑠} 16M_𝑡

𝜋𝑑³ ⇒ 𝜎_{𝑚,𝑒𝑞} = 𝜎_𝑚

2 + 𝜎_𝑚 2

2

+ 𝜏_𝑚² = 𝜏_𝑚

(13)

Si può quindi determinare i valori dei coefficienti di concentrazione delle tensioni per le sollecitazioni di flessione e torsione assumendo i valori dei seguenti rapporti geometrici:

Uni ver sità del Salento

^𝐷_𝑑 ^{= 1.5}

𝑟

𝑑 = 0.1

⇒ 𝑘_{𝑡,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} = 1.72

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(14)

Si può quindi determinare i valori dei coefficienti di concentrazione delle tensioni per le sollecitazioni di flessione e torsione assumendo i valori dei seguenti rapporti geometrici:

Uni ver sità del Salento

^𝐷_𝑑 ^{= 1.5}

𝑟

𝑑 = 0.1

⇒ 𝑘_{𝑡,𝑡𝑜𝑟𝑠} = 1.38

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(15)

In base alla tensione di rottura (σ_R = 510 N/mm²) e considerando un valore del raggio di raccordo r = 0.5 mm si determina il fattore di sensibilità agli intagli

Uni ver sità del Salento

𝜎_𝑅 = 510 𝑁 𝑚𝑚² 𝑟 = 0.5 𝑚𝑚

⇒ 𝑞_{𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} = 0.64

𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} = 1 + 𝑞 𝑘_{𝑡,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} − 1 = 1.46 Utilizzando questi dati si calcola quindi il coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica per la flessione:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(16)

In base alla tensione di rottura a tensione tangenziale (τ_R = 459 N/mm²) e considerando un valore del raggio di raccordo r = 0.5 mm si determina il fattore di sensibilità agli intagli a torsione:

Uni ver sità del Salento

𝜏_𝑅 = 0.9𝜎_𝑅 = 459 𝑁 𝑚𝑚² 𝑟 = 0.5 𝑚𝑚

⇒ 𝑞_{𝑡𝑜𝑟𝑠} = 0.59 Utilizzando questi dati si calcola quindi il coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica per la torsione:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

𝑘_{𝑓,𝑡𝑜𝑟𝑠} = 1 + 𝑞 𝑘_{𝑡,𝑡𝑜𝑟𝑠} − 1 = 1.22

(17)

𝑆_𝑛^′ = 0.5𝜎_𝑅 = 255 N mm² 𝐶_𝐿 = 1

𝐶_𝐺 = 0.9 𝐶_𝑆 = 0.81

𝑆_𝑛 = 𝑆_𝑛^′𝐶_𝐿𝐶_𝐺𝐶_𝑆 = 185.9 𝑁 𝑚𝑚²

Si passa a considerare le caratteristiche del materiale:

Uni ver sità del Salento

(flessione)

(d > 10 mm)

(sgrossatura R_a = 16÷40, σ_R = 510 N/mm²)

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(18)

Uni ver sità del Salento

e tracciare la retta di lavoro, la cui pendenza sarà data da:

𝜎_𝑅 = 510 N mm² 𝜎_𝑦 = 355 N

mm²

𝑘 = 𝜎_𝑎

𝜎_{𝑚,𝑒𝑞} = 2𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} 𝑘_{𝑓,𝑡𝑜𝑟𝑠}

𝑀_𝑓

𝑀_𝑡 = 6.81

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(19)

Uni ver sità del Salento

𝜎_𝐴 = 𝑘 𝑘

𝑆_𝑛 + 1 𝜎_𝑅

= 176.5 𝑁 𝑚𝑚² Si può quindi determinare il corrispondente limite di fatica:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(20)

Il limite di fatica dovrà quindi tenere conto del coefficiente di sicurezza s e si può imporre la condizione limite. il diametro minimo risulta quindi essere pari a:

20

Uni ver sità del Salento

Si può notare come il valore ottenuto per il diametro d, sia all’incirca uguale al valore ottenuto considerando un coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica solo sulla tensione alternata (si era ricavato d = 91.33 mm).

𝐷

𝑑 = 1.5 𝑟

𝑑 = 0.0053 d_min = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} 32𝑀_𝑓

𝜋 𝜎_𝐴/𝑠

3 = 91. 61 mm ⇒ 𝑑 = 95 𝑚𝑚

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(21)

Si rende quindi necessario verificare la sezione a fatica utilizzando i rapporti geometrici effettivi:

Uni ver sità del Salento

^{⇒ 𝑘}^{𝑡,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} ^{= 3.52}

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli è invariato (q = 0.64), si possono utilizzare questi dati per calcolare il coefficiente effettivo di concentrazione degli sforzi a flessione:

𝐷

𝑑 = 1.5 𝑟

𝑑 = 0.0053

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(22)

Si rende quindi necessario verificare la sezione a fatica utilizzando i rapporti geometrici effettivi, estrapolando la curva riportata:

Uni ver sità del Salento

^{⇒ 𝑘}^{𝑡,𝑡𝑜𝑟𝑠} ^{= 2.20}

𝑘_{𝑓,𝑡𝑜𝑟𝑠} = 1 + 𝑞 𝑘_{𝑡,𝑡𝑜𝑟𝑠} − 1 = 1.71

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli è invariato (q = 0.59), si possono utilizzare questi dati per calcolare il coefficiente effettivo di concentrazione degli sforzi a torsione:

𝐷

𝑑 = 1.5 𝑟

𝑑 = 0.0053

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(23)

La variazione di k_f comporta una leggera variazione del limite di fatica, in particolare un aumento, che è quindi possibile trascurare ragionando a vantaggio di sicurezza. Di conseguenza si può ricalcolare il nuovo valore di d che garantisca la verifica a fatica del componente:

Uni ver sità del Salento

Si può notare come il valore ottenuto per il diametro d, sia all’incirca uguale al valore ottenuto considerando un coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica solo sulla tensione alternata (si era ricavato d = 110.85 mm).

Si assume quindi d = 115 mm, D = 172.5 mm e r = 0.5 mm.

La variazione del diametro d comporta ancora una volta una variazione dei rapporti d_min = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠𝑠} 32𝑀_𝑓

𝜋 𝜎_𝐴/𝑠

3 = 111.12 mm ⇒ 𝑑 = 115 𝑚𝑚

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

(24)

Per completare il dimensionamento e verificarne la sua correttezza occorre infine verificare che la tensione massima che si raggiunge nel ciclo tenendo conto di entrambe le sollecitazioni amplificate dei rispettivi coefficienti di concentrazione delle tensioni, non ecceda la tensione di snervamento

Uni ver sità del Salento

Si verifica immediatamente che:

Esercizio 4

Risoluzione – normativa americana

𝜎_𝑎 = 𝑘_{𝑓,𝑓𝑙𝑒𝑠} 32𝑀_𝑓

𝜋𝑑³ = 63.80 𝑁 𝑚𝑚²

𝜏_𝑚 = 𝑘_{𝑓,𝑡𝑜𝑟𝑠}16M_𝑡

𝜋𝑑³ = 5.24 𝑁

𝑚𝑚² ⇒ 𝜎_{𝑚,𝑒𝑞} = 𝜎_𝑚

2 + 𝜎_𝑚 2

2

+ 𝜏_𝑚² = 𝜏_𝑚 = 5.24 𝑁 𝑚𝑚²

𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 𝜎_𝑎 + 𝜎_{𝑚,𝑒𝑞} = 69.04 𝑁

𝑚𝑚² < 𝜎_𝑦 = 355 𝑁 𝑚𝑚²

(25)

L’albero rotante riportato in figura è sollecitato da un momento torcente M = M_isinωt, la cui ampiezza è riconducibile a quattro blocchi di carico secondo quanto riportato in tabella.

a) dimensionare l’albero per garantire una durata di 10⁷ cicli

b) calcolare il numero di cicli che porterebbero a rottura il componente supponendo di applicare un momento torcente di ampiezza costante pari a M_i = 140 Nm

Esercizio 5 Traccia

Uni ver sità del Salento

Dati:

r = 1 mm

coeff. di sicurezza s = 1.5 Materiale: acciaio C40 σ_R = 590 N/mm²; σ_y = 374 N/mm²;

d D

Blocchi di carico

r

M_i ρ_i

1 97 Nm 0.4

2 85 Nm 0.4

3 120 Nm 0.1

(26)

L’albero rotante in esame è sollecitato da un momento torcente M = M_i sint, la cui ampiezza è riconducibile a quattro blocchi di carico secondo quanto riportato in tabella. La sezione critica è quella dello spallamento, in cui andrà effettuato il dimensionamento a fatica.

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

La sollecitazione media è nulla data l’assenza di

un carico medio. L’ampiezza di sollecitazione relativa all’i-esimo blocco di carico si può così determinare:

𝜏_𝑎𝑖 = 𝑘_𝑓 16M_i 𝜋𝑑³

(27)

Ipotizziamo di assumere i valori dei seguenti rapporti geometrici:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

𝐷

𝑑 = 1.2 𝑟

𝑑 = 0.1

⇒ 𝑘_𝑡 = 1.34

(28)

In base alla tensione di rottura (σ_R = 590 N/mm²) e considerando un valore del raggio di raccordo r = 1 mm si determina il fattore di sensibilità agli intagli

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

^𝜎^𝑅 ^{= 590}

𝑁 𝑚𝑚² 𝑟 = 1 𝑚𝑚

⇒ 𝑞 = 0.81

𝑘_𝑓 = 1 + 𝑞 𝑘_𝑡 − 1 = 1.27 Utilizzando questi dati si calcola quindi il coefficiente di concentrazione degli sforzi a fatica:

(29)

Si passa a considerare le caratteristiche a fatica del materiale:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

𝑆_𝑛^′ = 0.5𝜎_𝑅 = 295 N mm² 𝐶_𝐿 = 0.58

𝐶_𝐺 = 0.9 𝐶_𝑆 = 0.94

′ 𝑁

(torsione) (d > 10 mm)

(rettifica fine R_a = 0.25÷0.6, σ_R = 590 N/mm²)

(30)

Per tracciare la curva di Wöhler è necessario determinare anche l’ampiezza di sollecitazione corrispondente a 10³ cicli:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

𝑇₁₀³ = 0.72𝜎_𝑅 = 424.8 N mm²

Ricordando che T_n rappresenta il limite di fatica convenzionale corrispondente a 106 cicli, è possibile determinare la pendenza della curva di Wöhler:

𝑇₁₀³ ^𝑘 ∙ 10³ = 𝑇_𝑛 ^𝑘 ∙ 10⁶ ⇒ 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑇₁₀³ + 3 = 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑇_𝑛 + 6 𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑇₁₀³ − 𝑙𝑜𝑔 𝑇_𝑛 = 3 ⇒ 𝑘 = 3

𝑙𝑜𝑔 𝑇₁₀³ 𝑇_𝑛

= 6.414

(31)

La curva di Wöhler ottenuta è relativa al materiale base e non tiene conto del cambio di pendenza che è determinato dalla presenza dell’intaglio. Tale approssimazione è sicuramente accettabile in quanto a vantaggio di sicurezza.

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

^Poiché ^si ^richiede ^digarantire la vita a fatica per

un numero di cicli N = 10⁷ cicli, si ricava il corrispondente limite di fatica dall’equazione della

curva di Wöhler,

supponendo che la pendenza non vari:

(32)

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

A questo punto è necessario trasformare la storia di carico ad ampiezza di carico variabile a blocchi assegnata in una storia di carico equivalente ad ampiezza di sollecitazione costante.

Volendo visualizzare l’operazione che è necessario compiere, occorre passare dal cumulativo di carico reale (in blu in figura) a quello equivalente (in rosso in figura) costituito da un unico blocco ad ampiezza costante e di durata pari al numero totale di cicli 10⁷.

(33)

Tale equivalenza, basata sull’ipotesi di Palmgren-Miner, porta alla definizione dell’ampiezza di sollecitazione equivalente data dalla seguente formula:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

^𝜏^{𝑎,𝑒𝑞} ⁼

𝜏_𝑖 _𝑖^𝑘𝑛_𝑖 𝑛_𝑖 _𝑖

𝑘 = 𝜏_𝑖^𝑘𝜌_𝑖

𝑖

𝑘

= 𝑘_𝑓 16 𝜋𝑑³

𝑘

𝑀_𝑖^𝑘𝜌_𝑖

𝑖

𝑘

= 𝑘_𝑓 16

𝜋𝑑³ 𝑀_𝑖^𝑘𝜌_𝑖

𝑖

𝑘

in cui si è tenuto conto che:

𝑛_𝑖

𝑖

= 𝑁_𝑇𝑂𝑇 = 10⁷ ⇒ n_i

N_TOT = 𝜌_𝑖

(34)

Indicando con M_a,eq il momento torcente equivalente e tenendo conto del coefficiente di sicurezza (s = 1.5), è possibile determinare il valore del diametro d:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

34

Uni ver sità del Salento

^𝑀^{𝑎,𝑒𝑞} ⁼ ^𝑀^𝑖^𝑘^𝜌^𝑖_𝑖

𝑘

= 99628 𝑁𝑚𝑚

⇒ 𝑑_𝑚𝑖𝑛 = 𝑘_𝑓 16𝑀_{𝑎,𝑒𝑞} 𝜋(𝜏_𝐴/𝑠)

3 = 16.21 𝑚𝑚 ⇒ 𝑑 = 20 𝑚𝑚

𝐷

𝑑 = 1.2 𝑟

𝑑 = 0.05

(35)

Sulla base dei rapporti geometrici effettivi si ricalcola il valore del k_t:

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

^{⇒ 𝑘}^𝑡 ^{= 1.54}

𝐷

𝑑 = 1.2 𝑟

𝑑 = 0.05

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli non cambia si può quindi determinare il valore effettivo del coefficiente di concentrazione delle tensioni a fatica:

(36)

Poiché la curva di Wöhler si riferisce al materiale base e poiché il calcolo di Ma,eq dipende esclusivamente dal cumulativo di carico, si può procedere direttamente al calcolo del diametro minimo d

Esercizio 5

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

𝑑 = 24 𝑚𝑚

𝐷 = 1.2𝑑 = 28.8 𝑚𝑚 ⇒ 𝐷 = 30 𝑚𝑚

La variazione del diametro d comporta ancora una volta una variazione dei rapporti geometrici dello spallamento, quindi una variazione del k_t, ma tale variazione è del tutto trascurabile ai fini della verifica, che deve quindi ritenersi soddisfatta

⇒ 𝑑_𝑚𝑖𝑛 = 𝑘_𝑓 16𝑀_{𝑎,𝑒𝑞} 𝜋(𝜏_𝐴/𝑠)

3 = 22.1 𝑚𝑚 ⇒ 𝑑 = 24 𝑚𝑚

(37)

Si considera ora di applicare un momento torcente ad ampiezza costante M_t = M_isint.

Per individuare il numero di cicli che porta a rottura il componente si deve calcolare il valore della sollecitazione alternata corrispondente e individuare dalla curva di Wöhler il corrispondente numero di cicli. Nel calcolare l’ampiezza di sollecitazione τa occorre amplificare il momento del coefficiente di sicurezza:

Esercizio 5

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

Determiniamo il valore effettivo del coefficiente k_f utilizzando i valori effettivi dei rapporti geometrici

𝜏_𝑎 = 𝑘_𝑓 16𝑀_𝑡 𝜋𝑑³ 𝑠

(38)

Sulla base dei rapporti geometrici effettivi si ricalcola il valore del k_t:

Esercizio 5

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

^{⇒ 𝑘}^𝑡 ^{= 1.62}

𝐷

𝑑 = 30

24 = 1.25 𝑟

𝑑 = 1

24 = 0.042

Tenendo conto che il fattore di sensibilità agli intagli non cambia si può quindi determinare il valore effettivo del coefficiente di concentrazione delle tensioni a fatica:

𝑘_𝑓 = 1 + 𝑞 𝑘_𝑡 − 1 = 1.50

(39)

Si può quindi determinare l’ampiezza di sollecitazione corrispondente:

Esercizio 5

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

𝑁 = 1246.7^𝑘

𝜏_𝑎^𝑘 = 4.118 ∙ 10⁶ Dall’equazione della curva di Wöhler, si può quindi ricavare il corrispondente numero di cicli:

𝜏_𝑎 = 𝑘_𝑓 16𝑀_𝑡

𝜋𝑑³ 𝑠 = 116 𝑁/𝑚𝑚²

(40)

L’attuatore idraulico riportato in figura ha come sezione resistente una corona circolare e può essere sollecitato da una forza eccentrica con valore massimo F = 100 kN.

a) Dimensionare staticamente la sezione resistente dell’attuatore considerando l’azione della forza massima F nella condizione di massima eccentricità e = 20 mm. Utilizzare un coefficiente di sicurezza statico s_stat = 8;

Esercizio 6 Traccia

Uni ver sità del Salento

Dati:

coefficiente di sicurezza:

- statico s_stat = 8 - fatica s_fat = 5 Materiale: Fe510

σ_R = 510 N/mm²; σ_y = 355 N/mm² parametri di Manson-Coffin

- σ_f’/E = 0.440; ε_f’ = 0.188 - b = -0.375; c = -0.879

(41)

b)Verificare la resistenza a fatica la sezione dell’attuatore. Eseguire la verifica con un coefficiente di sicurezza a fatica s_fat = 5 nell’ipotesi in cui la forza F sia pulsante tra 0 e 100 kN e che l’eccentricità e possa variare come precisato in tabella

c) Determinare il numero di cicli che porterebbero a rottura il componente se venisse applicata un’ampiezza di deformazione totale Δε= 2 %.

Esercizio 6 Traccia

Uni ver sità del Salento

Condizioni di carico e [mm] ρ_i

1 0 0.70

2 10 0.15

3 20 0.15

(42)

La sezione resistente dell’attuatore deve essere dimensionata staticamente a presso-flessione;

questa infatti è soggetta a un carico assiale di compressione F = 100 kN e da un momento flettente M = Fe = 2000 Nm dovuto appunto all’eccentricità presentata dal carico F.

La sollecitazione massima sarà quindi somma del carico di trazione e del carico di flessione:

Esercizio 6

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

^𝜎_𝑚𝑎𝑥 ⁼ ^4𝐹

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ Si assume che:

𝐷_𝑖 = 1 3𝐷₀

⇒ 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² = 8 9𝐷₀²

⇒ 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ = 80 81𝐷₀⁴

(43)

Il dimensionamento della sezione si otterrà imponendo di non superare la tensione ammissibile:

Esercizio 6

Risoluzione – punto a)

Uni ver sità del Salento

𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 9 8

4𝐹

𝜋𝐷₀² +81 80

32𝐹𝑒

𝜋𝐷₀³ ≤ 𝜎_𝑦 𝑠_{𝑠𝑡𝑎𝑡}

La determinazione di D₀ può essere effettuata numericamente individuando lo zero della funzione attraverso il teorema degli zeri

𝑓 𝐷₀ = 9 8

4𝐹

𝜋𝐷₀² +81 80

32𝐹𝑒

𝜋𝐷₀³ − 𝜎_𝑦 𝑠_{𝑠𝑡𝑎𝑡}

D₀ F(D₀)

1 50 178.0

2 100 -9.4

3 75 30.0

4 90 1.6

5 95 -4.4

6 93 -2.1

(44)

Nel caso di carico assiale pulsante fra 0 e 100 kN ed eccentricità variabile secondo quanto riportato in tabella, si è in presenza di una sollecitazione di fatica di ampiezza variabile in cui il carico medio vale F_m = 50 kN e il carico alternato F_a = 50 kN.

Le sollecitazioni agenti nella sezione dell’attuatore si possono così determinare:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

_𝜎

𝑎 = 4𝐹_𝑎

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑎𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀

𝜎_𝑚 = 4𝐹_𝑚

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑚𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀

(45)

Tutti i termini delle espressioni dei carichi sono noti ed è quindi possibile determinare le tensioni caratteristiche delle tre condizioni di carico, amplificandole del coefficiente di sicurezza s_fat = 5:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

𝐹_𝑎 = 50 𝑘𝑁 ⇒ 𝜎_𝑎 = 4𝐹_𝑎

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑎𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ 𝑠_𝑓𝑎𝑡

𝐹_𝑚 = 50 𝑘𝑁 ⇒ 𝜎_𝑚 = 4𝐹_𝑚

𝜋 𝐷₀² − 𝐷_𝑖² + 32𝐹_𝑚𝑒

𝜋 𝐷₀⁴ − 𝐷_𝑖⁴ 𝐷₀ 𝑠_𝑓𝑎𝑡 Condizioni di carico

e [mm] ρ_i σ_m [N/mm²] σ_a [N/mm²]

1 0 0.70 41.4 41.4

2 10 0.15 73.5 73.5

(46)

Si passa a considerare le caratteristiche a fatica del materiale:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

^𝑆^𝑛^′ ^{= 0.5𝜎}^𝑅 ^{= 255} ^N_mm2

𝐶_𝐿 = 1 𝐶_𝐺 = 0.9 𝐶_𝑆 = 0.98

𝑆_𝑛 = 𝑆_𝑛^′𝐶_𝐿𝐶_𝐺𝐶_𝑆 = 224.9 𝑁 𝑚𝑚² (flessione)

(d > 10 mm)

(lucidatura media R_a < 0.25, σ_R = 510 N/mm²)

(47)

Per tracciare la curva di Wöhler è necessario determinare anche l’ampiezza di sollecitazione corrispondente a 10³ cicli:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

𝑆₁₀³ = 0.9𝜎_𝑅 = 459 N mm²

Ricordando che S_n rappresenta il limite di fatica convenzionale corrispondente a 10⁶ cicli, è possibile determinare la pendenza della curva di Wöhler:

𝑆₁₀³ ^𝑘 ∙ 10³ = 𝑆_𝑛 ^𝑘 ∙ 10⁶ ⇒ 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ + 3 = 𝑘𝑙𝑜𝑔 𝑆_𝑛 + 6 𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ − 𝑙𝑜𝑔 𝑆_𝑛 = 3 ⇒ 𝑘 = 3

𝑙𝑜𝑔 𝑆₁₀³ 𝑆

= 9.683

(48)

Si ottiene quindi la curva di Wöhler relativa al materiale base e per un rapporto di sollecitazione R = -1.

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

𝜏_𝐴 = 100.9 𝑁 𝑚𝑚²

Poiché si richiede di garantire la vita a fatica per un numero di cicli N = 10⁷ cicli, si ricava il corrispondente limite di fatica dall’equazione della

curva di Wöhler,

supponendo che la pendenza non vari:

(49)

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

e riportare sul diagramma i punti rappresentativi delle tre condizioni di carico 𝜎_𝑅 = 510 N

mm² 𝜎_𝑦 = 355 N

mm²

(50)

Tracciando le rette di Goodman-Smith passanti per questi punti e intersecandole con l’asse delle ordinate, si

determinano le

sollecitazioni alternata a carico medio nullo equivalenti a quelle date

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

(51)

Si sono così ottenute tre condizioni di carico equivalenti, nel senso che determinerebbero le stesse durate di quelle date.

Si ha però il vantaggio che tutte e tre le ampiezze di sollecitazione si riferiscono ad un carico medio nullo. Tali dati possono quindi inseriti in un’unica curva di Wöhler per determinare le corrispondenti vite a fatica:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

Condizioni di carico

e [mm] ρ_i σ_a,eq [N/mm²]

1 0 0.70 45.1

2 10 0.15 85.9

3 20 0.15 133.1

(52)

I valori di queste sollecitazioni equivalenti possono essere utilizzate per determinare i corrispondenti numeri di cicli a rottura sfruttando la curva di Wöhler relativa al rapporto di sollecitazione R = -1 e ipotizzando di prolungarla con la medesima pendenza.

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

Utilizzando l’equazione della

curva di Wöhler si possono determinare i corrispondenti numeri di cicli a rottura:

Condizioni di carico σ_a,eq [N/mm²] N_i

1 45.1 5.73·10¹²

2 85.9 1.12·10¹⁰

3 133.1 1.60·10⁸

(53)

Condizioni di carico σ_a,eq [N/mm²] N_i ρ_i

1 45.1 5.73·10¹² 0.70 7·10⁶ 1.22·10^-6

2 85.9 1.12·10¹⁰ 0.15 1.5·10⁶ 1.34·10^-4

3 133.1 1.60·10⁸ 0.15 1.5·10⁶ 9.35·10^-3

TOTALE 9.49·10^-3

Infine si può valutare il danneggiamento corrispondente alla storia di carico costituita dai tre blocchi:

Esercizio 6

Risoluzione – punto b)

Uni ver sità del Salento

_n_i _{= 𝜌}_𝑖_𝑛_𝑡𝑜𝑡 ^dⁱ ⁼ ^𝑛^𝑖_𝑁

𝑖

Poiché il danneggiamento totale è inferiore a 1 se ne deduce che la sezione è verificata a fatica

(54)

Il numero di cicli di carico N_f che porterebbero a rottura il componente nell’ipotesi in cui si applicasse una variazione di deformazione totale pari a Δε, si può calcolare con l’equazione di Manson-Coffin:

Esercizio 6

Risoluzione – punto c)

54

Uni ver sità del Salento

^∆𝜀

2 = 𝜎_𝑓^′

𝐸 2𝑁_𝑓 ^𝑏 + 𝜀_𝑓^′ 2𝑁_𝑓 ^𝑐

La determinazione di N_f può essere effettuata numericamente individuando lo zero della funzione attraverso il teorema degli zeri:

𝑓 𝑁_𝑓 = 𝜎_𝑓^′

𝐸 2𝑁_𝑓 ^𝑏 + 𝜀_𝑓^′ 2𝑁_𝑓 ^𝑐 −∆𝜀 2

N_f f(N_f)

1 10000 7.603E-04 2 20000 -1.710E-03 3 15000 -7.624E-04 4 12500 -1.065E-04 5 12000 4.668E-05 6 12250 -3.098E-05 7 12125 7.572E-06 8 12175 -7.915E-06 9 12150 -1.824E-07 10 12140 2.917E-06 11 12145 1.367E-06 12 12149 1.274E-07 Si assume N_f = 12150