Sebbene il fenomeno della condensazione sia strettamente legato alle caratteri-stiche dei bosoni, `e tuttavia possibile realizzare un condensato di Bose-Einstein a partire da un gas degenere di atomi fermionici. Perch´e ci`o accada, i fermioni del gas devono accoppiarsi per formare degli stati legati e diventare molecole di tipo bosonico, quindi in grado di condensare.
D’altra parte lo studio della condensazione di atomi fermionici risulta molto interessante poich´e permette di studiare il crossover BCS-BEC: dalle coppie di Cooper, debolmente legate e a lungo raggio, si pu`o passare, aumentando il potenziale di interazione fra gli atomi, alle molecole diatomiche. Questo fenomeno `e stato gi`a osservato in esperimenti che utilizzavano gas di 40K e6Li [9], [10].
degenere, si possono utilizzare le stesse tecniche viste precedentemente per i bosoni, ad eccezione del raffreddamento per evaporazione poich´e esso richiede la ritermalizzazione del gas che, nel caso dei fermioni, non pu`o avvenire, dato che fra i fermioni sono inibite le collisioni elastiche.
Il raffreddamento evaporativo viene quindi sostituito dal raffreddamento simpatetico: si aggiungono al gas degli atomi di tipo bosonico che hanno la funzione di refrigerante poich´e, attraverso collisioni elastiche con i fermioni, consentono la ritermalizzazione. Per esempio, nell’esperimento eseguito con atomi di litio, si utilizzano, come refrigeranti, atomi di sodio. Successivamente si pu`o ottenere un gas di soli atomi di litio eliminando il sodio per evaporazione oppure si pu`o scegliere di studiare la miscela contenente anche il sodio.
A questo punto, a seconda del tipo di interazione esistente fra gli atomi, si pu`o ottenere un BEC o il regime BCS.
L’interazione fra gli atomi all’interno di un gas `e repulsiva entro distanze piccolissime fra gli atomi e diventa poi, al crescere della distanza, debolmente attrattiva, a causa delle forze di Van Der Walls. Questo potenziale, mostrato in figura 2.7 in funzione della distanza relativa fra gli atomi, `e abbastanza profondo da contenere diversi livelli vibrazionali relativi a stati legati di tipo molecolare.
Consideriamo due curve di energia potenziale, relative a due diverse confi-gurazioni dello spin di una coppia di atomi. Esse sono ottenute aggiungendo al potenziale un termine iperfine, che induce, a seconda del suo segno, uno splitting delle due curve, verso l’alto per una e verso il basso per l’altra. Consi-deriamo inoltre due atomi con energia cinetica molto pi`u piccola dello splitting fra le due curve, tale che i due atomi non possono, in seguito alla collisione, saltare nel livello superiore. In questo caso, la curva inferiore viene associata ad un canale “aperto” mentre quella superiore ad un canale “chiuso”, per-ch´e non raggiungibile dagli atomi. Questa condizione sperimentale si ottiene utilizzando atomi alcalini ultrafreddi.
all’e-Figura 2.7: Potenziale d’interazione fra gli atomi di un gas
nergia di uno stato legato del canale chiuso, si verifica una risonanza, detta risonanza di Feshbach, [11], [12], [13]. In altre parole, essa accade quando uno stato legato del canale chiuso attraversa l’asintoto del canale aperto.
La posizione relativa fra il livello energetico corrispondente allo stato legato e quello corrispondente all’energia cinetica degli atomi in collisione, determi-na la lunghezza di scattering dell’interazione fra i costituenti del gas. Alla risonanza di Feshbach, la lunghezza di scattering diverge, mentre essa risulta negativa quando il livello molecolare ha energia pi`u grande di quella dei due atomi separati, positiva nel caso contrario.
Poich´e le due curve si riferiscono a due configurazioni di spin diverse, la presenza di un campo magnetico esterno induce su di esse traslazioni diverse. Ci`o significa che, variando il campo magnetico esterno, `e possibile variare lo splitting fra le curve e di conseguenza l’interazione fra le particelle.
Una relazione approssimata, in accordo con i dati sperimentali, che lega la lunghezza di scattering al campo magnetico esterno `e data da:
a = abg 1 − ∆
B − Bpicco
!
, (2.4)
dove abg `e la lunghezza di scattering di background , Bpicco `e il valore del campo magnetico a cui avviene la risonanza e a diventa infinito e ∆ `e la larghezza della risonanza per il campo magnetico. La lunghezza di scattering
di background caratterizza i processi di scattering diretto fra i due atomi nel canale aperto, senza considerare accoppiamenti con canali chiusi. Di solito questi processi non vengono considerati poich´e poco interessanti rispetto alla risonanza di Feshbach, che si verifica in presenza di un canale chiuso e causa il comportamento drammatico della lunghezza di scattering appena descritto [14]. La 2.4 `e rappresentata in figura 3.11. 150 160 170 B -20000 -10000 10000 20000 aa0
Figura 2.8: Andamento della lunghezza di scattering in funzione dell’intensit`a del campo magnetico esterno, nelle vicinanze della risonanza di Feshbach. Il grafico `e ottenuto per ∆ = 10.709 G, Bpicco = 155.041 G, abg = −443a0, con a0 raggio di Bohr. Si noti che a diverge per B = Bpicco.
Si possono utilizzare questi concetti per creare un apparato sperimentale per studiare la transizione dal regime BCS al regime BEC.
Si pu`o infatti mettere il gas all’interno di un campo magnetico in modo che, variando opportunamente il campo, si fa variare la posizione relativa dei livelli energetici del canale chiuso e di quello aperto e, di conseguenza, l’inte-razione esistente fra le particelle del gas da debolmente repulsiva (fase BEC) a debolmente attrattiva (fase BCS), passando attraverso la regione di crossover, in cui le particelle sono fortemente interagenti, cio`e alla risonanza di Feshbach.
Nella figura 2.9 sono rappresentati i due canali, nei tre possibili casi che si possono presentare; la curva blu corrisponde al canale chiuso e quella verde al canale aperto (due atomi liberi). Nel primo grafico, lo stato legato ha energia maggiore dell’energia cinetica dei due atomi in collisione (asintoto del canale aperto), pertanto lo stato molecolare non `e stabile e a < 0; nel secondo grafico i due livelli sono degeneri, per cui ci troviamo nella regione unitaria, in cui a diverge; nell’ultimo, il livello molecolare `e minore di quello dei due atomi, pertanto si forma uno stato molecolare stabile e a > 0.
stato legato canale aperto canale chiuso r E stato legato r E stato legato r E
Figura 2.9: Livelli energetici del canale aperto (atomi non legati) e del canale chiuso in funzione della distanza relativa fra i due atomi. Le linee tratteggiate rappresentano gli asintoti delle curve, quindi l’energia cinetica degli atomi; il segmento continuo rappresenta il livello di uno stato legato entro il canale chiuso. Nel primo grafico, lo stato legato ha energia maggiore dell’asintoto del canale aperto, pertanto i due atomi restano non legati e la lunghezza di scattering `e negativa; nel secondo caso i due livelli coincidono e la lunghezza di scattering diverge; nel terzo grafico lo stato legato ha energia inferiore per cui si formano molecole e la lunghezza di scattering `e positiva.
Variando il campo magnetico si possono allontanare o avvicinare i due livelli, che saranno circa coincidenti alla risonanza: pi`u sono vicini i livelli, pi`u forte `e l’interazione.
Riassumendo:
• a > 0: il livello energetico dello stato legato `e inferiore a quello dei due atomi separati, si forma quindi un condensato di molecole diatomiche, con potenziale di interazione repulsivo e pertanto stabili (regime BEC); • a < 0: le molecole diventano instabili a causa del potenziale attrattivo, ma due fermioni possono ancora formare una coppia a lungo range di dimensioni confrontabili o maggiori della distanza fra le particelle del gas (regime BCS).
Capitolo 3
Superconduttori ad alta
temperatura
La teoria BCS descrive il comportamento dei superconduttori di prima gene-razione, ma non `e invece adatta a descrivere i superconduttori ad alta tempe-ratura, individuati per la prima volta a met`a degli anni 080 del secolo scorso [15].
Questi nuovi materiali diventano superconduttori a temperature critiche maggiori di quelle tipiche dei superconduttori tradizionali. In alcuni casi, que-ste temperature possono raggiungere i 100K. L’interpretazione data `e che in questi materiali gli elettroni hanno interazioni molto pi`u forti con gli ioni del reticolo, quindi con i fononi, favorendo cos`ı l’accoppiamento, che resiste anche a temperature pi`u alte.
Il modello introdotto nella teoria BCS `e costruito sulle ipotesi di accoppia-mento debole fra gli elettroni e di alte densit`a di portatori di carica, caratte-ristiche ben verificate dai superconduttori di prima generazione, ma non pi`u valide per gli HTSC, che, al contrario, sono caratterizzati da accoppiamento forte fra le particelle e basse densit`a.
Le principali differenze fra le due generazioni, oltre a diverse propriet`a elettriche e magnetiche, sono:
tempe-ratura critica pi`u alta dei primi, quindi pi`u facilmente raggiungibile in laboratorio;
• hanno una densit`a di portatori relativamente bassa;
• sono caratterizzati da una lunghezza di correlazione delle coppie ξ0 solo poche volte pi`u grande della distanza fra i siti reticolari. Ci`o deriva dalla bassa densit`a di portatori, che comporta una distanza media fra le particelle abbastanza grande; nei superconduttori tradizionali, invece, la lunghezza di correlazione `e molto pi`u grande della distanza media fra le particelle. Per esempio, il fattore kFξ0 per il La1.95Sr0.15CuO4 `e 10-20, nel YBa2Cu3O7 `e 5-10 mentre nei superconduttori di I tipo `e 103− 104; • presenza di uno pseudogap nello spettro di particella singola, quindi nello
stato normale, a temperature maggiori di quella critica.
Gli HTSC sono costituiti da ossidi, prevalentemente ossido di rame, e me-talli delle terre rare; essi hanno una struttura a piani di ossido di rame CuO2, entro cui si stabilisce la superconduttivit`a, per cui comunemente si usa un modello in due dimensioni per descriverli.
Il nome pseudogap deriva dall’analogia con il gap superconduttivo. Es-so consiste nella Es-soppressione, nello spettro di energia, delle basse frequenze, soppressione che diventa completa durante la fase superconduttiva (gap). La presenza di questo pseudogap `e legata alla formazione di molecole, che avviene alla temperatura T∗ >Tc.
Lo pseudogap `e stato osservato in esperimenti di fotoemissione (ARPES) [16], che mostrano un comportamento anomalo del calore specifico [17], della resistivit`a [18] e altre grandezze termodinamiche a temperature maggiori della temperatura critica. Successivamente sono stati effettuati esperimenti di scan-ning tunneling spectroscopy [19], che mettono in evidenza l’esistenza sia del gap, al di sotto della temperatura critica, sia dello pseudogap, fra Tc e T∗. La figura 3.1 mostra la conduttanza del Bi2212 in funzione della tensione appli-cata al campione, per temperature fra 4.2K e 293K, con temperatura critica pari a 83K.
V
OLUME80, N
UMBER1 P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S 5 J
ANUARY1998
superconducting gap remains temperature independent up
to T
cwhere no sign is indicating that it is closing. Across
T
c, the superconducting tunneling spectra evolve
continu-ously into a normal state quasiparticle gap structure, which
we refer to as a pseudogap. It is clear from Fig. 2 that
this pseudogap also does not change much with
tempera-ture and that it is even possibly there at room temperatempera-ture.
The pseudogap structure just gets weaker with increasing
temperature. This is in striking contrast to photoemission
data which for a sample with the same doping level led to
the conclusion that the gap reduced to zero at T
!! 170 K
[11]. We believe the T
!observed in various experiments
is to be considered as a characteristic energy scale and not
as a temperature where the pseudogap is reduced to zero.
At first sight it is not clear from these data where the critical
temperature is located. A closer inspection of the spectra
shows that the peak at negative energy and the dip at about
22D
pdisappear at T
c. The positive bias peak on the
mea-sured spectra does not vanish at T
c, but remains finite and
shifts to higher energies above T
c[Fig. 3(b)]. The DOS at
the Fermi level bears no particular signature of the
super-conducting transition in this set of data. Indeed, the DOS
below the gap starts to be depleted already at room
tem-perature and gradually hollows in to reach its minimum at
4.2 K. This low bias temperature dependence is better seen
in Fig. 3(a), which is a three dimensional plot of the
tunnel-ing conductance as a function of energy and temperature of
the 83 K underdoped Bi2212. The same data are displayed
as a gray scale projection onto the energy-temperature
plane in Fig. 3(b), where white corresponds to high
con-ductivity !1.5 GV
21" and black to zero conductivity.
So far most measurements report the existence of a
pseudogap in underdoped samples. Our measurements
FIG. 2. Tunneling spectra measured as a function of tem-perature on underdoped Bi2212. The conductance scale cor-responds to the 293 K spectrum, the other spectra are offset vertically for clarity.
show that the pseudogap is present above T
cboth at
optimum doping and in overdoped samples. In Fig. 4 we
show a set of spectra for the overdoped sample with a T
cof
74.3 K. We see that the behavior is precisely the same as
for the underdoped case discussed above. The gap value
stays temperature independent and the peak at negative
energy as well as the dip at about 22D
pdisappear at T
c,
but the region below the gap evolves smoothly across T
cinto the pseudogap. The difference with the underdoped
case is that the gap and pseudogap are smaller, and the
amplitude of the pseudogap structure seems to disappear
more quickly as the temperature is increased. The fact
that the pseudogap scales with the superconducting gap
and that it is smaller in the overdoped samples than in the
underdoped ones indeed demonstrates that the pseudogap
in Fig. 4 is a property of the overdoped crystal, and not
that of an underdoped surface resulting from partial loss
of oxygen at high temperature. The two curves shown on
top of the 69 K spectrum in Fig. 4 illustrate the temperature
independence of the gap. Simply thermally smearing the
4.2 K spectrum to 69 K (dashed curve, D
69 K! D
4.2 K)
reproduces much better the position of the conductance
peaks at 69 K than thermally smearing the 4.2 K spectrum
to 69 K assuming a reduced gap (dotted curve, D
69 K!
0.8D
4.2 K). The numerical spectra show that there are
more low energy states measured than predicted by simply
thermally smearing the data. However, this feature is
beyond the scope of this Letter. We have also carried
out similar analysis for the 83 K underdoped sample with
basically the same conclusions.
Several theoretical studies have considered the
possibil-ity of the presence of superconducting phase fluctuations
FIG. 3. (a) Three dimensional view of the conductance data shown in Fig. 2. The highlighted curve is the spectrum measured at Tc. (b) Projection onto the energy-temperature plane. The line at positive bias indicates the position of the positive bias conductance peak which clearly shifts to higher energies above Tc.
151
Figura 3.1: Spettro della conduttanza del Bi2212 per temperature comprese fra 4.2K e 293K.
Nasce quindi l’esigenza di formulare una nuova teoria per spiegare lo sta-to superconduttivo di questi materiali e che riesca a giustificare le nuove caratteristiche osservate.
In particolare, questi sistemi sembrano essere in uno stato intermedio fra il regime della BCS e quello della BEC: si tratta di uno stato caratterizza-to proprio da interazioni forti fra le particelle ed `e, per questo, difficile da analizzare.