Dr.ssaFlorianaGIANNUZZI Chiar.moProf.GiuseppeNARDULLI SUPERFLUIDIT`AOLTRELATEORIABCS CORSODILAUREADIIILIVELLOINFISICA UNIVERSIT`ADEGLISTUDIDIBARI

(1)

UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI BARI

FACOLT ` A DI SCIENZE MM.FF.NN.

CORSO DI LAUREA DI II LIVELLO IN FISICA

TESI DI LAUREA IN FISICA TEORICA

SUPERFLUIDIT ` A

OLTRE LA TEORIA BCS

Relatore:

Chiar.mo Prof. Giuseppe NARDULLI

Laureanda:

Dr.ssa Floriana GIANNUZZI

Anno Accademico 2005/2006

(2)

Indice

1 Introduzione: Superfluidità e superconduttività al di là della

teoria di campo medio 5

2 Superfluidi a bassa temperatura 12

2.1 La teoria BCS . . . 12

2.2 Condensazione di Bose-Einstein . . . 18

2.3 Evidenze sperimentali della BEC su atomi bosonici . . . 21

2.4 Risonanza di Feshbach . . . 28

3 Superconduttori ad alta temperatura 34 3.1 Crossover BCS-BEC Modello non relativistico in 2D e 3D . . . 37

3.2 Crossover BCS-BEC Modello non relativistico in 2D e 3D . . . 37

3.2.1 Studio di un modello bidimensionale . . . 38

3.2.2 Studio di un modello tridimensionale . . . 49

3.2.3 Pseudogap . . . 52

3.3 Transizione BKT . . . 55

4 Superfluidit`a di sistemi non omogenei 61 4.1 Gas di Fermi costituiti da due specie . . . 61

4.1.1 Fase di Breached Pairing . . . 63

4.1.2 Fase FFLO . . . 68

4.1.3 Diagramma di fase . . . 77

4.2 Tre specie interagenti . . . 81

(3)

4.2.1 Tre specie con costanti d’interazione diverse . . . 81 4.2.2 Tre specie con potenziali chimici diversi . . . 94

5 Conclusioni 99

A Il punto di Lifshitz 101

B Analisi con il gruppo di rinormalizzazione 105

C Cenni sulla teoria di Eliashberg 109

Bibliografia 114

(4)

Capitolo 1

Introduzione: Superfluidit` a e

superconduttivit` a al di l` a della

teoria di campo medio

La superconduttività fu scoperta nel 1911 dal fisico olandese Kamerlingh On- nes, mentre eseguiva una serie di esperimenti in condizioni di basse temperature. Egli notò che il mercurio, portato a temperature inferiori a 4K, diventa superconduttore, cioè in grado di trasportare corrente elettrica senza resistenza e senza perdite energetiche. Tale comportamento non era mai stato osservato prima di tale data poiché mancavano le tecniche sperimentali per il raggiungimento delle basse temperature alle quali il fenomeno si manifesta.

Successivamente cominciarono gli studi in questo campo, sia per trovare un modello teorico per la descrizione microscopica del fenomeno, sia nella ricerca di nuovi materiali che potessero presentare le stesse proprietà superconduttive a temperature più alte di quelle fino ad allora osservate, quindi più facilmente riproducibili sperimentalmente, soprattutto in vista di applicazioni pratiche.

Il fisico R. Gavaler scopr`ı che il Nb3Ge diventa superconduttore a 23K e furono scoperti altri materiali con temperature critiche dello stesso ordine. I primi superconduttori scoperti furono classificati come superconduttori di I tipo mentre questi ultimi come superconduttori di II tipo. Oltre alla temperatura critica, c’`e un’altra fondamentale differenza fra queste due generazioni

(5)

e riguarda il loro comportamento in presenza di un campo magnetico esterno:

mentre i primi hanno la caratteristica di espellere dal loro interno il campo magnetico durante la fase superconduttiva, se la sua intensità non supera un certo valore critico, i secondi, invece, sono caratterizzati da due campi magnetici cri- tici e permettono una parziale penetrazione delle linee di flusso del campo nel range intermedio fra questi due valori. Nei primi, si verifica una transizione di fase del primo ordine quando il campo magnetico supera il valore critico, mentre nei secondi una transizione di fase del secondo ordine all’aumentare dell’intensità del campo magnetico, dal primo valore critico al secondo, al di là del quale il materiale torna nello stato normale.

Nel 1986 G. Bednorz e K. A. Muller scoprirono che l’ “LBCO”, un ossido di lantanio, bario e rame, diventa superconduttore a circa 35K; data la rile- vanza della scoperta, i due fisici ricevettero il premio Nobel per la Fisica del 1987. Oggi si conoscono materiali che diventano superconduttori a temperature intorno ai 100K; questi materiali, sono stati battezzati col nome di HTSC, High Temperature Superconductors, e sono costituiti da ossidi (spesso ossido di rame) e da metalli prevalentemente delle terre rare.

In questi ultimi venti anni, successivi alla scoperta degli HTSC, lo studio della superconduttività ha avuto un grande sviluppo. Questo evento ha, infatti, da una parte, stimolato la ricerca sperimentale, rendendo più facilmente riproducibili gli esperimenti sulla superconduttività, e, dall’altra, ha stimola- to la ricerca teorica, che, fino a quel momento, aveva previsto temperature critiche al massimo di 20K, mentre si scopriva che la superconduttività era possibile già a 100K.

Un’ulteriore stimolo alle ricerche in questo campo è stato generato dagli studi sulla condensazione di Bose-Einstein (BEC) in atomi ultrafreddi. Nel 1995 si ebbe la prima osservazione di un condensato di bosoni presso i laboratori del JILA, negli Stati Uniti , mediante tecniche che consentono il raffreddamento del gas a bassissime temperature e contemporaneamente ne evitano la lique- fazione. Il fenomeno della condensazione era stato previsto già dal 1925 da Einstein e Bose ma, fino a dieci anni fa, le ricerche sperimentali erano basate solo sull’osservazione della superfluidità, che avviene in liquidi quantistici e può pertanto avere caratteristiche diverse rispetto alla condensazione di Bose-

(6)

Einstein. Recentemente, invece, sono stati effettuati studi sulla condensazione prima in gas bosonici e, successivamente, in gas fermionici.

Come si è detto, la BEC è stata osservata in atomi ultrafreddi, cioè gas di atomi che, a basse temperature (100 nK), hanno una transizione di fase e formano un condensato. Con questi materiali, si possono effettuare esperimenti in cui si può far variare la temperatura, la densità e l’intensità d’interazione, cambiando semplicemente il campo magnetico esterno, sfruttando un metodo detto risonanza di Feshbach: si può in questo modo studiare il comportamento del gas in diverse condizioni e, in particolare, il passaggio fra regimi in cui le particelle in un gas sono debolmente interagenti, come accade nei superconduttori metallici a basse temperature, a regimi in cui esse sono fortemente interagenti, come accade nella BEC. D’altra parte, l’importanza dell’analisi del crossover fra queste due regioni, risiede nel fatto che si ritiene che i nuovi materiali superconduttori ad alta temperatura siano proprio in questo stato intermedio. A conferma di questa ipotesi, c’è il fatto che gli HTSC hanno caratteristiche intermedie fra quelle dei due limiti e che il passaggio da un lim- te all’altro avviene, come dimostreremo, in maniera continua, attraverso un crossover.

La necessità di nuovi studi teorici in materia di superconduttività è dovuta alla inadeguatezza della teoria di Bardeen, Cooper e Schrieffer nello spiegare le caratteristiche dei nuovi superconduttori.

Ricordiamo che la teoria BCS, introdotta nel 1957, è stata la prima teoria microscopica della superconduttività metallica ed è risultata una teoria straor- dinariamente efficace nella spiegazione di questo fenomeno per questa classe di materiali.

Secondo la teoria BCS, durante la fase superconduttiva, i portatori della corrente elettrica sono coppie di elettroni debolmente legati, chiamate coppie di Cooper. Esse, per scambiare energia con gli ioni del reticolo, devono superare una barriera energetica (gap) e quindi non possono dissipare energia.

I modelli precedenti alla teoria BCS avevano avuto carattere pi`u fenome-

(7)

nologico. Ad esempio, i fisici F. e H. London scrissero delle equazioni in grado di descrivere il comportamento dei superconduttori in presenza di un campo magnetico.

Successivamente, nel 1950, Ginzburg e Landau costruirono una teoria che descrive la transizione di fase del secondo ordine che avviene nel passaggio dallo stato normale a quello superconduttivo.

Nel 1959 Gor’kov riusc`ı a unificare la teoria BCS e quella di Ginzburg-Landau, mostrando che il gap energetico, introdotto dalla teoria BCS, `e proporzionale alla funzione d’onda di Ginzburg-Landau.

Nel 1957 Abrikosov costru`ı una teoria per spiegare il comportamento dei superconduttori di II tipo.

Per gli HTSC non c’`e ancora una teoria completa. Come gi`a sottolineato, sembra che essi siano in un regime intermedio fra quello relativo alla teoria BCS e quello relativo alla condensazione di Bose-Einstein(BEC).

Lo scopo della tesi `e quello di presentare alcuni sviluppi teorici recenti in questo campo. Questi sviluppi hanno riguardato sia alcune caratteristiche peculiari dei superconduttori ad alta temperatura, come la presenza di uno pseudogap nello spettro di energia dello stato normale o la loro maggiore lunghezza di correlazione, sia la superconduttivit`a degli atomi freddi, per esempio di atomi bosonici, come il ⁷Li, o fermionici, come il ⁶Li e il ⁴⁰K.

Quanto detto, quindi, suggerisce che, per descrivere i nuovi superconduttori, non è più possibile utilizzare un modello basato sulle due ipotesi fondamentali della teoria BCS, ovvero l’ipotesi di accoppiamento debole fra le particelle e l’approssimazione di campo medio. La prima ipotesi va superata poiché, come già sottolineato, le particelle nei nuovi superconduttori hanno accoppiamenti più forti. La seconda ipotesi va superata poiché le fluttuazioni del parametro d’ordine per accoppiamenti più forti diventano importanti e determinano lo pseudogap osservato.

Nella tesi si passeranno in rassegna alcuni studi recenti riguardanti i metodi per andare al di l`a dell’accoppiamento debole, per descrivere il crossover e per superare l’approssimazione di campo medio, mediante l’introduzione nel- l’Hamiltoniana della teoria di termini contenenti le fluttuazioni del parametro d’ordine.

(8)

La descrizione del crossover sarà poi estesa al caso di sistemi non omogenei, costituiti cioè da atomi diversi. Per questi si presentano altre possibili fasi, oltre alla fase normale e quella condensata, cioè la fase di Breached Pairing e la fase FFLO (Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov). La prima è caratterizzata dalla contemporanea presenza di condensato e particelle nello stato normale e generalizza la fase BEC per sistemi non omogenei. La seconda è caratterizzata da coppie di Cooper con impulso totale non nullo e generalizza la fase BCS.

Inoltre, si sono analizzate le fasi BEC e BCS per sistemi costituiti da tre specie di atomi fermionici. In questo caso lo scopo è capire quali accoppiamenti sono favoriti al variare del potenziale chimico delle specie o delle costanti di accoppiamento che caratterizzano le tre possibili interazioni binarie degli atomi fermionici. Sottolineiamo che questa generalizzazione è necessaria perché l’Hamiltoniana di Hubbard, che è la più semplice Hamiltoniana utilizzata per questi sistemi, prevede sempre un’interazione fra specie diverse (nel caso più semplice, come nella teoria BCS, fra elettroni di spin opposto).

Vogliamo infine sottolineare che la BEC si verifica in molti campi della fisica, non solo nella materia condensata. Ad esempio, fenomeni simili sono noti in fisica nucleare, delle particelle elementari e in astrofisica. Essa è prevista anche dalla QCD, in cui sono coppie di q ¯q (a basse densità) e qq (ad alte densità) a condensare. In tabella sono elencati alcuni sistemi di bosoni che mostrano il fenomeno della superfluidità.

La tesi `e organizzata nel modo seguente.

Nei primi due paragrafi del capitolo 2 sono richiamati i concetti fondamentali della teoria BCS e della BEC. Nel primo paragrafo `e descritto il modello introdotto da Berdeen, Cooper e Schrieffer e i risultati che esso prevede, mentre nel secondo sono riportati gli argomenti statistici che provano il fenomeno della condensazione dei bosoni a basse temperature.

(9)

Tabella 1.1: Alcuni sistemi di bosoni in cui avviene il fenomeno della condensazione.

Particella Composta da in manifestazione coerenza

coppia di Cooper e⁻ e⁻ metalli superconduttivit`a coppia di Cooper h⁺ h⁺ ossidi di rame superconduttivit`a ad alta temperatura

4He ⁴He²⁺ 2e⁻ ⁴He superfluidit`a

3He 2(³He²⁺ 2e⁻) ³He superfluidit`a

condensati chirali h¯qqi vuoto struttura delle

particelle elem.

condensato di colore hqqi stelle compatte rottura SU(3)_c

Nel paragrafo successivo sono descritte le tecniche sperimentali introdotte negli ultimi dieci anni per realizzare un condensato di bosoni. Il procedimento che oggi si utilizza prevede pi`u fasi, che hanno l’obiettivo di raffreddare e intrap- polare il gas: all’inizio, c’`e una fase di raffreddamento, mediante luce laser, e, contemporaneamente, di intrappolamento mediante un campo magnetico esterno; poi il gas viene messo all’interno di una trappola magnetica e infine viene fatto evaporare, per abbassare ulteriormente la sua temperatura.

Nell’ultimo paragrafo, è descritta la risonanza di Feshbach, tecnica mediante la quale è possibile variare l’interazione fra le particelle di un gas fermionico cambiando il campo magnetico esterno. L’importanza di questa tecnica in questo contesto è dovuta al fatto che essa offre la possibilità di studiare il crossover fra la regione BCS e quella BEC.

Nel capitolo 3 sono descritti i superconduttori ad alta temperatura, cioè gli HTSC. È trattato il modello di Hubbard bidimensionale e tridimensionale in approssimazione di campo medio, a T=0, per la descrizione teorica del crossover BCS-BEC. Si giustifica il motivo per cui questo passaggio viene indicato come un crossover e perché gli HTSC possono essere descritti da tale

(10)

modello. Sono inoltre ricavate l’equazione di gap e quella per il numero medio di particelle, valide per qualsiasi valore della costante d’interazione: entrambe le equazioni sono quindi in grado di descrivere sia il regime BCS, sia il regime BEC (con risultati compatibili con quelli gi`a noti) ed anche la regione intermedia, che interessa gli HTSC. In seguito sono riportati i risultati previsti dal modello a temperature finite e quando si abbandona l’approssimazione di campo medio. In particolare, viene descritto lo pseudogap e la transizione di Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, che si verifica quando diventano importanti le fluttuazioni termiche nel sistema.

Nel capitolo 4 vengono descritti gas non omogenei, costituiti da atomi di specie diverse. Inizialmente è affrontato il caso di due specie: si analizza il comportamento del sistema quando la differenza dei potenziali chimici delle due specie diventa sempre più grande. Vengono determinati i limiti a cui la fase BEC e quella BCS non sono più stabili e sono descritte le fasi che si possono presentare, oltre allo stato normale, quando il condensato viene rotto.

Sono riportati i diagrammi di fase che rappresentano la fase del sistema in funzione della differenza dei potenziali chimici. Successivamente è trattato il caso di tre specie, nell’ipotesi che due dei tre accoppiamenti che si possono stabilire fra atomi di specie diverse siano descritti dalla stessa costante d’interazione mentre l’altro è descritto da una costante diversa. Si è determinato quali coppie si formano per diversi valori delle due costanti d’accoppiamento e, successivamente, per diversi valori dei potenziali chimici.

(11)

Capitolo 2

Superfluidi a bassa temperatura

2.1 La teoria BCS

La teoria BCS `e stata formulata nel 1957 dai fisici J. Bardeen, L. N. Cooper e J. R. Schrieffer [1]. Essa rappresenta storicamente la prima interpretazione microscopica del fenomeno della superconduttivit`a.

Alla base di questa teoria c’`e l’idea che nei superconduttori la corrente elettrica viene trasportata da coppie di elettroni, debolmente legati, che possono muoversi nel metallo senza urtare gli ioni e quindi senza perdite di energia.

Queste coppie hanno il nome di coppie di Cooper, essendo state ipotizzate per la prima volta da Cooper in un lavoro del 1956 [2]. In questo lavoro egli dimostra che, in presenza di un’interazione attrattiva fra gli elettroni, arbitrariamente piccola, lo stato fondamentale diventa instabile rispetto alla formazione di coppie di elettroni. Poiché uno stato legato di due elettroni segue la statistica di Bose-Einstein, esso può condensare: da qui ha origine la superconduttività.

Nei metalli l’interazione attrattiva, che `e alla base di questo fenomeno e che deve competere con la repulsione coulombiana, ha origine dall’interazione dei due elettroni con gli ioni del reticolo. Questa interazione pu`o essere descritta nel modo seguente: un elettrone, muovendosi all’interno del reticolo cristallino, crea una distorsione del reticolo a causa dell’attrazione che esercita sugli ioni positivi che lo costituiscono; se questa distorsione persiste per un tempo finito,

(12)

può essere sentita da un secondo elettrone in moto, che quindi risulta debolmente attratto dal primo. Poiché l’energia che tiene unita la coppia è molto piccola, è sufficiente innalzare la temperatura anche di poco per separare gli elettroni: esiste cioè una temperatura critica al di sopra della quale le coppie si rompono e il metallo non è più superconduttore.

Dal punto di vista quanto-meccanico, questa interazione viene mediata dai fononi, i quanti delle vibrazioni degli atomi di un reticolo, aventi massa nulla e spin 1.

Si tratta di un’interazione debole, che coinvolge solo gli elettroni con impulso vicino all’impulso di Fermi: solo questi possono essere eccitati negli stati vuoti che si trovano al di l`a della superficie di Fermi, mentre gli elettroni pi`u interni non riusciranno a guadagnare abbastanza energia per l’eccitazione.

Le coppie di Cooper sono caratterizzate da un’estensione nello spazio molto pi`u grande rispetto alla distanza media fra le particelle nel metallo e sono formate da elettroni aventi spin e impulso opposti. L’argomento con cui si pu`o dimostrare che solo elettroni con impulsi opposti riescono ad accoppiarsi

`

e riportato nell’Appendice B.

Analizziamo il modello BCS in dettaglio: consideriamo un gas di Fermi quasi degenere, quindi a basse temperature e alte densit`a, in cui `e presente un potenziale attrattivo fra le particelle.

Introduciamo gli operatori a^†_p,α e a_p,α, che, rispettivamente, creano e di- struggono un elettrone di impulso p e spin α (↑ o ↓). Essi verificano regole di anticommutazione:

na^†_p,α, ap⁰,β

o = δ(α − β)δ(p − p⁰) {a^†_p,α, a^†_p0,β} = 0

{a_p,α, a_p⁰_,β} = 0

(13)

L’Hamiltoniana del sistema `e:

H − µN =^X

p,α

p² 2m − µ

!

a^†_p,αa_p,α− g^X

p,p⁰

a^†_p0,+a^†_−p0,−a−p,−a_p,+ (2.1)

in cui

N =^X

p,α

a^†_p,αa_p,α

`

e l’operatore numero di particelle, introdotto, attraverso il moltiplicatore di Lagrange µ, poiché si considera il gas di elettroni come un sistema con numero variabile di particelle. Se si impone la condizione che hN i sia uguale al numero di particelle del sistema, allora µ assume il significato di potenziale chimico e si ottiene un’equazione che lo determina. g è la costante di accoppiamento e rappresenta l’intensità dell’interazione fra un elettrone di impulso p e spin ↑ e un elettrone di impulso -p e spin ↓ che, dopo l’interazione, avranno impulso p⁰ e −p⁰ e spin ↑ e ↓; si può definire la lunghezza di scattering a < 0 a partire dalla costante di accoppiamento:

g = 4π|a|

m .

Il modello considera solo interazioni fra elettroni che si trovano entro un piccolo guscio intorno alla superficie di Fermi, con spin antiparalleli e impulsi opposti perch´e queste danno i contributi fondamentali all’Hamiltoniana, mentre gli altri sono trascurabili.

Se siamo in regime di accoppiamento debole, si pu`o fare l’approssimazione di campo medio, che consiste nel trascurare le fluttuazioni del prodotto di due operatori di creazione o distruzione intorno al valor medio, cio`e:

a^†_p0,↑a^†_−p0,↓a−p,↓a_p,↑=a^†_p0,↑a^†_−p0,↓−^Da^†_p0,↑a^†_−p0,↓

E(a−p,↓a_p,↑− ha−p,↓a_p,↑i) +

+a^†_p0,↑a^†_−p0,↓ha−p,↓a_p,↑i +^Da^†_p0,↑a^†_−p0,↓

Ea−p,↓a_p,↑−^Da^†_p0,↑a^†_−p0,↓

Eha−p,↓a_p,↑i ≈

≈ +a^†_p0,↑a^†_−p0,↓ha−p,↓a_p,↑i +^Da^†_p0,↑a^†_−p0,↓

Ea−p,↓a_p,↑−^Da^†_p0,↑a^†_−p0,↓

Eha−p,↓a_p,↑i .

(14)

Introduciamo la seguente grandezza:

∆ = g^X

p

ha_p,↑a−p,↓i (2.2)

che rappresenta la funzione d’onda del condensato.

Se utilizziamo l’approssimazione di campo medio, l’Hamiltoniana diventa qua- dratica:

H − µN =^X

p,α

p² 2m − µ

!

a^†_p,αa_p,α−^X

p

∆a^†_p,↑a^†_−p,↓+ ∆^∗a−p,↓a_p,↑

e, scritta in forma matriciale, pu`o essere diagonalizzata, ottenendo:

U^†HU =





Ep 0 0 −E_p





con ±E_p = ±

r

_p₂

2m− µ²+ |∆|² autovalori della matrice H.

Possiamo supporre che ∆ sia reale, attraverso un’opportuna definizione dei valori di aspettazione.

La matrice U che diagonalizza l’Hamiltoniana definisce i nuovi operatori b_p,α e b^†_p,α:





b_p,↑

b^†_−p,↓



= U^†





a_p,↑

a^†_−p,↓





U =





u_p v_p^∗

−v^∗_p u^∗_p





dove u_p e v_p sono gli autovettori dell’Hamiltoniana:

|u_p|² = 1 2



1 +

p² 2m− µ

E_p



 |v_p|² = 1 2



1 −

p² 2m − µ

E_p





tali che |u_p|²+ |v_p|² = 1.

(15)

Essi verificano le stesse regole di anticommutazione degli operatori a, a^† e assumono il significato di operatori di creazione e distruzione di quasi-particelle fermioniche, che corrispondono alle eccitazioni rispetto allo stato fondamentale.

L’Hamiltoniana diventa, in funzione di questi nuovi operatori:

H =^X

p

E_pb^†_p,↑b_p,↑+ b^†_−p,↓b−p,↓

.

E_p definisce lo spettro energetico delle quasi-particelle, riportato in figura 2.1.

Ξ

_p

E

_p

D

-D

Figura 2.1: Spettro di energia. Le linee tratteggiate rappresentano lo spettro dello stato normale mentre la curva continua rappresenta lo spettro delle quasi particelle. ξ_p = p²/2m − µ.

Come mostra la figura 2.1, ∆ rappresenta il gap energetico fra il minimo dello spettro e lo zero, cio`e la quantit`a di energia che bisogna fornire per creare una quasi-particella, ∆ funge da parametro d’ordine e ∆ 6= 0 caratterizza la fase superconduttiva.

(16)

Il passaggio dalla fase superconduttiva alla fase normale `e una vera e propria transizione di fase. Infatti le due fasi sono caratterizzate da una rottura della simmetria U(1), che comporta anche l’effetto Meissner, cio`e l’espulsione del campo magnetico dal superconduttore.

Le quasi-particelle verificano, come detto, regole di anticommutazione e pertanto seguono la statistica di Fermi-Dirac, con µ = 0:

Db^†_p,↑b_p,↑^E= f (E_p) = 1 1 + e^βE^p

Db−p,↓b^†_−p,↓^E= 1 − f (E_p). (2.3) Le relazioni che legano gli operatori a, a^† ai nuovi operatori sono dette trasfor- mazioni di Bogoliubov e si presentano nella forma seguente

a_p,↑ = u_pb_p,↑+ v_p^∗b^†_−p,↓

a_p,↓ = u_pb_p,↓− v_p^∗b^†_−p,↑. Dalle 2.3, si ottiene:

ha−p,↓ap,↑i = upv^∗_ptanhβEp

2 = ∆

2E_p tanhβEp

2 e, dalla 3.2:

∆ = g²^X

p

∆

2E_p tanhβEp

2 .

Trasformando la sommatoria in integrale sui valori dell’energia compresi entro il sottile guscio intorno all’energia di Fermi, si ottiene la gap equation:

∆ = g²

Z

dE ∆

√E²+ ∆² tanhβ√

E²+ ∆² 2 che lega il parametro di gap alla temperatura.

La temperatura critica T_c che segna la transizione fra le due fasi si ottiene risolvendo la gap equation per ∆ = 0: per T < T_c si ha ∆ 6= 0 mentre per T ≥ Tc si ha ∆ = 0 e il sistema non `e pi`u nello stato superconduttivo.

(17)

Lo stato del sistema nella fase BCS `e descritto dalla funzione d’onda:

|Ψ_BCSi =^Y

p

(u^∗_p+ v_p^∗a^†_p,↑a^†_−p,↓) |0i

dove |0i è lo stato di vuoto, in cui non ci sono particelle. Questa funzione d’onda, cos`ı definita, non fissa il numero di particelle, ma è una sovrapposizione di stati contenenti zero o un numero pari di elettroni; per un dato impulso p, |v_p|² rappresenta la probabilità che la coppia sia presente mentre |u_p|² la probabilità che la coppia sia assente.

Alcune grandezze importanti per la fase BCS sono la lunghezza di correlazione e la lunghezza di fase. La lunghezza di correlazione rappresenta la distanza fra particelle con momenti correlati, cio`e fra i due elettroni della coppia. Si determina attraverso il principio di indeterminazione, nota l’incertezza sull’impulso, dell’ordine di ∆/v_F:

ξ₀ = ¯hv_F

∆ .

La lunghezza di correlazione risulta molto più grande della distanza media fra le particelle in un gas di Fermi degenere: questo è il motivo per cui le coppie di Cooper vengono indicate come coppie a lungo raggio. Le coppie di Cooper presenti si sovrappongono fra loro e fra i due elettroni legati possono trovarsi molti altri elettroni. La lunghezza di fase, invece, definisce la distanza entro cui varia il parametro d’ordine scelto per la descrizione della transizione di fase, cioè la funzione d’onda del condensato.

2.2 Condensazione di Bose-Einstein

La condensazione di Bose-Einstein `e un fenomeno statistico che riguarda sistemi di bosoni identici. Essa consiste nell’occupazione da parte di un numero grande di bosoni di un unico stato quantistico, lo stato fondamentale; si veri-

(18)

fica a temperature inferiori ad una temperatura critica, anche nel caso in cui i bosoni non interagiscono fra loro poiché la sua origine è esclusivamente statistica ed è legata all’indistinguibilità delle particelle. Immediata conseguenza di questo comportamento è che, se molte particelle occupano lo stesso stato, la loro funzione d’onda diventa misurabile in ampiezza e fase, cioè diventa un oggetto classico.

Il fenomeno della condensazione di Bose-Einstein riguarda, in generale, sistemi di bosoni interagenti. Tuttavia, per semplicit`a e per fissare la notazione, consideriamo il modello studiato separatamente da Bose e da Einstein, cio`e un gas di bosoni non interagenti.

Queste particelle nel gas vengono viste come dei pacchetti d’onda, caratterizzati da un’estensione data dalla lunghezza d’onda termica, che dipende dalla temperatura a cui si trova il gas mediante la relazione:

λ =

s

2π¯h² mkT.

I pacchetti d’onda possono essere considerati distinti finch´e λ resta minore della distanza media fra le particelle nel gas; a basse temperature, per`o, le due grandezze possono diventare confrontabili e di conseguenza si crea una sovrapposizione della funzione d’onda dei bosoni, che diventano cos`ı particelle indistinguibili.

I bosoni seguono la statistica di Bose-Einstein, secondo cui alla temperatura T il numero di bosoni che hanno impulso k `e dato da:

nk= 1

e^β(E^k^−µ)− 1 = z e^βE^k − z

essendo µ il potenziale chimico, β = 1/kBT e z la fugacit`a, che si ottiene imponendo la condizione

hN i =^X

k

hn_ki .

(19)

Nel limite termodinamico possiamo scrivere:

hN i = z

1 − z +^X

k6=0

z

e^βE^k^−z ≈ z

1 − z +V (2m)^3/2 (2π)²h¯³

Z ∞ 0

dE√

E z

e^βE^k − z =

= z

1 − z + V

λ³g_3/2(z),

in cui `e stato isolato il termine relativo allo stato fondamentale, avente k = 0, perch´e divergente e

g_3/2(z) = 2

√π

Z ∞ 0

dx√

x z

e^βE^k^−z.

1 z

2.61 g₃₂

Figura 2.2: Andamento della funzione g_3/2

La funzione g_3/2, rappresentata nella figura 2.2, `e valutata nell’intervallo [0, 1] poich´e, essendo µ 6= 0, il numero di bosoni si conserva e si deve pertanto avere:

hni ≥ 0 → 0 ≤ z ≤ 1

Questa condizione pone un limite superiore al numero di bosoni che possono stare nel volume V, al di fuori del livello k = 0; questo numero `e dato da:

N_max = 2.61V λ³.

Il numero di bosoni nello stato fondamentale dipende dalla temperatura a cui

(20)

si trova il sistema, poiché essa fa variare N_max: a temperature alte la lunghezza d’onda è piccola e di conseguenza N_max è grande, mentre a temperature basse si può avere N_max < N e quindi condensazione. La temperatura critica è definita come la temperatura a cui N = N_max.

Riassumendo:

• T > T_c: N = V

λ³g_3/2(z);

• T < T_c: N₁ = 2.61V

λ³, N₀ = N − N₁ e z = 1.

2.3 Evidenze sperimentali della BEC su atomi

bosonici

La prima realizzazione sperimentale di un condensato si ottenne nel 1995 nei laboratori del JILA, negli Stati Uniti, ad opera dei fisici Eric A. Cornell e Carl E. Wieman, utilizzando un gas di atomi di rubidio; successivamente fu realizzato un esperimento al MIT di Cambridge, nel Massachusets, dal fisico Wolfgang Ketterle, utilizzando un gas di atomi di sodio. Erano passati quindi ben 70 anni dal lontano 1925, anno in cui Einstein pubblic`o il suo articolo in cui introduceva il fenomeno della condensazione, in seguito all’articolo del fisico indiano Bose del 1924 sui quanti di luce [3].

Questa distanza temporale si spiega per il fatto che solo negli anni ’90 furono introdotte tecniche tali da consentire il raggiungimento di temperature molto basse e densità molto alte senza alterare lo stato del gas, senza cioè farlo solidificare o liquefare. Questo risultato si ottiene lavorando con campioni molto diluiti, in cui è molto bassa la probabilità di collisioni anelastiche a tre corpi, responsabili del cambiamento di fase.

Oggi in molti laboratori si fanno esperimenti sui condensati. Si utilizzano campioni di isotopi bosonici di atomi alcalini come rubidio, litio, sodio, po- tassio, cesio poich´e le transizioni fra livelli energetici per questi elementi sono compatibili con le caratteristiche dei laser a disposizione.

Finora `e stato applicato agli atomi ⁸⁷Rb, ²³Na e ⁷Li [4] un metodo di raffreddamento che prevede le seguenti tre fasi [5], [6], [7], [8]:

(21)

1. raffreddamento mediante laser;

2. intrappolamento magnetico;

3. evaporazione.

La necessità di utilizzare più fasi di raffreddamento risiede nel fatto che, mentre i metodi ottici funzionano meglio a basse densità, nellequali la luce laser non viene completamente assorbita dal campione, e vengono quindi applicati all’inizio, l’evaporazione, al contrario, funziona meglio ad alte densità, che assicurano rapide ritermalizzazioni, e può essere effettuata solo in un secondo momento.

Si parte da un gas di bosoni identici, diluito e in equilibrio termico, in cui sono presenti interazioni fra gli atomi di tipo repulsivo, cioè caratterizzate da una lunghezza di scattering positiva: in questo modo si ottiene un condensato stabile e di dimensioni maggiori rispetto ad uno ottenuto a partire da un gas in assenza di interazioni. L’obiettivo è quello che, a partire da un gas in condizioni normali, avente pressione 10⁵Pa, temperatura 300K e densità nello spazio delle fasi nλ³_dB = 10⁻⁸, dove n è la densità del campione e λ è la lunghezza d’onda di de Broglie, si raggiungano temperature dell’ordine di 10⁻⁷K e densità nello spazio delle fasi di 2.612, corrispondenti a densità del gas dell’ordine di 10¹⁴ atomi/cm³.

1. I fase: Raffreddamento mediante laser

Nella prima fase il gas viene raffreddato mediante luce laser, sfruttando i processi di assorbimento ed emissione spontanea. Negli esperimenti, di solito, si utilizza una trappola magneto-ottica (MOT), che ha il duplice risultato di raffreddare e nello stesso tempo confinare gli atomi.

Quando il gas viene introdotto in una MOT, esso viene investito da tre paia di fasci laser, nelle tre direzioni dello spazio, che si propagano con versi opposti e tali che quelli che si propagano lungo lo stesso asse hanno polarizzazione circolare opposta: positiva quella del fascio proveniente

(22)

dal semiasse negativo e negativa per il fascio opposto, come mostrato nella figura 2.3.

Figura 2.3: Schema semplificato di una MOT. Le frecce rappresentano i fasci laser nella trappola: quelli che provengono dai semiasse negativi (in rosso) hanno polarizzazione positiva e quelli verdi negativa. I due anelli rappresentano le due spire percorse da corrente in versi opposti, in configurazione anti-Helmotz.

Essi hanno la funzione di rallentare e quindi raffreddare il gas: la frequenza della luce emessa dai laser `e scelta leggermente inferiore a quella di risonanza del gas in modo che, per effetto Doppler, gli atomi tendono ad assorbire solo i fotoni del fascio contro cui si muovono, come mostra- to in figura 2.4. Dopo l’assorbimento, gli atomi acquistano un impulso

¯

hk nella stessa direzione di propagazione del fotone assorbito e passano allo stato eccitato: di conseguenza, risentono, a causa del rinculo, di una forza dovuta alla pressione di radiazione, in direzione sempre opposta a quella della loro velocit`a, concorde invece a quella del laser, e data da:

F = −γv

dove γ > 0 `e una costante che dipende dall’intensit`a e dalla frequenza

(23)

del laser e v è la velocità dell’atomo. Successivamente tornano allo sta- to fondamentale per emissione spontanea, ma il fotone viene emesso in direzione casuale. L’effetto complessivo dello scambio di impulso fra gli atomi e la luce è quello di diminuire la velocità dell’atomo e pertanto abbassare la temperatura del gas.

Figura 2.4: Un atomo che si muove in avanti tende ad assorbire, per effetto Doppler, il fascio in moto nella direzione opposta e ne viene rallentato.

Nella MOT sono presenti anche due spire percorse da corrente di uguale intensit`a ma di verso opposto, in configurazione anti-Helmoltz, che ge- nerano un campo magnetico di quadrupolo, nullo al centro delle spire e crescente linearmente in ogni direzione.

Consideriamo un atomo il cui livello fondamentale ha momento angolare totale nullo e il cui livello eccitato ha momento angolare totale pari a 1.

Il campo di quadrupolo genera uno shift del livello eccitato dato dalla seguente relazione:

∆E(x) = gµBmB(x)

dove g è il fattore di Landé dello stato eccitato, µBè il magnetone di Bohr e m=-1,0,1 è la componente del momento angolare. Lo shift varia quindi linearmente con la distanza, poiché ha la stessa dipendenza spaziale del campo magnetico.

Come mostra la figura 2.5, a causa della scelta di laser con frequenza piccola rispetto a quella di risonanza del gas, per un atomo che si muove lungo il semiasse positivo risulta favorita la transizione dal livello fondamentale avente m=0 a quello eccitato avente m=-1 per cui l’atomo tende ad assorbire fotoni con polarizzazione negativa; la situazione opposta si

(24)

verifica nel caso di un atomo in moto lungo il semiasse negativo. Poiché il fascio laser con polarizzazione negativa è quello diretto verso il semiasse negativo e quello con polarizzazione positiva è diretto verso il semiasse positivo, l’atomo risente di una forza di richiamo diretta sempre verso il centro della trappola, che causa un intrappolamento [61].

Figura 2.5: Schema in una dimensione dei livelli energetici di un atomo avente stato fondamentale con L=0 e stato eccitato con L=1 in presenza del campo magnetico generato dalla MOT.

Complessivamente, un atomo che assorbe un fotone in una MOT risente della forza

F = −mω²x − γv che descrive un oscillatore armonico smorzato.

In questa prima fase si riescono a raggiungere temperature dell’ordine del µK e densità nello spazio delle fasi dell’ordine di 10⁻⁶. Il limite inferiore della temperatura è dovuto all’energia che un atomo acquista in seguito all’assorbimento di un fotone mentre quello della densità è legato alla forza repulsiva che si stabilisce fra gli atomi a causa dell’emissione spontanea e conseguente assorbimento di fotoni.

Per raggiungere le temperature volute, si deve ricorrere pertanto ad un’ulteriore fase di raffreddamento, quella evaporativa. Essa tuttavia richiede che in precedenza avvenga un ulteriore processo di confinamento del gas, che gli permetta di essere isolato termicamente dall’esterno.

(25)

2. II fase: Intrappolamento magnetico

Una trappola magnetica si ottiene dall’interazione fra il momento di di- polo magnetico dell’atomo e un campo magnetico esterno non omogeneo.

Tipicamente si sceglie un campo di tipo armonico, con un minimo diverso da zero. L’energia che si sviluppa `e data da

U (r) = −µ · B(r) = gµ_Bm|B(r)|

Gli atomi tendono ad andare verso il minimo di energia, che si ha nel centro della trappola se gm > 0, condizione per l’intrappolamento.

3. III fase: Evaporazione

Infine si passa alla fase di raffreddamento evaporativo, mediante la quale si eliminano dal gas gli atomi pi`u veloci.

Attraverso la fase di intrappolamento magnetico, si è ottenuto un gas di bosoni concentrato intorno al centro della trappola, che verifica la condizione di intrappolamento mg > 0. Si può rappresentare questa situazione mediante la figura 2.6, che mostra due livelli energetici in funzione della distanza dal centro della trappola: nel livello superiore, quello popolato, c’è intrappolamento mentre in quello inferiore gli stati sono non intrappolati.

Si noti che la differenza di energia fra i due livelli varia con la distanza:

scegliendo opportunamente il campo a radiofrequenza, si può allora in- durre una transizione fra questi livelli per atomi ad una certa distanza dal centro della trappola. Nel nostro caso, si vuole far avvenire la transizione per gli atomi più lontani dal centro della trappola poiché questi sono i più energetici e si sceglie un campo a radiofrequenza opportuno per questo obiettivo. Su questi quindi si inducono transizioni fra i due livelli Zeeman, al termine delle quali gli atomi invertono il proprio momento magnetico: la forza magnetica diventa per essi deconfinante e vengono cos`ı espulsi dalla trappola.

Si attende poi la ritermalizzazione del gas, al termine della quale, attra-

(26)

x E

Figura 2.6: Livelli energetici di uno stato intrappolato (quello superiore) ed uno libero. Le frecce indicano due diversi salti energetici, per due valori della distanza dal centro della trappola

verso collisioni elastiche fra gli atomi del gas, le loro velocità saranno nuo- vamente distribuite secondo la Maxwell-Boltzmann, caratterizzata però da una temperatura più piccola.

Si ripete questo procedimento riducendo progressivamente la frequenza di risonanza in modo da eliminare atomi con energia cinetica sempre più bassa. Perché il metodo funzioni, occorre che sia verificata la condizione che il tempo di ritermalizzazione sia molto più piccolo della vita media degli atomi nella trappola.

La difficolt`a di questa tecnica consiste nell’evitare che ci siano collisioni anelastiche fra gli atomi, che provocherebbero la perdita di atomi con conseguente diminuzione della densit`a.

Alla fine di queste tre fasi si riescono ad ottenere le giuste condizioni per determinare la condensazione: temperatura di ∼ 100nK e densit`a di

∼ 10¹³cm⁻³.

4. Osservazione del condensato

Per l’osservazione del condensato si utilizzano telecamere a CCD, che re- gistrano lo spettro di assorbimento proveniente dagli atomi del gas, dopo che questo `e stato fatto espandere ed `e stato illuminato da un fascio di

(27)

luce risonante. La componente normale e quella condensata danno due immagini diverse, dovute ad una diversa legge di espansione e ad una diversa densità, più omogenea nel primo caso e con un picco pronunciato nel secondo. Prima dell’espansione, nella trappola, il gas ha una simmetria cilindrica. Durante l’espansione, questa simmetria viene preservata dal gas nello stato normale, poiché esso si espande classicamente, quindi in modo isotropo. Essa, invece, viene modificata dal condensato: questo, infatti, si espande quantisticamente, quindi, a causa del principio di indeterminazione di Heisenberg, più velocemente dove è meno allungato, cioè nella direzione radiale del cilindro.

Inoltre, il condensato si trova nel minimo stato energetico e pertanto si espande lentamente: nel suo spettro appare quindi un picco pronunciato di atomi al centro dell’immagine.

Questo metodo di osservazione è distruttivo proprio perché si basa sul- l’espansione del gas e perchè causa un aumento della temperatura, in conseguenza dell’assorbimento di fotoni: alla fine della rilevazione, il gas non è più condensato.

2.4 Risonanza di Feshbach

Sebbene il fenomeno della condensazione sia strettamente legato alle caratteristiche dei bosoni, è tuttavia possibile realizzare un condensato di Bose-Einstein a partire da un gas degenere di atomi fermionici. Perché ciò accada, i fermioni del gas devono accoppiarsi per formare degli stati legati e diventare molecole di tipo bosonico, quindi in grado di condensare.

D’altra parte lo studio della condensazione di atomi fermionici risulta molto interessante poiché permette di studiare il crossover BCS-BEC: dalle coppie di Cooper, debolmente legate e a lungo raggio, si può passare, aumentando il potenziale di interazione fra gli atomi, alle molecole diatomiche. Questo fenomeno è stato già osservato in esperimenti che utilizzavano gas di ⁴⁰K e⁶Li [9], [10].

Sperimentalmente, per raffreddare un gas di fermioni e quindi renderlo

(28)

degenere, si possono utilizzare le stesse tecniche viste precedentemente per i bosoni, ad eccezione del raffreddamento per evaporazione poich´e esso richiede la ritermalizzazione del gas che, nel caso dei fermioni, non pu`o avvenire, dato che fra i fermioni sono inibite le collisioni elastiche.

Il raffreddamento evaporativo viene quindi sostituito dal raffreddamento simpatetico: si aggiungono al gas degli atomi di tipo bosonico che hanno la funzione di refrigerante poiché, attraverso collisioni elastiche con i fermioni, consentono la ritermalizzazione. Per esempio, nell’esperimento eseguito con atomi di litio, si utilizzano, come refrigeranti, atomi di sodio. Successivamente si può ottenere un gas di soli atomi di litio eliminando il sodio per evaporazione oppure si può scegliere di studiare la miscela contenente anche il sodio.

A questo punto, a seconda del tipo di interazione esistente fra gli atomi, si pu`o ottenere un BEC o il regime BCS.

L’interazione fra gli atomi all’interno di un gas `e repulsiva entro distanze piccolissime fra gli atomi e diventa poi, al crescere della distanza, debolmente attrattiva, a causa delle forze di Van Der Walls. Questo potenziale, mostrato in figura 2.7 in funzione della distanza relativa fra gli atomi, `e abbastanza profondo da contenere diversi livelli vibrazionali relativi a stati legati di tipo molecolare.

Consideriamo due curve di energia potenziale, relative a due diverse configurazioni dello spin di una coppia di atomi. Esse sono ottenute aggiungendo al potenziale un termine iperfine, che induce, a seconda del suo segno, uno splitting delle due curve, verso l’alto per una e verso il basso per l’altra. Consi- deriamo inoltre due atomi con energia cinetica molto pi`u piccola dello splitting fra le due curve, tale che i due atomi non possono, in seguito alla collisione, saltare nel livello superiore. In questo caso, la curva inferiore viene associata ad un canale “aperto” mentre quella superiore ad un canale “chiuso”, perch´e non raggiungibile dagli atomi. Questa condizione sperimentale si ottiene utilizzando atomi alcalini ultrafreddi.

Se, per`o, l’energia cinetica dei due atomi in collisione risulta uguale all’e-

(29)

Figura 2.7: Potenziale d’interazione fra gli atomi di un gas

nergia di uno stato legato del canale chiuso, si verifica una risonanza, detta risonanza di Feshbach, [11], [12], [13]. In altre parole, essa accade quando uno stato legato del canale chiuso attraversa l’asintoto del canale aperto.

La posizione relativa fra il livello energetico corrispondente allo stato legato e quello corrispondente all’energia cinetica degli atomi in collisione, determina la lunghezza di scattering dell’interazione fra i costituenti del gas. Alla risonanza di Feshbach, la lunghezza di scattering diverge, mentre essa risulta negativa quando il livello molecolare ha energia pi`u grande di quella dei due atomi separati, positiva nel caso contrario.

Poich´e le due curve si riferiscono a due configurazioni di spin diverse, la presenza di un campo magnetico esterno induce su di esse traslazioni diverse.

Ci`o significa che, variando il campo magnetico esterno, `e possibile variare lo splitting fra le curve e di conseguenza l’interazione fra le particelle.

Una relazione approssimata, in accordo con i dati sperimentali, che lega la lunghezza di scattering al campo magnetico esterno `e data da:

a = a_bg 1 − ∆ B − Bpicco

!

, (2.4)

dove a_bg è la lunghezza di scattering di background , B_picco è il valore del campo magnetico a cui avviene la risonanza e a diventa infinito e ∆ è la larghezza della risonanza per il campo magnetico. La lunghezza di scattering

(30)

di background caratterizza i processi di scattering diretto fra i due atomi nel canale aperto, senza considerare accoppiamenti con canali chiusi. Di solito questi processi non vengono considerati poich´e poco interessanti rispetto alla risonanza di Feshbach, che si verifica in presenza di un canale chiuso e causa il comportamento drammatico della lunghezza di scattering appena descritto [14].

La 2.4 `e rappresentata in figura 3.11.

150 160 170 B

-20000 -10000 10000 20000

aa₀

Figura 2.8: Andamento della lunghezza di scattering in funzione dell’intensit`a del campo magnetico esterno, nelle vicinanze della risonanza di Feshbach. Il grafico `e ottenuto per ∆ = 10.709 G, Bpicco = 155.041 G, abg = −443a0, con a₀ raggio di Bohr. Si noti che a diverge per B = B_picco.

Si possono utilizzare questi concetti per creare un apparato sperimentale per studiare la transizione dal regime BCS al regime BEC.

Si pu`o infatti mettere il gas all’interno di un campo magnetico in modo che, variando opportunamente il campo, si fa variare la posizione relativa dei livelli energetici del canale chiuso e di quello aperto e, di conseguenza, l’interazione esistente fra le particelle del gas da debolmente repulsiva (fase BEC) a debolmente attrattiva (fase BCS), passando attraverso la regione di crossover, in cui le particelle sono fortemente interagenti, cio`e alla risonanza di Feshbach.

(31)

Nella figura 2.9 sono rappresentati i due canali, nei tre possibili casi che si possono presentare; la curva blu corrisponde al canale chiuso e quella verde al canale aperto (due atomi liberi). Nel primo grafico, lo stato legato ha energia maggiore dell’energia cinetica dei due atomi in collisione (asintoto del canale aperto), pertanto lo stato molecolare non `e stabile e a < 0; nel secondo grafico i due livelli sono degeneri, per cui ci troviamo nella regione unitaria, in cui a diverge; nell’ultimo, il livello molecolare `e minore di quello dei due atomi, pertanto si forma uno stato molecolare stabile e a > 0.

stato legato canale aperto canale chiuso

r E

stato legato r E

stato legato

r E

Figura 2.9: Livelli energetici del canale aperto (atomi non legati) e del canale chiuso in funzione della distanza relativa fra i due atomi. Le linee tratteggiate rappresentano gli asintoti delle curve, quindi l’energia cinetica degli atomi;

il segmento continuo rappresenta il livello di uno stato legato entro il canale chiuso. Nel primo grafico, lo stato legato ha energia maggiore dell’asintoto del canale aperto, pertanto i due atomi restano non legati e la lunghezza di scattering `e negativa; nel secondo caso i due livelli coincidono e la lunghezza di scattering diverge; nel terzo grafico lo stato legato ha energia inferiore per cui si formano molecole e la lunghezza di scattering `e positiva.

Variando il campo magnetico si possono allontanare o avvicinare i due livelli, che saranno circa coincidenti alla risonanza: più sono vicini i livelli, più forte è l’interazione.

(32)

Riassumendo:

• a > 0: il livello energetico dello stato legato `e inferiore a quello dei due atomi separati, si forma quindi un condensato di molecole diatomiche, con potenziale di interazione repulsivo e pertanto stabili (regime BEC);

• a < 0: le molecole diventano instabili a causa del potenziale attrattivo, ma due fermioni possono ancora formare una coppia a lungo range di dimensioni confrontabili o maggiori della distanza fra le particelle del gas (regime BCS).

(33)

Capitolo 3

Superconduttori ad alta

temperatura

La teoria BCS descrive il comportamento dei superconduttori di prima generazione, ma non `e invece adatta a descrivere i superconduttori ad alta temperatura, individuati per la prima volta a met`a degli anni ⁰80 del secolo scorso [15].

Questi nuovi materiali diventano superconduttori a temperature critiche maggiori di quelle tipiche dei superconduttori tradizionali. In alcuni casi, queste temperature possono raggiungere i 100K. L’interpretazione data è che in questi materiali gli elettroni hanno interazioni molto più forti con gli ioni del reticolo, quindi con i fononi, favorendo cos`ı l’accoppiamento, che resiste anche a temperature più alte.

Il modello introdotto nella teoria BCS è costruito sulle ipotesi di accoppiamento debole fra gli elettroni e di alte densità di portatori di carica, caratteristiche ben verificate dai superconduttori di prima generazione, ma non più valide per gli HTSC, che, al contrario, sono caratterizzati da accoppiamento forte fra le particelle e basse densità.

Le principali differenze fra le due generazioni, oltre a diverse propriet`a elettriche e magnetiche, sono:

• come gi`a ricordato e come lo stesso nome suggerisce, hanno una tempe-

(34)

ratura critica pi`u alta dei primi, quindi pi`u facilmente raggiungibile in laboratorio;

• hanno una densit`a di portatori relativamente bassa;

• sono caratterizzati da una lunghezza di correlazione delle coppie ξ0 solo poche volte più grande della distanza fra i siti reticolari. Ciò deriva dalla bassa densità di portatori, che comporta una distanza media fra le particelle abbastanza grande; nei superconduttori tradizionali, invece, la lunghezza di correlazione è molto più grande della distanza media fra le particelle. Per esempio, il fattore k_Fξ₀ per il La_1.95Sr_0.15CuO₄ è 10-20, nel YBa₂Cu₃O₇ è 5-10 mentre nei superconduttori di I tipo è 10³− 10⁴;

• presenza di uno pseudogap nello spettro di particella singola, quindi nello stato normale, a temperature maggiori di quella critica.

Gli HTSC sono costituiti da ossidi, prevalentemente ossido di rame, e metalli delle terre rare; essi hanno una struttura a piani di ossido di rame CuO₂, entro cui si stabilisce la superconduttivit`a, per cui comunemente si usa un modello in due dimensioni per descriverli.

Il nome pseudogap deriva dall’analogia con il gap superconduttivo. Es- so consiste nella soppressione, nello spettro di energia, delle basse frequenze, soppressione che diventa completa durante la fase superconduttiva (gap). La presenza di questo pseudogap `e legata alla formazione di molecole, che avviene alla temperatura T^∗ >Tc.

Lo pseudogap `e stato osservato in esperimenti di fotoemissione (ARPES) [16], che mostrano un comportamento anomalo del calore specifico [17], della resistivit`a [18] e altre grandezze termodinamiche a temperature maggiori della temperatura critica. Successivamente sono stati effettuati esperimenti di scan- ning tunneling spectroscopy [19], che mettono in evidenza l’esistenza sia del gap, al di sotto della temperatura critica, sia dello pseudogap, fra T_c e T^∗. La figura 3.1 mostra la conduttanza del Bi2212 in funzione della tensione appli- cata al campione, per temperature fra 4.2K e 293K, con temperatura critica pari a 83K.

(35)

V

OLUME

80, N

UMBER

1 P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S 5 J

^ANUARY

1998

superconducting gap remains temperature independent up

to T

_c

where no sign is indicating that it is closing. Across

T

_c

, the superconducting tunneling spectra evolve continu-

ously into a normal state quasiparticle gap structure, which

we refer to as a pseudogap. It is clear from Fig. 2 that

this pseudogap also does not change much with tempera-

ture and that it is even possibly there at room temperature.

The pseudogap structure just gets weaker with increasing

temperature. This is in striking contrast to photoemission

data which for a sample with the same doping level led to

the conclusion that the gap reduced to zero at T

^!

! 170 K

[11]. We believe the T

^!

observed in various experiments

is to be considered as a characteristic energy scale and not

as a temperature where the pseudogap is reduced to zero.

At first sight it is not clear from these data where the critical

temperature is located. A closer inspection of the spectra

shows that the peak at negative energy and the dip at about

22D

_p

disappear at T

_c

. The positive bias peak on the mea-

sured spectra does not vanish at T

_c

, but remains finite and

shifts to higher energies above T

_c

[Fig. 3(b)]. The DOS at

the Fermi level bears no particular signature of the super-

conducting transition in this set of data. Indeed, the DOS

below the gap starts to be depleted already at room tem-

perature and gradually hollows in to reach its minimum at

4.2 K. This low bias temperature dependence is better seen

in Fig. 3(a), which is a three dimensional plot of the tunnel-

ing conductance as a function of energy and temperature of

the 83 K underdoped Bi2212. The same data are displayed

as a gray scale projection onto the energy-temperature

plane in Fig. 3(b), where white corresponds to high con-

ductivity !1.5 GV

²¹

" and black to zero conductivity.

So far most measurements report the existence of a

pseudogap in underdoped samples. Our measurements

FIG. 2. Tunneling spectra measured as a function of temperature on underdoped Bi2212. The conductance scale corresponds to the 293 K spectrum, the other spectra are offset vertically for clarity.

show that the pseudogap is present above T

_c

both at

optimum doping and in overdoped samples. In Fig. 4 we

show a set of spectra for the overdoped sample with a T

c

of

74.3 K. We see that the behavior is precisely the same as

for the underdoped case discussed above. The gap value

stays temperature independent and the peak at negative

energy as well as the dip at about 22D

_p

disappear at T

_c

,

but the region below the gap evolves smoothly across T

c

into the pseudogap. The difference with the underdoped

case is that the gap and pseudogap are smaller, and the

amplitude of the pseudogap structure seems to disappear

more quickly as the temperature is increased. The fact

that the pseudogap scales with the superconducting gap

and that it is smaller in the overdoped samples than in the

underdoped ones indeed demonstrates that the pseudogap

in Fig. 4 is a property of the overdoped crystal, and not

that of an underdoped surface resulting from partial loss

of oxygen at high temperature. The two curves shown on

top of the 69 K spectrum in Fig. 4 illustrate the temperature

independence of the gap. Simply thermally smearing the

4.2 K spectrum to 69 K (dashed curve, D

_{69 K}

! D

4.2 K

)

reproduces much better the position of the conductance

peaks at 69 K than thermally smearing the 4.2 K spectrum

to 69 K assuming a reduced gap (dotted curve, D

69 K

!

0.8D

4.2 K

). The numerical spectra show that there are

more low energy states measured than predicted by simply

thermally smearing the data. However, this feature is

beyond the scope of this Letter. We have also carried

out similar analysis for the 83 K underdoped sample with

basically the same conclusions.

Several theoretical studies have considered the possibil-

ity of the presence of superconducting phase fluctuations

FIG. 3. (a) Three dimensional view of the conductance data shown in Fig. 2. The highlighted curve is the spectrum measured at Tc. (b) Projection onto the energy-temperature plane. The line at positive bias indicates the position of the positive bias conductance peak which clearly shifts to higher energies above T_c.

151

Figura 3.1: Spettro della conduttanza del Bi2212 per temperature comprese fra 4.2K e 293K.

Nasce quindi l’esigenza di formulare una nuova teoria per spiegare lo sta- to superconduttivo di questi materiali e che riesca a giustificare le nuove caratteristiche osservate.

In particolare, questi sistemi sembrano essere in uno stato intermedio fra il regime della BCS e quello della BEC: si tratta di uno stato caratterizza- to proprio da interazioni forti fra le particelle ed `e, per questo, difficile da analizzare.

(36)

3.1 Crossover BCS-BEC

Modello non relativistico in 2D e 3D

3.2 Crossover BCS-BEC

Modello non relativistico in 2D e 3D

Abbiamo visto come la regione BEC e quella BCS siano molto diverse fra loro, anche se entrambe si basano sul fenomeno della condensazione: la differenza fondamentale fra le due `e che la prima pu`o avvenire in un gas di bosoni ideale, quindi in assenza di interazioni, mentre la seconda necessita di un’interazione attrattiva fra i fermioni, che, al contrario, nella fase BEC, distruggerebbe il condensato.

La condensazione di Bose-Einstein può anche avvenire in un gas fermionico, quando i fermioni, fortemente interagenti fra loro a due a due, formano molecole, quindi bosoni in grado di condensare. Le coppie di Cooper, invece, che si sovrappongono fra loro nello spazio reale, non devono essere considerate bosoni, ma semplicemente coppie correlate solo nello spazio dell’impulso e non nello spazio reale. Inoltre, mentre nella regione BCS solo una piccola frazione di elettroni può formare coppie, nella regione BEC tutti gli elettroni sono legati a formare molecole, quando la temperatura è inferiore ad un limite, indicato con T^∗.

Ciò che accomuna le due fasi è la condensazione, cioè l’occupazione ma- croscopica di un singolo stato quantistico, mentre le loro fasi normali sono completamente diverse: nel limite BCS, è quella di un liquido di Fermi, nel limite BEC è quella di un liquido di Bose di molecole.

Questo comunque basta perch´e le fasi del sistema a basse temperature siano uguali: infatti la condensazione comporta in entrambi i casi una rottura spontanea della simmetria U(1). Questo fa prevedere che anche la regione intermedia sia nella stessa fase e che quindi, nel passaggio da un limite all’altro, non ci siano transizioni di fase al variare dell’interazione, ma soltanto un crossover.

Un’altra differenza fra i due limiti riguarda la temperatura critica della

(37)

transizione di fase: nel caso BCS esiste un’unica temperatura critica, sia per la formazione di coppie sia per la loro condensazione; con l’aumentare dell’interazione, le temperature a cui avvengono questi due processi cominciano a differenziarsi e, nel limite BEC, diventano due processi indipendenti, con scale energetiche separate e con un’unica transizione di fase, quella relativa alla condensazione.

Il metodo adottato per lo studio del crossover [20] è quello di partire dalla teoria BCS e analizzare il comportamento del sistema all’aumentare dell’intensità dell’attrazione fra le particelle, in particolare nella zona di confine fra il regime di validità della teoria BCS e quello della BEC, poiché qui si realizzano le condizioni cercate. Diversamente dalla teoria BCS, nell’ipotesi di accoppiamenti forti, bisogna considerare, nella formazione di coppie, tutti gli elettroni, non solo quelli entro un sottile guscio intorno all’energia di Fermi.

3.2.1 Studio di un modello bidimensionale

Introduciamo il modello bidimensionale della teoria BCS. Esso descrive un gas di elettroni che interagiscono attraverso un potenziale attrattivo a due corpi, agenti fra particelle con spin opposti.

Chiamiamo ψ(x) il campo fermionico e scriviamo la densit`a di Hamiltonia- na del sistema:

H = −ψ_σ⁺(x) ∇² 2m + µ

!

ψ_σ(x) − U ψ_↑⁺(x)ψ_↓⁺(x)ψ↓(x)ψ↑(x) (3.1)

in cui x = (~r, τ ), con ~r vettore a due componenti e τ tempo immaginario, σ è l’indice di spin (↑ o ↓), U è una costante positiva e rappresenta l’intensità del potenziale di interazione fra gli elettroni e µ è il potenziale chimico, che fissa la densità media di elettroni. L’Hamiltoniana 3.1 è la stessa Hamiltoniana di partenza della teoria BCS; da questa, vogliamo ottenere l’equazione di gap, minimizzando il potenziale termodinamico.