Risultati dell’ottimizzazione tramite algoritmo genetico

L’ottimizzazione `e stata condotta per ridurre il tempo di volo al variare dell’ac- celerazione caratteristica, del semiasse maggiore finale e dell’eccentricit`a finale da raggiungere. I risultati sono riportati in due tipologie diverse di grafici, nel primo tipo il semiasse maggiore `e riportato sull’asse delle ascisse e il tempo di volo sull’asse delle ordinate; questo tipo mostra per ogni valore del’eccentricit`a finale come varia il tempo di volo al variare del semiasse maggiore. Nel secondo caso il tempo di volo `e sempre riportato sull’asse delle ordinate ma sull’asse delle ascisse si trova l’eccentricit`a. In questo modo per ogni valore del semiasse finale da raggiungere viene mostrato come varia il tempo di volo al variare dell’eccen- tricit`a finale.

In Fig. 5.2 e 5.3 sono riportati i risultati nel piano [∆t, af] per i valori di accelera-

zione caratteristica ac= {0.5, 1} mm/s2. Come si distingue da Fig. 5.2, quando

ac= 1 mm/s2 esistono tre andamenti di questi grafici. In tutti i casi `e possibile

raggiungere orbite con il semiasse finale minore di quello di partenza. Questo non vale nel caso di orbita finale con semiasse maggiore pi`u grande di quello iniziale. Per i valori pi`u bassi dell’eccentricit`a (Fig. 5.2(b)), fino a ef = 0.3, si possono

raggiungere semiassi finali inferiori di dimensione inferiore a due unit`a astrono- miche e le curve presentano un minimo globale per un semiasse finale inferiore a una unit`a astronomica. Orbite quasi circolari, ef = 0.001, si possono ottenere

solo per valori del semiasse finale inferiori a 0.8 unit`a astronomiche per questo valore dell’accelerazione caratteristica. Nel caso in cui l’eccentricit`a assume valori intermedi (Fig. 5.2(c)), ef ∈ [0.4, 0.6], i valori del semiasse finale che si possono

raggiungere aumentano gradualmente fino a tre unit`a astronomiche. In questo caso il minimo globale del tempo di volo si ha per semiassi finali simili a quel- lo di Marte, af ≈ 1.5 AU. Per i valori pi`u alti dell’eccentricit`a (Fig. 5.2(d)),

ef ∈ [0.7, 0.9], i valori del semiasse che si possono raggiungere continuano ad

aumentare gradualmente ma si riesce ad arrivare almeno fino a quattro unit`a astronomiche. Il punto in cui si trova il minimo globale si sposta verso valori pi`u alti di af all’aumentare di ef. Per ef = 0.7 si ha per af ≈ 1.2 AU, mentre per

5.3 L’Algoritmo Genetico 51

ef = 0.9 si ha per af ≈ 2.5 AU. In questo caso, come nel precedente, i tempi di

volo per af < a0 subiscono piccole variazioni al variare di af. Al contrario, per

af > a0 i tempi di volo rimangono quasi costanti all’inizio prima di aumentare

rapidamente per valori alti del semiasse finale. In Fig. 5.2(a) sono riportati in nero i grafici appartenenti al primo gruppo, in blu quelli appartenenti al secondo e in rosso quelli appartenenti al terzo. Quando ac= 0.5 mm/s2 bisogna osservare

0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 (a) scale 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 (b) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 (c) 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 (d)

Figura 5.2: Variazione del tempo di volo ∆t al variare del semiasse maggiore af per diversi valori dell’eccentricit`a finale ef per il valore di accelerazione caratteristica ac= 1 mm/s2: (a) tutti i valori di eccentrcit`a; (b) valori bassi di ef; (c) valori intermedi di ef; (d) valori alti di ef.

5.3 L’Algoritmo Genetico 52

ognuno per un diverso intervallo di eccentricit`a finale. Gli intervalli sono gli stessi in cui ac= 1 mm/s2:

• ef < 0.3;

• e_f ∈ [0.4, 0.6];

• e_f ∈ [0.7, 0.9].

L’intervallo di semiassi finali che si possono raggiungere aumenta per tutti i va- lori dell’eccentricit`a, soprattutto per i valori pi`u bassi di ef, a dimostrare che

questo valore di accelerazione caratteristica `e pi`u adatto per raggiungere orbite a bassa eccentricit`a. Tuttavia per orbite quasi circolari, ef = 0.001, si possono

raggiungere solo semiassi finali inferiori a quelli di partenza, segno che per rag- giungere questo tipo di orbite servono valori ancora pi`u bassi dell’accelerazione caratteristica, anche se i tempi di volo aumentano notevolmente mano a mano che si riduce questo valore, come si vede osservando le Fig. 5.2 e 5.3. In Fig. 5.3(b) si nota che il minimo globale si ha per valori di af ≈ 1 AU e i tempi di

volo aumentano rapidamente all’allontanarsi da questo valore. Le Fig. 5.3(c) e 5.3(d) mostrano che il minimo globale si ha per valori crescenti di af all’aumen-

tare dell’eccentricit`a. Per valori del semiasse maggiori del minimo globale i tempi di volo tendono a crescere quasi in maniera lineare. Nel caso di orbite pi`u piccole di quella di partenza i tempi di volo aumentano leggermente mano a mano che ci si allotana dal minimo globale per valori intermedi dell’eccentricit`a (Fig. 5.3(c)), mentre rimangono quasi stazionari per valori alti di ef (Fig. 5.3(d)), segno che

valori pi`u bassi dell’accelerazione caratteristica non sono adatti per raggiungere orbite fortemente eccentriche o per fuggire dal Sistema Solare. Le Fig. 5.4 e 5.5 mostrano come varia il tempo di volo al variare dell’eccentricit`a finale per valori costanti del semiasse finale da raggiungere, rispettivamente per ac = 1 mm/s2 e

ac= 0.5 mm/s2.

In Fig. 5.4 i valori di semiasse maggiore mostrati vengono divisi in tre raggrup- pamenti:

• af ∈ [0.3, 0.7233] in Fig. 5.4(b), in nero in Fig. 5.4(a);

• a_f ∈ [0.8, 2] in Fig. 5.4(c), in blu in Fig. 5.4(a);

• a_f ∈ [2.5, 4.5] in Fig. 5.4(d), in rosso in Fig. 5.4(a).

Per i valori pi`u bassi del semiasse finale il tempo di volo tende ad aumentare con l’eccentricit`a finale e tende a un valore di ∆t ≈ 3.7 anni, l’unica eccezione `

e rappresentata dal valore ef = 0.6 per il quale si ha che il tempo finale tende

5.3 L’Algoritmo Genetico 53 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 (a) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 0 1.6 3.2 4.8 6.4 8 (b) 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 0 2 4 6 8 10 (c) 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 (d)

Figura 5.3: Variazione del tempo di volo ∆t al variare del semiasse maggiore af per diversi valori dell’eccentricit`a finale ef per il valore di accelerazione caratteristica ac = 0.5 mm/s2: (a) tutti i valori di eccentrcit`a finale; (b) valori bassi di ef; (c) valori intermedi di ef; (d) valori alti di ef.

all’avvicinarsi delle condizioni di fuga i tempi di volo tendono a essere gli stessi; questo conferma che i valori pi`u alti di accelerazione caratteristica sono pi`u adatti a raggiungere orbite fortemente eccentriche o di fuga a discapito delle orbite circolari o a bassa eccentricit`a. La Fig. 5.4(d) mostra come per valori di af ∈

[2.5, 4.5] i tempi di volo tendono a un valore di ∆t ≈ 3 anni all’avvicinarsi delle condizioni di fuga. All’aumentare di af aumenta anche l’eccentricit`a minima a

5.3 L’Algoritmo Genetico 54

`

e un’altra conferma che aumentando l’accelerazione caratteristica si raggiungono pi`u facilmente le orbite pi`u eccentriche e meno facilmente quelle meno eccentriche. I risultati nel caso in cui af > 4.5 AU sono analoghi fino a quando af = 5.2034 AU,

il semiasse di Giove, ma non sono rappresentati nel grafico perch´e l’eccentricit`a minima per raggiungere queste orbite sale a 0.8. Per orbite in cui af ∈ [6, 8] AU

l’unico valore ricavato si ha per ef = 0.9 quindi non sono riportati graficamente;

in questo caso per`o il tempo non tende pi`u al valore rappresentato nel grafico ma cresce linearmente all’aumentare del semiasse maggiore finale. In Fig. 5.4(c) sono rappresentati i valori intermedi del semiasse, quelli per cui non si ha un andamento riconducibile a quello presente in Fig. 5.4(b) o Fig. 5.4(d). In Fig. 5.5 i valori di semiasse maggiore mostrati vengono divisi in tre raggruppamenti:

• af ∈ [0.3, 0.9] in Fig. 5.5(b), in nero in Fig. 5.5(a);

• a_f ∈ [1.5, 2.5] in Fig. 5.5(c), in blu in Fig. 5.5(a);

• a_f ∈ [3, 6] in Fig. 5.5(d), in rosso in Fig. 5.5(a).

Nel caso in cui il semiasse finale `e minore di quello di partenza, Fig. 5.5(b), tutti i valori dell’eccentricit`a finale sono raggiungibili, da orbita quasi circolare, ef = 0.001, fino a orbita fortemente ellittica. Il tempo di volo aumenta all’aumen-

tare dell’eccentricit`a e tende a circa ∆t ≈ 7.3 anni all’avvicinarsi delle condizioni di fuga. Le uniche eccezioni si hanno per af = {0.7233, 0.9}, in cui ∆t ≈ 7.9 anni,

un valore che non `e molto distante da quello precedente. Come si nota questi tem- pi di volo sono molto maggiori rispetto al caso in cui ac= 1 mm/s2. La Fig. 5.5(c)

mostra come per orbite pi`u grandi di quella di partenza l’eccentricit`a minima per raggiungere un certo semiasse aumenta all’aumentare del semiasse maggiore fina- le. Il tempo di volo tende a diminuire all’aumentare del semiasse per valori alti dell’eccentricit`a, mentre aumenta a bassi valori dell’eccentricit`a. La Fig. 5.5(d) mostra un andamento simile a quello rappresentato in Fig. 5.4(c) per quanto ri- guarda l’eccentricit`a minima per raggiungere un certo valore del semiasse, mentre il tempo di volo riprende ad aumentare all’aumentare del semiasse finale. Per i valori pi`u grandi del semiasse maggiore finale il tempo di volo tende a diminui- re all’aumentare dell’eccentricit`a, segno che il raggiungimento delle condizioni di fuga ottimale si avrebbe a un valore minore del semiasse maggiore finale.

Questi risultati mostrano come i tempi di volo per raggiungere orbite molto ec- centriche aumentino notevolmente al diminuire dell’accelerazione caratteristica; mentre per raggiungere orbite a bassa eccentricit`a pu`o convenire usare vele meno performanti, soprattutto quando bisogna raggiungere orbite pi`u grandi di quella iniziale, le quali risultano non raggiungibili quando l’accelerazione caratteristica cresce.

5.4 Ottimizzazione Locale Tridimensionale 55