In questa sezione finale vengono esposti i risultati ottenuti dall’applicazione della procedura a previsioni ottenute con l’impiego di finestre temporali differenti. Le seguenti tabelle contengono i modelli VaR a 99% e 95% che hanno superato i test di Kupiec e Christoffersen con livello di confidenza fissato al 10%, ordinati in ordine decrescente rispetto l’indice RMSE, in funzione della capacità di minimizzare lo scarto tra perdita attesa e osservata. In colonna sono rispettivamente riportati, modello, distribuzione ipotizzata, indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value
associato ai test di Kupiec e Christoffersen, percentuale empirica delle violazioni ritenuta statisticamente corretta da parte dei due test.
Finestra mobile a 1500 giornate
La prima finestra temporale analizzata è quella a 1500 giornate. La Tabella 4.3 riporta i modelli VaR con soglia al 99%. In questo primo caso i modelli più per- formanti sono stati i modelli asimmetrici, soprattutto EGARCH, con distribuzione leptocurtica asimmetrica, sintomo che queste ultime siano in grado di cogliere in modo migliore gli eventi estremi e meno frequenti presenti nella distribuzione em- pirica. Svantaggiati dall’incapacità di tener conto del segno delle innovazioni, i modelli GARCH standard non rientrano nella classifica, così come le distribuzioni gaussiane skewed e non, ad eccezione di un caso asimmetrico, incapaci di tener conto di quegli eventi presenti nelle code estreme della distribuzione empirica.
VaR 99% con Finestra a 1500 giorni
Model Distrib RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH sstd 5.8882 4.6754 1.0000 0.3341 1.00% eGARCH sged 6.1424 4.6363 0.7974 0.3622 1.07% apARCH sged 6.3267 4.0744 0.4504 0.3437 1.20% gjrGARCH sged 6.3536 4.4831 0.4504 0.3437 1.20% apARCH sstd 6.3578 4.9380 1.0000 0.3341 1.00% eGARCH std 6.5250 4.9338 0.4504 0.3437 1.20% gjrGARCH sstd 6.5674 5.2167 1.0000 0.3341 1.00% eGARCH ged 6.6516 4.7226 0.3189 0.3034 1.27% gjrGARCH std 6.7097 5.0447 0.2170 0.2521 1.33% gjrGARCH ged 6.7521 4.3829 0.3189 0.3034 1.27% eGARCH snorm 7.0715 4.6892 0.3189 0.3034 1.27%
Tabella 4.4: Comparazione modelli per finestra mobile a 1500 con VaR 99%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
Il quadro diventa più variegato se si va a considerare il caso con soglia al 95%. In Tabella 4.3 si può osservare l’ingresso dei modelli GARCH standard nella classifica, pur occupando gli ultimi posti, mentre in cima si possono ancora trovare i modelli asimmetrici di tipo EGARCH con distribuzione leptocurtica, in questo caso nella versione non skewed. In base all’esperimento, il costo in termini di calcolo non sembra rispecchiare le performance dei modelli più dispendiosi come APARCH, ritrovandosi nei dintorni di metà classifica.
VaR 95% con Finestra a 1500 giorni
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH ged 5.6599 3.8850 0.2024 0.4435 5.73% eGARCH sged 5.7850 3.9773 0.1128 0.1948 4.13% gjrGARCH std 5.7870 4.0685 0.2024 0.3993 5.73% gjrGARCH ged 5.7970 4.0041 0.4136 0.6945 5.47% apARCH std 5.8322 4.1193 0.1652 0.3816 5.80% eGARCH sstd 5.8950 4.2245 0.3998 0.6115 4.53% apARCH ged 5.9577 4.1412 0.1652 0.3816 5.80% gjrGARCH snorm 5.9806 4.0335 0.3998 0.6115 4.53% apARCH norm 5.9815 3.9076 0.9059 0.9900 5.07% eGARCH snorm 6.0167 3.8844 0.2768 0.4516 4.40% eGARCH norm 6.0409 3.8379 0.7239 0.8384 5.20% gjrGARCH norm 6.0467 3.8381 0.7239 0.9391 5.20% apARCH sstd 6.0776 4.5248 0.4715 0.6917 4.60% apARCH sged 6.0836 4.4396 0.7206 0.6694 4.80% gjrGARCH sstd 6.1326 4.4580 0.7206 0.8970 4.80% gjrGARCH sged 6.1707 4.4168 0.2768 0.5527 4.40% sGARCH ged 6.1822 4.3834 0.2951 0.4804 5.60% sGARCH sged 6.3070 4.5159 0.8119 0.4435 4.87% sGARCH norm 6.4204 4.3004 0.2024 0.2866 5.73% sGARCH snorm 6.5070 4.4381 0.7239 0.5950 5.20% sGARCH sstd 6.6844 5.0701 0.4136 0.5512 5.47%
Tabella 4.5: Comparazione modelli per finestra mobile a 1500 con VaR 95%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
Analisi empirica
Finestra mobile a 1000 giornate
Con una parziale riduzione della dimensione della finestra mobile non sembrano cambiare radicalmente i risultati rispetto al caso precedente. Sia nel caso di VaR giornaliero con soglia al 99% che in quello al 95%, la maggior parte dei modelli GARCH simmetrici non sono stati in grado di superare entrambi i test, né di occupare posti di rilievo in classifica. Contrariamente al caso precedente, ai primi posti della classifica con soglia al 1% si ritrovano distribuzioni leptocurtiche non skewed, mentre la distribuzione normale nella versione asimmetrica e non tende ad ottenere risultati più soddisfacenti rispetto al caso precedente.
VaR 99% con Finestra a 1000 giorni
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH std 6.2621 4.3683 0.2170 0.2521 1.33% eGARCH ged 6.3592 4.1566 0.2170 0.2521 1.33% apARCH std 6.4643 4.3094 0.1420 0.1978 1.40% gjrGARCH ged 6.6651 4.4454 0.2170 0.2521 1.33% apARCH ged 6.6839 3.8776 0.1420 0.1978 1.40% eGARCH sstd 6.7279 4.6768 0.7930 0.2849 0.933% apARCH sged 6.7530 4.1615 0.4504 0.3437 1.20% eGARCH snorm 6.7835 4.2045 0.1420 0.1978 1.40% gjrGARCH std 6.8340 5.0548 0.2170 0.2521 1.33% gjrGARCH snorm 6.9117 4.3108 0.1420 0.1978 1.40% gjrGARCH sged 7.0271 4.9083 0.7974 0.3622 1.07% eGARCH sged 7.2592 5.1218 0.5953 0.2233 0.867% apARCH sstd 7.3115 5.2354 0.7974 0.3622 1.07% gjrGARCH sstd 7.4104 5.7770 1.0000 0.3341 1.00%
Tabella 4.6: Comparazione modelli per finestra mobile a 1000 con VaR 99%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
VaR 95% con Finestra a 1000 giorni
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH ged 5.4311 3.6535 0.2456 0.4378 5.67% eGARCH norm 5.6684 3.5589 0.2951 0.5723 5.60% gjrGARCH ged 5.8274 3.8554 0.2456 0.4692 5.67% apARCH sstd 5.9105 4.0477 0.8135 0.9723 5.13% gjrGARCH snorm 5.9415 3.8881 0.7206 0.8970 4.80% gjrGARCH norm 5.9651 3.7729 0.5577 0.8340 5.33% apARCH ged 5.9922 3.9765 0.2951 0.5430 5.60% eGARCH sged 5.9974 4.1434 0.2768 0.4516 4.40% sGARCH ged 6.0154 4.3833 0.1334 0.3016 5.87% eGARCH snorm 6.0223 3.8205 0.1818 0.3087 4.27% eGARCH sstd 6.0535 4.3319 0.7206 0.8970 4.80% apARCH sged 6.1050 4.2244 0.7206 0.8970 4.80% gjrGARCH sged 6.1248 4.1747 0.8119 0.9437 4.87% gjrGARCH sstd 6.1308 4.2420 1.0000 0.8105 5.00% sGARCH sged 6.2229 4.6230 0.4136 0.5512 5.47% apARCH norm 6.2353 3.9409 0.6384 0.8922 5.27% sGARCH snorm 6.2711 4.3697 0.2951 0.4804 5.60% sGARCH sstd 6.3309 4.8023 0.1652 0.3468 5.80%
Tabella 4.7: Comparazione modelli per finestra mobile a 1000 con VaR 95%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
e Conditional Coverage, percentuali di violazioni dei VaR registrate.
Finestra Mobile a 500 giornate
Caso più interessante del precedente è stato sicuramente quello del backtesting delle previsioni con finestra mobile a 500 giorni. Si sono incontrate anzitutto difficoltà di stima dei modelli, con problemi di convergenza anche con l’utilizzo di solver differenti, a testimonianza della necessità per alcuni modelli di un campione suffi- cientemente ampio per la stima dei parametri. A riguardo, come ci si aspettava, i modelli APARCH sono stati quelli più penalizzati dalla riduzione della finestra, con ben 4 modelli su 6 mancanti, mentre i due restanti non sono stati in grado di supe- rare i test UC e CC. Per la soglia al 99%, la scelta del modello cade sclusivamente sul EGARCH, in entrambi i casi con distribuzione leptocurtica in versione skewed. Nel caso di VaR al 95%, la totalità dei modelli che hanno superato entrambi i test hanno distribuzione asimmetrica.
Analisi empirica
VaR 99% con Finestra a 500 giorni
Model Dist RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH sged 7.4918 4.8950 0.2170 0.2521 1.33% eGARCH sstd 8.5483 6.2157 0.4504 0.3437 1.20%
Tabella 4.8: Comparazione modelli per finestra mobile a 500 con VaR 99%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
e Conditional Coverage, percentuali di violazioni dei VaR registrate. VaR 95% con Finestra a 500 giorni
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH sged 5.7750 3.7371 0.2456 0.4692 5.67% eGARCH sstd 5.9017 4.0726 0.1652 0.3816 5.80% sGARCH sged 6.0459 4.3292 0.2024 0.2866 5.73% eGARCH snorm 6.0851 3.7660 0.3511 0.6189 5.53% gjrGARCH snorm 6.1349 3.8263 0.9055 0.9273 4.93%
Tabella 4.9: Comparazione modelli per finestra mobile a 500 con VaR 95%. Ri- spettivamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional
e Conditional Coverage, percentuali di violazioni dei VaR registrate.
Finestra mobile ricorsiva
Come ultimo elemento di paragone, la procedura è stata applicata alle previsioni della volatilità condizionata ottenute con una finestra temporale di tipo ricorsivo, non costante. Con un numero crescente di giornate disponibili per la previsione della volatilità non sono stati incontrati problemi di stima dei modelli. I risultati in questo caso sono simili con quelli derivanti dall’utilizzo di una finestra mobile a 1500 e 1000 giorni. Indipendentemente dalla distribuzione ipotizzata, i modelli GARCH standard non possono definirsi efficienti anche in questo contesto. Nel caso di VaR con soglia al 99% nessuno dei GARCH standard ha superato i test, mentre nel caso di soglia al 95% ottengono un ruolo molto marginale rispetto ai concorrenti. Anche grazie al maggior numero di giornate utili, i modelli APARCH si ritrovano ai vertici delle classifiche, anche se non significativamente distanti dagli EGARCH con distribuzione delle innovazioni simile. Le distribuzioni leptocurtiche risultano essere sempre le più performanti, prime fra tutte in questo caso le distribuzioni t-Student’s asimmetrica e non.
VaR 99% con Finestra ricorsiva
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol apARCH sstd 5.8476 4.8401 1.0000 0.3341 1.00% eGARCH sstd 5.9118 4.7102 1.0000 0.3341 1.00% apARCH std 6.0926 4.4473 0.4504 0.3437 1.20% eGARCH std 6.1435 4.5110 0.3189 0.3034 1.27% eGARCH sged 6.2707 4.5926 1.0000 0.3341 1.00% eGARCH ged 6.4284 4.3538 0.3189 0.3034 1.27% apARCH sged 6.5040 4.8406 0.7930 0.2849 0.933%
Tabella 4.10: Comparazione modelli per finestra ricorsiva con VaR 99%. Rispetti- vamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional e
Conditional Coverage, percentuali di violazioni dei VaR registrate. VaR 95% con Finestra ricorsiva
Model Distr RMSE MAE UC_p CC_p Perc_Viol eGARCH std 5.7972 3.9537 0.5577 0.7879 5.33% gjrGARCH std 5.8353 3.9828 0.9055 0.7741 4.93% apARCH std 5.9536 4.1176 0.7206 0.6694 4.80% gjrGARCH ged 5.9623 4.0045 0.3348 0.6281 4.47% eGARCH ged 6.0404 4.0403 0.3348 0.5305 4.47% apARCH ged 6.0602 4.1314 0.3348 0.3370 4.47% sGARCH ged 6.3225 4.4049 1.0000 0.8105 5.00% gjrGARCH norm 6.3535 4.1057 0.2258 0.4773 4.33% sGARCH sged 6.4244 4.4478 0.1442 0.1371 4.20% sGARCH std 6.4650 4.7032 0.1652 0.2599 5.80% apARCH norm 6.5337 4.2153 0.1128 0.1040 4.13% sGARCH sstd 6.6443 4.7572 0.5493 0.5382 4.67% sGARCH norm 6.8518 4.6493 0.8119 0.7263 4.87% sGARCH snorm 7.0871 4.7813 0.1818 0.1769 4.27%
Tabella 4.11: Comparazione modelli per finestra ricorsiva con VaR 95%. Rispetti- vamente in colonna sono riportati il modello, la distribuzione sottostante, gli indici RMSE e MAE moltiplicati per 103, p-value associati ai test di Unconditional e
Analisi empirica