Per testare l’impatto che il segno delle innovazioni ha sulla varianza condizionata è possibile utilizzare i test di Engle e NG R. F. Engle et al. 1993, in modo da verificare la presenza o meno degli effetti asimmetrici visti nella sezione 1.4.
Sia S−
t−1 variabile dicotomica così definita:
St−1− = (
1 se ˆt−1 <0
0 se ˆt−1 ≥ 0
Il primo test, noto come Sign Bias Test è un test che mira alla verifica dell’im- patto del segno dell’innovazione sulla varianza condizionata. Il test si basa sulla regressione dei residui standardizzati al quadrato su una costante e la variabile dicotomica indicata precedentemente così espressa:
ˆ2 t
σ2 t
= α + βSt−1− + ut
dove ηt è l’errore iid.
Con ipotesi nulla di assenza di distorsioni date dal segno delle innovazioni, H0 :
β = 0, la statistica t-test si distribuisce come una t-Student’s con due gradi di libertà: t = βˆ
SE(β) ∼ t2. Se innovazioni con segno positivo e negativo impattano
differentemente sulla varianza condizionata e si è in presenza di effetti asimmetrici, allora il coefficiente β sarà statisticamente significativo (Gallo et al. 2002) (Brooks 2008). In particolare, β statisticamente maggiore di zero indica che la media dei residui ˆ2 per cui le innovazioni al periodo precedente sono di segno negativo sarà
maggiore della media di quelli corrispondenti a innovazione precedente con segno positivo.
Nel caso del Negative Size Bias Test si va ad indagare se innovazioni di segno negativo abbiano un impatto proporzionale alla propria dimensione sulla varianza condizionata. La regressione in questo caso assume la seguente forma:
ˆ2 t
σ2 t
= α + γSt−1− ˆt−1+ ut
dove ut e St−1− hanno lo stesso significato visto precedentemente.
Con ipotesi nulla di assenza di effetto asimmetrico H0 : γ = 0, anche in questo caso
la statistica assume la forma di un t-test. Se γ risultasse essere significativamente minore di zero, si sarebbe in presenza di un effetto asimmetrico di leverage, che come visto sta ad indicare un aumento della varianza condizionata maggiore a seguito di innovazione di segno negativo (Gallo et al. 2002).
Il Positive Size Bias Test risulta essere speculare al precedente, andando a ve- rificare che innovazioni di segno positivo abbiano un impatto proporzionale alla
loro dimensione sulla varianza condizionata (Brooks 2008) (Gallo et al. 2002). Ri- spetto al caso precedente tuttavia, la variabile dicotomica ora viene espressa come St−1+ = 1 − St−1− e la regressione assume la seguente forma:
ˆ2 t
σ2 t
= α + δSt−1+ ˆt−1+ ut
Nel caso in cui coefficiente δ dovesse essere statisticamente minore di zero, le innova- zioni di segno positivo porterebbero ad una riduzione della varianza. Porterebbero ad un aumento della varianza condizionata se invece dovesse essere positivo.
Nello stesso articolo (R. F. Engle et al. 1993), Engle e NG propongono un test congiunto sull’impatto del segno delle innovazioni sulla varianza condizionata. Sotto l’ipotesi nulla di assenza di effetti asimmetrici
H0 = β = γ = δ = 0
la regressione assume la seguente forma: ˆ2 t σ2 t = α + βSt−1− + γS − t−1ˆt−1+ δSt−1+ ˆt−1+ ut
La statistica test assume ora la forma della statistica F o T R2, dove T rap-
presenta la numerosità campionaria e R2 l’indice di determinazione lineare della
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