Risultati

Per un confronto più accurato tra la soluzione ottenuta dalla teoria con quella ottenuta dal codice di calcolo utilizzato, si è scelto di utilizzare tre sezioni di controllo (Sez.0 per x = 0, Sez.1 per x = l/2, Sez.2 per x = l), in modo da seguire l’evolversi del profilo di velocità, all’avanzare del moto del fluido nel condotto. Su ogni sezione è stata rilevata la soluzione Nodale in 7 nodi così distribuiti (Figura 4-4):

1 sulla parete superiore 1 in prossimità della parete 1 sull’asse di simmetria 1 in prossimità dell’asse 3 in posizione intermedia

Figura 4-4 Nodi scelti per il confronto tra soluzione numerica e teorica.

In conformità a tali considerazioni il confronto, tra soluzione teorica e soluzione numerica, si è compiuto sia al variare del valore di rilassamento dei fattori inerziali, sia al variare del rapporto di spaziatura della griglia nell’intervallo prestabilito, ottenendo in particolare:

Velocità

Come si può osservare dalla Figura 4-5 i valori nodali delle velocità calcolati dal software, corrispondono a quelli della soluzione teorica, che ha andamento parabolico (in realtà l’andamento sugli elementi è lineare a tratti). Dai grafici rappresentanti l’errore, invece, si

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nota che a parità del valore del MOME i valori delle velocità calcolati tramite il codice di calcolo, con un rapporto di spaziatura della griglia più alto, sono più vicini a quelli teorici. Infatti, all’aumentare del rapporto di spaziatura e al diminuire del valore di rilassamento dei fattori inerziali della quantità di moto, l’errore massimo (e_v) tra i valori teorici (vt) e i valori

calcolati (vc), valutato come:

1 t 100 v c v e v (4.5)

è stato utilizzato come parametro di riferimento e come indice qualitativo delle stesse simulazioni.

Figura 4-5 Confronto tra la velocità teorica e calcolata al variare della spaziatura (s).

Come si può notare dalle figure successive, rappresentanti l’errore percentuale, il valore di velocità all’asse di simmetria, in ANSYS, passa da circa 0.0154‰, alla sezione d’imbocco, a circa 0.0157‰, alla sezione di uscita, per s = 5 e fattore di rilassamento pari a 0.1.

Figura 4-6 Confronto valori rapporti velocità teorici-calcolati al variare del valore di rilassamento dei fattori inerziali della quantità di moto (Sez.0, s = 1).

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Figura 4-7 Confronto valori rapporti velocità teorici- calcolati al variare del valore di rilassamento dei fattori inerziali della quantità di moto (Sez.0, s = 3).

Figura 4-8 Confronto valori rapporti velocità teorici- calcolati al variare del valore di rilassamento dei fattori inerziali della quantità di moto (Sez.0, s = 5).

Dai risultati per le altre due sezioni di controllo (riportati in Appendice C), si possono fare osservazioni analoghe; infatti, come previsto dalla soluzione teorica, il profilo di velocità risulta costante su tutto il condotto.

Tensioni alla parete

Per il calcolo delle tensioni tangenziali alla parete si sono confrontati i valori teorici delle tensioni, calcolati con l’equazione dei fluidi newtoniani:

x xy

v

y (4.6)

con i rispettivi valori calcolati in ANSYS per i nodi delle sezioni di controllo, immediatamente vicino la parete. Il gradiente di velocità alla parete può essere calcolato, in

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maniera approssimata, essendo nulla la velocità alla parete, valutando il termine tra parentesi come il rapporto tra il valore della velocità calcolato nel nodo più vicino alla parete (ma non sulla parete) e la distanza di tale nodo dalla parete stessa. Tali valori di tensioni, per come sono stati calcolati, risentono del rapporto di spaziatura della griglia, poiché varia il dy, del valore del MOME, poiché varia il valore delle componenti di velocità, ma non risentono della sezione di controllo esaminata. A titolo di esempio per il caso in cui il valore del MOME è pari a 0.1 e s pari a 5, si riportano i valori delle tensioni calcolate ( _c*) tramite i valori di velocità vc, i valori delle tensioni teoriche ( t) e quelli calcolati direttamente con gli elementi finiti in ANSYS ( c) e del rispettivo errore valutato come:

1 t 100 c e _(4.7) 0.098 dy mm _(4.8) * 0.123 c Pa (4.9) 0.128 t Pa (4.10) 0.125 c Pa (4.11) * 2.047 e _(4.12) 2.05 e _(4.13)

Da una prima stima dei risultati ottenuti si nota che la precisione della soluzione calcolata in ANSYS aumenta al diminuire del valore del MOME e all’aumentare del rapporto di spaziatura della griglia, e dà ottimi risultati per quanto riguarda i profili di velocità ma più grandi per quanto riguarda i valori delle tensioni. Errori comunque accettabili essendo la tensione una grandezza derivata della velocità, quindi con un ordine di precisione in meno. Poiché il valore delle tensioni alla parete è una grandezza importante in campo biomedico, come migliore approssimazione si è eseguita una stima delle tensioni dal fit dei valori di velocità calcolati in ANSYS (vc) con una polinomiale di secondo grado (Figure 4-9), sapendo che la soluzione teorica del profilo di velocità di Poiseuille ha un andamento parabolico. Calcolando la derivata dell’equazione della polinomiale alla parete e moltiplicandola per il valore della viscosità µ si ottiene il valore della tensione alla parete τf . In Tabella 4-1 sono riportate come esempio le stime delle tensioni per un valore di spaziatura s pari a 5 e il rispettivo errore percentuale rispetto al valore teorico di tensione.

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s τf [Pa] τc [Pa] τt [Pa] Errore della τc Errore della τf

5 0.128 0.125 0.128 2.05% 0.1‰

Tabella 4-1 Errori percentuali delle tensioni alla parete.

Da notare come una stima di ordine superiore porti a un valore di tensione uguale al valore teorico.

Figura 4-9 Fit polinomiale delle velocità per s = 5.

Per quanto riguarda invece il numero d’iterazioni necessario per la convergenza della soluzione si nota che tale numero aumenta all’aumentare del valore di rilassamento dei fattori inerziali della quantità di moto e diminuisce all’aumentare del rapporto di spaziatura della griglia, variando in un intervallo compreso tra 1350 e 4950 iterazioni, corrispondenti a un tempo di calcolo compreso approssimativamente tra 4 e 10 minuti.

Influenza rapporto lati elemento

Fissati i valori di s e del MOME, si è studiata l’influenza del rapporto re tra i lati del generico elemento della griglia (  ) in caso di spaziatura uniforme (s = 1) sull’errore percentuale x y dei risultati. Facendo variare re (5 1 re 5), ossia tenendo fissi il numero di elementi lungo il raggio in base al valore di s si varia il numero di elementi lungo l’asse, in modo da avere una griglia più o meno rada assialmente. Si è così osservato che l’errore percentuale del rapporto velocità teorica-calcolata ev, diminuisce all’aumentare del valore di re (griglia sempre più rada, Figure 4-10 e 4-11).

L’errore percentuale del rapporto tensione teorica-calcolata eτ, dipendendo prevalentemente solo da s, rimane costante al variare di re. Per le simulazioni seguenti si è fissato re pari a 5.

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Figura 4-10 Confronto valori rapporti velocità teorici-calcolati al variare del rapporto tra i lati dell’elemento della griglia tra 5-1 e 2-1 (Sez.0, s = 5).

Figura 4-11 Confronto valori rapporti velocità teorici-calcolati al variare del rapporto tra i lati dell’elemento della griglia tra 1 e 5 (Sez.0, s = 5).

Variazione fluido

A parità di geometria, di condizioni al contorno e settaggi della soluzione (re, s, MOME), cambiando semplicemente la natura del fluido da acqua a sangue, si osserva la naturale variazione dei valori numerici delle grandezze direttamente legati alle proprietà del fluido (viscosità dinamica), ma non degli errori percentuali. Analogamente per quanto riguarda il numero d’iterazioni e del tempo di calcolo necessario per la convergenza della soluzione.

4.2 Moto stazionario in un condotto rigido assialsimmetrico