Esercizio 3.46. Sia f : R → R derivabile e supponiamo che l’equazione f (x) = 2013 abbia 8 soluzioni; dimostrare che la derivata f0(x) ha almeno 7 zeri.
Esercizio 3.47. Sia f : [a, b] → R una funzione derivabile due volte e sia c ∈ (a, b) tale che f (a) = f (c) = f (b) = 0. Dimostrare che esiste x ∈ (a, b) tale che f00(x) = 0.
Esercizio 3.48. Dimostrare che per ogni x, y ∈ R si ha | sin x − sin y| ≤ |x − y|.
Esercizio 3.49. Sia f : [−9, 9] → R una funzione derivabile, tale che f0(x) ≤ 1 per ogni x ∈ (−9, 9). Sapendo che f (9) = 9 e f (−9) = −9, dimostrare che f (x) = x per ogni x ∈ (−9, 9).
Esercizio 3.50. Sia f : R → R continua. Supponiamo che f sia derivabile in ogni x 6= 0 e che lim
x→0f 0
(x) = a ∈ R . Dimostrare che allora f `e derivabile in 0 e f0(0) = a, ovvero che
lim
h→0
f (h) − f (0) h − 0 = a .
Esercizio 3.51. Utilizzando opportuni sviluppi di Taylor con resto di Lagrange, dimostrare le seguenti disuguaglianze
1. arctan x ≤ x se x ≥ 0 (e viceversa sui negativi)
2. ex≥ 1 + x +x 2
2 + x3
6 per ogni x ∈ R 3. log(1 + x) ≤ x per ogni x ∈ (−1, +∞)
4. (1 + x)α≥ 1 + αx per ogni x > −1 e ogni α ≥ 1
5. 1 +x 2 − x2 8 ≤ √ 1 + x ≤ 1 +x 2 se x ≥ 0
Esercizio 3.52. Sia f : (0, +∞) → R la funzione f (x) = log x.
1. Dimostrare che f `e una funzione strettamente crescente e strettamente concava.
2. Dalla concavit`a e dalle propriet`a del logaritmo dedurre che, per ogni a, b ∈ (0, +∞), si ha
log a + b 2
≥ log(√ab)
3. Concludere che, per ogni a, b ∈ (0, +∞), vale a + b 2 ≥
√ ab.
4. Ripetere lo stesso ragionamento con f (x) = xα, con 0 < α < 1. Che disuguaglianza se ne
3.8. SUCCESSIONI PER RICORRENZA 67
3.8
Successioni per ricorrenza
Esercizio 3.53. Si consideri la successione
an+1= 1 +
1 an
con a1= 1. Mostrare che
1. an→ +∞
2. a2
n> 1 + 2(n − 1).
Esercizio 3.54. Sia f : [−1, 1] → [−1, 1] una funzione continua tale che f (x) = x
2 + o(x). Dimostrare che esiste > 0 tale che, se |α| < , allora la successione
an+1= f (an), a0= α
converge a 0.
Esercizio 3.55. Si consideri la successione
an+1= arctan(an)
con dato iniziale a1= 100.
1. Si dimostri che an → 0.
2. Si dimostri che an ≥ 1/n se n > 0.
Esercizio 3.56. Si consideri la successione
an+1= 1 +
n an
con dato iniziale a1= 1.
1. Si dimostri che an ≥ 0 per ogni n.
2. Si dimostri che 1 + √
4n − 3
2 ≤ an ≤
1 +√4n + 1
2 per n abbastanza grande (quanto?). 3. Si dimostri che an+1≥ an per n abbastanza grande (vedi punto precedente).
3.9
Serie numeriche e di potenze
Esercizio 3.57. Si consideri la successione per ricorrenza
an+1= arctan(an)
con dato iniziale a1= 100. Utilizzando l’esercizio 3.55, si determini il comportamento della serie
P an.
Esercizio 3.58. Nella situazione descritta nell’esercizio 3.54, si determini il raggio di convergenza della serie di potenzeP anxn.
Esercizio 3.59. Si consideri la successione per ricorrenza
an+2= an+1+ an n ≥ 0
con dato iniziale a0= 0, a1= 1. Si dimostri che
1. an≥ 1 per ogni n > 0
2. an≤ 2n per ogni n > 1
3. an→ +∞
4. il raggio di convergenza diP anxn `e maggiore o uguale a 1/2
5. P anxn=
x
1 − x − x2 dove la serie di potenze converge
6. an≥ n2/10 se n ≥ 3
7. P 1/an converge.
Esercizio 3.60. Sia an una successione limitata, mostrare cheP ann−2 converge.
Esercizio 3.61. Sapendo che P anxn ha raggio di convergenza R e che P bnxn ha raggio di
convergenza ρ, determinare il raggio di convergenza di
X (an+ bn)xn X (an− 7bn)xn X anbnxn X anbnxn X anbnx2n X a2nxn
Esercizio 3.62. Si supponga di disporre di n cubi di legno, tutti uguali, uno sopra l’altro, non necessariamente allineati, di modo che la struttura stia in equilibrio e di modo che la distanza tra il cubo pi`u alto e il cubo pi`u basso sia pi`u grande possibile. Calcolare tale distanza dn e mostrare
3.10. INTEGRALI 69
3.10
Integrali
Esercizio 3.63. Sia f : R → R una funzione dispari e continua. Mostrare che la funzione integrale F (x) = Z x 0 f (t)dt `e pari.
Esercizio 3.64. Sia f : R → R una funzione pari e continua. Mostrare che la funzione integrale F (x) =
Z x
0
f (t)dt
`e dispari.
Esercizio 3.65. Sia f : R → R una funzione positiva; mostrare che qualsiasi sua primitiva `e una funzione crescente.
Esercizio 3.66. Siano f, g : [0, 1] → R tali che Z 1 0 f (x)dx = Z 1 0 g(x)dx
mostrare che esiste x0∈ [0, 1] tale che f (x0) = g(x0).
Esercizio 3.67. Sia f (x) = Z x 0 sin t 1 + t2dt . Si calcoli lim x→0+ f (x) x2 .
Esercizio 3.68. Sia f : R → R derivabile tale che Z k+1
k
f (x)dx = 0
per ogni k ∈ Z.
1. Mostrare che, comunque fissato x ∈ R, esiste c ∈ [x, x + 2] tale che f (c) = 0.
2. Si supponga di sapere che |f0(x)| < 1 per ogni x ∈ R; dimostrare che allora esiste C ∈ R tale che |f (x)| ≤ C per ogni x ∈ R.
Esercizio 3.69. Sia f : [a, +∞) → R tale che lim
x→+∞f (x) = L con L > 0 (e L 6= 0). Dimostrare
allora che
Z +∞
a
f (x)dx = +∞ .
Esercizio 3.70. Si determini il comportamento della serie
∞ X n=1 Z 1/n2 0 cosh(t) 1 + t dt
Esercizio 3.71. Si determini il comportamento della successione definita per ricorrenza da
an+1=
Z an
0
t
3.11
Equazioni differenziali
Esercizio 3.72. Dati a0, a1, a2, a3∈ R, si consideri l’equazione differenziale a3u000+ a2u00+ a1u0+
a0u = 0 .
1. Si dimostri che, se u(t) `e una soluzione, allora u0(t) `e ancora una soluzione.
2. Sia S l’insieme delle soluzioni dell’equazione data; si dimostri che la funzione T : S → S che trasforma u nella sua derivata (ovvero T (u) = u0) `e una funzione lineare.
3. Si dimostri che a3T3+ a2T2+ a1T + a0I = 0 (Tj = T ◦ · · · ◦ T `e la composizione di T con
se stessa per j volte e I `e l’identit`a).
4. Se p(λ) = a3λ3+a2λ2+a1λ+a0= a3(λ−c1)(λ−c2)(λ−c3), allora a3T3+a2T2+a1T +a0I =
a3(T − c1I)(T − c2I)(T − c3I) (il prodotto tra funzioni lineari `e inteso come composizione).
Esercizio 3.73. Si consideri l’equazione differenziale t2u00+ tu0+ 7u = 0 e sia S l’insieme delle sue soluzioni.
1. E’ vero che S `e uno spazio vettoriale? Di che dimensione?
2. Data una qualsiasi u(t) ∈ S, si ponga v(s) = u(es) e si calcolino v0(s) e v00(s).
3. Si ricavi un’equazione differenziale che deve essere soddisfatta da v, sapendo che u(t) ∈ S.
4. Si risolva l’equazione al punto precedente e si usi tale soluzione per risolvere il problema di Cauchy t2u00+ tu0+ 7u = 0 u(1) = 1 u0(1) = 0
Esercizio 3.74. Si consideri il problema di Cauchy
u0 = tu + 1 1 + t2 u(0) = c
1. Si scriva una formula per la soluzione (utilizzando anche funzioni integrali).
Capitolo 4
Amari
Plausibili esercizi da scritto d’esame di varia difficolt`a.
4.1
Lucano
1. Si consideri la successione
an= log(n2+ 2) − 2 log(n) − 2 sin2
1 n
.
1. Si calcoli, se esiste, lim an. 2pt
2. Si dimostri che an < 0 definitivamente. 3pt
3. Si discuta la convergenza della serieP aα
n al variare di α > 0. 3pt 2. Sia f (x) = (2x − 1) log 1 1 + x .
1. Si studi la funzione f sul suo massimo dominio di definizione, determinandone il segno, la monotonia e tracciandone un grafico approssimativo. 3pt
2. Si dimostri che f (x) ≤ x per ogni x per cui f `e definita e che f (x) = x solo se x = 0. 2pt
3. Si consideri la successione per ricorrenza
an+1= f (an) a0= α ,
si determini per quali α > 0 essa `e definita per ogni n ∈ N e per tali valori di α si calcoli
lim an. 4pt
3. Si risolva il seguente problema di Cauchy
2u0 = −u(1 +√3 tan(√3t/2)) u(0) = e
e si determini, per la soluzione u(t) trovata, tutti i λ ∈ R tali che u(t) = λ abbia infinite soluzioni
positive. 7pt
4. Si consideri la funzione f (x) = sin(√x) cos2(√x).
1. Si trovi una primitiva di f (x). 3pt
2. Si discuta la convergenza dell’integrale improprio Z +∞
0
xαf (x)dx per α ∈ R. 3pt
3. Si calcoli, se esiste, il limite lim n2 Z 1/n
0
4.2. CENTERBE 73
4.2
Centerbe
1. Si calcoli, se esiste, il seguente limite
lim x→0+ e2x− cosh(x2) +√2 sin(π 4− 2x) − 1 tanh(xα) − arctan(xα) al variare di α ∈ R \ {0}. 6pt 2. Si consideri la funzione f (x) = (x2+ 1)1/x.
1. Trovare estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo (se esistono) dell’insieme A =
{f (n) : n ∈ N, n > 0}. 5pt
2. Discutere la convergenza della serie
∞
X
n=1
f0(n)nαal variare di α ∈ (0, +∞). 5pt
3. Sia data la successione per ricorrenza definita da
an+1= log3(3 + (an− 1)2), a0= 1000 .
1. Calcolare lim an= l. 3pt
2. Discutere la convergenza della serie
∞
X
n=0
(an− l). 3pt
3. Discutere la convergenza della serie
∞
X
n=0
n!(an− l). 4pt
4. Discutere la convergenza dell’integrale improprio
Z +∞
0
x2+α
(x3+ 5) log2(1 + x)dx
4.3
Montenegro
1. Per n ≥ 2, si consideri la successione
an= 1 √ n3− n2+ 1 − 1 √ n3+ 3n2+ 1 1 n− 1 n + 2√n .
1. Al variare di β ∈ R, si calcoli il limite lim nβan. 4pt
2. Si discuta la convergenza della serie
∞ X n=2 an tan(1/n) − sin(1/n). 4pt 2. Si consideri la funzione f (x) = 2√1–x x2+ 1− arctan(x) .
1. Si determinino estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di f (x) sul suo dominio. 4pt
2. Si determini (se esiste) un numero reale a tale che la funzione
g(x) = f (1/x2) se x 6= 0 a se x = 0
sia continua per x = 0. 3pt
3. Per l’eventuale valore di a trovato nel punto precedente, si dica se la funzione g `e derivabile in x = 0 e se ne calcoli la derivata g0(0). 3pt
3. Si trovino tutte le soluzioni u all’equazione differenziale
u00− 2u0− 3u + t = 0
tali che u(0) = 1 e u0(0) = 0. 6pt
4. Si consideri la funzione integrale
f (x) = x − Z x
0
t + 1 et2 dt .
1. Si studi la funzione f tracciandone un grafico approssimato. 5pt
2. Si dimostri che per ogni x ∈ R vale 2f (x) ≥ 1 − x2+x 3
4.4. DEL CAPO 75
4.4
Del Capo
1. Per β > 0 ed n ≥ 1, si consideri la successione
an= 1 nβ n s 3n 2n .
1. Calcolare, in funzione di β, lim
n→+∞an 3pt
2. Calcolare, in funzione di β, lim
n→+∞
sin(1/n) − tan(1/n) an
. 4pt
3. Discutere, in funzione di β, la convergenza della serie
∞ X n=1 an. 4pt 2. 1. Si studi la funzione f (x) = x5+ 4 log(|x|) − log(5)x
e se ne tracci un grafico indicativo. 4pt
2. Si determini il numero di soluzioni delle equazioni f (x) = 0, f (x) = 2013, e f (x) = log(5) −
1. 3pt
3. Si determini qual `e il massimo numero di soluzioni dell’equazione ex5− 5x= λ al variare di
λ ∈ R. 4pt
3. Si consideri la funzione
f (x) = x3sin(x2) . 1. Si calcoli l’integrale indefinito
Z
xf (x)dx .
3pt
2. Si calcoli l’integrale definito
Z 3π2
−π 2
|f (x)|dx .
3pt
3. Si determini la convergenza dell’integrale improprio
Z π
0
f (x) xα dx
4.5
Averna
1. Si consideri la successione per ricorrenza an+1=
an
2 − a
2
n con dato iniziale a0=
1 4. 1. Calcolare lim
n→+∞an . 3pt
2. Discutere la convergenza delle serie
∞ X n=0 an e ∞ X n=0 3na2n. 5pt 2.
1. Determinare il numero di soluzioni reali dell’equazione x4− 4x2− 2x + 4 = 0. 3pt
2. Studiare la funzione
f (x) = 2x
3+ 6x2− 4x − 11
2x2− 4
determinandone dominio, monotonia ed eventuali asintoti e tracciandone un grafico appros-
simativo. 5pt
3. Si consideri l’equazione differenziale
u0= u
5/2
1 + t2 .
1. Determinare le soluzioni tali che u(0) = 1. 4pt
2. Per le soluzioni trovate al punto precedente, determinarne l’intervallo massimale di esistenza I (contenente quindi 0), l’immagine e il numero di soluzioni di u(t) = λ al variare di λ ∈ R,
per t ∈ I. 4pt
4. Si consideri la funzione
f (x) = 2 x
3− x5
x6+ x4+ x2+ 1 .
1. Si determini la primitiva F (x) di f (x) tale che F (0) = 0. 5pt
2. Si calcoli, al variare di α ∈ (0, +∞), il limite lim
x→0x
4.6. BRAULIO 77
4.6
Braulio
1. Si consideri la successione per ricorrenza
an+1=
arctan(n3a n)
1 + 2n , a1= 10 .
1. Si calcoli, se esiste, lim an. 5pt
2. Si dimostri che la successione bn= n3an tende a +∞. 3pt
2. Sia data la funzione
f (x) = x3− cos(3x) .
1. Si determini il numero delle soluzioni positive dell’equazione f (x) = λ, al variare di λ ∈ R. 5pt
2. Si determini il numero di soluzioni dell’equazione f (x) = 0. 3pt
3. Sia
an=
√
n −pn + (−1)n.
1. Si calcoli lim an. 2pt
2. Si dimostri che la serie
∞
X
n=3
arctan(an) non converge assolutamente. 2pt
3. Si dica se la serie al punto precedente converge. 4pt
4. Sia data la funzione
f (x) = log(1 +p|x|) 1. Si calcoli l’integrale definito
Z 3
0
f (x)dx. 4pt
2. Si dica per quali n ∈ N l’integrale improprio Z +∞
−∞
f (x) xn/3dx
Men`u
1 Aperitivi 3
1.1 Insiemi e funzioni . . . 4
1.2 Numeri reali . . . 4
1.3 Funzioni reali di variabile reale . . . 5
1.4 Successioni di numeri reali . . . 6
1.5 Limiti di funzioni e funzioni continue . . . 8
1.6 Derivate, L’Hˆopital e Taylor . . . 11
1.7 Zeri, massimi e minimi . . . 13
1.8 Derivate, monotonia, asintoti e convessit`a . . . 14
1.9 Serie numeriche e di potenze . . . 16
1.10 Integrali . . . 17
1.11 Equazioni differenziali . . . 21
2 Shottini 25 2.1 Insiemistica . . . 26
2.2 Combinatoria e funzioni . . . 27
2.3 Simmetrie, immagini e controimmagini . . . 28
2.4 Inf e sup, min e max . . . 30
2.5 Successioni di numeri reali . . . 31
2.6 Limiti di funzioni . . . 33
2.7 o-piccoli, derivabilit`a e calcolo delle derivate . . . 36
2.8 L’Hˆopital e Taylor . . . 38
2.9 Zeri, massimi e minimi . . . 40
2.10 Monotonia e derivate. Rolle, Lagrange, Cauchy . . . 42
2.11 Successioni per ricorrenza . . . 45
2.12 Serie numeriche . . . 47 2.13 Integrali indefiniti . . . 50 2.14 Integrali definiti . . . 53 2.15 Equazioni differenziali . . . 56 3 Long drinks 59 3.1 Induzione e insiemistica . . . 60
3.2 Inf, sup, max e min . . . 61
3.3 Successioni di numeri reali . . . 62
3.4 Limiti di funzioni e continuit`a . . . 63
3.5 Derivate ed o-piccoli . . . 64
3.6 Zeri, massimi e minimi, monotonia . . . 65
3.7 Rolle, Lagrange e Cauchy . . . 66
3.8 Successioni per ricorrenza . . . 67
3.9 Serie numeriche e di potenze . . . 68
3.10 Integrali . . . 69
3.11 Equazioni differenziali . . . 70
4 Amari 71 4.1 Lucano . . . 72 4.2 Centerbe . . . 73 4.3 Montenegro . . . 74 4.4 Del Capo . . . 75 4.5 Averna . . . 76 4.6 Braulio . . . 77