Esercizi di Analisi Matematica I
Samuele Mongodi
A.A. 2013/14
Capitolo 1
Aperitivi
Definizioni (D), fatti e risultati utili. La teoria esposta in queste pagine non pu`o sostituire lo studio di un libro di testo o la frequenza alle lezioni, mancando di spiegazioni, esempi e strategie di applicazione.
1.1
Insiemi e funzioni
Formule di De Morgan: (A ∩ B)c = Ac∪ Bc, ovvero (A ∪ B)c = Ac∩ Bc
Principio di Inclusione-Esclusione: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Principio di Induzione: Sia P (n) una proposizione a proposito di un numero naturale n. Se
(PB) P (0) `e vera,
(PI)) per ogni n, P (n) implica P (n + 1),
allora P (n) `e vera per ogni n.
(D) Funzione iniettiva: f : A → B si dice iniettiva se f (a) = f (a0) =⇒ a = a0 per ogni a, a0∈ A.
Equivalentemente: f : A → B `e iniettiva se, per ogni a, a0∈ A, a 6= a0 =⇒ f (a) 6= f (a0).
(D) Funzione surgettiva: f : A → B si dice surgettiva se per ogni b ∈ B esiste a ∈ A tale che f (a) = b.
Surgettivit`a, iniettivit`a ed equazioni: f : A → B `e iniettiva se e solo se l’equazione f (a) = b ha al pi`u una soluzione per ogni b ∈ B (pu`o avere 1 soluzione oppure 0 soluzioni). f : A → B `e surgettiva se e solo se l’equazione f (a) = b ha almeno una soluzione per ogni b ∈ B (pu`o avere 1, 2, 3, . . . o infinite soluzioni, ma non 0).
(D) Funzione bigettiva: f : A → B si dice bigettiva se `e iniettiva e surgettiva.
Invertibilit`a: Se f : A → B `e iniettiva, allora esiste g : B → A tale che g(f (a)) = a per ogni a ∈ A (inversa sinistra). Se f : A → B `e surgettiva, allora esiste g : B → A tale che f (g(b)) = b per ogni b ∈ B (inversa sinistra). Se f : A → B `e bigettiva allora esiste g : B → A che `e sia inversa sinistra che inversa destra, viene detta semplicemente inversa e si denota con f−1.
1.2
Numeri reali
(D) Assiomi dei numeri reali: i numeri reali sono un insieme R munito di due operazioni +, · e di un ordinamento ≤ che rispettano le seguenti propriet`a
(S1) per ogni x, y ∈ R, x + y = y + x
(S2) per ogni x, y, z ∈ R, (x + y) + z = x + (y + z)
(S3) esiste u ∈ R tale che per ogni x ∈ R si ha x + u = x (di solito si denota tale u con il simbolo 0)
(S4) per ogni x ∈ R esiste y ∈ R tale che x + y = 0 e si scrive y = −x (P1) per ogni x, y ∈ R, x · y = y · x
(P2) per ogni x, y, z ∈ R, x · (y · z) = (x · y) · z
(P3) esiste v ∈ R tale che per ogni x ∈ R si ha v · x = x (di solito si denota tale v con il simbolo 1) (P4) per ogni x ∈ R con x 6= 0, esiste y ∈ R tale che x · y = 1 e si scrive y = x−1
(D) per ogni x, y, z ∈ R si ha x · (y + z) = x · y + x · z (O1) per ogni x ∈ R si ha x ≤ x
(O2) per ogni x, y ∈ R, se vale y ≤ x e x ≤ y, allora x = y (O3) per ogni x, y, z ∈ R, se vale x ≤ y e y ≤ z, allora x ≤ z
1.3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 5
(C1) per ogni x, y, z ∈ R, se vale x ≤ y, allora x + z ≤ y + z (C2) per ogni x, y, z ∈ R, se vale x ≤ y e 0 ≤ z, allora x · z ≤ y · z
(A) per ogni x, y ∈ R, con x ≥ 0, x 6= 0, esiste n ∈ N tale che x + . . . x ≥ y (dove x `e sommato n volte)
(C) dati due insiemi A, B ⊆ R tali che ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B si ha a ≤ b, esiste c ∈ R tale che a ≤ c ∀ a ∈ A e c ≤ b ∀ b ∈ B.
(D) Massimo e minimo: Dato A ⊆ R, si dice massimo di A e si denota con max A un elemento M ∈ R tale che a ≤ M per ogni a ∈ A e M ∈ A. Si dice minimo di A e si denota con min A un elemento m ∈ R tale che m ≤ a per ogni a ∈ A e m ∈ A.
Propriet`a del massimo e del minimo: Massimo e minimo di un insieme, se esistono, sono unici. Non tutti i sottoinsiemi di R possiedono massimo e minimo.
(D) Maggioranti e minoranti: Dato A in R, l’insieme dei maggioranti di A `e K(A) = {x ∈ R : x ≥ a ∀ a ∈ A}; l’insieme dei minoranti `e H(A) = {x ∈ R : x ≤ a ∀ a ∈ A}. Se K(A) 6= ∅, A si dice superiormente limitato (quindi, se esiste almeno un maggiorante); se H(A) 6= ∅, A si dice inferiormente limitato (quindi se esiste almeno un minorante. Se valgono entrambe queste condizioni, A si dice limitato.
(D) Estremo superiore ed estremo inferiore: Dato A ⊆ R, l’estremo superiore di A si denota con sup A ed `e un elemento di R ∪ {+∞}. Se A non `e superiormente limitato, si pone sup A = +∞; altrimenti, si pone sup A = min K(A) (ovvero il minimo dei maggioranti). Allo stesso modo, l’estremo inferiore di A si denota con inf A ed `e un elemento di R ∪ {−∞}. Se A non `e inferiormente limitato, si pone inf A = −∞; altrimenti, si pone inf A = max H(A) (ovvero il massimo dei minoranti).
Propriet`a: Inf e sup esistono per qualsiasi insieme di numeri reali; il massimo e il minimo, se esistono, coincidono con sup e inf. Se poi sup A ∈ A, allora sup A = max A e se inf A ∈ A, allora inf A = min A.
Caratterizzazione del sup: Sia A ⊆ R superiormente limitato. Dato L ∈ R, si ha sup A = L se e solo se
1. L ≥ a ∀ a ∈ A
2. ∀ > 0 ∃a ∈ A tale che L − ≤ a ≤ L.
Caratterizzazione del inf: Sia A ⊆ R inferiormente limitato. Dato l ∈ R, si ha inf A = L se e solo se
1. l ≤ a ∀ a ∈ A
2. ∀ > 0 ∃a ∈ A tale che l ≤ a ≤ l + .
1.3
Funzioni reali di variabile reale
(D) Funzione crescente: f : A → R, con A ⊆ R, si dice strettamente crescente se x < y =⇒ f (x) < f (y), per ogni x, y ∈ A; f si dice debolmente crescente se x < y =⇒ f (x) ≤ f (y), per ogni x, y ∈ A.
(D) Funzione decrescente: f : A → R, con A ⊆ R, si dice strettamente decrescente se x < y =⇒ f (x) > f (y), per ogni x, y ∈ A; f si dice debolmente decrescente se x < y =⇒ f (x) ≥ f (y), per ogni x, y ∈ A.
(D) Funzione monotona: Una funzione si dice debolmente monotona se `e debolmente crescente o decrescente; si dice strettamente monotona se `e strettamente crescente o decrescente. Si dice monotona se `e debolmente o strettamente monotona.
(D) Funzione periodica: Una funzione f : A → R (con A tale che se x ∈ A allora x + T ∈ A) si dice periodica di periodo T > 0 se f (x) = f (x + T ) per ogni x ∈ A.
(D) Funzione pari: Una funzione f : A → R (con A simmetrico rispetto a 0) si dice pari se f (x) = f (−x) per ogni x ∈ A.
(D) Funzione dispari: Una funzione f : A → R (con A simmetrico rispetto a 0) di dice dispari se f (x) = −f (−x) per ogni x ∈ A.
Monotonia e iniettivit`a: Una funzione strettamente monotona `e iniettiva, per`o esistono funzioni iniettive non monotone.
Parit`a, iniettivit`a e monotonia: Una funzione pari non `e iniettiva, n´e monotona (a meno che non sia costante e dunque debolmente monotona).
Periodicit`a, iniettivit`a e monotonia: Una funzione periodica non `e iniettiva, n´e monotona (a meno che non sia costante e dunque debolmente monotona).
1.4
Successioni di numeri reali
(D) Propriet`a vere definitivamente e frequentemente: Una propriet`a P (n) a proposito di un numero naturale n si dice vera definitivamente se esiste n0 ∈ N tale che P (n) `e vera per ogni
n > n0; P (n) si dice vera frequentemente se per ogni n ∈ N esiste m > n tale che P (m) `e vera.
(D) Successioni e limiti di successioni: Una successione di numeri reali `e una funzione a : N → R; di solito, invece di scrivere a(n), si denota l’immagine di n con an. Diciamo che
1. lim
n→+∞an= l ∈ R se per ogni > 0 esiste n0∈ N tale che per ogni n > n0 si ha |an− l| < ;
2. lim
n→+∞an= +∞ se per ogni M ∈ R esiste n0∈ N tale che per ogni n > n0 si ha an > M ;
3. lim
n→+∞an= −∞ se per ogni M ∈ R esiste n0∈ N tale che per ogni n > n0 si ha an < M ;
4. lim
n→+∞an non esiste se non rientra in nessuno dei casi precedenti.
Operazioni con i limiti: Se
lim n→+∞an= a n→+∞lim bn = b allora 1. lim n→+∞an+ bn= a + b 2. lim n→+∞anbn = ab 3. lim n→+∞ an bn =a b se bn`e definitivamente diversa da 0 4. lim n→+∞a bn n = ab se an `e definitivamente positiva.
1.4. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI 7
(D) Retta reale estesa: La retta reale estesa `e l’insieme R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} in cui si estendono le usuali operazioni tra numeri reali, tranne che per le seguenti forme indeterminate:
+∞ − ∞, 0 · (±∞), 0 0,
±∞ ±∞, 0
0, (±∞)0, 1±∞.
Con tali cautele, si pu`o estendere il teorema precedente nel caso in cui a o b siano ±∞.
Teorema di confronto: Supponiamo che an≤ bn per ogni n;
1. se lim n→+∞an = +∞, alloran→+∞lim bn= +∞ 2. se lim n→+∞bn= −∞, alloran→+∞lim an= −∞ 3. se lim n→+∞an = a,n→+∞lim bn= b, allora a ≤ b.
Teorema dei due carabinieri: Supponiamo che an ≤ bn≤ cn per ogni n; se
lim
n→+∞an=n→+∞lim cn= l ∈ R
allora
lim
n→+∞bn= l .
Criterio del rapporto: Sia an una successione di reali con an> 0 definitivamente. Supponiamo
che lim n→+∞ an+1 an = l ∈ R allora 1. se l < 1, lim n→+∞an = 0 2. se l > 1, lim n→+∞an = +∞ 3. se l = 1, BOH!
Criterio della radice: Sia an una successione di reali con an> 0 definitivamente. Supponiamo
che lim n→+∞ n √ an = l ∈ R allora 1. se l < 1, lim n→+∞an = 0 2. se l > 1, lim n→+∞an = +∞ 3. se l = 1, BOH!
Criterio del rapporto-radice: Sia an una successione di reali con an > 0 definitivamente.
Supponiamo che lim n→+∞ an+1 an = l ∈ R allora lim n→+∞ n √ an= l .
Alcuni limiti di base lim n→+∞n a= +∞ , a > 0 lim n→+∞n a = 0+, a < 0 lim n→+∞a n= +∞ , a > 1 lim n→+∞a n= 0+, 0 < a < 1 lim n→+∞a 1/n = 1 , a > 0 lim n→+∞n! = +∞ lim n→+∞ an nb = +∞ , a > 1, b > 0 n→+∞lim an nb = 0 , 0 < a < 1, b > 0 lim n→+∞ an n! = 0 , a > 1 n→+∞lim nn n! = +∞ lim n→+∞ n √ n = 1 lim n→+∞ n √ n! = +∞
Successioni monotone: Se an `e una successione monotona (ovvero se la funzione a : N → R
che determina la successione `e monotona) allora
lim n→+∞an= sup{an : n ∈ N} . Un limite notevole: Si ha lim n→+∞ 1 + 1 n n = e
con e ∈ (2, 3) (in effetti e = 2, 71828182845904 . . .).
(D) Sottosuccessioni: Data una successione an, una sottosuccessione `e una successione ottenuta
da an tramite una scelta crescente di infiniti indici naturali nk e viene indicata con ank.
Limiti e sottosuccessioni: lim
n→+∞an = l ∈ R se e solo se per ogni sottosuccessione ank si ha
lim
k→+∞ank = l. In particolare,n→+∞lim an non esiste se e solo se esistono due sottosuccessioni ank e
anh tali che
lim
k→+∞ank= l1 h→+∞lim anh = l2
con l16= l2.
1.5
Limiti di funzioni e funzioni continue
(D) Punto di accuulazione: Sia A ⊆ R. Un punto x0 ∈ R si dice di accumulazione per A se
per ogni > 0 esiste a ∈ A, a 6= x0, tale che |a − x0| < . I punti di accumulazione di un intervallo
aperto (a, b) coincidono con l’intervallo chiuso [a, b]. +∞ `e punto di accumulazione per A se A `e superiormente illimitato; −∞ `e punto di accumulazione per A se A `e inferiormente limitato.
(D) Limite: Sia f : A → R con A ⊆ R e sia x0 ∈ R un punto di accumulazione per A. Allora,
se x0∈ R, diciamo che
1. lim
x→x0f (x) = l ∈ R se per ogni > 0 esiste δ > 0 tale che x ∈ A, 0 < |x − x
0| < δ =⇒
|f (x) − l| < 2. lim
x→x0f (x) = +∞ se per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che x ∈ A, 0 < |x − x
0| < δ =⇒ f (x) >
M
3. lim
x→x0f (x) = −∞ se per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che x ∈ A, 0 < |x − x
0| < δ =⇒ f (x) <
M
4. lim
x→x0
f (x) non esiste se non siamo in nessuno dei precedenti casi.
1.5. LIMITI DI FUNZIONI E FUNZIONI CONTINUE 9
1. lim
x→+∞f (x) = l ∈ R se per ogni > 0 esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x > ¯x =⇒ |f (x) − l| <
2. lim
x→+∞f (x) = +∞ se per ogni M ∈ R esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x > ¯x =⇒ f (x) > M
3. lim
x→+∞f (x) = −∞ se per ogni M ∈ R esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x > ¯x =⇒ f (x) < M
4. lim
x→+∞f (x) non esiste se non siamo in nessuno dei precedenti casi.
Se x0= −∞, diciamo che
1. lim
x→−∞f (x) = l ∈ R se per ogni > 0 esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x < ¯x =⇒ |f (x) − l| <
2. lim
x→−∞f (x) = +∞ se per ogni M ∈ R esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x < ¯x =⇒ f (x) > M
3. lim
x→−∞f (x) = −∞ se per ogni M ∈ R esiste ¯x ∈ R tale che x ∈ A, x < ¯x =⇒ f (x) < M
4. lim
x→−∞f (x) non esiste se non siamo in nessuno dei precedenti casi.
Analoghe definizioni si danno per x → x±0 e nel caso si voglia specificare se il limite `e l+o l− (per
un limite finito).
Operazioni con i limiti: Se
lim x→x0 f (x) = a lim x→x0 g(x) = b (a, b ∈ R), allora 1. lim x→x0 f (x) + g(x) = a + b 2. lim x→x0 f (x)g(x) = ab 3. lim x→x0 f (x) g(x) = a
b se g(x) `e diverso da 0 per x abbastanza vicino a x0 (g(x0) pu`o essere 0). 4. lim
n→+∞f (x)
g(x)= ab se f (x) `e positiva per x abbastanza vicino a x 0.
Tranne che nel caso delle 7 forme indeterminate citate sopra:
+∞ − ∞, 0 · (±∞), 0 0,
±∞ ±∞, 0
0, (±∞)0, 1±∞.
Limiti e composizione: Se f, g sono funzioni reali di variabile reale tali che la composizione f ◦ g sia sensata vicino a x0∈ R, allora
lim x→x0 f (g(x0)) = lim y→y0 f (y) dove y0= g(x0).
(D) Funzione continua: Sia f : A → R con A ⊆ R e sia x0 ∈ A di accumulazione per A.
Diciamo che f `e continua in x0 se
lim
x→x0
f (x) = f (x0)
ovvero se, equivalentemente, per ogni > 0 esiste δ > 0 tale che x ∈ A, |x − x0| < δ =⇒
|f (x) − f (x0)| < .
Limiti di funzioni e successioni: Data f : A → R e x0un punto di accumulazione, si ha che
lim
x→x0
se e solo se per ogni successione an tale che an ∈ A definitivamente e an→ x0 si ha f (an) → l.
Operazioni tra funzioni continue: Somme, differenze, prodotti, quozienti, esponenziazioni, composizioni (queste ultime 3 quando definite) di funzioni continue sono funzioni continue.
Teorema di confronto: Se f, g : A → R sono tali che f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ A e x0 `e punto
di accumulazione di A, allora 1. se lim x→x0 f (x) = +∞ allora lim x→x0 g(x) = +∞ 2. se lim x→x0 g(x) = −∞ allora lim x→x0 g(x) = −∞ 3. se lim x→x0 f (x) = l1e lim x→x0 g(x) = l2, allora l1≤ l2.
Teorema dei carabinieri: Se f, g, h : A → R sono tali che f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ A, x0`e un punto di accumulazione di A e lim x→x0 f (x) = lim x→x0 h(x) = l allora lim x→x0 g(x) = l .
Entrambi i risultati precedenti continuano a valere se le disuguaglianze sono verificate non per tutti gli x ∈ A, ma per tutti gli x ∈ A tali che |x − x0| < per un qualche .
(D) o-piccolo Siano f, g : A → R e sia 0 un punto di accumulazione di A; si dice che f `e o-piccolo di g e si scrive f = o(g) se esiste una funzione w(x) tale che f (x) = w(x)g(x) e lim
x→0w(x) = 0. Se
esiste > 0 tale che, per 0 < |x| < , si ha g(x) 6= 0, allora f = o(g) se e solo se
lim
x→0
f (x) g(x) = 0 .
(Se non diversamente specificato, gli o-piccoli sono sempre relativi al limite per x → 0.)
Operazioni con gli o-piccoli
1. Se f1= o(g) e f2= o(g), allora f1± f2= o(g) e f1f2= o(g).
2. Se f = o(g) e h `e una funzione qualsiasi, allora f h = o(gh).
3. Se f = o(g), allora f ◦ h = o(g ◦ h).
1.6. DERIVATE, L’H ˆOPITAL E TAYLOR 11 lim x→0x a= 0 , a > 0 lim x→0+x a = +∞ , a < 0 lim x→+∞x a= +∞ , a > 0 lim x→+∞x a = 0+, a < 0 lim x→+∞a x= +∞ , a > 1 lim x→+∞a x= 0+, 0 < a < 1 lim
x→+∞logax = +∞ , a > 1 x→+∞lim logax = −∞ , 0 < a < 1
lim
x→0+logax = −∞ , a > 1 x→0lim+logax = +∞ , 0 < a < 1
lim x→±∞arctan x = ±π/2 x→0lim sin x x = 1 lim x→0 1 − cos x x2 = 1 2 x→0lim tan x x = 1 lim x→0 arcsin x x = 1 x→0lim arctan x x = 1 lim x→+∞ 1 + 1 x x = e lim x→0 ex− 1 x = 1 lim x→0 log(1 + x) x = 1 x→0lim+x log x = 0 lim x→+∞ ax xb = +∞ , a > 1, b > 0 x→+∞lim [log x]a xb = 0 , a, b > 0
Limiti notevoli con gli o-piccoli: Valgono i seguenti sviluppi per x → 0.
sin x = x + o(x) , cos x = 1 − x
2
2 + o(x
2) , tan x = x + o(x) , arcsin x = x + o(x) ,
arctan x = x + o(x) , log(1 + x) = x + o(x) , ex= 1 + x + o(x) .
1.6
Derivate, L’Hˆ
opital e Taylor
(D) Retta tangente Data una funzione continua f : A → R, la retta tangente al grafico di f nel punto (x0, f (x0)) `e l’unica retta (se esiste) y = a(x − x0) + b tale che
lim
x→x0
f (x) − a(x − x0) − b = o(x − x0) .
Se tale retta esiste, si ha b = f (x0) e
a = lim h→0 f (x0+ h) − f (x0) h . (D) Derivata Se il limite lim h→0 f (x0+ h) − f (x0) h
esiste in R, f si dice derivabile in x0e il risultato di tale limite si indica con f0(x0). Se f `e derivabile
in ogni x0∈ (a, b), f si dice derivabile in (a, b).
Derivabilit`a e continuit`a: Una funzione derivabile in x0 `e continua in x0.
Regole di derivazione 1. (f + g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0) 2. (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f (x0)g0(x0) 3. (f /g)0(x0) = (f0(x0)g(x0) − f (x0)g0(x0))/(g(x0))2 4. (f (g(x0))0= f0(g(x0))g0(x0) 5. (f−1(x0))0 = 1/f0(f−1(x0)).
Derivate delle funzioni elementari
Funzione Derivata Funzione Derivata
c 0 xα αxα−1
sin x cos x cos x − sin x ax axlog a log x 1
x log a tan x tan2x + 1 arctan x 1
x2+ 1 arcsin x √ 1 1 − x2 arccos x − 1 √ 1 − x2
Derivate successive Se f `e derivabile su (a, b), possiamo considerare la funzione derivata f0 : (a, b) → R. Se questa `e derivabile, la sua derivata si indica con f00 ed `e detta derivata seconda di
f . In generale f(k) indica, se esiste, la derivata k-esima di f .
Teorema di de L’Hˆopital: Sia f : (a, b) → R continua e derivabile su (a, b). Sia x0 un punto
di accumulazione di (a, b). Se
1. g0(x), g(x) 6= 0 vicino a x0,
2. lim
x→x0
f (x)
g(x) `e una forma indeterminata del tipo 0 0 o
±∞ ±∞ 3. esiste il limite lim
x→x0 f0(x) g0(x) = l ∈ R allora lim x→x0 f (x) g(x) = l .
Sviluppo di Taylor: Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n − 1 volte in (a, b) e n volte in x0∈ (a, b). Allora esiste un unico polinomio pn di grado n (dipendente da x0) tale che
f (x0+ h) = pn(h) + o(hn) . Inoltre si ha pn(h) = f (x0) + f0(x0) 1! h + f00(x0) 2! h 2+ . . . + f(n)(x0) n! h n .
Tale polinomio si dice polinomio di Taylor di f di ordine n centrato in x0.
Operazioni con i polinomi di Taylor: Se pn e qn sono i polinomi di Taylor di grado n per f
e g centrati in x0, allora
1. pn+ qn`e il polinomio di Taylor di f + g di grado n centrato in x0
2. pnqn con i termini di grado > n rimossi `e il polinomio di Taylor di grado n di f g centrato in
x0
3. se g(x0) = x0, pn◦ qn con i termini di grado > n rimossi `e il polinomio di Taylor di grado n
di f ◦ g centrato in x0.
1.7. ZERI, MASSIMI E MINIMI 13 Funzione Sviluppo ex 1 + x + x 2 2 + . . . + xn n! + o(x n) log(1 + x) x − x 2 2 + . . . + (−1) n+1x n n + o(x n) sin x x −x 3 3! + . . . + (−1) k x 2k+1 (2k + 1)! + o(x 2k+1) cos x 1 −x 2 2 + . . . + (−1) k x 2k (2k)! + o(x 2k) (1 + x)α 1 + αx +α(α − 1) 2 x 2+ . . . +α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! x n+ o(xn) arctan x x −x 3 3 + . . . + (−1) kx 2k+1 2k + 1 + o(x 2k+1) tan x x + x 3 3 + 2 15x 5+ 17 315x 7+ 62 2835x 9+ 1382 155925x 11+ o(x11) arcsin x x + x 3 6 + 3 40x 5+ 5 112x 7+ 35 1152x 9+ 63 2816x 11+ o(x11) arccos x π 2 − x − x3 6 − 3 40x 5− 5 112x 7− 35 1152x 9− 63 2816x 11+ o(x11)
1.7
Zeri, massimi e minimi
Funzione continua su un intervallo chiuso: f : [a, b] → R si dice continua su [a, b] se lim
x→x0
f (x) = f (x0) ∀ x0∈ (a, b)
e
lim
x→a+f (x) = f (a) x→blim−f (x) = f (b) .
Teorema di permanenza del segno per i limiti: Sia f : (a, b) → R e sia x0∈ (a, b). Se
lim
x→x0
f (x) > 0
allora esiste > 0 tale che se 0 < |x − x0| < allora f (x) > 0.
Teorema di permanenza del segno per funzioni continue: Sia f : (a, b) → R continua e sia x0∈ (a, b) tale che f (x0) > 0. Allora esiste > 0 tale che se x ∈ (x0− , x0+ ) allora f (x) > 0.
Osservazione: I due teoremi precedenti valgono ovviamente anche con il segno <, o con qualunque numero reale al posto di 0.
Teorema degli zeri: Sia f : [a, b] → R continua tale che f (a)f (b) < 0, allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = 0.
Teorema dei valori intermedi: Sia f : [a, b] → R continua e tale che f (a) < λ < f (b) oppure f (b) < λ < f (a), allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = λ.
Valori intermedi 2: Sia f : (a, b) → R continua e tale che lim
x→a+f (x) = −∞ x→blim−f (x) = +∞
allora per ogni λ ∈ R esiste c ∈ (a, b) tale che f (x) = c. Ovvero, f `e surgettiva.
Valori intermedi (extended version): Sia f : A → R continua (A pu`o essere un intervallo, una semiretta o la retta reale) e siano
L = sup{f (x) : x ∈ A} l = inf{f (x) : x ∈ A} . Allora, per ogni λ ∈ (l, L) esiste c ∈ A tale che f (c) = λ.
Monotonia grezza: Sia f : (a, b) → R derivabile in x0 ∈ (a, b) e tale che f0(x0) > 0; allora
1. f (x) > f (x0) per ogni x ∈ (x0, x0+ δ)
2. f (x) < f (x0) per ogni x ∈ (x0− δ, x0).
Osservazione: Il teorema precedente ha un ovvio analogo nel caso in cui f0(x0) < 0.
(D) Punti stazionari: Un punto stazionario `e un punto tale che f0(x0) = 0. Un punto
stazionario `e
1. un massimo locale se esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0− δ, x0+ δ) si ha f (x) ≤ f (x0)
2. un minimo locale se esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0− δ, x0+ δ) si ha f (x) ≥ f (x0)
3. un flesso ascendente se esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0, x0+ δ) si ha f (x) ≥ f (x0) e
per ogni x ∈ (x0− δ, x0) si ha f (x) ≤ f (x0)
4. un flesso discendente se esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ (x0, x0+ δ) si ha f (x) ≤ f (x0) e
per ogni x ∈ (x0− δ, x0) si ha f (x) ≥ f (x0).
Studio locale dei punti stazionari: Sia f : (a, b) → R derivabile almeno una volta e sia x0∈ (a, b) tale che f0(x0) = 0. Chiamiamo k il pi`u grande numero naturale tale che
f0(x0), f00(x0), . . . , f(k)(x0)
esistono e sono nulli, mentre f(k+1)(x
0) esiste ed `e diversa da 0. Allora
1. Se k + 1 `e pari e f(k+1)(x
0) < 0, allora x0`e un punto di massimo locale.
2. Se k + 1 `e pari e f(k+1)(x0) > 0, allora x0`e un punto di minimo locale.
3. Se k + 1 `e dispari e f(k+1)(x
0) < 0, allora x0 `e un punto di flesso discendente.
4. Se k + 1 `e dispari e f(k+1)(x
0) > 0, allora x0 `e un punto di flesso ascendente.
Teorema di Weierstrass: Sia f : [a, b] → R continua. Allora f assume massimo e minimo (ovvero, esistono massimo e minimo dell’insieme {f (x) : x ∈ [a, b]}).
Variante di Weierstrass: Sia f : (a, b) → R continua con lim
x→af (x) = limx→bf (x) = +∞. Allora
f assume minimo su (a, b).
Ricerca dei punti di massimo e minimo: I punti di massimo e minimo di una funzione continua, se esistono, vanno cercati in tre classi di punti:
1. gli estremi del dominio (se inclusi nel dominio)
2. i punti di non derivabilit`a
3. i punti stazionari.
1.8
Derivate, monotonia, asintoti e convessit`
a
Teorema di Rolle: Sia f : [a, b] → R continua, derivabile su (a, b) e tale che f (a) = f (b) = 0. Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f0(c) = 0.
Teorema di Lagrange: Sia f : [a, b] → R continua, derivabile su (a, b). Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f0(c)(b − a) = f (b) − f (a).
Teorema di Cauchy: Siano f, g : [a, b] → R continue, derivabili su (a, b). Allora esiste c ∈ (a, b) tale che
1.8. DERIVATE, MONOTONIA, ASINTOTI E CONVESSIT `A 15
Se poi g0(x) 6= 0 per ogni x ∈ (a, b), allora f0(c) g0(c) =
f (b) − f (a) g(b) − g(a) .
Teorema di monotonia fine: Sia f : (a, b) → R derivabile tale che f0(x) > 0 per ogni x ∈ (a, b); allora f `e strettamente crescente in (a, b).
Osservazione: Valgono anche le ovvie varianti con f0 ≥ 0, f0< 0, f0≤ 0.
Inverso del teorema di monotonia fine: Sia f : (a, b) → R derivabile e crescente. Allora f0(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b).
Variante del teorema di monotonia: Sia f : (a, b) → R derivabile, con f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b) e tale che {f (x) = 0} `e fatto di punti isolati. Allora f `e strettamente crescente.
(D) Funzione convessa: Una funzione f : (a, b) → R `e strettamente convessa se, per ogni x, y ∈ (a, b) e per ogni λ ∈ (0, 1) si ha
f (λx + (1 − λy)) < λf (x) + (1 − λ)f (y)
Una funzione `e debolmente convessa se la disuguaglianza precedente vale con il ≤. Una funzione f `e concava se la disuguaglianza vale col segno opposto.
Teorema di convessit`a: Sia f : (a, b) → R derivabile due volte e tale che f00(x) > 0 per ogni
x ∈ (a, b). Allora f `e strettamente convessa in (a, b).
Osservazione: Valgono anche le ovvie varianti con f00≥ 0, f00< 0, f00≤ 0.
Inverso del teorema di convessit`a: Sia f : (a, b) → R derivabile due volte, con derivata seconda continua, e convessa. Allora f00(x) ≥ 0 per ogni x ∈ (a, b).
(D) Asintoti Una funzione f ha
1. un asintoto orizzontale a +∞ (a −∞) se lim
x→+∞f (x) = k ∈ R (se limx→−∞f (x) = k ∈ R)
2. un asintoto verticale in x0 se almeno uno dei seguenti limiti vale
lim x→x−0 f (x) = −∞, lim x→x−0 f (x) = +∞, lim x→x+0 f (x) = +∞, lim x→x+0 f (x) = −∞.
3. un asintoto obliquo a +∞ (a −∞) se esistono m, q ∈ R tali che limx→+∞f (x) − mx − q = 0 ( lim
x→−∞f (x) − mx − q = 0).
Nel caso di un asintoto obliquo a +∞ si ha
m = lim
x→+∞
f (x)
x , q =x→+∞lim f (x) − mx .
Il caso a −∞ `e analogo.
Formula di Taylor con resto di Lagrange Sia f : (a, b) → R derivabile n + 1 volte. Dati x0∈ (a, b) e h, esiste c ∈ (a, b), compreso tra x0 e x0+ h, tale che
f (x0+ h) = f (x0) + f0(x0)h + . . . + f(n)(x0) n! h n+f (n+1)(c) (n + 1)! h n+1.
1.9
Serie numeriche e di potenze
(D) Serie Data una successione an, la serie ∞ X n=0 an `e definita come lim k→∞sk= limk→∞ k X n=0 an= lim k→∞(a0+ . . . + ak) .
Dunque sono possibili i 4 comportamenti di un limite (nel caso non esista limite, si parla di serie indeterminata).
Serie geometrica Sia k ∈ R. Allora
∞ X n=0 kn= 1 1 − k se |k| < 1 +∞ se k ≥ 1 indet. se k ≤ −1
Condizione necessariaXan converge solo se lim an = 0.
Operazioni algebriche Nelle stesse ipotesi (e con le stesse forme indeterminate) dei limiti, si ha che X (an+ bn) = X an+ X bn X λan= λ X an.
Teorema di confronto Se an ≤ bn definitivamente eP an diverge a +∞ allora P bn diverge a
+∞; se an≤ bn definitivamente eP bn diverge a −∞ alloraP an diverge a −∞.
Dicotomia per le serie a termini positivi Se an > 0 definitivamente, allora P an pu`o solo
divergere a +∞ o convergere.
Criterio del rapporto Se an ≥ 0 definitivamente e lim
an+1
an
= l allora
1. se l < 1, la serieP an converge
2. se l > 1, la serieP an diverge.
Criterio della radice Se an≥ 0 definitivamente e lim n
√
an = l allora
1. se l < 1, la serieP an converge
2. se l > 1, la serieP an diverge.
Confronto per serie a termini positivi Se an≥ bn≥ 0 definitivamente, allora
1. seP an converge, alloraP bn converge
2. seP bn diverge, alloraP an diverge.
Confronto asintotico Se an, bn≥ 0, bn6= 0 definitivamente e
liman bn
= l ∈ (0, +∞)
1.10. INTEGRALI 17
Confronto asintotico estremo - I Se an, bn≥ 0, bn6= 0 definitivamente e
liman bn
= 0
allora, seP bn converge, ancheP an converge. Se inveceP andiverge, allora ancheP bn diverge.
Confronto asintotico estremo - II Se an, bn≥ 0, bn6= 0 definitivamente e
liman bn
= +∞
allora, seP anconverge, ancheP bn converge. Se inveceP bn diverge, allora ancheP an diverge.
Serie armonica generalizzata Sia k ∈ [0, +∞), allora
X 1 nk = conv. se k > 1 +∞ se 0 ≤ k ≤ 1
(D) Assoluta convergenza Una serieP ansi dice assolutamente convergente seP |an| converge.
Serie assolutamente convergenti Una serie assolutamente convergente `e convergente.
Criterio di Leibniz Sia an tale che
1. an> 0 definitivamente
2. an definitivamente decrescente
3. lim an= 0
alloraP(−1)na
n converge.
Raggio di convergenza Si consideri la serieP anxn con x ∈ R. Si supponga che
limp|an
n| = L ∈ [0, +∞]
allora la serie converge assolutamente per |x| < R = 1/L. Tale R `e detto raggio di convergenza.
(D) Serie di Taylor Data f infinitamente derivabile, la serie di Taylor di f centrata in 0 `e
∞ X n=0 f(n)(0)x n n! .
Funzioni analitiche I polinomi, seno, coseno, esponenziale sono funzioni analitiche; composizioni, somme, prodotti, rapporti, inverse di funzioni analitiche sono funzioni analitiche, dove non ci sono problemi di definizione. Una funzione analitica coincide con la propria serie di Taylor, dove questa converge.
1.10
Integrali
(D) Funzione a gradini Una funzione f : [a, b] → R si dice a gradini se esistono n + 1 punti a = x0< x1< . . . < xn= b e n numeri reali c1, . . . , cn tali che
f (x) = cj se x ∈ [xj−1, xj)
(D) Integrale di una funzione a gradini Sia f : [a, b] → R a gradini, allora Z b a f (x)dx = n X j=1 cj(xj− xj−1) .
(D) Integrale superiore e inferiore Sia f : [a, b] → R limitata. Definiamo I+(f ) = inf ( Z b a φ(x)dx : φ ≥ f e φ `e a gradini ) = inf S+ I−(f ) = sup ( Z b a ψ(x)dx : ψ ≤ f e ψ `e a gradini ) = sup S−
che si dicono integrale superiore e inferiore di f . Gli elementi di S+e S− si dicono rispettivamente somme di Riemann superiori e inferiori per f .
(D) Funzioni integrabili. Una funzione f : [a, b] → R limitata si dice integrabile se I+(f ) =
I−(f ). Tale numero si dice allora integrale (proprio) di f su [a, b] e si denota con
Z b
a
f (x)dx .
Condizione equivalente di integrabilit`a Una funzione f : [a, b] → R `e integrabile se e solo se per ogni > 0 esistono una somma di Riemann superioreRb
aφdx ed una somma di Riemann
inferioreRb a ψdx tali che Z b a φ(x)dx − Z b a ψ(x)dx ≤ .
Classi di funzioni integrabili Le funzioni f : [a, b] → R che hanno almeno una delle seguenti propriet`a:
1. sono monotone (anche non continue)
2. sono continue
3. sono discontinue solo in un numero finito di punti che hanno limite destro e sinistro in ognuno di questi punti,
sono integrabili su [a, b].
Propriet`a dell’integrale 1. Rb af dx = − Ra b f dx 2. Raaf dx = 0 3. Rb a(f + g)dx = Rb af dc + Rb agdx 4. Rb aλf dx = λ Rb af dx 5. Rb af dx = Rc af dx + Rb c f dx 6. Rb af dx ≤ Rb a|f |dx.
1.10. INTEGRALI 19
Teorema della media integrale Sia f : [a, b] → R continua, allora esiste c ∈ (a, b) tale che f (c) = 1
b − a Z b
a
f (x)dx .
(D) Primitiva Sia f : A → R; una funzione F : A → R si dice primitiva di f su A se F `e derivabile su A e F0(x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Caratterizzazione di tutte le primitive Sia f : A → R e sia A un intervallo, una semiretta o la retta reale; se F, G : A → R sono due primitive di f su A, allora F − G `e costante su A. Integrale indefinito L’insieme di tutte le primitive di f sul dominio di f si indica conR f (x)dx.
Teorema fondamentale del calcolo integrale Sia f : [a, b] → R continua e sia F una primitiva di f su [a, b], allora per ogni [c, d] ⊆ [a, b] si ha
Z d
c
f (x)dx = F (d) − F (c) = [F (x)]dc = F (x)|dc .
(D) Funzione integrale Sia f : [a, b] → R integrabile; la funzione F (x) =
Z x
a
f (t)dt
si dice funzione integrale.
Formula di cambio di variabile (o sostituzione) Siano f : [c, d] → R continua e φ : [a, b] → R una funzione derivabile, con derivata φ0 continua, tale che l’immagine di φ sia contenuta in [c, d].
Allora Z b a f (φ(x))φ0(x)dx = Z φ(b) φ(a) f (t)dt .
Formula di integrazione per parti Siano f, g : [a, b] → R funzioni continue e F, G : [a, b] → R loro primitive. Allora
Z b a f (x)G(x)dx = [F (x)G(x)]ba− Z b a F (x)g(x)dx .
(D) Integrali impropri di tipo 1 Sia f : [a, +∞) → R una funzione limitata; l’integrale improprio di f tra a e +∞ `e definito come
Z +∞ a f (x)dx = lim M →+∞ Z M a f (x)dx .
Data f : (−∞, a] → R limitata, possiamo invece definire Z a −∞ f (x)dx = lim M →−∞ Z a M f (x)dx .
(D) Integrali impropri di tipo 2 Sia f : [a, b) → R una funzione, che sia limitata su ogni intervallo [a, c] con c < b, ma illimitata vicino a b. Allora si pone
Z b a f (x)dx = lim →0+ Z b− a f (x)dx .
Se l’estremo in cui f non `e limitata `e quello sinistro, la definizione cambia nel modo ovvio.
Integrali impropri Un integrale definito
Z
A
f (x)dx
si dice improprio se A non `e limitato o f non `e limitata su A (possono avvenire entrambe le cose). E’ possibile decomporre A = A1∪ . . . ∪ An di modo che
Z
Aj
f (x)dx
sia improprio di tipo 1 o tipo 2; allora si pone
Z A f (x)dx = Z A1 f (x)dx + . . . + Z An f (x)dx
con la convenzione usata nel calcolo dei limiti (quindi in particolare +∞ − ∞ d`a un risultato indeterminato).
Criterio del confronto + Siano f, g : A → R, con A una semiretta o un intervallo (a seconda che si tratti di integrali impropri di tipo 1 o di tipo 2), tali che f ≥ g ≥ 0, allora, se R
Af (x)dx
diverge a +∞, ancheRAg(x)dx diverge a +∞; se RAg(x)dx converge, ancheRAf (x)dx converge.
Criterio del confronto asintotico Siano f, g : [a, +∞) → R limitate e non negative. Supponia-mo che
lim
x→+∞
f (x)
g(x) = l ∈ (0, +∞)
allora gli integrali impropri
Z +∞ a f (x)dx e Z +∞ a g(x)dx
hanno lo stesso comportamento.
Un risultato simile vale nel caso di integrali impropri di tipo 2.
Criterio del confronto asintotico estremo Siano f, g : [a, +∞) → R limitate e non negative. Supponiamo che lim x→+∞ f (x) g(x) = 0 allora, se Z +∞ a f (x)dx diverge, anche Z +∞ a g(x)dx diverge. Similmente, se Z +∞ a g(x)dx converge, anche Z +∞ a f (x)dx converge.
Un risultato simile vale se il limite `e +∞, con implicazioni opposte. La variante per integrali impropri di tipo 2 `e ovvia.
Confronto serie-integrali Sia f : [1, +∞) una funzione decrescente e non negativa; allora
∞ X n=1 f (n) ≥ Z +∞ 1 f (x)dx ≥ ∞ X n=2 f (n) ≥ Z +∞ 2 f (x)dx .
1.11. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 21
1.11
Equazioni differenziali
(D) Equazione differenziale Data una funzione Φ : Rk+2→ R,
Φ(u(k), . . . , u0, u, t) = 0
si dice equazione differenziale di ordine k. Un’equazione differenziale scritta come
u(k)= F (u(k−1), . . . , u0, u, t) = 0
si dice in forma normale. Se F non dipende dall’ultima variabile, l’equazione si dice autonoma.
(D) Equazione differenziale lineare Un’equazione differenziale lineare `e della forma
k
X
j=0
aj(t)u(j)(t) = f (t) .
Se f (t) ≡ 0, l’equazione si dice omogenea; se aj(t) `e costante, per ogni j, l’equazione si dice a
coefficienti costanti.
Problema di Cauchy Si dice problema di Cauchy il dato di un’equazione differenziale di ordine k e di k condizioni iniziali, nella forma
Φ(u(k), . . . , u0, u, t) = 0 u(t0) = b0 .. . ... u(k−1)(t 0) = bk−1
Una soluzione a tale problema `e un intervallo I con t0∈ I insieme ad una funzione u : I → R che
rispetta le condizioni iniziali in t0 e risolve l’equazione differenziale in I. Il pi`u grande intervallo I
possibile si chiama intervallo di esistenza massimale.
Esistenza ed unicit`a per il problema di Cauchy Data un’equazione differenziale in forma normale
u(k)= F (u(k−1), . . . , u0, u, t) = 0
se F `e continua, ogni problema di Cauchy con tale equazione ha almeno una soluzione; se F `e derivabile in ogni variabile e tali derivate sono continue, ogni problema di Cauchy con tale equazione ha soluzione unica.
Equazione del primo ordine a variabili separabili Supponiamo di avere un’equazione del primo ordine che possa essere portata nella forma
u0= f (u)g(t) .
Tale equazione ha soluzioni costanti u(t) ≡ u0, per ogni valore di u0 tale che f (u0) = 0. Le altre
soluzioni possono essere trovate come segue: si ponga
F (u) = Z du f (u), G(t) = Z g(t)dt allora si pone F (u) = G(t) + C
e dunque, su un intervallo in cui g sia definita e l’inversa di F abbia senso, le soluzioni sono date al variare di C ∈ R da
Equazioni differenziali lineari omogenee: insieme delle soluzioni Data un’equazione dif-ferenziale lineare omogenea di ordine k, sia S l’insieme delle sue soluzioni. Allora S `e uno spazio vettoriale reale di dimensione k.
Se l’equazione `e a coefficienti costanti, con aku(k)+ . . . + a1u0 + a0u = 0, si ponga p(λ) =
akλk+ . . . + a1λ + a0 e si fattorizzi tale polinomio sui complessi. Si costruisce una base di S come
segue:
1. se λ0`e una radice reale di molteplicit`a m, inseriamo nella base le m funzioni eλ0t, . . . , tm−1eλ0t
2. se λ0e λ0sono radici complesse coniugate di molteplicit`a m, poniamo λ0= a + ib e inseriamo
nella base le 2m funzioni eatcos(bt), . . . , tm−1eatcos(bt), eatsin(bt), . . . , tm−1eatsin(bt).
Struttura delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari non omogenee Data un’e-quazione differenziale lineare non omogenea di ordine k
k
X
j=0
aj(t)u(j)(t) = f (t) .
sia S l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea associata
k
X
j=0
aj(t)u(j)(t) = 0
e sia u0(t) una qualsiasi soluzione dell’equazione iniziale (soluzione particolare), allora tutte le
soluzioni di tale equazione si scrivono come u0(t) + S.
Ricerca di soluzioni particolari per equazioni lineari a coefficienti costanti Data un’e-quazione differenziale lineare a coefficienti costanti
k
X
j=0
aju(j)(t) = f (t)
si pu`o ricercare una soluzione particolare secondo le seguenti strategie.
1. Se f (t) `e un polinomio di grado h, si cerchi una soluzione particolare nella forma di generico polinomio di grado h.
2. Se f (t) = ect, si cerchi una soluzione particolare della forma αect.
3. Se f (t) = a sin(ct) + b cos(ct), si cerchi una soluzione particolare della forma α sin(ct) + β cos(ct).
4. Se f (t) = aectcos(pt)+bectsin(qt), si cerchi una soluzione particolare della forma αectcos(pt)+
βectsin(qt).
5. Se `e un prodotto di un polinomio e un esponenziale o un seno o un coseno, si cerchi una soluzione particolare come prodotto di un polinomio e un esponenziale o una combinazione di seno e coseno.
Se f (t) `e soluzione dell’equazione omogenea associata riferita ad una radice di molteplicit`a m del polinomio, pu`o essere necessario moltiplicare la candidata soluzione particolare per tm.
Equazioni lineari del primo ordine Consideriamo l’equazione
u0+ a(t)u = b(t)
e sia A(t) =R a(t)dt; allora la soluzione generale dell’equazione `e u(t) = Ce−A(x)+ e−A(x)
Z
1.11. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 23
Metodo di variazione delle costanti per equazioni del secondo ordine Sia
a2(t)u00+ a1(t)u0+ a0(t)u = f (t)
un’equazione lineare del secondo ordine e supponiamo che la sua soluzione generale sia della forma u(t) = Au1(t) + Bu2(t) con A, B ∈ R; allora si cerca una soluzione particolare della forma
u0(t) = A(t)u1(t) + B(t)u2(t)
ponendo
A0(t)u1(t) + B0(t)u2(t) = 0
e
a2(t)A0(t)u1(t) + a2(t)B0(t)u2(t) = f (t) .
Mettendo a sistema le due condizioni, si ricavano A0(t) e B0(t) e per integrazione si trovano A(t) e B(t).
Capitolo 2
Shottini
Brevi esercizi a risposta numerica oppure vero/falso. La brevit`a degli esercizi si riferisce solo alla loro formulazione, non necessariamente alla lunghezza del procedimento risolutivo; idealmente, in ogni sezione si trovano esercizi su varie tecniche di risoluzione e le domande all’interno di ogni singolo esercizio sono ordinate vagamente per difficolt`a. Essendo per`o quest’ultima un concetto in parte personale, legato al tipo di studio condotto e a quali concetti si sono compresi pi`u o meno compiutamente, non ci si deve bloccare quando un singolo quesito risulta particolarmente ostico.
2.1
Insiemistica
Ricordiamo la seguente notazione: A ∩ B indica l’intersezione di A e B, A ∪ B indica l’unione di A e B, Ac indica il complementare di A (rispetto ad un preciso insieme “universo” precedentemente dichiarato), A \ B = A ∩ Bc `e la differenza tra insiemi (la parte di A che non sta anche in B).
Esercizio 2.1. Determinare, per ognuno dei seguenti insiemi, se `e dato per elenco (E) o per propriet`a (P). Insieme E o P {1, 2, 3, 4, ?} {n ∈ N : n3> n(n − 1)(n − 2)} {n ∈ N : n `e pari e n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} {n2 : n ∈ N} { divisori naturali di 15} {2n : n naturale pari}
Esercizio 2.2. Scrivere per esteso tutti gli elementi dei seguenti insiemi. Descrizione Elementi {n2 : 1 ≤ n ≤ 5, n ∈ N} {n ∈ N : 4 ≤ 2n≤ 20} {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {3n : n ∈ Z} {1} ∪ (Z \ {n ∈ Z : p|n| > 4})
Esercizio 2.3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
Affermazione V o F A ∩ Bc= Ac∪ B (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∀A insieme, ∅ ∈ A ∀A insieme, ∅ 6∈ A ∀A insieme, ∅ ⊆ A A ∩ B = A ∪ B ⇒ A ⊆ B o B ⊆ A (A ∩ B ∩ C)c= Ac∪ Bc∪ Cc (A \ B) \ C = (A \ C) \ B
Esercizio 2.4. Scrivere per esteso tutti i sottoinsiemi dell’insieme
A = {1, ?, , z, ∞} . Esercizio 2.5. Dimostrare le seguenti affermazioni
• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) • (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) • (A \ B) \ C ⊆ A \ (B \ C) ⊆ A
2.2. COMBINATORIA E FUNZIONI 27
2.2
Combinatoria e funzioni
Esercizio 2.6. Dati gli insiemi
A = {n ∈ N : 1 ≤ n ≤ 50} B = {n2 : n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 10} C = {4n + 1 n ∈ Z, −1 ≤ n ≤ 10}
determinare le seguenti cardinalit`a.
Insieme Cardinalit`a |A ∩ B| |A ∪ B| |P(C)| |(A ∪ B) ∩ C| |A × C| |A ∪ B ∪ C| |{f : A → B funzioni}| |{f : C → C funzioni bigettive}| |{f : B → A funzioni iniettive}| |{f : B → C funzioni surgettive}|
Esercizio 2.7. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
Affermazione V o F
f : Z → Z tale che f (1) = f (−1) = 0 non `e iniettiva
f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4} con f (a) 6= 4 ∀a ∈ {1, 2, 3} `e iniettiva
f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4} con |f ({1, 2, 3})| = 3 `e iniettiva f : {1, 2, 3} → {2, 3, 4} iniettiva `e anche surgettiva
f : N → N surgettiva `e anche bigettiva
f : N → N tale che f (n) > n per ogni n `e iniettiva f : Z → Z tale che f (n) > n per ogni n non `e surgettiva Esiste una funzione iniettiva f : Z2
→ R
f : Z → N, g : N → Q con g(f (n)) = n ∀n ∈ Z ⇒ f `e iniettiva
Esercizio 2.8. Determinare se le seguenti funzioni sono iniettive o surgettive. Scrivere : ( se la funzione `e mal definita.
Funzione Iniettiva Surgettiva
f : Z → Z con f (n) = 3n − 2
f : [0, +∞) → [0, +∞) con f (x) = 2x f : R → [0, +∞) con f (x) = 2x
f : (0, +∞) → (0, +∞) con f (x) = log x
f : {0, 1, . . . , 9} → {0, 1, . . . , 9} con f (n) = ultima cifra di n3
f : {0, 1, . . . , 9} → {0, 1, . . . , 9} con f (n) = ultima cifra di n2 f : [−π/2, π/2] → [−π/2, π/2] con f (x) = sin x
2.3
Simmetrie, immagini e controimmagini
Esercizio 2.9. Per ognuna delle funzioni f : A → B date, determinare il massimo sottoinsieme B0del codominio B tale che f : A → B0 sia surgettiva e un sottoinsieme A0del dominio A tale che la funzione f : A0→ B0 sia bigettiva.
Dominio Codominio Funzione B0 A0
R R f (x) = x2 [0, +∞) [0, +∞) R R f (x) = 2x R R f (x) = x5+ 1 R \ {0} R f (x) = 1 x2 R R f (x) = |x| [0, π] R f (x) = cos x [−π/2, π/2] [−5, 5] f (x) = | sin x| [−1, 1] [0, +∞) f (x) = |x|3 [−4, 3] [0, 3] f (x) = 1 x2+ 1 (0, π) R f (x) = 1 sin x
Esercizio 2.10. In ogni riga sono date una funzione (in cui come dominio `e sottinteso il massimo insieme di definizione su R) e due sottoinsiemi dei reali A, B. Determinare f (A) (o scrivere : ( se A non `e sottoinsieme del dominio) e f−1(B).
Funzione A B f (A) f–1(B) f (x) = x2 [−1, 2] [0, 1] f (x) = x2 [−2, −1] ∪ [1/2, 1] [2, 3] f (x) = 2x (−∞, 0) [2, 16] f (x) =√3x [−1, 8] [0, 1) f (x) = cos x [0, 2] [0, 1/2] f (x) = sin x [0, π] (−∞, −1] ∪ [1, +∞) f (x) = sin x [−π/2, π/2] (−∞, 1] ∪ [−1, +∞) f (x) = x−1 [−1, 1] [−1, 1] f (x) = sin x {kπ/3 con k ∈ Z} N
Esercizio 2.11. Determinare le immagini o le controimmagini richieste o scrivere : ( se la richiesta non ha senso.
Richiesta Risposta Richiesta Risposta
{x ∈ R : arcsin x ∈ [0, π/3]} {x ∈ R : sin x ∈ [0, 1/2]} {tan x : x ∈ (π/4, 3π/4)} {x ∈ R : √1 − x ∈ [1, 2]} {arccos x : x ∈ (1/2,√3/2)} {√x2− 1 : x ∈ [1, 2]}
{x : arctan x ∈ (1, +∞)} {arcsin x : x ∈ [−2, 2]} {x : sin x ∈ [−2, 2]} {log2x : x ∈ (1, 2]}
2.3. SIMMETRIE, IMMAGINI E CONTROIMMAGINI 29
Esercizio 2.12. Determinare se le seguenti affermazioni sono vere o false. Affermazione V o F 3 √ x3= x ∀x ∈ R 2log2x= x ∀x ∈ R arccos(cos(2)) = 2 arcsin(sin(−1)) = −1 arccos(sin(π/4)) = π/4 arctan(tan(2π)) = 2π cos(arccos(1)) = 1 sin(arcsin(3)) = 3 arcsin(cos(π/3)) = π/3 Affermazione V o F (−1, 1) ⊆ {x ∈ R : |x| ≤ 1} (−1, 1) ⊆ {|x| : x ∈ [−2, 2]} {x ∈ R : 0 < cos x < 1/2} ⊆ [0, +∞) [0, 1) ⊆ {(x − 1)2 : x ∈ (1/2, 2)} [π, 4π/3] ⊆ {arcsin(x) : x ∈ (0, 1)} {arccos x : x ∈ [−1, 0]} ⊆ [π/2, π] [0, 1] ⊆ {x ∈ R : √x2+ 1 ∈ [0, 1]} {arccos x : x > 0} ∩ {arcsin x : x > 0} = ∅ {arccos x : x ∈ [−1/2, 1/2]} ⊆ [−π/2, π/2]
Esercizio 2.13. Per ognuna delle seguenti funzioni determinare se `e pari (P) o dispari (D) o se non ha alcuna simmetria (: (); determinare inoltre il suo periodo minimo (PM) e nel caso non sia periodica, scrivere : (. Definiamo per comodit`a gli insiemi
A = R \ {π/2 + kπ, k ∈ Z} B = R \ {±pkπ/2, k ∈ N}
Funzione P o D PM
f : R → R con f (x) = sin(x)2
f : R → R con f (x) = cos(x2)
f : R → R con f (x) = sin(x) + cos(x) f : A → R con f (x) = tan x + sin x3
f : R → R con f (x) = sin(cos(x))
f : R \ {0} → R con f (x) = cos(sin(1/x)) f : R → R con f (x) = tan(sin(x)) f : B → R con f (x) = log(tan(x2))
2.4
Inf e sup, min e max
Esercizio 2.14. Per ognuno dei seguenti insiemi determinare estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo (scrivere NE se non esistono).
Insieme Sup Inf Max Min
[2, 9] (−∞, 1] (1, 3) ∪ (2, 4) [0, 2) ∪ (5, 7) (−1, 4] ∪ (0, 4) N {n ∈ Z : n2> 10} {n ∈ Z : n2< −1} {n2 : n < 10, n ∈ Z} {1/n2 : n ∈ N, n < 10} Q ∩ [−π, π] {1/(n + 1) : n ∈ N} {n2 /(n + 1) : n ∈ N}
Esercizio 2.15. Determinare l’estremo inferiore e superiore, il minimo e il massimo delle seguenti immagini e controimmagini (scrivere NE se non esistono, scrivere : ( se la domanda `e mal posta).
Funzione Insieme Sup Inf Max Min
f (x) = x2 f ((−1, 2)) f (x) = (x + 1)2 f ((−1, 2)) f (x) = x2+ 1 f ((−1, 2)) f (x) =√x f−1((−1, 2]) f (x) =√x + 1 f ([−1, 2]) f (x) = sin(x) f ([−1, 2)) f (x) = arccos(x) f–1([−1, 2)) f (x) = cos(x) f−1([1, 2]) f (x) = arcsin(x) f ([−2, 1)) f (x) = 3x f−1([−1, +∞))
2.5. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI 31
2.5
Successioni di numeri reali
Definizione di limite, teoremi sulle 4 operazioni, teoremi di confronto, criteri del rapporto, della radice, del rapporto/radice, confronti tra ordini di infinito.
Esercizio 2.16. Determinare se le seguenti affermazioni sono vere o false. Tutti i limiti vanno intesi per n → +∞. Affermazione V o F 2n ≥ n3 definitivamente 2n ≥ n2 frequentemente (−2)n≥ n3definitivamente (−2)n≥ n2frequentemente
se lim an e lim bn non esistono, allora lim(an+ bn) non esiste
se an → +∞ e lim(an+ bn) non esiste, allora bn `e inferiormente illimitata
se an → 9 e bn ≥ an per ogni n, allora bn≥ 8 definitivamente
se an → −7 e bn≥ an per ogni n, allora bn≤ −6 frequentemente
se an → −∞ e bn < 2 definitivamente, allora anbn→ −∞ se an → 0 allora an> 0 frequentemente se an → 0− allora an< 0 definitivamente se an → +∞ e bn > 1000 definitivamente, allora anbn→ +∞ se an → 0 e bn < 10 definitivamente, allora anbn→ 0 se an → 0 e |bn| < 12 definitivamente, allora anbn → 0
Esercizio 2.17. Determinare il limite delle seguenti successioni per n → +∞. Scrivere N.E. se il limite non esiste, scrivere : ( se la richiesta non ha senso.
Successione Limite an= 2n an= 4n − 1 an= n2+ n an= n3− 2n + 4 an= n + cos n an= n3− n + 1 n2+ 3n3− 4 an= 1/n + cos nπ an= 1/n + sin nπ an= 2n+ sin n + cos n3 2n+1− 1 an= √ n −√3n + 1 3 √ n2−√n + 1 an= 1 √ n −√n + 7 an= arctan(2n+ nn) n3− n2+ 1 an= √ n −√n − 1 √ n + 1 −√n − 2 Successione Limite an= 2 − n an= 4n2+ 1 − 1/n3 an= n cos nπ an= (−2)−n an= cos(1/n) + (n2− 1)/(2n + 3) an= 1 n2 − 1 n an= n 1/ √ n − 1/√n + 1 an= 1/ √ n − 1/√n + 1 /n an= n +√n +√4n5 √ n + 3n√4n − 2n an= 1/n − 1/n3 1/n2− 2/n3 an= 50n+ n 60n− n an= parctan(n2) 2n− 3n an= √ n −√n − 1 3 √ n −√3n − 1
Esercizio 2.18. Determinare il limite delle seguenti successioni per n → +∞. Scrivere N.E. se il limite non esiste, scrivere : ( se la richiesta non ha senso.
Successione Limite an= 2n− n2 3n− 2n an= 4n2 n2n an= 4n2 nn2 an= (3n)! + n2− 2n n3n− nn+ 1 an= 2n n 1 nn an= nn 2nn! an= nn 3nn! an= n √ n7+ 7n− 2 an= n √ n! + 3n arctan(n) − 4n an= n p(4n)! + 34n arctan(4n) − 4n an= √ n! − 2n−√n! + n2 an= n s 3n2+ 7n (2n)! + n2n an= 1 + 2 n n3 Successione Limite an= (2 + cos(nπ))n 3n− 2n an= (2 + cos(nπ))n 3n+ 2n an= (2 + cos(nπ))n 5n− 2n an= 2n! n2n an= 1 n n s n2 n an= n2nn! − (2n)!(2n)n an= (2n)n− n √ 2n+ (n2)! (2√n)n− n2n+ (2n2)! an= (3n+ (−5)n)n−n an= n √ n!3n− nn an= 2n + n cos(nπ/2) n pn2− 3n+ (3n!) an= n √ nn− 2n−√n n! + n4− 3n an= n s (2n)2+ 7n 9n/2+ 2n an= 1 + n! − 2 n nn− n3 nn2n!
Esercizio 2.19. Determinare il limite delle seguenti successioni
Successione Limite an= 1 n+ 1 n + 1+ . . . + 1 n + 10 an= 1 n2+ 1 n2+ 1 + . . . + 1 n2+ n an= 3 · 3 √ 3 ·√9 3 · · · 3n√ 3 an= 1 + 1 n + 1+ 1 (n + 2)2 + . . . + 1 (2n)n an= 1 √ n+ 1 √ n + 1+ . . . + 1 √ 2n an= 1 3n + 1 3n+1+ . . . + 1 32n an= √ n −√n + 1 +√n + 2 −√n + 3 + . . . +√3n −√3n + 1
2.6. LIMITI DI FUNZIONI 33
2.6
Limiti di funzioni
Esercizio 2.20. Calcolare i seguenti limiti di funzioni
Limite Risultato lim x→0 1 + x2 x − 1 lim x→−∞ 1 + x2 x − 1 lim x→−∞ x2− x + 7 2x − 3x2+ 1 lim x→+∞ x2− x3 7 + 3x3− x5 lim x→+∞ 1 + x − 2x√x √ 7 + x − x3 lim x→1 1 + x − 2√3x 2 − x − x2 lim x→0+ cos x x lim x→−∞ sin x x3 lim x→0− cos x sin x lim x→+∞ √ x − 1(√x + 1 −√x) lim x→2+ 3 s x2− 2x 2 − 3x + x2 Limite Risultato lim x→0 1 x− 2 x2 lim x→−1 √ x + 2 − 2x + 7x2− 9 6x2−√x2− 3x + 3x − 1 lim x→π/4 arctan(2x − x3) sin x − cos x lim x→−∞ x3+ cos x − 1 ex− x2+ 2 lim x→0 e3x− x2 x2+ 1 − ex2 lim x→0 1 + 1 x lim x→0x sin1 x+ cos 1 x lim x→3+ √ x −√3 +√x − 3 √ x2− 9 lim x→0+ 1 √ 2x − x2 − 1 √ 3x − x2 lim x→1 sin x + cos x x2− 2x + 1 lim x→−∞e x(sin x + cos 2x)
Esercizio 2.21. Calcolare i seguenti limiti di funzioni
Limite Risultato lim x→0 sin x 2x lim x→0 sin2x 2x lim x→+∞x sin 1 4x lim x→0 1 − cos 2x x2 lim x→0 arcsin(tan x) tan x lim x→+∞arctan( √ x −√x − 1)√x lim x→0 e1/x2− 1 x lim x→0 log(1 + 2x) arcsin x lim x→0 log(2 + x) − log 2 x lim x→0 ex2− cos x sin 3x log(1 + 2x) lim x→+∞ 1 + sin x −3x3 Limite Risultato lim x→0 sin 3x x lim x→0 sin 5x √ x lim x→π sin x x lim x→π sin x x − π lim x→0 sin(sin 2x) x lim x→0 ex− eπx 2x lim x→0 ex− cos√x sin x lim x→π/2 cos x 2x − π lim x→0 esin x− log(e + x) arctan x lim x→1 log(x) √ 1 − cos x lim x→1(cos 2πx) 1 (x−1)2
Esercizio 2.22. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false Affermazione V o F lim x→3f (x) = 2 =⇒ f (3) = 2 lim x→7f (x) = 3 =⇒ limx→7−f (x) = 3 lim x→0f (x) = 4 =⇒ limx→0+f (x) = 4 + Affermazione V o F an→ +∞ =⇒ cos(an) → 0 Se an → 0, allora 1/an→ +∞ Se an → 0, allora sin(an) → 0
Esercizio 2.23. Calcolare i seguenti limiti di funzioni o di successioni (scrivere N.E. se il limite non esiste, : ( se la richiesta non ha senso).
Limite Risultato lim n→+∞n log 1 + 1 n lim n→+∞cos n2+ 2n − 1 1 − n2 lim n→+∞ √ n tan(√n + 1 −√n) lim x→0 e2 sin x− tan 3x − 1 log(1 + 2x) − x + x7 lim x→−∞ 2x x2 lim x→+∞ x2+ 2x 7x+ 2x7 lim x→0 1 + 1 x 2x lim x→0x 2log x2 lim n→+∞ log(n3+ n − 1) log(n4+ 2n − 3) Limite Risultato lim x→+∞ x sin x x2+ 1 lim x→0 sin(1/x) 1/x lim x→+∞sin(log x) x arctan x lim x→+∞ log x + sin x x2− 2 log x lim x→0+ x log x sin x lim x→0+ sin2x log x x − 2 tan x lim x→+∞ log(x3+ 2x − 1) log(x2+ x5− 1) lim x→0 sin x2log (1 + 3x) arcsin x − tan 3x lim n→+∞ 1 + n log n n1
Esercizio 2.24. Per ognuno dei seguenti limiti, dimostrare che non esiste trovando due successioni an e bn tali che su ciascuna di esse il limite esiste ma d`a due risultati diversi (La, Lb).
Limite an La bn Lb lim x→+∞sin x π 2 + 2nπ 1 π + 2nπ 0 lim x→0 1 sin x lim x→0 x |x| lim x→0 cos(1/x) x2+ 1 lim x→−∞ x |x|+ cos x 2 lim x→−∞ cos x − ex p|x| − p|x| − 1 lim x→0(1 + |x|) 1/x lim x→1arctan x − cos(2xπ) x2− 2x + 1 lim x→+∞ (3 + 2 sin x)x+ cos x x + 4x
Esercizio 2.25. Per ognuna delle seguenti funzioni, trovare a e b reali affinch´e si abbia f (x) − b − ax = o(x) (per x → 0). Funzione a b sin(3x) 3 0 tan(2x − x2) ex+x/2− 2 arccos(1 − x2) √ 1 + 3x p(1 + x)3 (1 + x)−1 Funzione a b log(1 + sin 3x) log(esin x+ x) cos(√3x + x2) log(cos 2x)
arcsin(2 tan 3x − sin(5x + x2)) arctan(log(cos√x + 2x) − 2x) log(√1 − 2x + sin x)
2.6. LIMITI DI FUNZIONI 35
Esercizio 2.26. Calcolare il limite delle seguenti funzioni per x che tende a 0+, 0−, +∞, −∞.
Scrivere N.E. se il limite non esiste e : ( se la richiesta non ha senso.
Funzione x → 0+ x → 0− x → +∞ x → −∞ e2x x2 sin(3x + x2) − x arctan x e2x− cos x arctan x2 x + cos x sin(x + x2+ x3) x2+ x + sin x x3+ 3x − 2 cos x + 2 1 √ x2+ 1− 2 √ 2x2+ 1 log(2x) + x − x2sin x 2x2+ log(3x) − sin x sin x + log(1 + 2x) − (x + 5)2 (2x + sin x − arctan(5x2+ 2x))2 1 x2(e 3x+x2+ arcsin(x2− 3x3) − cos 2x + 3x2)
arcsin(1/(1 + x2)) − cos x + log(1 + 3x2)
log(1 + 5x2) arctan x
1
1 + sin x2 − cos(3x)
2.7
o-piccoli, derivabilit`
a e calcolo delle derivate
Esercizio 2.27. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
Affermazione V o F sin x = x3+ o(x) f (x) = 1 + x + o(x) =⇒ 2f (x) − f (2x) = o(x) f (x) = |x2− 2x3| `e derivabile in x 0= 0 f (x) =√x2− 2x + 1 `e derivabile su tutto R f (x) =√3x `e derivabile su (−1, 1) φ(x) =pf(x) =⇒ φ0(x) = f 0(x) 2pf(x) f (x) ha tangente y = 2x − 1 in x = 0 =⇒ f (x2) ha tangente y = −1 in x = 0 f (x) ha tangente y = 3x + 1 in x = 0 =⇒ f (x)2 ha tangente y = 1 in x = 0 f (x) = x2+ o(x3) =⇒ f `e derivabile in 0
Esercizio 2.28. Per ciascuna delle seguenti funzioni, scrivere la tangente al grafico y = f (x) nel punto x0.
Funzione x0 Retta tangente
e2x 0 1 1 + x2 0 cos x π/4 arctan 2x −1/2 log2(1 + x) − sin(xπ) 1 2x3+ 3x − 1 5x − 7 −1 arctan(sin x) π/2 2x− 1 x 2 1 √ x2+ 1 1
Esercizio 2.29. Per ognuna delle seguenti funzioni calcolare la derivata. Funzione Derivata 3x2+ 5 sin(x2) cos(sin x) sin(cos x) − cos(sin x) x2arctan x log(2x + 1) arctan(x2) x (cos(2x − x2))tan x x3x+1log(1 + x2) arcsin(x3+ log x) cos x2+ 2sin 2x Funzione Derivata x2+ 3x4+ 1 x2 + 1 2x3 2(sin x)3+ 3(sin x) + 5 − 1 3(sin x)2 3−x+ log2x 5x2cos x + 2x(sin(3x))2
cot x2+ tan x3− arctan cos x
(1 + log(1 + x2))x
tan(x3+ 3x2+ 1) − log(2 + sin x2)
2.7. O-PICCOLI, DERIVABILIT `A E CALCOLO DELLE DERIVATE 37
Esercizio 2.30. Per ciascuna delle seguenti funzioni f : R \ {0} → R, determinare a ∈ R tale che
e f (x) = f (x) x 6= 0 a x = 0
sia continua da R in R. Determinare poi ef0(0) o scrivere N.E. se questa non esiste. f : R \ {0} → R a fe0(0) sin x x log(1 + |x|) |x| x2cos1 x x sin1 x ex− 1 2x f : R \ {0} → R a fe0(0) x log x2 log(1 + 3x2) x x arctan1 x sin x cos 1 x2 e−1/x2 x
Esercizio 2.31. Per ognuna delle seguenti funzioni calcolare f0(0), f00(0), f000(0). Funzione f0(0) f00(0) f000(0) x2+ 2 x4+ 2x3+ 2x2+ 1 cos x log(1 + 7x) 2x arctan x tan(x2+ x) 1 1 + x2 log(cos x)
2.8
L’Hˆ
opital e Taylor
Esercizio 2.32. Calcolare i seguenti limiti (scrivere N.E. se non esiste il limite). Limite Risultato lim x→−∞ log(1 + 2x) 2x lim x→0 (2x − 1)5+ 1 x lim x→1 log2x − log 3x sin(x − 1) lim x→0+tan x log x lim x→0+ log tan x log tan 3x lim x→0 ex− cos x sin2x lim x→π/4 log tan x cot 2x lim x→+∞ 1 x 1/e2x+1 lim x→0+ 1 x√x lim x→0 1 5 3x − 3 sin x x3 `ı Limite Risultato lim x→0+(1 + x) log x lim x→π/2 √ 2 − sin x + cos 2x √ 1 + cos22x − 2 sin(x/2) lim x→2+ √ x − 2 +√x − 1 − 1 x2− 4 lim x→6 2 −√x − 2 x2− 5x − 6 lim x→π/2 (x − π/2) tan x lim x→0+x 1/√− log x lim x→+∞e √ xx−3 lim x→−∞e √ xx2 lim x→0 sin log(3x + 1) ex− 3x lim x→π/4 (tan x)tan 2x
Esercizio 2.33. Calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 delle seguenti funzioni fino all’ordine 5.
Funzione Sviluppo all’ordine 5
earctan xlog(1 + x) 1 1 + ex2 sin x 1 + arcsin x 3 √ cos 3x log(cos 4x + sin(−x2)) p2 arccos(x3) (1 + x)1/x (cos x)1/ arctan x2 log(x +√x2+ 1) log 1 + x 1 − x
Esercizio 2.34. Calcolare i seguenti limiti (scrivere N.E. se non esiste il limite).
Limite Risultato lim x→0 x − sin x x log cos x lim x→0 3 sin x − x cos x − 2x 3x3arctan(2x2+ x4) lim x→0 log cos 2x log(1 + tan 2x2) lim x→0 x arcsin x − x2 √ 1 + x4− cos(x4) lim x→0 4 √ 1 − 4x2+ x4− 1 + x2 x4 Limite Risultato lim x→0 sin x x 1/x lim x→0 x − sin x x log cos x lim x→0( √
1 + 2 sin x − arcsin x)1/ tan2x lim x→+∞x 3(πx − 2x arctan x − 2) lim x→0 sin√3x2−√3 x2− log cos x x sin x
2.8. L’H ˆOPITAL E TAYLOR 39
Esercizio 2.35. Calcolare i seguenti limiti in funzione del parametro a ∈ (0, +∞).
Limite Risultato lim x→0 sin x xa lim x→0 sin x − tan x xa lim x→0 √ 1 − x2− cos x xa lim x→0 cos x − ex+ ax2 x3 lim x→+∞x aarctan 1 x2+ 2x3 lim x→+∞sin x −a(π2− 4 arctan2(x + 1)) lim x→0+ cos2x − exa sin2x lim x→0+ tan6+x sinax 3x2− log(1 + 3x2) lim x→0 2x cos x − 3 arctan x + x ax log(1 + xa) lim x→0+
arctan(x−alog(cos sin2x)) tan(x2+ 2x)
log(1 + 3x) lim x→+∞(sin(1/x a) − cos(1/x) + 1)x2 lim x→0
xasin(1/x) − log(1 + x2) − 2x√1 − x + sin 2x
tan x3 lim x→0 sin x + arcsin x − 2x a √ 1 − xa lim x→0 log(1 + x2) sinax tan x + arctan x − 2x
2.9
Zeri, massimi e minimi
Esercizio 2.36. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
Affermazione V o F
f : A → R, A ⊆ R, continua; a, b ∈ A t.c. f (a)f (b) < 0 =⇒ c ∈ A t.c. f (c) = 0 f (x) = (x2+ 1)/x `
e surgettiva da R \ {0} in R.
f (x) = 1/x + o(x) =⇒ ∃ M > 0 t.c. per λ > M , |f (x)| = λ ha soluzione f (x) = x2+ o(x2) =⇒ esiste λ > 0 tale che f (x) = λ ha al pi`u 1 soluzione
f (x) = (g(x))2, g(x0) = 0 =⇒ x0`e minimo di f
f (x) = cos x + x3=⇒ ∃ d > 0 t.c. f (x) = 1 − d ha almeno 3 soluzioni
f : R → R tale che limx→+∞f (x) = lim
x→−∞f (x) = 1
+ha un massimo
f : R → R tale che limx→+∞f (x) = −∞, lim
x→−∞f (x) = 1
− ha un massimo
f (x) = x4arctan x2− x3+ 2 cos x non `e surgettiva
f : R → R t.c. lim
x→+∞f (x) = +∞,x→−∞lim f (x) = −e, f (0) = −π ha un minimo
Esercizio 2.37. Per ognuna delle seguenti funzioni, da intendersi definita sul dominio pi`u ampio possibile ed a valori in R, dire se `e surgettiva; indicare poi se l’equazione f (x) = λ ha nessuna (N), una (U) o pi`u (P) soluzioni, per i valori di λ indicati.
Funzione Surgettiva`e λ N. sol λ N. sol
f (x) = x2 2 0 f (x) = x2arctan x 0 1 f (x) = sin2x + x3 0 10−5 f (x) = x3− 3x + 1 0 3 (x) = e x− 1 x2 0 -1 f (x) = esin x 0 5 f (x) = x2+ x cos x 0 -1
Esercizio 2.38. Per ognuna delle seguenti funzioni scrivere lo sviluppo di Taylor all’ordine 4 in 0, dire se 0 `e un punto stazionario e, nel caso, dire se `e di massimo locale (M), di minimo locale (m), di flesso ascendente (%) o di flesso discendente (&).
Funzione Sviluppo all’ordine 4 Stazionario`e M/m/F
f (x) = x2sin x + cos x f (x) = x arctan x − ex f (x) = (cos x)sin x f (x) = sin x − tan x f (x) = log(1 + x) − x + cos x f (x) = sin(tan x) − 2x f (x) = x 3+ sin x 1 + x + x2 f (x) = x√1 − x +√2 sin(π/4 − x) f (x) = 1 − cos x x − 3 sin x − x x2
2.9. ZERI, MASSIMI E MINIMI 41
Esercizio 2.39. Per ognuna delle seguenti funzioni, determinare massimo e minimo sull’insieme indicato (scrivere N.E. se non esistono).
Funzione Insieme Max Min Insieme Max Min
f (x) = 1 − 2x2 [1, 2] (−1, 1) f (x) = cos x2 [0, π] R f (x) =√arctan x2 [1, 2] [−1, 1] f (x) = r x2 x4+ 1 [2, 5] (−2, 2) f (x) = log x2− arctan(x2− 1) [1/2, 2] (0.9, 9) f (x) = arcsin x + 2√1 − x2 [−1, 1] [0, 1) f (x) = 4√1 − x2−√3 log(1 − x2) (0, 1) [1/3, 1) f (x) = x2log(x + 2) (−1/2, 1/2) [−1, 10] f (x) = cos(sin x2) (−3/2, 3/2) [−1, +∞) f (x) = (1 + x)x (−1, 1) [2, 10]
2.10
Monotonia e derivate. Rolle, Lagrange, Cauchy
Esercizio 2.40. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
Affermazione V o F
f : R \ {0} → R tale che f0(x) < 0 ∀ x 6= 0 `e monotona decrescente. f (x) = 0 ha 10 soluzioni, allora f0(x) = 0 ha esattamente 9 soluzioni
f (x) = 0 ha 5 soluzioni, allora f0(x) = 0 ha al pi`u 5 soluzioni f (x) = 0 ha 7 soluzioni, allora f0(x) = 0 ha almeno 6 soluzioni
Dato x > 0, esiste c ∈ (0, x) tale che 2 − 2 cos x = x2cos c
La funzione f (x) = x + sin x `e crescente su R
Esiste x0∈ R tale che f(x) = x + 2 sin x `e crescente su [x0, +∞)
Esiste d ∈ R tale che f (x) = x2+ 2 sin x `e decrescente su (−∞, d]
Esercizio 2.41. Determinare il pi`u grande intervallo (pu`o essere anche una semiretta o la retta reale) contenente 1 su cui la funzione data `e strettamente monotona (Massimo Intervallo di Monotonia) e specificare se `e crescente o decrescente (C o D) su tale intervallo.
Funzione MIM C/D x2+ 2x + 3 sin x ex+ e−x log(x2+ 3x) πx − sin(πx) arctan(x2+ 3x) x2e1/x x log 1 x log(x + 1/2) + arctan(1/2 − x)
Esercizio 2.42. Per ognuna delle seguenti equazioni, determinare il numero di soluzioni in funzione del parametro λ ∈ R.
Equazione Numero di soluzioni
x3− 3x2+ x + 1 = λ arctan x 3− x x2+ 1 = λ log√λx = x − 2 e−1/x= λ√3x x log 1 x = λ x (|x| − 1)2= λ3 x3− 2x2+ 1 = λ(1 − x2) log |x| = λx2 log(x − 2) = λ + x arctan 1 x x + 3 = λ√x + 2
2.10. MONOTONIA E DERIVATE. ROLLE, LAGRANGE, CAUCHY 43
Esercizio 2.43. Determinare, per ciascuno dei seguenti insiemi, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo (scrivere N.E. se non esistono).
Insieme Sup Inf Max Min
n2 log(1 + n) : n ∈ N, n > 0 {n2e−n : n ∈ N} {2√ne−n/4 : n ∈ N} {en2−1n−1/2 : n ∈ N, n > 0} n2− n + 1 2n2+ 1 : n ∈ N {√n + 1 − 2 log(n + 1) : n ∈ N} {2 arctan(n2 ) + 1/n : n ∈ N, n > 0} arctan (n2− 1)/n : n ∈ N, n > 0 {(√n + 1 −√n) sin n : n ∈ N} {n1/n2 : n ∈ N, n > 0} x/(1 + x2) : x ∈ (0, +∞) {p(x − 1)(x − 2)(x − 3) : x ∈ (0, 3)}3 4x − 5√x x2+√x : x ∈ [3, 5] {log(1 + x2cos2x) : x ∈ [0, 1]} {x sin x : x > 0} {x√x : 0 < x < 1} {2 cos x + |x| : x ∈ R} x−1arctan(x2) log(x) : x ∈ [2013, 2014)
Esercizio 2.44. Per ognuna delle seguenti funzioni, elencare gli asintoti orizzontali a +∞ (O+), a −∞ (O−), verticali (V) ed obliqui a +∞ (S+) e a −∞ (S−) (N.E. se non ne esistono).
Funzione Asintoti x2− 1 x − 2 y = x + 2 (S±) , x = 2 (V ) 2x2+ 1 x + 1 x−1sin x (2x3+ 3)/(x2+ 2x − 1) (x3− 2x + 1)/(x2− 1) ex+log x+ cos x ex− 1 p|x2+ 3x + 2| − arctan(x) (ex− e−x)/x e−1/x x x2− 4 sin x x2+ 1 √ x4+ 2 − sin x x2+ 5
