2.3 Tecniche SD-PDOA con approccio SAR
2.3.3 SARFID CON DUE ANTENNE
Precedentemente è stata studiata l’applicazione del metodo SARFID a singola antenna. Adesso invece andremo a considerare SARFID con due antenne, ovvero si dispone di due antenne applicate sul nostro dispositivo mobile che si muovono insieme su due traiettorie distanziate di una certa quantità Δz lungo l’asse z, come nello scenario di del paragrafo 2.4.1.
Si hanno a disposizione Nr letture di posizione dell’antenna 1 e dell’antenna 2
61 (2.28)
Con
(2.29)
Si fa l’ipotesi, come nel caso del paragrafo 2.4.1 che ad ogni intervallo di acquisizione si abbia la misura di posizione di entrambe le antenne ed una lettura della fase relativa alla posizione del tag per ciascuna antenna avvenute simultaneamente (condizione non realizzabile in un sistema reale, serve solo per semplificare i calcoli ma non mina la generalità delle considerazioni che faremo). Sia
(2.30)
La posizione del tag che consideriamo. Indichiamo con
(2.31)
(2.32)
Il vettore delle distanze tra tag e antenna 1 e tag e antenna 2, i cui elementi sono
(2.33)
62 Sono entrambi vettori Nr x 1 e da notare che per le ipotesi fatte precedentemente vale
(2.35)
(2.36)
Si costruiscono i vettori con i fasori, relativi alla fase misurata
(2.37) (2.38)
Per essere precisi, nell’argomento dei fasori si dovrebbe inserire il rumore che di solito nelle simulazioni numeriche è modellato come coma una variabile gaussiana a media nulla e con una certa varianza. Inoltre ci si dovrebbe inserire il termine di offset che consideriamo costante per tutte le misure di fase. L’offset viene di solito modellato con una variabile aleatoria distribuita uniformemente tra 0 e 2π. Entrambi i modelli scelti risultano, in sede di simulazione, utili nei calcoli per modellare il rumore ed il termine di offset, ma molto spesso non coincidono con il modello reale. Occorrerebbe per cui fare uno studio statistico del comportamento di questi due termini che in questo elaborato non è stato fatto e trovare così un modello matematico più vicino a quello reale.
Nei calcoli che seguono, il rumore ed il termine di offset non vengono considerati per semplicità dei calcoli, senza minare la generalità dei metodi proposti.
I vettori considerati si normalizzano dividendo per il primo elemento relativo alla propria antenna
63 (2.39) (2.40)
Si considera poi lo spazio con le ipotetiche posizioni del tag
(2.41)
Che è un cubo di dimensioni
(2.42)
In tale cubo esiste una terna (i, j, k) che maggiormente si avvicina alla posizione reale del tag.
Data una certa antenna q = 1,2, si costruisce la storia dei fasori ipotetici
(2.43)
Si ottengono così M x N x Q x 2 vettori di Nr x 1 elementi.
64
(2.44)
E si ottiene la cosiddetta immagine olografica. A questo punto si può cercare il massimo di quella funzione separatamente per le due antenne come visto nel paragrafo precedente.
(2.45)
Un modo per elaborare insieme i due SARFID applicati alle due antenne è quella di fare un semplice prodotto termine a termine tra le matching function ottenute, che sono di eguali dimensioni, per poi cercare il massimo della funzione-prodotto ottenuta
(2.46)
Una seconda possibilità è quella di unire le due traiettorie e ottenere una traiettoria più lunga, ovvero ottenere il vettore
(2.47)
Fare questo equivale a considerare i campioni di fase acquisiti dalle due antenne nell’ordine rappresentato nella figura successiva (figura 2.9).
65
Figura 2.9 Ordine dei campioni di fase acquisiti
Si ottiene un vettore 2Nr x 1 con il quale ci si costruisce la matching function
considerando il relativo vettore delle distanze ipotetiche del tag.
(2.48)
Per quanto detto prima relativamente al teorema di campionamento deve valere che
Δd sia più piccolo di λ/4.
Se le antenne fossero distanziate di meno λ/4, si potrebbe pensare di invertire il vettore relativo ad un’antenna
(2.49) 1° campione di fase per la 2 antenna Δz Δd 1° campione di fase per la 1 antenna Ordine in cui si leggono i campioni
66 Questo equivale a prendere i campioni di fase come mostrato nella figura seguente (figura 2.10).
Figura 2.10 Ordine dei campioni di fase acquisiti
Un ultimo approccio è quello che è stato chiamato come SARFID differenziale.
Riprendiamo i fasori della storia di fase per l’antenna 1 e 2, considerando ora anche il rumore ed il termine di offset
(2.50) (2.51) Con
ai = -4πd1, i/λ: fase relativa alla distanza tra tag e antenna 1 alla i-esima lettura. bi = -4πd2, i/λ: fase relativa alla distanza tra tag e antenna 2 alla i-esima lettura.
1° campione di fase per la 2 antenna Δz 1° campione di fase per la 1 antenna
67 νi : rumore di fase alla i-esima lettura captato da antenna 2
ωi : rumore di fase alla i-esima lettura captato da antenna 1 φoff1,2 : offset di fase relativo ad antenna 1,2
Quando trovo la posizione esatta del tag, per le storie di fase ipotetiche vale che
(2.52) (2.53)
In tale metodo si fa il rapporto tra le storie di fase, sia per i vettori di fase misurata, sia per quelli ipotetici, ovvero
(2.54) (2.55)
Si sottolinea che facendo tale rapporto di fasori, dunque facendo una differenza di fase, si ottiene un rumore che ha varianza doppia.
Per togliere la differenza si fa la normalizzazione per il primo termine sia per i campioni misurati sia per quelli ipotetici.
(2.56) (2.57)
Ovvero si fa il matching di una differenza di differenza di distanze per ogni istante i- esimo.
68 (2.58)
I metodi appena descritti sono stati simulati su varie prove usando MATLAB.
Come scenario si è considerato due antenne che effettuano una traiettoria ad L vicino ad un tag posto in [0.5 0.5 0.75] m. Le antenne hanno stessa coordinata x e y, mentre sull’asse z sono distanziate di una quantità Δz = 50 cm. Lo scenario è mostrato in figura 2.11.
Figura 2.11 Scenario considerato per le simulazioni.
I quattro metodi descritti precedentemente sono stati eseguiti con una griglia di ricerca che va da 0 a 1.5 m lungo i tre assi con un passo di ricerca di 0.01 m. La scelta del passo pari a 1 cm è dettata dalla ricerca di avere errori attorno al centimetro.
69 Sono state effettuate 10 prove ed in ogni prova si sono eseguiti i quattro metodi descritti precedentemente. Il rumore di fase è stato modellato con una variabile aleatoria gaussiana a media nulla e varianza 0.5 rad, mentre il termine di offset è stato modellato con una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra 0 e 2π. E’ stato inserito del rumore gaussiano anche nelle traiettorie eseguite dalle antenne, come se le traiettorie non fossero perfettamente conosciute, come verrà fatto nel capitolo successivo per le simulazioni numeriche. Tale rumore sulle traiettorie ha media nulla e varianza 0.015 m lungo x e y, mentre ha varianza di 0.005 m lungo z. In ogni prova si ha una realizzazione diversa dei vari rumori e del termine di offset.
Per ognuno degli algoritmi sono stati presi gli errori medi sulle tre coordinate e i tempi medi di esecuzione sulle 10 prove. I risultati sono mostrati in tabella 2.11 (a) e
2.11 (b).
Errore medio su x Errore medio su y Errore medio su z
Prodotto 0.4 cm 0.2 cm 14.6 cm Unica sequenza (ultimo campione- primo campione) 0.2 cm 0.8 cm 0.03 cm Unica sequenza (primo campione- ultimo campione) 2.4 cm 1 cm 3.4 cm Differenziale 5.6 cm 4.8 cm 69.4 cm (a)
70
Tempo medio di esecuzione
Prodotto 91.776 s
Unica sequenza (ultimo campione-primo campione)
83.033 s
Unica sequenza (primo campione-ultimo campione)
82.743 s
Differenziale 43.819 s
(b)
Tabella 2.1 Errori medi (a) e tempi medi di esecuzione (b) nelle varie prove
Si nota come il prodotto abbia errori medi minori rispetto agli altri metodi e dunque garantisca una localizzazione migliore. Gli altri metodi hanno comunque tutti errori sotto i 50 cm posto come limite massimo all’errore, ma si nota che il prodotto ha anche tempi di esecuzione maggiori rispetto agli altri metodi. I tempi di tutti i metodi, inoltre, superano 1 s fissato come limite alle prestazioni. C’è quindi un trade off tra tempo di esecuzione ed errori di stima della posizione.
Nei capitoli successivi, quando utilizzeremo la tecnica SARFID con due antenne, faremo riferimento al metodo del prodotto, essendo quello che garantisce errori medi più bassi.