SC . La stabilità del sistema si ottiene se l'autovalore più grande ha parte reale

negativa ovvero

Re[λ1]≈ σ^√SC − d < 0 → σ√

SC < d.

Vogliamo ora studiare l'eetto prodotto sulla disposizione degli autovalori

se la media della distribuzione degli elementi non diagonali della matri e è

diversa da zero. Questo aso è parti olarmente importante in natura visto

re i- ampionati on probabilità

C

dauna distribuzionea media

µ

evarianza

σ2

,

ezero altrimenti. Per iò

E = E[mij] = Cµ.

Leentratesulla diagonale,alsolito, valgono

−d

. Notiamo omeuna matri e hehalasommadellerighe ostantiammetteautovettore1e omeautovalore

orrispondentelasommadeglielementidiriga. Se

M

èuna matri erandom, on entrate fuoridalla diagonaleindipendenti ed identi amentedistribuite e

onentratesulla diagonaleidenti he,sebbenelesommedellerighenonsiano

ostanti hanno omunque ugual valore di aspettazione

E

"

X

j

mij

#

=−d + (S − 1)E[mij] =−d + (S − 1)E

(A.5)

per ogni

i

. In a ordo on la legge dei grandi numeri, quando

M

è grande, la media delle righe tende ad essere la stessa. Così, per

S

su ientemente grande,uno degli autovaloridi

M

sarà vi inoal valore diaspettazione della `sommadella riga'datodalla(A.5). Glialtri

(S− 1)

autovalori, omesivede an hedallesimulazioninumeri he, sonoan orauniformementedistribuitisul

dis o.

Undis otuttavia he oraèleggermentespostato perilfatto he lamediadei

valori sulla diagonale è an ora

−d

. Per trovare il nuovo entro, dato dalla mediadegli

S− 1

valori, basta sottrarre

−d + (S − 1)E

dalla somma totale degliautovalori he è

−dS

edividereper

S− 1

. Ciòsigni a he l'autovalore più `a destra' è ollo ato approssimativamente in

−(d + E) + ^√SV

dove

−(d + E)

è il entro del dis o e

√

SV

il raggio stimato. Dobbiamo inoltre ri al olarelavarianzadeivaloridi

M

fuoridalladiagonale herisultaessere

2

V = V ar(mij) = E[m²_ij]− E² = C(σ²+ µ²)− C²µ² = C^hσ²+ (1− C)µ²ⁱ.

Possiamoora stimareilvaloredi

Re[λ1]

peril aso didistribuzione on me-diadiversa da zero, sempre he

S

siasu ientemente grande:

I aso:

µ < 0

(in questo aso

−d + (S − 1)E < 0

poi hé

E < 0

).

L'autovalore di

M

più `a destra' orrisponde al punto più a destra deldis o (FiguraA.2(a)). Inquesto aso abbiamo he l'autovaloremassimo vale

Re[λ1]≈ −d − E +^√SV .

II aso:

µ > 0

.

Possiamo avere due situazioni:

2

Sia

E[X] = µ

e

V ar(X) = σ2

alloraabbiamo

E[X2] = E(X + µ − µ)2 = E[(X −

µ)2] + 2µE[X− µ] + E[µ2] = σ2+ µ2

Figura A.2: Distribuzione degli autovaloridi

M

matri e

1000× 1000

le ui entratesono zero on probabilità

1− C

e onprobabilità

C

sono ampionate da una distribuzione normale on media

µ

e varianza

σ2

. I tre asi fanno

riferimentoatrevaloridi

µ

diversi: in(a)e(b)appaionogliautovaloridetti `sommadella riga'. In ( )inve e adedentroaldis o. Sinoti omeil entro

(i) ola`sommadellariga'ègrandeabbastanzadamandareunautovalorea

destradeldis o(FiguraA.2(b)),einquesto aso l'autovaloremaggiore

è

Re[λ1]≈ −d + (S − 1)E,

(ii) oppure adean h'essaall'internodeldis o(FiguraA.2( )),edinquesto

aso l'autovalore maggioreè

Re[λ1]≈ −d − E +^√SV .

Con ludiamoris rivendo in forma ompatta il riterio distabilità he tenga

onto ditutti e tre i asi possibili

maxⁿ√

SV − E, (S − 1)E^o=

= max

(r

SC^hσ2+ (1− C)µ2ⁱ− Cµ, (S − 1)Cµ

)

< d.

A.3.2 Ellipti law e stabilità

Nelle matri i trattatenora gli elementi sopra e sotto la diagonalesono

in-dipendentied identi amentedistribuiti. Ma, ome abbiamovisto,nelle

rela-zioni e ologi he spesso le interazioni tra le spe ie sono a oppiate: possono

essere,per itarelepiù omuni,ditipo p-Poppure mutualisti heo

ompeti-tive.

In tutti questi asi, e nelle loro ombinazioni,l'elemento di matri e

mij

non è più indipendente dall'elemento

mji

. Prendiamo ad esempio il aso p-P: per ogni

mij < 0

, he rappresenta l'eetto `negativo' del

j

-esimo predatore sull'

i

-esima preda, i aspettiamo un

mji > 0

he des riva l'eetto `positivo' della

i

-esima preda sul

j

-esimopredatore. Per modellizzare ladinami a del-le popolazioni sarà dunque importante ampionare gli elementi della CM a

oppie. Questo ondu e alla formulazionedell'ellipti law [19℄, la

generaliz-zazione della ir ular law al aso in ui i oe ienti (presi a oppie) sono

ampionatida una distribuzionebivariata 3

.

Teorema A.2 (Ellipti law). Sia

M

una matri e

S × S

i ui oe ienti fuori dalla diagonale sono s elti a oppie indipendenti da una distribuzione

3

Dateduevariabilialeatorie

X

e

Y

,denitesullostessospaziodiprobabilità,sidenis e distribuzione ongiuntaladistribuzionediprobabilitàasso iataalvettore

(X, Y )

. Nel aso diduesolevariabili,siparladi distribuzione bivariata, mentrenel asodipiùvariabilisi

bivariatamaginale 4

onmediazero,varianzaunoe orrelazione

E[mijmji] =

ρ

. Allora, per

S → ∞

, la distribuzione degli autovalori di

M/√

S

onverge ad una distribuzione uniforme su un ellisse entrata in

(0, 0)

on semiasse orizzontale di lunghezza

1 + ρ

e on semiasse verti aledi lunghezza

1− ρ

.

FiguraA.3: Ellipti law. In (a)autovaloridi

M

, matri e

1000× 1000

, on zero sulla diagonalee oe ienti (

mij, mji

) fuoridalla diagonale ampionati dalla distribuzione bivariata normale. In (b) ome (a) ma, per ogni oppia

di oe ienti, uno è ampionato dalla distribuzione seminormale positiva

|N (0, 1)|

el'altrodaquellanegativa. In( ) omein(a)e(b)mai oe ienti di ias una oppia sono presi l'uno dalla distribuzione uniforme

U[0, 2x]

e l'altro da

U[−y − x, y − x]

.

4

La Figura A.3(a) ne dà un'illustrazione. Proprio ome la ir ular law,

an he la ellipti law può essere generalizzata tenendo onto di 1) matri i

parzialmente onnesse,2)elementisulladiagonalediversidazero,3)elementi

fuori dalla diagonale presi da una distribuzione (bivariata marginale) on

mediadiversa dazero e 4)matri i on elementi

−d

sulla diagonale.

Supponiamo ad esempio di porre gli elementi delle oppie

(mij, mji)i6=j

on probabilità

(1− C)

uguali a

(0, 0)

e on probabilità

C

ampionati da una distribuzionebivariata on media

µ

e matri edi ovarianza

Σ

µ=





µ

µ



, Σ =





σ2 ρσ˜ 2

˜

ρσ2 σ2



.

Glielementi sulla diagonalesono posti ugualia

−d

. Come primasiamo alla ri er a di due autovalori: uno dato dalla `somma della riga' e uno he è il

valore più `a destra' dell'ellisse. A questo ne al oliamo i valori statisti i

rilevantiper glielementi fuoridalla diagonale:

lamedia

E = E[mij] = Cµ,

lavarianza

V = V ar(m_ij) = C^hσ2+ (1− C)µ2ⁱ,

ela orrelazioneperi oe ienti fuoridalla diagonale

ρ = ^E[mijmji]− E2[mij]

V ar(mij) ⁼

˜

ρσ2+ (1− C)µ2

σ2+ (1− C)µ2 .

Poi hé è ugualmente probabile he ias un elemento fuori dalla diagonale

provenga da un omponente qualsiasi della distribuzione bivariata, allora il

valore della `somma della riga' atteso è, ome nel aso della ir ular law,

−d + (S − 1)E

in a ordo on la (A.5). Pro edendo ome nel paragrafo pre edente, troviamo he l'ellisse è entrata in

−(d + E)

ed ha semiasse orizzontale

√

SV (1 + ρ)

. Servendosidiquesta notazioneil riteriodistabilità diventa [38℄

maxⁿ√

SV (1 + ρ)− E, (S − 1)E^o< d.

Nelle appli azioni della ellipti law, di ui i o upiamo nel quarto apitolo

del presente lavoro, mostriamo ome, modellizzando una atena alimentare

in uiglielementinon-zero hannosegnoopposto

(−+)

, la orrelazione nega-tiva

(ρ < 0)

omporta la stabilizzazione delsistema. Per esempio in Figura A.3(b) si vede la distribuzione degli autovalori di una matri e in ui, per

ogni oppiadi elementi diversa dazero, un oe ienteè preso dauna

Dato he

E = 0

,

V = 1

e

ρ = −2/π

, il segno degli elementi a oppiati produ e una orrelazione negativa he stabilizza il sistema. Inoltre per la

proprietà di `universalità' ogni distribuzione bivariata on la stessa matri e

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Nel documento Uivei deg (pagine 79-90)