Scambio termico con cambiamento di fase

cam-biamento di fase, la scelta di questi ultimi deve essere effettuata in maniera adeguata e soprattutto coerente con le caratteristiche tipiche del sistema in esame. Alla spiegazione dei meccanismi fisici coinvolti ed alla selezione delle equazioni descrittive è destinata la prima parte della trattazione.

Nonostante la modellazione numerica offra la possibilità di ampliare, prati-camente senza limiti, il livello di dettaglio dell’analisi, è comunque sempre necessario mantenere un giusto compromesso tra accuratezza della descri-zione e praticità del modello. Questo deve essere infatti si adeguatamente accurato ma, per questo, non eccessivamente complesso. É pertanto di fon-damentale importanza operare tutte quelle semplificazioni, sia in termini di descrizione matematica che geometrica, che permettano di limitare la complessità del modello senza però compromettere la corretta descrizione del sistema. Anche a questo importante aspetto sarà dedicata una intera sezione del capitolo.

La trattazione si chiude infine con la descrizione dei test sperimentali rea-lizzati, presso i laboratori di i-TES, con il preciso obiettivo di ottenere la validazione del modello numerico. Per i dettagli riguardanti il concetto di validazione, e la sua rilevanza nell’ambito della modellazione numerica, si rimanda allo specifico paragrafo.

come una sua accurata previsione sia di fondamentale importanza al fine di simulare il comportamento termico del sistema. L’evoluzione del fronte di scioglimento può essere effettuata sia per via diretta, opzione decisamente più complessa data la necessità di utilizzare griglie mobili, oppure per via indiretta, sulla base di considerazioni legate al contributo energetico. Que-sto aspetto, che verrà meglio approfondito in seguito, è direttamente legato alla scelta del modello matematico da utilizzare per descrivere la fisica del cambiamento di fase.

Figura 4.2: Esempio di evoluzione del fronte di scioglimento: involucro rettangolare [12].

Il secondo aspetto tipico del cambiamento di fase è l’insorgere di moti con-vettivi all’interno della fase liquida, a seguito dell’espansione volumetrica e delle differenze di temperatura. Inoltre, al progredire del processo di lique-fazione la quantità di liquido cresce gradualmente, incentivandone l’effetto e rendendo il campo di moto sempre più complesso. La presenza della convezione naturale influenza notevolmente il processo di transizione, con-dizionando l’evoluzione del fronte di scioglimento e, di conseguenza, il tasso di scambio termico (vedi figura 4.2). Numerosi studi, sia sperimentali che numerici, sono stati dedicati alla descrizione dei moti convettivi associati allo scioglimento dei materiali a cambiamento di fase. Ad esempio, a questo proposito, Francis et al. [21] hanno eseguito misurazioni sperimentali su ac-cumuli termici tipo scambiatore di calore, equipaggiati con superfici alettate di differenti topologie. I risultati ottenuti, riportati in figura 4.3, mostrano che durante tutto l’arco della transizione di fase il meccanismo di scambio termico all’interno del PCM segue essenzialmente tre regimi differenti: sola conduzione termica, combinazione tra conduzione e convezione, convezione pura. Durante la prima fase del processo il calore viene ceduto mediante conduzione, che rappresenta il meccanismo di scambio termico dominan-te. Tuttavia, all’aumentare della frazione di liquido si osserva l’innescarsi graduale dei moti convettivi, che hanno come effetto quello di influenzare l’evoluzione del fronte di scioglimento. Nello specifico, si evidenzia una pro-gressiva rottura della simmetria del processo, dovuta al fatto che il fluido

più caldo tende a migrare dalla parte inferiore a quella superiore del sistema (tubo liscio ed alettatura radiale). Questo risulta, inevitabilmente, in un più veloce scioglimento del PCM disposto nella zona soprastante il condotto. In questa fase lo scambio termico è frutto della combinazione tra la convezione nella parte superiore e la conduzione, che domina invece ancora nella re-gione inferiore. Dall’analisi di figura 4.3 è inoltre possibile osservare come l’effetto della convezione naturale, e dunque l’evoluzione del fronte di scio-glimento, sia differente per le diverse soluzioni costruttive. Questo rafforza quanto affermato in precedenza, ovvero che la geometria dello scambiatore alettato abbia una pesante influenza sul meccanismo di scambio termico e, pertanto, sulle performance del sistema. Nel caso specifico dello studio, è evidente come la geometria longitudinale fornisca al sistema una migliore attitudine al trasferimento del calore.

Figura 4.3: Profili di temperatura, durante la fase di carica, per le tre diverse geometrie [21]

Il meccanismo della convezione naturale, se da un lato influisce positivamen-te sul processo di scambio positivamen-termico, dall’altro rappresenta una complicazione non indifferente dal punto di vista della descrizione del fenomeno complessi-vo. Tuttavia, è stato più volte dimostrato come il contributo di quest’ultimo (la cui entità è influenzata per altro da numerosi fattori come la geometria del sistema, l’ entità dei gradienti termici, la natura delle sostanze, ecc.) possa essere trascurato in molte delle applicazioni pratiche, senza per que-sto commettere significativi errori di valutazione. Queque-sto è particolarmente vero nel caso in cui si faccia riferimento alla fase di scarica (solidificazio-ne), durante la quale lo scambio termico risulta essere sempre dominato dal meccanismo della conduzione termica [9, 10, 14]. Data la sua rilevanza nella costruzione del modello numerico, all’effetto della convezione natura-le durante il processo di solidificazione verrà dedicato ulteriore spazio nel paragrafo 4.3.2, insieme a tutte le altre assunzioni/semplificazioni adottate nella descrizione del fenomeno fisico.

Per le sostanze pure la transizione di fase avviene per un valore ben definito di temperatura, al di sotto o al di sopra della quale si ha l’apparizione della fase solida o di quella liquida rispettivamente. In realtà, come già osservato, la liquefazione/solidificazione dei PCMs avviene in maniera più graduale su un certo intervallo di temperature, che può estendersi anche fino a diversi gradi centigradi. Questa caratteristica è particolarmente importante nel-la descrizione del comportamento termico del materiale. La previsione di un completo scioglimento/solidificazione, essenziale nella definizione delle performance del sistema, risulterebbe infatti molto inaccurata.

Per ottenere una adeguata rappresentazione del sistema, il modello mate-matico adottato per la descrizione dei fenomeni di scambio termico e cam-biamento di fase deve essere in grado di rispecchiare tutte le caratteristiche fino ad ora introdotte. Data la non banalità dell’operazione, a tal proposito sono stati sviluppati, nel tempo, numerosi e differenti approcci. In linea ge-nerale, i modelli numerici per la descrizione del cambio di fase posso essere distinti tra front tracking methods (variable mesh, moving boundary ele-ment, ecc.) e fixed domain methods (apparent heat capacity, entalpy-based formulation, ecc.) [22]. Mentre il primo gruppo implica il tracciamento esplicito del fronte di scioglimento, con i metodi appartenenti alla seconda categoria il contributo legato al calore latente viene inglobato nel model-lo per via indiretta. Questo approccio permette, a differenza del primo, l’utilizzo di schemi numerici a griglia fissa, cui consegue una notevole sem-plificazione del modello. Inoltre, i metodi a griglia variabile necessitano, per la previsione del fronte di scioglimento, tempi computazionali decisamente più lunghi. Anche per questo motivo, la scelta è ricaduta su un modello a griglia fissa e, nello specifico, sull’ apparent heat capacity method. Il metodo in questione, il quale prevede che la transizione di fase avvenga nell’arco di un intervallo termico finito e permette di modellare la "mushy zone", è infatti particolarmente adatto per la descrizione di un PCM di natura organica.

Il punto di partenza del modello matematico è rappresentato naturalmente dal primo principio della termodinamica nella sua formulazione differenziale,

che prende solitamente anche il nome di "equazione generale della diffusione termica". Questa, eliminando il contributo legato alla generazione interna (nel caso in questione assente) e trascurando gli effetti di compressibilità e riscaldamento viscoso, può espressa come [23]:

ρCp

∂T

∂t + ρCpu · ∇T = ∇ · (k∇T ) (4.1) dove u è il campo di moto associato all’insorgere dei moti convettivi.

Invece di aggiungere il calore latente L nell’equazione del bilancio energetico esattamente quando il materiale raggiunge la temperatura del cambio di fase (Tpc), si assume che la transizione avvenga nell’intervallo di temperature tra Tpc −∆T/2 e Tpc + ∆T/2. In questo intervallo, la fase del materiale viene modellata attraverso la funzione continua θ, che è pari a 1 prima di T_pc−∆T/2 ed a 0 dopo Tpc+ ∆T/2. La densità ρ e l’entalpia specifica H sono pertanto formulate come:

ρ= θρph1+ (1 − θ)ρph2 (4.2)

H = 1

ρ(θρph1Hph1+ (1 − θ)ρph2Hph2) (4.3) dove gli indici ph1 e ph2 denotano il materiale nelle fasi 1 e 2 rispet-tivamente. Differenziando l’espressione dell’entalpia specifica rispetto alla temperatura si ottiene direttamente la definizione del calore specifico:

C_p = ∂H

∂T (4.4)

il quale, dopo opportune trasformazioni, può essere riscritto come:

C_p = 1

ρ[θρph1C_p,ph1+ (1 − θ)ρph2C_p,ph2] + (Hph2− H_ph1)dα_m

dt (4.5)

La quantità αm, che prende il nome di frazione in massa, è a sua volta definita, a partire da ρph1, ρph2 e θ, come:

α_m = 1 2

(1 − θ)ρph2− θρ_ph1

ρ (4.6)

Il calore specifico complessivo del materiale è pertanto pari alla somma tra un calore specifico "equivalente" Ceq:

C_eq = 1

ρ[θρph1C_p,ph1+ (1 − θ)ρph2C_p,ph2] (4.7) e la distribuzione del calore latente CL

C_L= (Hph2− H_ph1)dα_m

dt = Ldα_m

dt (4.8)

Naturalmente, il calore per unità di massa rilasciato complessivamente du-rante la transizione di fase coincide con il calore latente:

Ú Tpc+∆T /2 Tpc−∆T /2

C_L(T )dT = L^{Ú Tpc+∆T /2}

Tpc−∆T /2

dα_m

dt = L (4.9)

In sostanza, lo scambio termico associato alla transizione di fase viene in-corporato nell’equazione di bilancio energetico sostituendo il calore specifico del materiale con una sua formulazione "apparente", data da:

C_p = Ceq+ CL (4.10)

Come la densità, anche l’altra proprietà termofisica coinvolta, ovvero la conducibilità termica, deve essere infine opportunamente ponderata rispetto alla condizione di fase del materiale:

k= θkph1+ (1 − θ)kph2 (4.11)